基金使用規(guī)劃（選自2001年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽）一、問題描述某?；饡幸还P數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券。當(dāng)前銀行存款及各期國庫券的利率見表1。假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。校基金會計劃在n年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。?；饡Ｍ@得最佳的基金使用計劃，以提高每年的獎金額。請你幫助?；饡谌缦虑闆r下設(shè)計基金使用方案，并對M=5000萬元，n=10年給出具體結(jié)果：只存款不購國庫券。可存款也可購國庫券。3．學(xué)校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其它年度多20%。表1銀行存款稅后年利率（%）國庫券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14

二、問題分析基金應(yīng)滾動使用，即一筆錢存銀行或購買國庫券，到期除去當(dāng)年所用獎金之后，剩余部分繼續(xù)存銀行或購買國庫券。基金到位當(dāng)年不設(shè)獎金，所有資金用于存款或買國庫券；最后一年留出基金本金外，剩余資金全部用于獎金。在設(shè)計基金使用方案時，須考慮以下兩個因素：由于從基金到位后的下一年開始每年都要使用獎金，因此方案要保證每年都有存款（或國庫券）到期；由于銀行存款或國庫券的檔期越長，年平均收益越高，因此，若一筆資金k年后要用（如k=3），一定是將該筆資金直接存k年期銀行定期存款，或購買相應(yīng)年限的國庫券。如是，基金使用方案應(yīng)遵循如下框架：每一年所有可供調(diào)用的資金都被分割成分別存1，2，3，5年期銀行存款（或購買2，3，5年期國庫券）的金額和當(dāng)年使用的獎金額；基金到位年不設(shè)獎金，基金使用最后一年只分割成基金本金和獎金。因此，決策的內(nèi)容就是各年的可供調(diào)用資金的分割方案，決策目標(biāo)是使獎金總額極大化。決策的結(jié)果還應(yīng)使得每年的獎金額大致相等。三、建模模型1（只存銀行不買國庫券）由題設(shè)，基金使用年限為10年，設(shè)基金到位年為第0年，可令xij(i=0,1,2,…,9；j=1,2,3,5)表示第i年可供調(diào)用總資金中用于存j年期銀行存款的資金，其中，x65、x75、x83、x85、x92、x93、x95恒為0。由于要求每年用于獎金的資金額大致相等，可令t表示從第1年至第10年每年供獎金使用的資金額。實際決策變量共34個。優(yōu)化目標(biāo)為10年使用的獎金總額最大，即約束條件除所有變量的非負(fù)約束外，就是反映各年資金分割情況的等式約束：式中，r1、r2、r3及r5分別表示銀行1年期、2年期、3年期及5年期存款的年利率，M為基金總額。為求解時方便準(zhǔn)備數(shù)據(jù)，可將模型按變量x01,x02,x03,x05,x11,x12,x13,x15,x21,x22,x23,x25,x31,x32,x33,x35,x41,x42,x43,x45,x51,x52,x53,x55,x61,x62,x63,x71,x72,x73,x81,x82,x91,t順序展開（限于篇幅不再列舉）。模型2（可存銀行也可買國庫券）表4基金最優(yōu)使用方案（考慮購買國庫券，第3年獎金多20%）及收益年序存款期0123456789金額(萬元)1年期224.590.000.0050.670.000.000.000.000.000.002年期213.850.000.000.000.0047.670.000.00.00—3年期503.9684.850.00254.070.0057.39132.310.0——5年期4057.60.0080.9770.380.004445.8————每年獎金額約為143.79萬元，第3年獎金額為172.548萬元；10年共計1466.6萬元。由于第3年的特殊情況，輕微打破了原來每年獎金使用的平衡格局，致使10年產(chǎn)生的總獎金稍微有所下降；從基金運(yùn)作方案上