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1問題的提出

位于我國西南地區(qū)的某個(gè)偏遠(yuǎn)貧困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地區(qū)。過去村民的日常生活和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)用水一方面靠的是每家每戶自行建造的小蓄水池，用來屯積每逢下雨時(shí)獲得的雨水，另一方面是利用村里現(xiàn)有的四口水井。由于近年來環(huán)境破壞，經(jīng)常是一連數(shù)月滴雨不下，這些小蓄水池的功能完全喪失。而現(xiàn)有的四口水井經(jīng)過多年使用后，年產(chǎn)水量也在逐漸減少，在表1中給出它們在近9年來的產(chǎn)水量粗略統(tǒng)計(jì)數(shù)字。2009年以來，由于水井的水遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，不僅各種農(nóng)業(yè)生產(chǎn)全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越嶺到相隔十幾里外去背水來維持日常生活。為此，今年政府打算著手幫助該村解決用水難的問題。從兩方面考慮，一是地質(zhì)專家經(jīng)過勘察，在該村附近又找到了8個(gè)可供打井的位置，它們的地質(zhì)構(gòu)造不同，因而每個(gè)位置打井的費(fèi)用和預(yù)計(jì)的年產(chǎn)水量也不同，詳見表2，而且預(yù)計(jì)每口水井的年產(chǎn)水量還會(huì)以平均每年10%左右的速率減少。二是從長遠(yuǎn)考慮，可以通過鋪設(shè)管道的辦法從相隔20公里外的地方把河水引入該村。鋪設(shè)管道的費(fèi)用為（萬元），其中表示每年的可供水量（萬噸/年），表示管道長度（公里）。鋪設(shè)管道從開工到完成需要三年時(shí)間，且每年投資鋪設(shè)管道的費(fèi)用為萬元的整數(shù)倍。要求完成之后，每年能夠通過管道至少提供100萬噸水。政府從2010年開始，連續(xù)三年，每年最多可提供60萬元用于該村打井和鋪設(shè)管道，為了保證該村從2010至2014年這五年間每年分別能至少獲得150、160、170、180、190萬噸水，請作出一個(gè)從2010年起三年的打井和鋪設(shè)管道計(jì)劃，以使整個(gè)計(jì)劃的總開支盡量節(jié)?。ú豢紤]小蓄水池的作用和利息的因素在內(nèi)）。表1現(xiàn)有各水井在近幾年的產(chǎn)水量（萬噸）年份產(chǎn)水量編號(hào)2001200220032004200520062007200820091號(hào)井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72號(hào)井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03號(hào)井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24號(hào)井

46.232.626.723.020.018.917.516.3表28個(gè)位置打井費(fèi)用（萬元）和當(dāng)年產(chǎn)水量（萬噸）編號(hào)12345678打井費(fèi)用57546553當(dāng)年產(chǎn)水25363215312822122問題的分析

題中要求制定一個(gè)總費(fèi)用（決策目標(biāo)）最小的抗旱（打井，鋪設(shè)管道）方案，屬于優(yōu)化問題，并且使得該村從2010至2014年這五年間每年分別能至少獲得150、160、170、180、190萬噸水，每年費(fèi)用不超過60萬元。（此兩點(diǎn)為主要約束條件）

其他的約束條件有：a.每口井只能在2010年開始，連續(xù)三年中的其中一年施工b.鋪設(shè)管道費(fèi)用為萬元整數(shù)倍c.由于河位于與該村相隔20公里外的地方,所以管道總長度不小于20公里d.鋪設(shè)管道需要3年時(shí)間,故前3年管道供水量為0,而第4,5年供水量不小于100萬噸。故此模型即為基于以上約束條件的整數(shù)規(guī)劃（最優(yōu)決策目標(biāo)）問題。3模型的假設(shè)忽略小蓄水池的作用和利息因素不考慮意外情況導(dǎo)致所需經(jīng)費(fèi)增加W5=17.4312+N5+Q滿足，W1>=150,W2>=160,W3>=170,W4>=180,W5>=190每年的鋪管道費(fèi)取整且總管道不小20公里即Pj=0.66Q^0.51*LiPj取整L1+L2+L3>=206模型求解將上述模型輸入LINGO可得到【2】Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:172.0000Extendedsolversteps:308Totalsolveriterations:10226VariableValueReducedCostZ155.000000.000000Z260.000000.000000Z357.000000.000000X111.0000005.000000X210.0000007.000000X311.0000005.000000X410.0000004.000000X510.0000006.000000X611.0000005.000000X711.0000005.000000X810.0000003.000000P135.000001.000000X120.0000005.000000X221.0000007.000000X320.0000005.000000X420.0000004.000000X520.0000006.000000X620.0000005.000000X720.0000005.000000X820.0000003.000000P253.000001.000000X130.0000005.000000X230.0000007.000000X330.0000005.000000X430.0000004.000000X531.0000006.000000X630.0000005.000000X730.0000005.000000X830.0000003.000000P351.000001.000000Q100.00000.000000L15.0643550.000000L27.6688800.000000L37.3794880.000000W1150.47540.000000W2164.09830.000000W3174.07450.000000W4255.78080.000000W5238.98780.000000RowSlackorSurplusDualPrice1172.0000-1.00000020.000000-1.00000030.000000-1.00000040.000000-1.00000050.0000000.00000060.0000000.00000070.0000000.00000081.0000000.00000090.0000000.000000100.0000000.000000110.0000000.000000121.0000000.00000013-0.4462500E-070.00000014-0.6757500E-070.00000015-0.6502500E-070.000000160.11272260.000000175.0000000.0000001855.000000.0000001960.000000.000000200.0000000.000000213.0000000.0000002257.000000.000000230.0000000.000000240.0000000.000000250.0000000.000000260.0000000.000000270.0000000.000000280.0000000.000000290.47540000.000000304.0983000.000000314.0745000.0000003275.780800.0000003348.987820.000000即最小總費(fèi)用為172萬元第一年花費(fèi)20萬元打造1,3,6,7號(hào)井；花費(fèi)35萬元鋪管道5.06公里，共計(jì)55萬元；第二年花費(fèi)7萬元打造2號(hào)井，花費(fèi)53萬元鋪管道7.669公里，共計(jì)60萬元；第三年花費(fèi)6萬元打造5號(hào)井，花費(fèi)51萬元鋪管道7.379公里，共計(jì)57

7結(jié)果分析

由結(jié)果可知第一年打井1，3，6，7號(hào)。產(chǎn)生水量150.47萬噸。由各井的產(chǎn)水量可知無論是減少井量，或是替換成其他的井，在保證費(fèi)用不增加的情況下都會(huì)使產(chǎn)水量減小，所以第一年只能打井1，3，6，7號(hào)。第二年新增水井2號(hào)，總水量164.098，可供替換的井為4，5，7號(hào)，與2號(hào)水量之差分別為21，5，24皆大于4萬噸，故也無法滿足水量只能打2號(hào)井。同理第三年也只能打5號(hào)井。這樣方案費(fèi)用是最小的。

8方案評價(jià)

1）本文把所解決的問題歸結(jié)為優(yōu)化問題，建立的數(shù)學(xué)模型清晰合理。

2）運(yùn)用MATLAB和LINGO軟件處理數(shù)據(jù)和進(jìn)行運(yùn)算，降低運(yùn)算量，簡單易行，有很大的可操作性。且所得數(shù)據(jù)較為合理可靠。

3）運(yùn)用0—1模型解題，全面可靠4）但在實(shí)際運(yùn)用本方案中還應(yīng)考慮自然因素對產(chǎn)水量的影響，還有需水量的變化，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行靈活改變。9參考資料1姜啟源謝金星葉俊《數(shù)學(xué)模型》，20032穆國旺MATLAB課件LINGO課件3陳綖《決策分析》19874楊啟帆《數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化問題》199010附錄附錄一：一號(hào)井：x=1:1:9y=[32.2,31.3,29.7,28.6,27.5,26.1,25.3,23.7,22.7]plot(x,y,'k.','markersize',25)a=polyfit(x,y,1)t=1:1:14s=polyval(a,t)holdonplot(t,s,'r-','linewidth',2)（年份減去2000）一號(hào)井水量模擬圖線（萬噸）grid（年份減去2000）一號(hào)井水量模擬圖線（萬噸）二號(hào)井：x=1:1:9y=[21.5,15.9,11.8,8.7,6.5,4.8,3.5,2.6,2.0]plot(x,y,'k.','markersize',25)a=polyfit(x,y,3)t=1:1:14s=polyval(a,t)holdonplot(t,s,'r-','linewidth',2)grid二號(hào)井水量模擬圖線（萬噸）（年份減去2000）二號(hào)井水量模擬圖線（萬噸）（年份減去2000）三號(hào)井：x=1:1:9y=[27.9,25.8,23.8,21.6,19.5,17.4,15.5,13.3,11.2]plot(x,y,'k.','markersize',25)a=polyfit(x,y,1)t=1:1:14s=polyval(a,t)holdonplot(t,s,'r-','linewidth',2)grid（年份減去2000）（萬噸）三號(hào)井水量模擬圖線（年份減去2000）（萬噸）三號(hào)井水量模擬圖線四號(hào)井：x=2:1:9y=[46.2,32.6,26.7,23.0,20.0,18.9,17.5,16.3]plot(x,y,'k.','markersize',25)a=polyfit(x,y,3)t=2:1:14s=polyval(a,t)holdonplot(t,s,'r-','linewidth',2)grid（萬噸）（年份減去2000）四號(hào)井水量模擬圖線（萬噸）（年份減去2000）四號(hào)井水量模擬圖線附錄二：min=Z1+Z2+Z3;Z1=5*X11+7*X21+5*X31+4*X41+6*X51+5*X61+5*X71+3*X81+P1;Z2=5*X12+7*X22+5*X32+4*X42+6*X52+5*X62+5*X72+3*X82+P2;Z3=5*X13+7*X23+5*X33+4*X43+6*X53+5*X63+5*X73+3*X83+P3;X11+X12+X13<=1;X21+X22+X23<=1;X31+X32+X33<=1;X41+X42+X43<=1;X51+X52+X53<=1;X61+X62+X63<=1;X71+X72+X73<=1;X81+X82+X83<=1;@bin(X11);@bin(X12);@bin(X1