專題05反比例函數(shù)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。 02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（5大模塊知識梳理）知識模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識模塊二：反比例函數(shù)的解析式確定方法知識模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義知識模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合知識模塊五反比例函數(shù)的實際應(yīng)用03究·考點考法：對考點考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（5大考點）考點一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點二：反比例函數(shù)解析式的確定考點三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合考點四：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用考點五：反比例函數(shù)與幾何綜合（含k的幾何意義）04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（3大易錯點）易錯點1：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，誤認(rèn)為所給出的點在同一曲線上易錯點2：利用函數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．易錯點3：反比例函數(shù)k的幾何意義知識模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識點一：反比例函數(shù)的概念一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以寫成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx知識點二：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)表達(dá)式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，圖象k>0k<0經(jīng)過象限一、三象限（x、y同號）二、四象限（x、y異號）增減性在圖象所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小在圖象所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大對稱性中心對稱:反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,如雙曲線一支上的點A(a,b)關(guān)于原點的對稱點A(-a,-b)在雙曲線的另一支上軸對稱:反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x或y=-x成軸對稱圖象特征1）反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2）反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=±x，對稱中心為原點．注意：(1)研究反比例函數(shù)的增減性及比較兩個函數(shù)值的大小時，要分象限進(jìn)行研究或比較.(2)判斷某點是否在反比例函數(shù)的圖象上，只需要判斷該點的橫、縱坐標(biāo)之積是否等于k即可.(3)因為反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點對稱，所以在同一直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象有兩個交點，則這兩個交點關(guān)于原點對稱.知識模塊二：反比例函數(shù)解析式的確定方法待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=k2）把已知的一對x，y的值帶入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；3）解方程求出待定系數(shù)k；4）將所求的k值代入所設(shè)解析式中.知識模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義當(dāng)反比例函數(shù)圖象與三角形、矩形結(jié)合時,可直接利用k的幾何意義求解,若圖形為不規(guī)則圖形,則結(jié)合割補法進(jìn)行求解.一、一點一垂線結(jié)論：S△AOB=S△CODS△AOE=S四邊形CEBDS△AOC=k二、一點兩垂線結(jié)論：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS?ABCD=k三、兩點一垂線結(jié)論：S△ABC=2S△ABO=k如左圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=kx交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+=12co?|yA|+12co?|yB|=12co(|yA|+如右圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=kx交于A、B兩點，且一次函數(shù)與y軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+=12co?|xA|+12co?|xB|=12co(|xA|+四、兩點兩垂線【模型結(jié)論】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|五、兩點和原點方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】方法二：作AE⊥x軸于點E，交OB于點M，BF⊥x軸于點F，而S△OAM＝S四邊形MEFB，則S△AOB＝S直角梯形AEFB．方法三：S△AOB＝S四邊形COFD－S△AOC－S△BOF.【補形】方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD?（|yA|-|yB|方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC?（|xB|-|xA|六、兩曲一平行類型一兩條雙曲線的k值符號相同結(jié)論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝12|k1|-12結(jié)論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE類型二兩條雙曲線的k值符號相同結(jié)論：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|)S陰影＝|k1|+|k2知識模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合1.自變量取值范圍當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點坐標(biāo)．針對y1>y2時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍．例如，如下圖，當(dāng)y1>y2時，x的取值范圍為x>xA或xB<x<0；同理，當(dāng)y1<y2時，x的取值范圍為0<x<xA或x<xB．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定．①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．知識模塊五反比例函數(shù)的實際應(yīng)用知識點一：用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系；2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．知識點二：反比例函數(shù)實際應(yīng)用?？碱}型解題方法1.與實際情境結(jié)合的分段函數(shù)問題(1)通過問題提供的信息,明確變量之間的函數(shù)關(guān)系或直接設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)已知條件確定函數(shù)解析式中的字母系數(shù)。(2)寫出函數(shù)解析式,然后運用其圖象與性質(zhì)解決實際問題。2.跨學(xué)科應(yīng)用考查反比例函數(shù)的實際應(yīng)用時，常會結(jié)合其他學(xué)科的知識(專業(yè)名詞、公式等),做題時要讀懂題意,理解所給的函數(shù)圖象,利用反比例函數(shù)的相關(guān)知識解決問題.考點一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的大致圖象為（

）A． B．C． D．【典例2】（二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·山東德州·中考真題）已知，是某函數(shù)圖象上的兩點，當(dāng)時，．該函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【典例3】（判斷反比例圖象所在象限）（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，則反比例函數(shù)的圖象所在的象限分別位于（

）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限【典例4】（反比例函數(shù)性質(zhì)）（2024·江蘇南京·中考真題）已知點，，在下列某一函數(shù)圖像上．且那么這個函數(shù)是（）A． B． C． D．【典例5】（已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式）（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．【典例6】（反比例函數(shù)的增減性）（2024·江蘇徐州·中考真題）若點、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的大小關(guān)系為．【典例7】（由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標(biāo)）（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知P、Q兩點分別在反比例函數(shù)和的圖象上，若點與點關(guān)于y軸對稱，則m的值為．【典例8】（有關(guān)反比例函數(shù)新定義）（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點”為．下列說法不正確的序號為．①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；②函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和；③若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是；④若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當(dāng)時，n的最小值為k，則k的值為．【典例9】（反比例函數(shù)圖象變換）（2024·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到．依此想法，數(shù)學(xué)小組對反比例函數(shù)圖象的平移進(jìn)行探究．(1)【動手操作】列表：12345210123421描點連線：在已畫出函數(shù)的圖象的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象．(2)【探究發(fā)現(xiàn)】①將反比例函數(shù)的圖象向___________平移___________個單位長度得到函數(shù)的圖象．②上述探究方法運用的數(shù)學(xué)思想是（）整體思想

B．類比思想

C．分類討論思想(3)【應(yīng)用延伸】①將反比例函數(shù)的圖象先___________，再___________得到函數(shù)的圖象．②函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為___________．考點二：反比例函數(shù)解析式的確定【典例1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點為正六邊形的中心，軸，點在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個單位長度，點恰好落在雙曲線上，則的值為（

）A． B． C． D．3【典例2】（跨學(xué)科試題）（2024·湖南·中考真題）在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關(guān)系，即（k為常數(shù)．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為．【典例3】（開方題型）（2024·江蘇無錫·中考真題）某個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當(dāng)時，隨的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達(dá)式：．【典例4】（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標(biāo)為．【典例5】（反比例函數(shù)與相似三角形結(jié)合）（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，是矩形的頂點，點分別為邊上的點，將矩形沿直線折疊，使點B的對應(yīng)點在邊的中點處，點C的對應(yīng)點在反比例函數(shù)的圖象上，則【典例6】（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明在草稿紙上畫了某反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖像，并把矩形直尺放在上面，如圖．請根據(jù)圖中信息，求：(1)反比例函數(shù)表達(dá)式；(2)點C坐標(biāo)．【典例7】（2024·江西·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，雙曲線經(jīng)過點B，過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，連接．(1)點B的坐標(biāo)為______；(2)求所在直線的解析式．【典例8】（2024·河南·中考真題）如圖，矩形的四個頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，對角線，相交于點E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．(1)求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)請先描出這個反比例函數(shù)圖象上不同于點A的三個格點，再畫出反比例函數(shù)的圖象．(3)將矩形向左平移，當(dāng)點E落在這個反比例函數(shù)的圖象上時，平移的距離為________．【典例9】（2024·貴州·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．【典例10】（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）中考過后，我們會是雙曲線兩個分支上的兩個點，隨著時間的流逝，我們漸行漸遠(yuǎn)嗎？如圖，還是點A在反比例函數(shù)的圖象上，點C是點A關(guān)于y軸的對稱點，已知，．(1)直接寫出C點坐標(biāo)(2)求反比例函數(shù)的解析式；(3)若點P在x軸上，且，直接寫出點P的坐標(biāo)．考點三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合【典例1】（根據(jù)對稱性求點的坐標(biāo)）（2024·北京·模擬預(yù)測）直線與雙曲線交于兩點（A在第二象限），則的值為．【典例2】（分割法求圖形面積）（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點、B2,1．(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，求的面積．【典例3】（與銳角三角函數(shù)結(jié)合求點的坐標(biāo)）（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于點，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)若點是軸正半軸上的一點．且．求點的坐標(biāo)．【典例4】（與三角形面積幾何求取值范圍）（2024·四川廣安·中考真題）如圖，一次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于，兩點．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．(2)直線與軸交于點，點是軸上的點，若的面積大于12，請直接寫出的取值范圍．【典例5】（與三角函數(shù)、勾股定理、一元二次方程結(jié)合）（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A在x軸的正半軸上，點B，C在第一象限，四邊形是平行四邊形，點C在反比例函數(shù)的圖象上，點C的橫坐標(biāo)為2，點B的縱坐標(biāo)為3．提示：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點分別為，，則中點坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，點D是邊的中點，且在反比例函數(shù)圖象上，求平行四邊形的面積；(3)如圖3，將直線向上平移6個單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于，兩點，點P為的中點，過點作于點N．請直接寫出P點坐標(biāo)和的值．【典例6】（求不等式解集與點的坐標(biāo)）（2024·山東東營·中考真題）如圖，一次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于點，，且一次函數(shù)與軸，軸分別交于點C，D．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；(3)在第三象限的反比例函數(shù)圖象上有一點P，使得，求點的坐標(biāo)．【典例7】（反比例函數(shù)與全等綜合）（2024·山東濟南·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點，點是線段上（不與點A重合）的一點．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，過點作軸的垂線與的圖象交于點，當(dāng)線段時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，將點A繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，當(dāng)點恰好落在的圖象上時，求點的坐標(biāo)．【典例8】（求面積與不等式解集）（2024·山東淄博·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，與，軸分別相交于點，．且．(1)分別求這兩個函數(shù)的表達(dá)式；(2)以點為圓心，線段的長為半徑作弧與軸正半軸相交于點，連接，．求的面積；(3)根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集．【典例9】（最值問題）（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求的面積；(3)若點P是y軸上一動點，連接．當(dāng)?shù)闹底钚r，求點P的坐標(biāo)．考點四：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用【典例1】（2024·山西大同·模擬預(yù)測）火力發(fā)電廠的大煙囪并不是我們所理解的排放廢氣的煙囪，它的專業(yè)名字叫雙曲線冷卻塔，從這里冒出的煙霧其實只是水蒸氣，它的縱截面是如圖所示的軸對稱圖形，是一個矩形，若以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，分別是兩個反比例函數(shù)圖象的一部分，已知，，上口寬，則整個冷卻塔高度為（

）

A． B． C． D．【典例2】（2024·山西·二模）物理實驗中，同學(xué)們分別測量電路中經(jīng)過甲、乙、丙、丁四個用電器的電流和它們兩端的電壓，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，在如圖的坐標(biāo)系中依次畫出相應(yīng)的圖象．根據(jù)圖象及物理學(xué)知識，可判斷這四個用電器中電阻最大的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【典例3】（2024·山西陽泉·二模）飲水機接通電源會自動加熱，加熱時水溫每分鐘上升，溫度到停止加熱．然后水溫開始下降，此時水溫與時間成反比例函數(shù)關(guān)系，水溫降至?xí)r，飲水機重復(fù)上述程序開始加熱，加熱時水溫與時間的關(guān)系如圖所示．水溫從開始加熱至，然后下降至這一過程中，水溫不低于的時間為．

【典例4】（2024·山西·中考真題）機器狗是一種模擬真實犬只形態(tài)和部分行為的機器裝置，其最快移動速度是載重后總質(zhì)量的反比例函數(shù)．已知一款機器狗載重后總質(zhì)量時，它的最快移動速度；當(dāng)其載重后總質(zhì)量時，它的最快移動速度．【典例5】（2024·廣東深圳·二模）如圖1是某種呼氣式酒精測試儀的電路原理圖，電源電壓保持不變，為氣敏可變電阻，定值電阻．檢測時，可通過電壓表顯示的讀數(shù)換算為酒精氣體濃度，設(shè)，電壓表顯示的讀數(shù)與之間的反比例函數(shù)圖象如圖2所示，與酒精氣體濃度的關(guān)系式為，當(dāng)電壓表示數(shù)為時，酒精氣體濃度為．【典例6】（2024·吉林·中考真題）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．(1)求這個反比例函數(shù)的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．(2)當(dāng)電阻R為時，求此時的電流I．【典例7】（2024·遼寧大連·一模）智能飲水機接通電源后開始自動加熱，水溫每分鐘上升，加熱到時，飲水機自動停止加熱，水溫開始下降．在水溫開始下降的過程中，水溫（）與通電時間（）成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至室溫時，飲水機再次自動加熱，重復(fù)上述過程．設(shè)某天水溫和室溫均為，接通電源后，水溫（）與通電時間（）之間的關(guān)系如圖所示．(1)當(dāng)時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出的取值范圍）；(2)加熱一次，求水溫不低于的時間．【典例8】（2024·湖南·模擬預(yù)測）物理實驗課上，小明為探究電流與接入電路的滑動變阻器之間的關(guān)系，設(shè)計如圖所示的電路圖．已知電源的電壓保持不變，小燈泡的電阻為．改變接入電路的滑動變阻器的電阻，電流表的讀數(shù)即電流發(fā)生改變．當(dāng)接入電路的滑動變阻器的電阻為時，電流表的讀數(shù)為．(1)求電路中的電阻關(guān)于接入電路的滑動變阻器的電阻之間的函數(shù)關(guān)系，(2)求電流關(guān)于電路中的電阻的函數(shù)關(guān)系；(3)如果電流表的讀數(shù)為，則接入電路的滑動變阻器的電阻為多少？考點五：反比例函數(shù)與幾何綜合（含k的幾何意義）【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點，連接、，過點B作軸，垂足為D，交于點E，且E為的中點，則的面積是（

）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點D，與邊交于點F，與交于點E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）下列說法中，正確的個數(shù)有（

）①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則恒成立．②在半徑為r的中，弦互相垂直于點P，當(dāng)時，則．③為平面直角坐標(biāo)系中的等腰直角三角形且，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C是反比例函數(shù)的圖象上一點，則．④已知矩形的一組鄰邊長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，則矩形的對角線長是．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【典例4】（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點在反比例函數(shù)的圖象上，直線與，軸分別相交于點，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（

）A．5 B．1 C．3 D．2【典例5】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，且，則．【典例6】（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點B在反比例函數(shù)的圖像上，軸于點C，，將沿翻折，若點C的對應(yīng)點D落在該反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為．【典例7】（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象的“近軸點”．例如，點0,1是函數(shù)圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）；①；②；③．（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．【典例8】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點A、B，與軸交于點C，點A的橫坐標(biāo)為2．(1)求的值；(2)利用圖像直接寫出時的取值范圍；(3)如圖2，將直線沿軸向下平移4個單位，與函數(shù)的圖像交于點D，與軸交于點E，再將函數(shù)的圖像沿平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積．【典例9】（2024·山東青島·中考真題）如圖，點為反比例函數(shù)圖象上的點，其橫坐標(biāo)依次為．過點作x軸的垂線，垂足分別為點；過點作于點，過點作于點，…，過點作于點．記的面積為的面積為的面積為．(1)當(dāng)時，點的坐標(biāo)為______，______，______，______（用含n的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)時，______（用含n的代數(shù)式表示）．【典例10】（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點B，D是直線上第一象限內(nèi)的兩個動點，以線段BD為對角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點C．（2）如圖2，把矩形沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E．當(dāng)點E落在y軸上，且點B的坐標(biāo)為時，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E．當(dāng)點E，A重合時，連接交BD于點P．以點O為圓心，長為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點時，求k的取值范圍．易錯點1：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，誤認(rèn)為所給出的點在同一曲線上1.反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在描述反比例函數(shù)的增減性時，一定要有“在其每個象限內(nèi)”這個前提．當(dāng)k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而減?。瑯樱?dāng)k＜0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．【典例1】（2024·天津·中考真題）若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【典例2】（2024·廣西·中考真題）已知點，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則有（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·山東濟寧·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【典例4】（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知點在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較的大小，并說明理由．【典例5】（2024·貴州黔東南·二模）如圖，直線（為常數(shù)）與雙曲線（為常數(shù)）相交于兩點．(1)求的值；(2)在雙曲線上任取兩點Mx1,y1和Nx2,(3)請直接寫出關(guān)于的不等式的解集．易錯點2：利用函數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義；【典例1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）2023年新能源汽車?yán)^續(xù)保持快速增長，產(chǎn)銷突破了900萬輛，市場占有率超過，汽車出口再創(chuàng)新高，全年出口接近500萬輛．為繼續(xù)擴大銷量，某城市新能源汽車銷售商推出分期付款購車促銷活動，交付首付款后，若余款在60個月內(nèi)結(jié)清，則不計算利息．張先生在該銷售商手上購買了一輛價值為20萬元的新能源汽車，交了首付款后余款由平均每月付款y萬元，x個月結(jié)清．y與x滿足某函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)值如下表，請回答下列問題．x/月…24710…y/萬元…72…(1)確定y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出首付款；(2)若張先生用40個月結(jié)清，則平均每月應(yīng)付多少萬元；(3)如果張先生打算每月付款萬元，那么他能否在規(guī)定不計算利息的期限內(nèi)結(jié)算？【典例2】（2024·寧夏銀川·一模）如圖①，將一長方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放實驗，記錄了桌面所受壓強P與受力面積S的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表所示(壓強的計算公式是：)：桌面所受壓強250400500800受力面積0.80.5a0.25(1)求出壓強關(guān)于受力面積的函數(shù)表達(dá)式及a的值；(2)如圖②，將另一長、寬、高分別為，，，且與原長方體相同質(zhì)量的長方體放置于該水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大壓強為，問：這種擺放方式是否安全？若安全，請說明理由，若不安全，請通過計算說明如何擺放更安全．（長方體完全置于玻璃桌面上）【典例3】（2024·寧夏銀川·三模）某水果生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段、表示恒溫系統(tǒng)開啟后階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)這個恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度為多少；(2)若大棚內(nèi)的溫度低于時，水果會受到傷害，問：這天內(nèi)有多長時間水果生長不受傷害？【典例4】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）某數(shù)學(xué)小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關(guān)系可近似的用如圖所示的圖象表示．國家規(guī)定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．(1)求部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；(2)參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上能否駕車出行？請說明理由．【典例5】（2024·貴州遵義·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是等腰直角三角形，．反比例函數(shù)的圖像分別與，交于點和點．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點的坐標(biāo)；(2)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于點，當(dāng)點在反比例函數(shù)圖像上，之間的部分時（點可與點，重合），求出的取值范圍．易錯點3：反比例函數(shù)k的幾何意義【類型一：三角形面積與k的關(guān)系】SSSSSSSSS【類型二：四邊形面積與k的關(guān)系】SSSSSS=|S=|S=|S=|【類型三：重疊部分面積與k的關(guān)系】SSS【類型四：反比例函數(shù)與圖形中點與k的關(guān)系】D為AB中點，

SS點E為平行四邊形ADBC的對角線的交點S點E為矩形ADBC的對角線的交點S【類型五：反比例函數(shù)中的特殊線段的關(guān)系】BC⊥x軸，BA⊥y軸DF=EG,DE∥ACAC=BDDE∥BC【典例1】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，點A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數(shù)的圖象分別交邊，于點P，Q．作軸于點M，軸于點N．若，Q為的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【典例2】（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、y軸，點D在位于右側(cè)的反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、于E，F(xiàn)兩點，若四邊形為正方形，則這個正方形的面積等于（

）A．24 B．18 C．16 D．12【典例3】（2024·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，直線平行于軸，且分別與反比例函數(shù)、的圖象交于點、，則面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例4】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段與反比例函數(shù)相交于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點恰好落在雙曲線上，則的面積為（

）A．3 B． C． D．6【典例5】（2024·廣西南寧·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B在函數(shù)的圖象上，過點A作軸于點C，過點B作軸于點D，連接、交于點E，若，四邊形的面積為3，則k的值為（）A．6 B．9 C．12 D．15【典例6】（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，點在軸上，反比例函數(shù)經(jīng)過點，與交于點，連接．若，，則的值為（

）A．6 B．8 C．9 D．12【典例7】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）如圖，兩個反比例函數(shù)和(其中)在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點P在上，軸于點C，交于點A，軸于點D，交于點B，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【典例8】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（

）A． B． C． D．【典例9】（2024·寧夏銀川·一模）如圖，A，B是雙曲線上的兩點，過點A作軸于點，交于點，且為的中點，若的面積為5，點B的坐標(biāo)為，則的值為．【典例10】（2024·遼寧錦州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊、分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)與相交于點D，與相交于點E，若，且的面積是10，則k的值為．【典例11】（2024·江蘇宿遷·三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，過函數(shù)上一點分別作橫軸和縱軸的平行線交函數(shù)與點、．則的面積為．【典例12】（2024·江蘇泰州·三模）如圖，點A，B，在反比例函數(shù)的圖象上，連接，，分別過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為M，N，圖中兩塊陰影部分面積分別為、；若，則．【典例13】（2024·山東煙臺·一模）如圖，在x軸的正半軸上依次截取，過點，，分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)（）的圖象相交于點，，，得，，，并設(shè)其面積分別為，，，以此類推，則的值為．【典例14】（2024·江蘇鹽城·二模）如圖，點P是反比例函數(shù)圖像上一點，作PA⊥x軸，PB⊥y軸，垂足分別為A、B，交反比例函數(shù)的圖像于C、D兩點，的面積是，則k的值是．【典例15】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，矩形、矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、B在x軸正半軸上，E、D在y軸正半軸上，頂點C、P在第一象限，M為的中點，反比例函數(shù)（，k為常數(shù)，）的圖像恰好經(jīng)過點M、P，若陰影部分面積為8，則k的值為．【典例16】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，A、B為反比例函數(shù)的圖象上兩個點，過點A作軸于點C，軸于點D，過點B作軸于點E，軸于點F，與交于點P，連接，若點P為的中點，則的面積為．【典例17】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，點A，B在反比例函數(shù)的圖象上，分別過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，線段交x軸于點E，連接．若，四邊形的面積為9，則k的值為．【典例18】（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖所示，在矩形中，點在對角線上，且滿足，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點、與相交于點，的面積為4，則的值為．【典例19】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，反比例函數(shù)的圖象上有，兩點，過點A作y軸的平行線，過點B作x軸的平行線，交于點C，連接，若的面積為1，則k的值為．【典例20】（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，過點作軸，垂足為，連接，．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)若，以，為邊作平行四邊形，點在第三象限內(nèi)，求點的坐標(biāo)．【典例21】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）項目式學(xué)習(xí)：項目主題反比例函數(shù)k的幾何意義之三角形面積項目情境已知矩形的兩鄰邊、分別落在x正半軸與y正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，的圖象分別與、交于點D、E．活動任務(wù)一（1）如圖（1），若頂點B的坐標(biāo)是，，則反比例函數(shù)的解析式是______．驅(qū)動問題一（2）在（1）的條件下，則的面積是______；活動任務(wù)二（3）如圖（2），當(dāng)，時，則的面積是______．驅(qū)動問題二（4）通過觀察、思考上題的計算方法、結(jié)果，猜想到的面積有何規(guī)律或特征嗎？請你用含，的代數(shù)式，表示的面積（寫出推理過程）．

專題05反比例函數(shù)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。 02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（5大模塊知識梳理）知識模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識模塊二：反比例函數(shù)的解析式確定方法知識模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義知識模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合知識模塊五反比例函數(shù)的實際應(yīng)用03究·考點考法：對考點考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（5大考點）考點一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點二：反比例函數(shù)解析式的確定考點三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合考點四：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用考點五：反比例函數(shù)與幾何綜合（含k的幾何意義）04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（3大易錯點）易錯點1：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，誤認(rèn)為所給出的點在同一曲線上易錯點2：利用函數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．易錯點3：反比例函數(shù)k的幾何意義知識模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識點一：反比例函數(shù)的概念一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以寫成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx知識點二：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)表達(dá)式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，圖象k>0k<0經(jīng)過象限一、三象限（x、y同號）二、四象限（x、y異號）增減性在圖象所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小在圖象所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大對稱性中心對稱:反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,如雙曲線一支上的點A(a,b)關(guān)于原點的對稱點A(-a,-b)在雙曲線的另一支上軸對稱:反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x或y=-x成軸對稱圖象特征1）反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2）反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=±x，對稱中心為原點．注意：(1)研究反比例函數(shù)的增減性及比較兩個函數(shù)值的大小時，要分象限進(jìn)行研究或比較.(2)判斷某點是否在反比例函數(shù)的圖象上，只需要判斷該點的橫、縱坐標(biāo)之積是否等于k即可.(3)因為反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點對稱，所以在同一直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象有兩個交點，則這兩個交點關(guān)于原點對稱.知識模塊二：反比例函數(shù)解析式的確定方法待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=k2）把已知的一對x，y的值帶入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；3）解方程求出待定系數(shù)k；4）將所求的k值代入所設(shè)解析式中.知識模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義當(dāng)反比例函數(shù)圖象與三角形、矩形結(jié)合時,可直接利用k的幾何意義求解,若圖形為不規(guī)則圖形,則結(jié)合割補法進(jìn)行求解.一、一點一垂線結(jié)論：S△AOB=S△CODS△AOE=S四邊形CEBDS△AOC=k二、一點兩垂線結(jié)論：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS?ABCD=k三、兩點一垂線結(jié)論：S△ABC=2S△ABO=k如左圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=kx交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+=12co?|yA|+12co?|yB|=12co(|yA|+如右圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=kx交于A、B兩點，且一次函數(shù)與y軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+=12co?|xA|+12co?|xB|=12co(|xA|+四、兩點兩垂線【模型結(jié)論】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|五、兩點和原點方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】方法二：作AE⊥x軸于點E，交OB于點M，BF⊥x軸于點F，而S△OAM＝S四邊形MEFB，則S△AOB＝S直角梯形AEFB．方法三：S△AOB＝S四邊形COFD－S△AOC－S△BOF.【補形】方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD?（|yA|-|yB|方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC?（|xB|-|xA|六、兩曲一平行類型一兩條雙曲線的k值符號相同結(jié)論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝12|k1|-12結(jié)論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE類型二兩條雙曲線的k值符號相同結(jié)論：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|)S陰影＝|k1|+|k2知識模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合1.自變量取值范圍當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點坐標(biāo)．針對y1>y2時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍．例如，如下圖，當(dāng)y1>y2時，x的取值范圍為x>xA或xB<x<0；同理，當(dāng)y1<y2時，x的取值范圍為0<x<xA或x<xB．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定．①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．知識模塊五反比例函數(shù)的實際應(yīng)用知識點一：用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系；2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．知識點二：反比例函數(shù)實際應(yīng)用常考題型解題方法1.與實際情境結(jié)合的分段函數(shù)問題(1)通過問題提供的信息,明確變量之間的函數(shù)關(guān)系或直接設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)已知條件確定函數(shù)解析式中的字母系數(shù)。(2)寫出函數(shù)解析式,然后運用其圖象與性質(zhì)解決實際問題。2.跨學(xué)科應(yīng)用考查反比例函數(shù)的實際應(yīng)用時，常會結(jié)合其他學(xué)科的知識(專業(yè)名詞、公式等),做題時要讀懂題意,理解所給的函數(shù)圖象,利用反比例函數(shù)的相關(guān)知識解決問題.考點一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】判斷一次函數(shù)的圖象、判斷（畫）反比例函數(shù)圖象【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限A.一次函數(shù)中，則當(dāng)時，函數(shù)圖象在第四象限，不合題意，B.一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，不合題意，一次函數(shù)中，則當(dāng)時，函數(shù)圖象在第一象限，故C選項正確，D選項錯誤，故選：C．【典例2】（二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·山東德州·中考真題）已知，是某函數(shù)圖象上的兩點，當(dāng)時，．該函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)、根據(jù)一次函數(shù)增減性求參數(shù)【分析】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性．由題意可得當(dāng)時，y隨x的增大而增大，逐個選項判斷函數(shù)的增減性，即可額解答．【詳解】解：∵當(dāng)時，，即，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大．A、對于函數(shù)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；B、對于，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；C、函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，則當(dāng)，y隨x的增大而增大，故該函數(shù)符合題意；D、函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，則當(dāng)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意．故選：C【典例3】（判斷反比例圖象所在象限）（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，則反比例函數(shù)的圖象所在的象限分別位于（

）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限【答案】C【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).先利用一元二次方程無實數(shù)根得到，解得，則，根據(jù)反比例的圖象和性質(zhì)即可判斷反比例函數(shù)的圖象所在的象限.【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，∴，解得，∴，∴反比例函數(shù)的圖象所在的象限分別位于第一、三象限，故選：C【典例4】（反比例函數(shù)性質(zhì)）（2024·江蘇南京·中考真題）已知點，，在下列某一函數(shù)圖像上．且那么這個函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小、比較一次函數(shù)值的大小、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的增減性逐一判斷，即可求解；掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：A.在上時，，故不符合題意；B.在上時，，故不符合題意；C.在上時，，故不符合題意；D.在上時，，故符合題意；故選：D．【典例5】（已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式）（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．【答案】D【知識點】一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷、已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍、已知反比例函數(shù)的圖象，判斷其解析式【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點是解題關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可得，，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點即可得．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴，即，∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴，即，∴函數(shù)的開口向下，與軸的交點位于軸的正半軸，對稱軸為直線，故選：D．【典例6】（反比例函數(shù)的增減性）（2024·江蘇徐州·中考真題）若點、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的大小關(guān)系為．【答案】【知識點】判斷反比例函數(shù)的增減性、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，判斷反比例函數(shù)的增減性，根據(jù)解析式得到反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，再根據(jù)三個點的橫坐標(biāo)判斷A，B，C三點的位置，從而根據(jù)增減性判斷a，b，c的大小即可．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)中，，∴反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∵、、，∴A在第二象限，B，C在第四象限，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【典例7】（由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標(biāo)）（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知P、Q兩點分別在反比例函數(shù)和的圖象上，若點與點關(guān)于y軸對稱，則m的值為．【答案】1【知識點】由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標(biāo)、坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)，根據(jù)點與點關(guān)于y軸對稱，求出，分別代入各自所在函數(shù)解析式，通過方程即可求解．【詳解】解：設(shè)，點與點關(guān)于y軸對稱，點，P、Q兩點分別在反比例函數(shù)和的圖象上，解得：，故答案為∶1．【典例8】（有關(guān)反比例函數(shù)新定義）（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點”為．下列說法不正確的序號為．①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；②函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和；③若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是；④若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當(dāng)時，n的最小值為k，則k的值為．【答案】①③④【知識點】y=ax2+bx+c的最值、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題．根據(jù)“倍值函數(shù)”的定義，逐一判斷即可．【詳解】解：①函數(shù)中，令，則，無解，故函數(shù)不是“倍值函數(shù)”，故①說法錯誤；②函數(shù)中，令，則，解得或，經(jīng)檢驗或都是原方程的解，故函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和，故②說法正確；③在中，令，則，整理得，∵關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，∴且，解得且，故③說法錯誤；④在中，令，則，整理得，∵該函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，∴，整理得，∴對稱軸為，此時n的最小值為，根據(jù)題意分類討論，，解得；，無解；，解得或（舍去），綜上，k的值為0或，故④說法錯誤；故答案為：①③④．【典例9】（反比例函數(shù)圖象變換）（2024·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到．依此想法，數(shù)學(xué)小組對反比例函數(shù)圖象的平移進(jìn)行探究．(1)【動手操作】列表：12345210123421描點連線：在已畫出函數(shù)的圖象的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象．(2)【探究發(fā)現(xiàn)】①將反比例函數(shù)的圖象向___________平移___________個單位長度得到函數(shù)的圖象．②上述探究方法運用的數(shù)學(xué)思想是（）整體思想

B．類比思想

C．分類討論思想(3)【應(yīng)用延伸】①將反比例函數(shù)的圖象先___________，再___________得到函數(shù)的圖象．②函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為___________．【答案】(1)圖見解析(2)①左，1；②B(3)①右平移2個單位長度；向下平移1個單位長度（向下平移1個單位長度；向右平移2個單位長度）；②【知識點】從函數(shù)的圖象獲取信息、已知反比例函數(shù)的圖象，判斷其解析式、用描點法畫函數(shù)圖象【分析】（1）列表，描點、連線畫出函數(shù)的圖象即可；（2）結(jié)合圖象填空即可；（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空即可．【詳解】（1）描點、連線畫出函數(shù)圖象如圖所示：（2）①函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，②上述探究方法運用的數(shù)學(xué)思想是類比思想．故答案為：左，1；B（3）①函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度；向下平移1個單位長度（向下平移1個單位長度；向右平移2個單位長度）而得到；②根據(jù)平移的性質(zhì)，函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為．故答案為：右平移2個單位長度；向下平移1個單位長度（向下平移1個單位長度；向右平移2個單位長度）；【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象與幾何變換，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．考點二：反比例函數(shù)解析式的確定【典例1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點為正六邊形的中心，軸，點在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個單位長度，點恰好落在雙曲線上，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【知識點】求反比例函數(shù)解析式、等邊三角形的判定和性質(zhì)、用勾股定理解三角形、求正多邊形的中心角【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，過點E作軸于H，連接，可證明是等邊三角形，則，，進(jìn)而得到，設(shè)，則，則，，即可得到點在雙曲線上，再由點E也在雙曲線上，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點E作軸于H，連接，∵原點為正六邊形的中心，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∵將正六邊形向上平移個單位長度，點恰好落在雙曲線上，∴點在雙曲線上，又∵點E也在雙曲線上，∴，解得或（舍去），∴，故選：A．【典例2】（跨學(xué)科試題）（2024·湖南·中考真題）在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關(guān)系，即（k為常數(shù)．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為．【答案】180【知識點】求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，把，代入求解即可．【詳解】解：把，代入，得，解得，故答案為：180．【典例3】（開方題型）（2024·江蘇無錫·中考真題）某個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當(dāng)時，隨的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達(dá)式：．【答案】（答案不唯一）【知識點】求反比例函數(shù)解析式、判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件解題即可．【詳解】解：根據(jù)題意有：，故答案為：（答案不唯一）【典例4】（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標(biāo)為．【答案】2,1【知識點】因式分解法解一元二次方程、求反比例函數(shù)解析式、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，先根據(jù)得出，設(shè)，則，結(jié)合完全平方公式的變形與應(yīng)用得出，結(jié)合，則，即可作答．【詳解】解：如圖：連接∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且∴設(shè)，則∵∴則∵點在第一象限∴把代入得∴經(jīng)檢驗：都是原方程的解∵∴故答案為：【典例5】（反比例函數(shù)與相似三角形結(jié)合）（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，是矩形的頂點，點分別為邊上的點，將矩形沿直線折疊，使點B的對應(yīng)點在邊的中點處，點C的對應(yīng)點在反比例函數(shù)的圖象上，則【答案】【知識點】求反比例函數(shù)解析式、用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】設(shè)交與點E，過點作軸于點H．利用矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)和勾股定理等可求出，，，，，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)可求出，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)可求出，，則可出求的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)交與點E，過點作軸于點H．四邊形是矩形，，，，，，點是的中點，．在中，，，，矩形沿直線折疊，，，，，，，即，解得，，，，，．，．又，，，即，解得，，，點的坐標(biāo)為，．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)等知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造相似三角形求解是解題的關(guān)鍵．【典例6】（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明在草稿紙上畫了某反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖像，并把矩形直尺放在上面，如圖．請根據(jù)圖中信息，求：(1)反比例函數(shù)表達(dá)式；(2)點C坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【知識點】求反比例函數(shù)解析式、兩直線平行同位角相等、求角的正切值【分析】本題考查反比例函數(shù)、銳角三角函數(shù)：（1）設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為，將點A的坐標(biāo)代入表達(dá)式求出k值即可；（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為，則，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)求出m的值即可．【詳解】（1）解：由圖可知點A的坐標(biāo)為?3,2，設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為，將?3,2代入，得：，解得，因此反比例函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：如圖，作軸于點E，軸于點D，由圖可得，，設(shè)點C的坐標(biāo)為，則，，，矩形直尺對邊平行，，，，即，解得或，點C在第二象限，，，點C坐標(biāo)為．【典例7】（2024·江西·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，雙曲線經(jīng)過點B，過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，連接．(1)點B的坐標(biāo)為______；(2)求所在直線的解析式．【答案】(1)(2)【知識點】坐標(biāo)與圖形、求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）過點B作軸，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可確定點B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點確定反比例函數(shù)解析式，然后即可得出，再由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式即可．【詳解】（1）解：過點B作軸于D，如圖所示：∵是等腰直角三角形，，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）由（1）得，代入，得，∴，∵過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，∴當(dāng)時，，∴，設(shè)直線的解析式為，將點B、C代入得：，解得，∴直線的解析式為．【典例8】（2024·河南·中考真題）如圖，矩形的四個頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，對角線，相交于點E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．(1)求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)請先描出這個反比例函數(shù)圖象上不同于點A的三個格點，再畫出反比例函數(shù)的圖象．(3)將矩形向左平移，當(dāng)點E落在這個反比例函數(shù)的圖象上時，平移的距離為________．【答案】(1)(2)見解析(3)【知識點】求反比例函數(shù)解析式、已知圖形的平移，求點的坐標(biāo)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析，畫反比例函數(shù)圖象，平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分別求出，，對應(yīng)的函數(shù)值，然后描點、連線畫出函數(shù)圖象即可；（3）求出平移后點E對應(yīng)點的坐標(biāo)，利用平移前后對應(yīng)點的橫坐標(biāo)相減即可求解．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A3,2，∴，∴，∴這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，2,3，，畫圖如下：（3）解：∵向左平移后，E在反比例函數(shù)的圖象上，∴平移后點E對應(yīng)點的縱坐標(biāo)為4，當(dāng)時，，解得，∴平移距離為．故答案為：．【典例9】（2024·貴州·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【知識點】求反比例函數(shù)解析式、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式．（1）把點代入可得k的值，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)反比例函數(shù)表達(dá)式可得函數(shù)圖象位于第一、三象限，再根據(jù)點A、點B和點C的橫坐標(biāo)即可比較大?。驹斀狻浚?）解：把代入，得，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：∵，∴函數(shù)圖象位于第一、三象限，∵點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，，∴，∴．【典例10】（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）中考過后，我們會是雙曲線兩個分支上的兩個點，隨著時間的流逝，我們漸行漸遠(yuǎn)嗎？如圖，還是點A在反比例函數(shù)的圖象上，點C是點A關(guān)于y軸的對稱點，已知，．(1)直接寫出C點坐標(biāo)(2)求反比例函數(shù)的解析式；(3)若點P在x軸上，且，直接寫出點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)反比例函數(shù)的解析式為(3)或【知識點】求反比例函數(shù)解析式、由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標(biāo)【分析】（1）設(shè)交y軸于點D，由點C是點A關(guān)于y軸的對稱點，可知，再由可求出的長，故可得出A、C點坐標(biāo)．（2）根據(jù)（1）中A點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式．（3）設(shè)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)交y軸于點D，，∵點C是點A關(guān)于y軸的對稱點，，∴，∵，∴，∴，，故答案為：；（2）解：由（1）知，∵點A在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（3）解：∵點P在x軸上，∴設(shè)，∴，∵，即，∴，解得，∴或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得出的長是解題的關(guān)鍵．考點三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合【典例1】（根據(jù)對稱性求點的坐標(biāo)）（2024·北京·模擬預(yù)測）直線與雙曲線交于兩點（A在第二象限），則的值為．【答案】10【知識點】由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標(biāo)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題為反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合．根據(jù)反比例函數(shù)上點的坐標(biāo)特征推出與與的關(guān)系，直線與雙曲線交點的特征推出與與的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．先根據(jù)點Ax1,y1,Bx2,y2是雙曲線上的點可得出【詳解】解：∵點Ax1,，∵直線與雙曲線交于點Ax1,即兩點關(guān)于原點對稱．，，故答案為：10．【典例2】（分割法求圖形面積）（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點、B2,1．(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，求的面積．【答案】(1)，(2)【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)直線與軸交于點，分割法求出的面積即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點、B2,1，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：，，∴，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）解：設(shè)直線與軸交于點，∵，∴當(dāng)時，，∴，∴的面積．【典例3】（與銳角三角函數(shù)結(jié)合求點的坐標(biāo)）（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于點，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)若點是軸正半軸上的一點．且．求點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、解直角三角形的相關(guān)計算、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應(yīng)用【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題型，也考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．（1）用待定系數(shù)法先求反比例函數(shù)解析式，再求一次函數(shù)解析式即可；（2）過作軸于，過作軸于，設(shè)，先求得得到，即，得出等量關(guān)系解出即可．【詳解】（1）解：將代入得將代入得將和代入得解得故反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式分別為和；（2）如圖，過作軸于，過作軸于，即設(shè)，則，解得（舍去）或經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，．【典例4】（與三角形面積幾何求取值范圍）（2024·四川廣安·中考真題）如圖，一次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于，兩點．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．(2)直線與軸交于點，點是軸上的點，若的面積大于12，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)或【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應(yīng)用【分析】（1）將A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求得反比例函數(shù)，再把B點坐標(biāo)代入所求得的反比例函數(shù)解析式，求得m，進(jìn)而把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式便可求得一次函數(shù)的解析式；（2）由一次函數(shù)的解析式求得與x軸的交點C的坐標(biāo)，然后的面積大于12，再建立不等式即可求解．【詳解】（1）解：∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：，把代入，得，∴，把，都代入一次函數(shù)，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）解：如圖，

對于，當(dāng)，解得，∴C?2,0∵，∴，∵的面積大于12，∴，即，當(dāng)時，則,解得：，當(dāng)時，則，解得：；∴或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積等，求得交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【典例5】（與三角函數(shù)、勾股定理、一元二次方程結(jié)合）（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A在x軸的正半軸上，點B，C在第一象限，四邊形是平行四邊形，點C在反比例函數(shù)的圖象上，點C的橫坐標(biāo)為2，點B的縱坐標(biāo)為3．提示：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點分別為，，則中點坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，點D是邊的中點，且在反比例函數(shù)圖象上，求平行四邊形的面積；(3)如圖3，將直線向上平移6個單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于，兩點，點P為的中點，過點作于點N．請直接寫出P點坐標(biāo)和的值．【答案】(1)(2)9(3)【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、求反比例函數(shù)解析式、已知正弦值求邊長、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)Aa,0，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，利用中點坐標(biāo)公式可得，再把點D代入反比例函數(shù)解析式求得，即可求解；（3）由一次函數(shù)平移規(guī)律可得直線：，聯(lián)立方程組得，設(shè)、，即，利用中點坐標(biāo)公式求得點P的橫坐標(biāo)為4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直線與x、y軸的交點、，利用勾股定理求得，可得，過點O作，由平行線定理可得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點B的縱坐標(biāo)為3．∴，把代入得，，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：設(shè)Aa,0∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵點D是邊的中點，∴，即，∵點D在反比例函數(shù)圖象上，把代入得，，解得，∴，∴；（3）解：∵將直線向上平移6個單位得到直線：，∵直線與函數(shù)圖象交于，兩點，∴聯(lián)立方程組得，，即，設(shè)、，∴，∵點P為的中點，∴點P的橫坐標(biāo)為，把代入得，，∴，∴，把代入得，，把代入得，，解得，∴直線與x、y軸交于點、，∴，，∴，∴，過點O作，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式、一次函數(shù)的平移規(guī)律、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、銳角三角函數(shù)、平行線定理、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題、勾股定理、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【典例6】（求不等式解集與點的坐標(biāo)）（2024·山東東營·中考真題）如圖，一次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于點，，且一次函數(shù)與軸，軸分別交于點C，D．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；(3)在第三象限的反比例函數(shù)圖象上有一點P，使得，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或(3)點坐標(biāo)為【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）將點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出，再將點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出點坐標(biāo)，最后將，兩點坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可解決問題；（2）利用反比例函數(shù)以及一次函數(shù)圖象，即可解決問題；（3）根據(jù)與的面積關(guān)系，可求出點的縱坐標(biāo)，據(jù)此可解決問題．【詳解】（1）解：將代入得，∴，反比例函數(shù)的解析式為，將代入得，，點的坐標(biāo)為．將點和點的坐標(biāo)代入得，，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）解：根據(jù)所給函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，即，不等式的解集為：或．（3）解：將代入得，，點的坐標(biāo)為，，．將代入得，，點的坐標(biāo)為，，解得．∵點在第三象限，∴，將代入得，，點坐標(biāo)為．【典例7】（反比例函數(shù)與全等綜合）（2024·山東濟南·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點，點是線段上（不與點A重合）的一點．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，過點作軸的垂線與的圖象交于點，當(dāng)線段時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，將點A繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，當(dāng)點恰好落在的圖象上時，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)點．【知識點】求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應(yīng)用【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，交點坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)點，那么點，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征解出點B的坐標(biāo)即可；（3）過點作軸，過點作于點，過點作于點，可得，則設(shè)點，得到點，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出n值，繼而得到點E坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將代入得，，將代入得，解得，反比例函數(shù)表達(dá)式為，（2）解：如圖，設(shè)點，那么點，

由可得，所以，解得（舍），;（3）解：如圖，過點作軸，過點作于點，過點作于點，

，點繞點順時針旋轉(zhuǎn)，，，，，設(shè)點，點，，解得，點或（舍），此時點．【典例8】（求面積與不等式解集）（2024·山東淄博·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，與，軸分別相交于點，．且．(1)分別求這兩個函數(shù)的表達(dá)式；(2)以點為圓心，線段的長為半徑作弧與軸正半軸相交于點，連接，．求的面積；(3)根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為(2)(3)或【知識點】已知兩點坐標(biāo)求兩點距離、已知正切值求邊長、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，勾股定理，解直角三角形：（1）先求出得到，再解直角三角形得到，則，據(jù)此利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點A的坐標(biāo)，再把點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出對應(yīng)的反比例函數(shù)解析式即可；（2）先求出點B的坐標(biāo)，再利用勾股定理建立方程求出點E的坐標(biāo)，最后根據(jù)，求解面積即可；（3）利用函數(shù)圖象找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時，，∴，∴，∵，∴在中，，∴，∴，把代入中得：，解得，∴一次函數(shù)解析式為，在中，當(dāng)時，，∴，把代入中得：，解得，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：聯(lián)立解得或，∴；設(shè)，由題意得，，∴，解得或（舍去），∴，∴，∴；（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍為或，∴關(guān)于的不等式的解集為或．【典例9】（最值問題）（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求的面積；(3)若點P是y軸上一動點，連接．當(dāng)?shù)闹底钚r，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)表達(dá)式為(2)(3)【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、根