高三數(shù)學(xué)考試一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，，則（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得數(shù)列的公差，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，可得公差，所以.故選：D.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，由此求得.【詳解】由解得，所以，由得，解得或，所以，所以.故選：D3.在四面體ABCD中，為正三角形，AB與平面BCD不垂直，則（）A.AB與CD可能垂直 B.A在平面BCD內(nèi)的射影可能是BC.AB與CD不可能垂直 D.平面ABC與平面BCD不可能垂直【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線線垂直、線面垂直、面面垂直的知識(shí)確定正確答案.【詳解】當(dāng)四面體ABCD為正四面體時(shí)，如圖所示，在平面上的射影為，即平面，由于平面，所以.延長(zhǎng)交于，則，由于平面，所以平面，由于平面，所以.所以A正確，C錯(cuò)誤.若A在平面BCD內(nèi)的射影是B，則AB與平面BCD垂直，與已知矛盾，B錯(cuò)誤.平面ABC與平面BCD可能垂直，D錯(cuò)誤.故選：A4.若是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定正確答案.【詳解】依題意，是定義在R上的奇函數(shù)，，A選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，所以函數(shù)不是奇函數(shù).B選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，所以函數(shù)不是奇函數(shù).C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，所以函數(shù)是奇函數(shù).D選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，所以函數(shù)不是奇函數(shù).故選：C5.已知兩個(gè)單位向量，滿足與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】依題意可得，即，則.故選：B6.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為l，P為l上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得切線方程，根據(jù)直線和圓的直至關(guān)系求得的最小值.【詳解】，，則l的方程為，即，因?yàn)閳A心到l的距離為，所以的最小值為.故選：A7.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“為銳角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合余弦定理分為鈍角三角形，為直角三角形，為直角三角形三種情況討論，即可判斷三角形的形狀，即可得充分性，根據(jù)三角形的銳角三角形結(jié)合余弦定理可得必要性.【詳解】若，則，假設(shè)為鈍角三角形，則由余弦定理得，，這三個(gè)代數(shù)式中有兩個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)，可得，這與題設(shè)矛盾，因此不為鈍角三角形，假設(shè)為直角三角形，則由余弦定理得，，這三個(gè)代數(shù)式中有兩個(gè)為正，一個(gè)為零，可得，假設(shè)為銳角三角形，則由余弦定理得，，這三個(gè)代數(shù)式都為正，可得，所以銳角三角形，若為銳角三角形，則，，這三個(gè)代數(shù)式均為正，所以，故“”是“為銳角三角形”的充要條件.故選：C.8.已知A，B，C為橢圓D上的三點(diǎn)，AB為長(zhǎng)軸，，，，則D的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓D的方程為，如圖，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得，解得，故.故選：D二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是它到直線的距離的8倍，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可以為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義列方程，化簡(jiǎn)求得的值，也即求得正確答案.【詳解】設(shè)焦點(diǎn)為F，則，解得或.故選：BD10.在矩形ABCD中，以AB為母線長(zhǎng)，2為半徑作圓錐M，以AD為母線長(zhǎng)，8為半徑作圓錐N，若圓錐M與圓錐N的側(cè)面積之和等于矩形ABCD的面積，則（）A.矩形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為B.矩形ABCD的面積的最小值為C.當(dāng)矩形ABCD的面積取得最小值時(shí)，D.當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，【答案】AC【解析】【分析】由題意分別表示兩個(gè)圓錐的側(cè)面積與矩形面積建立方程，對(duì)選項(xiàng)一一分析利用基本不等式處理即可.【詳解】設(shè)，，則圓錐M的側(cè)面積為，圓錐N的側(cè)面積為，則，則，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以矩形ABCD的面積的最小值為，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤，C正確.矩形ABCD的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以矩形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)，所以A正確，D錯(cuò)誤.故選：AC11.三角形被稱為最美等腰三角形，因此它經(jīng)常被應(yīng)用于許多經(jīng)典建筑中，例如圖中所示的建筑對(duì)應(yīng)的三角形，它的底角正好是頂角的兩倍，且它的底與腰之比為分割比（分割比）.在頂角為的中，D為BC邊上的中點(diǎn)，則（）A.B.C.在上的投影向量為D.是方程的一個(gè)實(shí)根【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換、余弦定理、投影向量等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)，則，解得，則，則，A正確.，，B正確.依題意可設(shè)，則，則由余弦定理得，過B作，垂足為E，則在上的投影向量為，C錯(cuò)誤.由圖可知，則，設(shè)，則，整理得，D正確.故選：ABD12.已知是定義在R上的函數(shù)，且，，則（）A.的最大值可能為0 B.在上單調(diào)遞減C.的最小值可能為0 D.可能只有兩個(gè)非負(fù)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】通過或?qū)x項(xiàng)進(jìn)行分析，結(jié)合函數(shù)的最值、單調(diào)性、零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，，所以的解析式可能為（最小值為），也可能為（最大值為），所以A，C都正確.若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以B錯(cuò)誤.若，則，則，令，的導(dǎo)函數(shù)，所以單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以存在唯一的，使得，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.因?yàn)?，，所以可能只有兩個(gè)非負(fù)零點(diǎn)，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)一次求導(dǎo)無法求得函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可利用二次求導(dǎo)的方法來進(jìn)行求解，求解過程中要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.寫出一個(gè)滿足下列兩個(gè)條件的復(fù)數(shù)：______.①的實(shí)部為5；②z的虛部不為0.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算、實(shí)部、虛部的知識(shí)寫出正確答案.【詳解】設(shè)，則，依題意可得，.故可取，.故答案為：（答案不唯一）14.已知隨機(jī)變量X滿足，，則______，______.【答案】①.2②.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望、方差的計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】，.故答案為：；15.如圖為一個(gè)開關(guān)陣列，每個(gè)開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰（上、下相鄰或左、右相鄰）的開關(guān)改變狀態(tài).若從這十六個(gè)開關(guān)中隨機(jī)選兩個(gè)不同的開關(guān)先后各按1次（例如：先按，再按），則和的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)開關(guān)陣列的性質(zhì)，結(jié)合古典概型的概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】要使得的狀態(tài)發(fā)生改變，則需要按，，，，這五個(gè)開關(guān)中的一個(gè)，要使得的狀態(tài)發(fā)生改變，則需要按，，這三個(gè)開關(guān)中的一個(gè)，所以要使得和的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變，則需按其他八個(gè)開關(guān)中的兩個(gè)或，，，，中的兩個(gè)或，，中的兩個(gè)，故所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)開關(guān)陣列的判斷出：要使得和的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變，則需按其他八個(gè)開關(guān)中的兩個(gè)或，，，，中的兩個(gè)或，，中的兩個(gè)，是解題的關(guān)鍵.16.將3個(gè)6cm×6cm的正方形都沿其中的一對(duì)鄰邊的中點(diǎn)剪開，每個(gè)正方形均分成兩個(gè)部分，如圖（1）所示，將這6個(gè)部分接入一個(gè)邊長(zhǎng)為的正六邊形上，如圖（2）所示.若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個(gè)七面體，則該七面體的體積為______.【答案】108【解析】【分析】根據(jù)平面圖形折起后得到七面體，由七面體為正方體被平面所截，由對(duì)稱性可得其體積.【詳解】將平面圖形折疊并補(bǔ)形得到如圖所示的正方體，該七面體為正方體沿著圖中的六邊形截面截去一部分后剩下的另一部分，由對(duì)稱性知其體積為正方體體積的一半，即.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn).（1）過BG作該正方體的截面，使得該截面與平面平行，寫出作法，并說明理由；（2）求直線DE與平面所成角的正弦值.【答案】（1）作法見解析，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造面面平行的方法作出截面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)H，連接，，BH，GH，即截面為要求作的截面.理由如下：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.在正方形中，因?yàn)镚為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.又，平面，所以平面平面.連接，易證，，則，所以，B，H，G四點(diǎn)共面，從而截面為要求作的截面.【小問2詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面法向量為，則，令，得，所以.故直線DE與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的最大值；（2）若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且在上的值域?yàn)?，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將看作整體，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心及第一問可得解析式，再利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)果.【小問1詳解】由條件知?jiǎng)t，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：又有，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式，舍去，所以的最大值為.【小問2詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以.即，由（1）得：，所以，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)?，所以，則，解得，所以m的取值范圍是.19.某體育館將要舉辦一場(chǎng)文藝演出，以演出舞臺(tái)為中心，觀眾座位依次向外展開共有10排，從第2排起每排座位數(shù)比前一排多4個(gè)，且第三排共有49個(gè)座位.（1）設(shè)第n排座位數(shù)為，求及觀眾座位的總個(gè)數(shù)；（2）已知距離演出舞臺(tái)最遠(yuǎn)的第10排的演出門票的價(jià)格為500元/張，每往前推一排，門票單價(jià)為其后一排的1.1倍，若門票售罄，試問該場(chǎng)文藝演出的門票總收入為多少元？（?。敬鸢浮浚?）,590（2）445570元【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的知識(shí)求得并求得觀眾座位的總個(gè)數(shù).（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得正確答案.【小問1詳解】由題意可知是公差為4的等差數(shù)列，因?yàn)?，所?觀眾座位的總個(gè)數(shù)為.【小問2詳解】設(shè)第n排座位的門票價(jià)格為元/張，則為等比數(shù)列，，由，得，因此.記門票售罄該場(chǎng)文藝演出的門票總收入為T元，則，，則，兩式相減得，則，所以，故若門票售罄，則該場(chǎng)文藝演出的廣]票總收入為445570元.20.2022年12月份以來，全國(guó)多個(gè)地區(qū)紛紛采取不同的形式發(fā)放多輪消費(fèi)券，助力消費(fèi)復(fù)蘇.記發(fā)放的消費(fèi)券額度為x（百萬元），帶動(dòng)的消費(fèi)為y（百萬元）.某省隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)如下表所示.x33455668y1012131819212427（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出y關(guān)于x的線性回歸方程.（2）（?。┤粼撌城市在2023年2月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬元的消費(fèi)券，利用（1）中求得的線性回歸方程，預(yù)計(jì)可以帶動(dòng)多少消費(fèi)？（ⅱ）當(dāng)實(shí)際值與估計(jì)值的差的絕對(duì)值與估計(jì)值的比值不超過10％時(shí)，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是理想的.若該省A城市2月份發(fā)放額度為10百萬元的消費(fèi)券后，經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際帶動(dòng)的消費(fèi)為30百萬元，請(qǐng)問發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是否理想？若不理想，請(qǐng)分析可能存在的原因.參考公式：，，.當(dāng)時(shí)，兩個(gè)變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,（2）（?。?5.25百萬元（ⅱ）不理想，理由見解析，答案不唯一【解析】【分析】（1）通過相關(guān)系數(shù)公式求得相關(guān)系數(shù)，利用回歸直線方程的計(jì)算公式求得回歸直線方程.（2）（?。├没貧w直線方程求得預(yù)測(cè)值.（ⅱ）根據(jù)“理想”的定義進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【小問1詳解】，.，，，代入公式可得相關(guān)系數(shù).由于且r非常接近1，所以y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.經(jīng)計(jì)算可得，.所以所求線性回歸方程為.【小問2詳解】（?。┊?dāng)時(shí)，，所以預(yù)計(jì)能帶動(dòng)的消費(fèi)達(dá)35.25百萬元.（ⅱ）因?yàn)椋?，所以發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇不是理想的.發(fā)放消費(fèi)券只是影響消費(fèi)的其中一個(gè)因素，還有其他重要因素，比如：A城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不高，居民的收入水平直接影響了居民的消費(fèi)水平；A城市人口數(shù)量有限、商品價(jià)格水平、消費(fèi)者偏好、消費(fèi)者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響了消費(fèi)總量（只要寫出一個(gè)原因即可）.21.已知函數(shù).（1）求的最小值.（2）若，且.證明：（?。唬áⅲ?【答案】（1）7（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得的最小值.（2）（?。├貌畋容^法證得不等式成立.（ⅱ）將證明轉(zhuǎn)化為證明，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【小問1詳解】.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以.【小問2詳解】（ⅰ）由（1）可知，，因?yàn)?，所以，，則，所以.（ⅱ）由得，要證，只需證，只需證，即證