專題03平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。 02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識梳理）知識模塊一：平面直角坐標(biāo)系知識模塊二:點的坐標(biāo)特征與變換知識模塊三：坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用知識模塊四：函數(shù)03究·考點考法：對考點考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大考點）考點一：用有序數(shù)對表示位置考點二：實際問題中用坐標(biāo)表示位置考點三：判斷點所在的象限考點四：直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)考點五：點坐標(biāo)規(guī)律探索考點六：點的坐標(biāo)變換考點七：自變量和函數(shù)值考點八：函數(shù)解析式考法九：函數(shù)圖象04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（3大易錯點）易錯點1：函數(shù)圖像中的動點問題易錯點2：平面直角坐標(biāo)系中的面積問題易錯點3：函數(shù)圖像中的動點問題知識模塊一：平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系的定義平面內(nèi)有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸,構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系知識模塊二:點的坐標(biāo)特征與變換知識點一：平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征(1)P(a,b)在第一象限?a>0,b>0(2)P(a,b)在第二象限?a<0,b>0(3)P(a,b)在第三象限?a<0,b<0(4)P(a,b)在第四象限?a>0,b<0坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征(1)坐標(biāo)軸上的點不屬于任何象限:(2)P(a,b)在x軸上?b=0(3)P(a,b)在y軸上?a=0象限的角平分線上點的坐標(biāo)特征(1)若P(a,b)在一、三象限的角平分線上,則a=b;(2)若P(a,b)在二、四象限的角平分線上,則a+b=0知識點二：圖形變換與點的坐標(biāo)規(guī)律圖形變換點的坐標(biāo)規(guī)律對稱變換關(guān)于x軸點A(a,b)關(guān)于x軸的對稱點為B(a,-b)

關(guān)于y軸點A(a,b)關(guān)于y軸的對稱點為C(-a,b)關(guān)于原點點A(a,b)關(guān)于原點的對稱點為D(-a,-b)平移變換左右平移將點P(a,b)向左或向右平移h個單位，對應(yīng)點坐標(biāo)為(a-h,b)或(a+h,b)上下平移將點P(a,b)向上或向下平移k個單位，對應(yīng)點坐標(biāo)為(a,b+k)或(a,b-k)知識點三：點到坐標(biāo)軸的距離在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P(a,b)，則1）點P到x軸的距離為b；2）點P到y(tǒng)軸的距離為a；3）點P到原點O的距離為P＝a2知識點四：坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間距離的求法（難點）位置點的坐標(biāo)距離公式在同一水平線上A(xA在同一豎直線上A(yA任意兩點M（x1，y1），N（x2，y2）MN知識模塊三：坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用用坐標(biāo)表示地理位置的方法1）選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒄拯c為原點建立直角坐標(biāo)系，并確定x軸、y軸的正方向；2）根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐?biāo)軸上標(biāo)出長度單位；3）坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點，并寫出各點的坐標(biāo)和各個地點的名稱.知識模塊四：函數(shù)知識點一：函數(shù)的相關(guān)概念1.函數(shù)的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù).2.函數(shù)的取值范圍：使函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.類型自變量x的取值范圍.整式型全體實數(shù)；分式型分母不能為零偶次根式型使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的實數(shù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪使底數(shù)不為零的實數(shù)混合型各個代數(shù)式中自變量取值范圍的公共部分實際問題使實際問題有意義的實數(shù)3.畫函數(shù)圖象的步驟:列表、描點、連線.4.函數(shù)值概念：如果在自變量取值范圍內(nèi)給定一個值a，函數(shù)對應(yīng)的值為b，那么b叫做當(dāng)自變量取值為a時的函數(shù)值.5.函數(shù)解析式：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式.6.函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)與解析式之間的關(guān)系：1）將點的坐標(biāo)代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在.2）兩個函數(shù)圖形交點的坐標(biāo)就是這兩個解析式所組成的方程組的解.知識點二：函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點解析法：兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法.列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法.圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法.優(yōu)點缺點解析法準(zhǔn)確反映整個變化過程中自變量與函數(shù)的關(guān)系求對應(yīng)值是要經(jīng)過比較復(fù)雜的計算，而且實際問題中有的函數(shù)值不一定能用解析式表示列表法自變量和與它對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)據(jù)一目了然所列對應(yīng)數(shù)值個數(shù)有限，不容易看出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，有局限性圖像法形象的把自變量和函數(shù)值的關(guān)系表示出來圖像中只能得到近似的數(shù)量關(guān)系考點一：用有序數(shù)對表示位置【典例1】（2024·湖北宜昌·模擬預(yù)測）電影院中的第a排b號位，簡記為，那么（

）A．表示排a號B．表示第b排a號位C．表示b排或a號D．與不可能代表同一個位置【典例2】（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術(shù)瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準(zhǔn)確地查出邊長10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測量效率．如圖2是復(fù)原的部分《田積表》，表中對田地的長和寬都用步來表示，A區(qū)域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對記為，那么有序數(shù)對記為對應(yīng)的田地面積為（）A．一畝八十步 B．一畝二十步 C．半畝七十八步 D．半畝八十四步【典例3】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖所示為雷達(dá)在一次探測中發(fā)現(xiàn)的三個目標(biāo)，其中目標(biāo)A，B的位置分別表示為，，按照此方法可以將目標(biāo)C的位置表示為（

）A． B． C． D．【典例4】（2024·江蘇鹽城·三模）小民和小澤兩姐弟拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜漢字的游戲，若聽到“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，則聽到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的漢字可能為（

）432112345A．漢 B．華 C．鹽 D．音考點二：實際問題中用坐標(biāo)表示位置【典例1】（2024·廣西南寧·二模）中國陽明文化園部分平面圖如圖所示，若用表示王陽明紀(jì)念館的位置，用表示游客接待中心的位置，則南門的位置可表示為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）“在生活的舞臺上，我們都是不屈不撓的拳擊手，面對無盡的挑戰(zhàn)，揮灑汗水，拼搏向前！”今年的春節(jié)檔《熱辣滾燙》展現(xiàn)了角色堅韌不拔的精神面貌，小星、小紅兩人也觀看了此電影．如圖是利用平面直角坐標(biāo)系畫出的影院內(nèi)分布圖，若分別以正東、正北方向為軸、軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，他們這樣描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐標(biāo)為；②小紅：在小星的座位向右走4個座位，再向上走2個座位，就可以找到我了，則表示小紅座位的坐標(biāo)為．【典例3】（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，小星從點出發(fā)，先向西走，再向南走到達(dá)點，如果點的位置用表示，那么表示的位置是點．【典例4】（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）我國水墨畫發(fā)展有著悠遠(yuǎn)歷史，相傳始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以來續(xù)有發(fā)展，重于意境優(yōu)美，圖為水墨畫“早有蜻蜓立上頭”，若將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點，，則點C坐標(biāo)為．【典例5】（2024·四川·中考真題）如圖，在一個平面區(qū)域內(nèi)，一臺雷達(dá)探測器測得在點A，B，C處有目標(biāo)出現(xiàn)．按某種規(guī)則，點A，B的位置可以分別表示為，則點C的位置可以表示為．【典例6】（2024·貴州六盤水·一模）如圖，小黔與小紅在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盤坐標(biāo)的上，則小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)是．考點三：判斷點所在的象限【典例1】（2024·貴州·中考真題）為培養(yǎng)青少年的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)思維，某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團(tuán)．小紅將“科”“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標(biāo)系，使“創(chuàng)”“新”的坐標(biāo)分別為，，則“技”所在的象限為（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則點所在的象限為

(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線，若，則．【典例4】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）已知，，則在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，小手蓋住的點的坐標(biāo)可能是（）A． B． C． D．【典例5】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）點在直線上，坐標(biāo)是二元一次方程的解，則點的位置在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例6】（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中有五個點，分別是從中任選一個點恰好在第二象限的概率是．【典例7】（2024·湖南·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點Px,y，若x，y均為整數(shù)，則稱點P為“整點”．特別地，當(dāng)（其中）的值為整數(shù)時，稱“整點”P為“超整點”，已知點在第二象限，下列說法正確的是（

）A． B．若點P為“整點”，則點P的個數(shù)為3個C．若點P為“超整點”，則點P的個數(shù)為1個 D．若點P為“超整點”，則點P到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于10【典例8】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）從小到大的三個整數(shù)：，2，3，從中隨機抽取一個數(shù)作為點P的橫坐標(biāo)，在余下的兩個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)作為點P的縱坐標(biāo)．(1)請用畫樹狀圖或列表的方法寫出點P所有可能的坐標(biāo)．(2)在所有可能的點P中，求點P落在第二象限的概率．考點四：直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)【典例1】（2024·貴州貴陽·一模）中國象棋趣味濃厚，基本規(guī)則簡明易懂，而棋子活動的場所，叫作“棋盤”．觀察如圖所示象棋盤，以“炮”為原點，分別以正東、正北方向為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，請寫出“馬”的坐標(biāo)是．

【典例2】（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）已知a，b都是實數(shù)，設(shè)點，若滿足，則稱點P為“新奇點”．若點是“新奇點”，則M的坐標(biāo)為．【典例3】（2024·四川廣元·中考真題）若點滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標(biāo)．【典例4】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖1所示，該幾何體為長方體，記作長方體，如圖2所示，以頂點為原點O，分別以棱，，所在的直線為x軸、y軸、z軸，建成的坐標(biāo)系稱為立體坐標(biāo)系（亦稱三維坐標(biāo)系），立體空間中點的位置由三個有序的實數(shù)確定，記作，稱為該點的坐標(biāo)．若長方體的長寬高分別為，，我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，由點豎直向上平移1個單位可得到點C，所以點C在立體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記為，由此可知點O和點B的坐標(biāo)分別記為，．照此方法，請你確定點D在立體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【典例5】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點B在x軸的正半軸上，且，將沿x軸向右平移得到，與交于點F．若，則點D的坐標(biāo)為．【典例6】（2024·四川樂山·模擬預(yù)測）如圖所示，矩形中，，則點B的坐標(biāo)為（

）．A． B．C． D．考點五：點坐標(biāo)規(guī)律探索【典例1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到點，再將點繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到，再將點繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到，依此類推，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）如圖，在單位長度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為的弧多次復(fù)制并首尾連接而成．現(xiàn)有一點從（為坐標(biāo)原點）出發(fā)，以每秒米的速度沿曲線向右運動，則在第2024秒時點的縱坐標(biāo)為（）A． B． C．0 D．1【典例3】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點B坐標(biāo)是1,0，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向為）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應(yīng)點記為，的坐標(biāo)是2,0；第二次滾動后，的對應(yīng)點記為，的坐標(biāo)是2,0；第三次滾動后，的對應(yīng)點記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是．【典例4】．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，，，，，，，…，依此規(guī)律，則點的坐標(biāo)為．【典例5】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點、、、…在x軸的正半軸上，點、、…在直線上．若點的坐標(biāo)為2,0，且、、…均為等邊三角形．則點的縱坐標(biāo)為．【典例6】（2024·寧夏銀川·二模）如圖，（n為正整數(shù)）均為等邊三角形，它們的邊長依次是2，4，6，…，，頂點均在y軸上，點O是所有等邊三角形的中心，點的坐標(biāo)為．

【典例7】（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點，其平移過程如下：若“和點”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點，則點Q的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【典例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）觀察規(guī)律，運用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過點作軸的垂線，交的圖象于點，交直線于點．則的值為（）A． B． C． D．考點六：點的坐標(biāo)變換【典例1】（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，兩點的坐標(biāo)分別為，，將線段平移得到線段．若點的對應(yīng)點是，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是．【典例2】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標(biāo)為0,4，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標(biāo)為．【典例3】（2024·遼寧撫順·一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，的頂點均在格點上．(1)畫出關(guān)于原點O的中心對稱圖形．(2)將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，畫出．(3)若由繞著某點旋轉(zhuǎn)得到的，則這點的坐標(biāo)為．【典例4】（2024·廣西柳州·三模）如圖，的頂點坐標(biāo)分別是、、．(1)如果將沿x軸翻折得到，寫出的三個頂點坐標(biāo)；(2)如果將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．【典例5】（2024·江蘇常州·中考真題）對于平面內(nèi)有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定的距離后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”．(1)如圖，是線段的四等分點．若，則在圖中，線段的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是________，________（寫出符合條件的一種情況即可）；(2)如圖，等邊三角形的邊長是．用直尺和圓規(guī)作出的一個“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別是、、，以點為圓心，為半徑畫圓．若對上的任意點，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，直接寫出的取值范圍．考點七：自變量和函數(shù)值【典例1】（2024·山東東營·中考真題）在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度是所掛物體質(zhì)量的一次函數(shù)．一根彈簧不掛物體時長12.5cm，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為2kg時，彈簧長13.5cm．當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為5kg時，彈簧的長度為cm，【典例2】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）y與x之間的函數(shù)關(guān)系可記為y=fx．例如：函數(shù)可記為．若對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個x，都有f?x=fx，則是偶函數(shù)；若對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個x，都有f?x=?fx，則是奇函數(shù)．例如：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，那么．【典例3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)中，自變量的取值范圍是．【典例4】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）閱讀下面的材料：如果函數(shù)y=fx滿足：對于自變量的取值范圍內(nèi)的任意，，若，都有，則稱是增函數(shù)；若，都有，則稱是減函數(shù)．例題：證明函數(shù)是減函數(shù)．證明：設(shè)，．∵，∴，．∴．即．∴．∴函數(shù)（）是減函數(shù)．根據(jù)以上材料，解答下面的問題：已知函數(shù)(1)計算：__________，__________；(2)猜想：函數(shù)是__________函數(shù)（填“增”或“減”）；(3)請仿照例題證明你的猜想．【典例5】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）周末，愛好騎行的許一一同學(xué)和爸爸從家出發(fā)，騎行去渭河運動公園鍛煉．許一一先出發(fā)，并且勻速騎行完全程，爸爸隨后出發(fā)并且出發(fā)一段時間后速度提高為原來的2倍．如圖所示是許一一和爸爸騎行離家的距離s（米）與許一一騎行時間t（分）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象解答下列問題：(1)許一一騎行的速度為_______米/分．(2)求爸爸騎行過程中段對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍．(3)求許一一出發(fā)多長時間后爸爸追上她．【典例6】（2024·北京·中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和人工智能軟件設(shè)計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，當(dāng)1號杯和2號杯中都有mL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位：cm）和2號杯的水面高度（單位：cm），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8(1)補全表格（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；(2)通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當(dāng)1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．考點八：函數(shù)解析式【典例1】（2024·海南·中考真題）設(shè)直角三角形中一個銳角為x度（），另一個銳角為y度，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·山西·模擬預(yù)測）某樹苗的初始高度為，如圖，這是該樹苗的高度與生長的月數(shù)的有關(guān)數(shù)據(jù)示意圖，假設(shè)以后一段時間內(nèi)，該樹苗高度的變化與月數(shù)保持此關(guān)系，則該樹苗的高度與生長月數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）

A． B． C． D．【典例3】（2024·廣西·中考真題）激光測距儀L發(fā)出的激光束以的速度射向目標(biāo)M，后測距儀L收到M反射回的激光束．則L到M的距離與時間的關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【典例4】（2024·甘肅·中考真題）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進(jìn)士黃伯思設(shè)計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設(shè)每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關(guān)系可以表示為（）A． B． C． D．【典例5】（2024·四川綿陽·三模）某茶葉銷售商計劃將120罐茶葉按甲、乙兩種禮品盒包裝出售，其中甲種禮品盒每盒裝4罐，每盒售價240元；乙種禮品盒每盒裝6罐，每盒售價300元，恰好全部裝完．已知每罐茶葉的成本價為30元，設(shè)甲種禮品盒的數(shù)量為盒，乙種禮品盒的數(shù)量為盒．(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)若120罐茶葉全部售出后的總利潤不低于3000元，則甲種禮品盒的數(shù)量至少要多少盒？【典例6】（2024·廣東深圳·中考真題）背景【繽紛618，優(yōu)惠送大家】今年618各大電商平臺促銷火熱，線下購物中心也亮出大招，年中大促進(jìn)入“白熱化”．深圳各大購物中心早在5月就開始推出618活動，進(jìn)入6月更是持續(xù)加碼，如圖，某商場為迎接即將到來的618優(yōu)惠節(jié)，采購了若干輛購物車．素材如圖為某商場疊放的購物車，右圖為購物車疊放在一起的示意圖，若一輛購物車車身長，每增加一輛購物車，車身增加．問題解決任務(wù)1若某商場采購了n輛購物車，求車身總長L與購物車輛數(shù)n的表達(dá)式；任務(wù)2若該商場用直立電梯從一樓運輸該批購物車到二樓，已知該商場的直立電梯長為，且一次可以運輸兩列購物車，求直立電梯一次性最多可以運輸多少輛購物車？任務(wù)3若該商場扶手電梯一次性可以運輸24輛購物車，若要運輸100輛購物車，且最多只能使用電梯5次，求：共有多少種運輸方案？考法九：函數(shù)圖象【典例1】（2024·江西·中考真題）將常溫中的溫度計插入一杯的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數(shù)與時間的關(guān)系用圖象可近似表示為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·江蘇徐州·中考真題）小明的速度與時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列情境與之較為相符的是（

）A．小明坐在門口，然后跑去看鄰居家的小狗，隨后坐著逗小狗玩B．小明攀巖至高處，然后順著桿子滑下來，隨后躺在沙地上休息C．小明跑去接電話，然后坐下來電話聊天，隨后步行至另一個房間D．小明步行去朋友家，敲門發(fā)現(xiàn)朋友不在家，隨后步行回家【典例3】（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點，在同一水平線上，點與的中點重合，，，現(xiàn)將菱形以的速度沿方向勻速運動，當(dāng)點運動到上時停止，在這個運動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運動時間之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（

）A． B．C． D．【典例4】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）甲、乙兩車出發(fā)前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（單位：L）關(guān)于行駛路程（單位：百公里）的函數(shù)圖像分別如圖所示，已知甲車每百公里平均耗油量比乙車每百公里平均耗油量少2L，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【典例5】（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從地勻速出發(fā)，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，駐足交流后，繼續(xù)以原速步行前進(jìn)；乙因故比甲晚出發(fā)，跑步到達(dá)地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離與甲出發(fā)的時間之間的函數(shù)關(guān)系．(

)那么以下結(jié)論：①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為；②甲出發(fā)時，甲、乙兩人之間的距離達(dá)到最大值；③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發(fā)后；④，兩地之間的距離是．其中正確的結(jié)論有：A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【典例6】（2024·甘肅蘭州·中考真題）甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環(huán)）如圖所示，現(xiàn)有以下三個推斷：①甲的成績更穩(wěn)定；②乙的平均成績更高；③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高．其中正確的是．（填序號）【典例7】（2024·四川資陽·中考真題）小王前往距家2000米的公司參會，先以（米/分）的速度步行一段時間后，再改騎共享單車直達(dá)會議地點，到達(dá)時距會議開始還有14分鐘，小王距家的路程S（單位：米）與距家的時間t（單位：分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，則他到達(dá)時距會議開始還有分鐘．

易錯點1：坐標(biāo)規(guī)律探究1.解決與點坐標(biāo)變化有關(guān)的規(guī)律問題一般方法：1)若點的坐標(biāo)在坐標(biāo)軸上或象限內(nèi)循環(huán)(周期)變化時，先求出第一個循環(huán)周期內(nèi)相關(guān)點的坐標(biāo)，然后找出所求點經(jīng)過循環(huán)后位于第一個循環(huán)周期內(nèi)的哪個位置，從而求出坐標(biāo)；2)點的坐標(biāo)是成倍遞推變化時，先求出前幾個點的坐標(biāo)，然后歸納出后一個點坐標(biāo)與前一個點坐標(biāo)之間存在的規(guī)律．2.解決與點坐標(biāo)變化有關(guān)的規(guī)律問題的注意事項：1）求什么找什么的規(guī)律；2）變化規(guī)律最好用算式而不是得數(shù)表示；3）找算式中數(shù)字與序號間的變化規(guī)律；4）找坐標(biāo)的變化規(guī)律，分兩步進(jìn)行：先找位置規(guī)律再找數(shù)字規(guī)律（點的坐標(biāo)題型首先用這一條）.【典例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點O的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C在第一象限，．將沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應(yīng)點為，點C的對應(yīng)點為，與的交點為，稱點為第一個“花朵”的花心，點為第二個“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花朵”的花心的坐標(biāo)為．【典例2】（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線與軸相交于點，以為邊作等邊三角形，點在第一象限內(nèi)，過點作軸的平行線與直線交于點，與軸交于點，以為邊作等邊三角形（點在點的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點的橫坐標(biāo)為．【典例3】（2024·山東·中考真題）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次運算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標(biāo)系中，將點中的，分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運算得到新的點的橫、縱坐標(biāo)，其中，均為正整數(shù)．例如，點經(jīng)過第1次運算得到點，經(jīng)過第2次運算得到點，以此類推．則點1,4經(jīng)過2024次運算后得到點．【典例4】（2024·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測）如圖，一個機器人從點出發(fā)，向正西方向走到達(dá)點；再向正北方向走到達(dá)點；再向正東方向走到達(dá)點；再向正南方向走到達(dá)點；再向正西方向走到達(dá)點；…，按如此規(guī)律走下去，當(dāng)機器人走到點時，點的坐標(biāo)為易錯點2：平面直角坐標(biāo)系中的面積問題在平面直角坐標(biāo)系中,解決與面積有關(guān)的問題時,要會求出點到坐標(biāo)軸的距離.在求面積時,要會應(yīng)用轉(zhuǎn)化方法,將圖形補成規(guī)則的圖形或?qū)D形分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行求解.在求幾何圖形面積時，線段的長度往往通過計算某些點橫坐標(biāo)之差的絕對值，或縱坐標(biāo)之差的絕對值去實現(xiàn).(橫坐標(biāo)相減時最好用右邊的數(shù)減左邊的數(shù)，縱坐標(biāo)相減時用上邊的數(shù)減下邊的數(shù)，這樣所得結(jié)果就是邊或高的長度，就不用絕對值符號了).【典例1】（2024·江蘇無錫·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A9,0，C0,6，四邊形是矩形，過點的動直線與軸交于點，將沿直線翻折，使點的對應(yīng)點落在矩形內(nèi)，當(dāng)與一端點的連線所在直線能將的面積分成相等的兩部分時，點的橫坐標(biāo)為．【典例2】（2024·江蘇連云港·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B在雙曲線上，的延長線交雙曲線于點C，連接交雙曲線于點D，連接，若，則的面積為．【典例3】（2024·廣西·模擬預(yù)測）閱讀與探究．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意一個函數(shù)，將原函數(shù)中的自變量x替換為，從而形成一個新的函數(shù)，這個新函數(shù)叫做原函數(shù)的“絕對函數(shù)”．例如，函數(shù)y=x+1的“絕對函數(shù)”是，即；函數(shù)的“絕對函數(shù)”是，即；函數(shù)的圖象如圖1，則它的“絕對函數(shù)”的圖象如圖②所示．(1)的“絕對函數(shù)”是______；(2)在圖3的平面直角坐標(biāo)系中畫出的絕對函數(shù)的圖象；(3)在（1）的“絕對函數(shù)”圖象上取一點A，點A關(guān)于y軸的對稱點為，O是平面直角坐標(biāo)系的原點，則的面積是______；(4)函數(shù)的“絕對函數(shù)”與直線有四個交點時，求m的取值范圍．【典例4】（2024·黑龍江·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+bk≠0與y軸交于點B，與x軸交于點C，線段的長是一元二次方程的兩個根，直線交于點．(1)求點A的坐標(biāo)；(2)在平面直角坐標(biāo)系中有一點，求的面積S與m的函數(shù)關(guān)系式；(3)M為直線上的動點，過點M作y軸的平行線，交直線于點N，點Q在y軸上，是否存在點M，使為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．易錯點3：函數(shù)圖像中的動點問題類型一動點與函數(shù)圖象判斷的解題策略方法一：趨勢判斷法.根據(jù)幾何圖形的構(gòu)造特點，對動點運動進(jìn)行分段，并判斷每段對應(yīng)函數(shù)圖象的增減變化趨勢；方法二：解析式計算法.根據(jù)題意求出每段的函數(shù)解析式，結(jié)合解析式對應(yīng)的函數(shù)圖象進(jìn)行判斷；方法三：定點求值法.結(jié)合幾何圖形特點，在點運動的拐點、垂直點、特殊點處求出函數(shù)值，對選項進(jìn)行排除；方法四：范圍排除法.根據(jù)動點的運動過程，求出兩個變量的變化范圍，對選項進(jìn)行排除．類型二動點與函數(shù)圖象計算的解題策略一看圖：注意函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)分別表示的量與取值范圍，以及圖象的拐點、最值點等；二看形：觀察題目所給幾何圖形的特點，運用幾何性質(zhì)分析動點整體運動情況；三結(jié)合：幾何動點與函數(shù)圖象相結(jié)合，求出圖形中相關(guān)線段的長度或圖形面積的值；四計算：結(jié)合已知，列出等式，計算未知量，常用勾股定理、面積相等和相似等方法進(jìn)行計算求解．【典例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動點E，F(xiàn)同時從點A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當(dāng)點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為y，下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【典例2】（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在中，，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長為（

）A．5 B．7 C． D．【典例3】（2024·安徽·中考真題）如圖，在中，，，，是邊上的高．點E，F(xiàn)分別在邊，上（不與端點重合），且．設(shè)，四邊形的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象為（

）A． B．C． D．

專題03平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。 02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識梳理）知識模塊一：平面直角坐標(biāo)系知識模塊二:點的坐標(biāo)特征與變換知識模塊三：坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用知識模塊四：函數(shù)03究·考點考法：對考點考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大考點）考點一：用有序數(shù)對表示位置考點二：實際問題中用坐標(biāo)表示位置考點三：判斷點所在的象限考點四：直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)考點五：點坐標(biāo)規(guī)律探索考點六：點的坐標(biāo)變換考點七：自變量和函數(shù)值考點八：函數(shù)解析式考法九：函數(shù)圖象04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（3大易錯點）易錯點1：函數(shù)圖像中的動點問題易錯點2：平面直角坐標(biāo)系中的面積問題易錯點3：函數(shù)圖像中的動點問題知識模塊一：平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系的定義平面內(nèi)有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸,構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系知識模塊二:點的坐標(biāo)特征與變換知識點一：平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征(1)P(a,b)在第一象限?a>0,b>0(2)P(a,b)在第二象限?a<0,b>0(3)P(a,b)在第三象限?a<0,b<0(4)P(a,b)在第四象限?a>0,b<0坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征(1)坐標(biāo)軸上的點不屬于任何象限:(2)P(a,b)在x軸上?b=0(3)P(a,b)在y軸上?a=0象限的角平分線上點的坐標(biāo)特征(1)若P(a,b)在一、三象限的角平分線上,則a=b;(2)若P(a,b)在二、四象限的角平分線上,則a+b=0知識點二：圖形變換與點的坐標(biāo)規(guī)律圖形變換點的坐標(biāo)規(guī)律對稱變換關(guān)于x軸點A(a,b)關(guān)于x軸的對稱點為B(a,-b)

關(guān)于y軸點A(a,b)關(guān)于y軸的對稱點為C(-a,b)關(guān)于原點點A(a,b)關(guān)于原點的對稱點為D(-a,-b)平移變換左右平移將點P(a,b)向左或向右平移h個單位，對應(yīng)點坐標(biāo)為(a-h,b)或(a+h,b)上下平移將點P(a,b)向上或向下平移k個單位，對應(yīng)點坐標(biāo)為(a,b+k)或(a,b-k)知識點三：點到坐標(biāo)軸的距離在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P(a,b)，則1）點P到x軸的距離為b；2）點P到y(tǒng)軸的距離為a；3）點P到原點O的距離為P＝a2知識點四：坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間距離的求法（難點）位置點的坐標(biāo)距離公式在同一水平線上A(xA在同一豎直線上A(yA任意兩點M（x1，y1），N（x2，y2）MN知識模塊三：坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用用坐標(biāo)表示地理位置的方法1）選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒄拯c為原點建立直角坐標(biāo)系，并確定x軸、y軸的正方向；2）根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤撸谧鴺?biāo)軸上標(biāo)出長度單位；3）坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點，并寫出各點的坐標(biāo)和各個地點的名稱.知識模塊四：函數(shù)知識點一：函數(shù)的相關(guān)概念1.函數(shù)的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù).2.函數(shù)的取值范圍：使函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.類型自變量x的取值范圍.整式型全體實數(shù)；分式型分母不能為零偶次根式型使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的實數(shù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪使底數(shù)不為零的實數(shù)混合型各個代數(shù)式中自變量取值范圍的公共部分實際問題使實際問題有意義的實數(shù)3.畫函數(shù)圖象的步驟:列表、描點、連線.4.函數(shù)值概念：如果在自變量取值范圍內(nèi)給定一個值a，函數(shù)對應(yīng)的值為b，那么b叫做當(dāng)自變量取值為a時的函數(shù)值.5.函數(shù)解析式：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式.6.函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)與解析式之間的關(guān)系：1）將點的坐標(biāo)代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在.2）兩個函數(shù)圖形交點的坐標(biāo)就是這兩個解析式所組成的方程組的解.知識點二：函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點解析法：兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法.列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法.圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法.優(yōu)點缺點解析法準(zhǔn)確反映整個變化過程中自變量與函數(shù)的關(guān)系求對應(yīng)值是要經(jīng)過比較復(fù)雜的計算，而且實際問題中有的函數(shù)值不一定能用解析式表示列表法自變量和與它對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)據(jù)一目了然所列對應(yīng)數(shù)值個數(shù)有限，不容易看出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，有局限性圖像法形象的把自變量和函數(shù)值的關(guān)系表示出來圖像中只能得到近似的數(shù)量關(guān)系考點一：用有序數(shù)對表示位置【典例1】（2024·湖北宜昌·模擬預(yù)測）電影院中的第a排b號位，簡記為，那么（

）A．表示排a號B．表示第b排a號位C．表示b排或a號D．與不可能代表同一個位置【答案】B【難度】0.94【知識點】用有序數(shù)對表示位置【分析】本題考查了用有序數(shù)對表示位置，根據(jù)題意進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵電影院中的第a排b號位，簡記為，∴表示第b排a號位，故選：B．【典例2】（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術(shù)瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準(zhǔn)確地查出邊長10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測量效率．如圖2是復(fù)原的部分《田積表》，表中對田地的長和寬都用步來表示，A區(qū)域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對記為，那么有序數(shù)對記為對應(yīng)的田地面積為（）A．一畝八十步 B．一畝二十步 C．半畝七十八步 D．半畝八十四步【答案】D【難度】0.85【知識點】用有序數(shù)對表示位置【分析】根據(jù)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可．本題考查了坐標(biāo)與位置的應(yīng)用，熟練掌握坐標(biāo)與位置的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，故對應(yīng)的是半畝八十四步，故選D．【典例3】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖所示為雷達(dá)在一次探測中發(fā)現(xiàn)的三個目標(biāo)，其中目標(biāo)A，B的位置分別表示為，，按照此方法可以將目標(biāo)C的位置表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點】用有序數(shù)對表示位置【分析】本題考查了有序數(shù)對的應(yīng)用．理解題意是解題的關(guān)鍵．由目標(biāo)A，B的位置分別表示為，，可知目標(biāo)C的位置表示為．【詳解】解：∵目標(biāo)A，B的位置分別表示為，，∴目標(biāo)C的位置表示為，故選：C．【典例4】（2024·江蘇鹽城·三模）小民和小澤兩姐弟拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜漢字的游戲，若聽到“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，則聽到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的漢字可能為（

）432112345A．漢 B．華 C．鹽 D．音【答案】C【難度】0.65【知識點】用有序數(shù)對表示位置【分析】本題考查了有序數(shù)對表示位置，根據(jù)題意，“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，表示的對應(yīng)的字母為“”，則“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示對應(yīng)的字母為“”，即可求解，理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，∴“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的對應(yīng)的字母為“”，∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示對應(yīng)的字母為“”，∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的漢字可能是：“鹽”，故選：C．考點二：實際問題中用坐標(biāo)表示位置【典例1】（2024·廣西南寧·二模）中國陽明文化園部分平面圖如圖所示，若用表示王陽明紀(jì)念館的位置，用表示游客接待中心的位置，則南門的位置可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點】實際問題中用坐標(biāo)表示位置【分析】本題考查用坐標(biāo)表示位置，根據(jù)題意直接寫出南門位置的坐標(biāo)即可．【詳解】解：南門的位置是，故選：A【典例2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）“在生活的舞臺上，我們都是不屈不撓的拳擊手，面對無盡的挑戰(zhàn)，揮灑汗水，拼搏向前！”今年的春節(jié)檔《熱辣滾燙》展現(xiàn)了角色堅韌不拔的精神面貌，小星、小紅兩人也觀看了此電影．如圖是利用平面直角坐標(biāo)系畫出的影院內(nèi)分布圖，若分別以正東、正北方向為軸、軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，他們這樣描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐標(biāo)為；②小紅：在小星的座位向右走4個座位，再向上走2個座位，就可以找到我了，則表示小紅座位的坐標(biāo)為．【答案】【難度】0.85【知識點】實際問題中用坐標(biāo)表示位置【分析】本題考查坐標(biāo)確定位置．根據(jù)小星座位的坐標(biāo)為，建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而分別分析得出答案．【詳解】解：∵小星座位的坐標(biāo)為?2,3，∴建立平面直角坐標(biāo)系如圖，∴小紅座位的坐標(biāo)為，故答案為：．【典例3】（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，小星從點出發(fā)，先向西走，再向南走到達(dá)點，如果點的位置用表示，那么表示的位置是點．【答案】B【難度】0.85【知識點】實際問題中用坐標(biāo)表示位置【分析】本題考查坐標(biāo)確定位置，根據(jù)點在平面直角坐標(biāo)系中的確定方法解答即可．【詳解】解：∵點M的位置用表示，實際意義為從點O出發(fā)，先向西走，再向南走，∴網(wǎng)格中一個小正方形邊長為，∴表示的位置實際意義為從點O出發(fā)，先向東走，再向北走，對應(yīng)的是點B，故答案為：B．【典例4】（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）我國水墨畫發(fā)展有著悠遠(yuǎn)歷史，相傳始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以來續(xù)有發(fā)展，重于意境優(yōu)美，圖為水墨畫“早有蜻蜓立上頭”，若將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點，，則點C坐標(biāo)為．【答案】【難度】0.85【知識點】實際問題中用坐標(biāo)表示位置【分析】本題主要考查了點的坐標(biāo)，根據(jù)已知點的坐標(biāo)，找出原點，建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)點的位置，寫出點的坐標(biāo)．解題關(guān)鍵是熟練掌握根據(jù)已知點的坐標(biāo)，找出坐標(biāo)原點．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)點，，建立坐標(biāo)系，如圖所示：∴點坐標(biāo)為：，故答案為：．【典例5】（2024·四川·中考真題）如圖，在一個平面區(qū)域內(nèi)，一臺雷達(dá)探測器測得在點A，B，C處有目標(biāo)出現(xiàn)．按某種規(guī)則，點A，B的位置可以分別表示為，則點C的位置可以表示為．【答案】【難度】0.85【知識點】實際問題中用坐標(biāo)表示位置【分析】本題考查了坐標(biāo)確定位置，根據(jù)題意得到圓圈數(shù)表示有序數(shù)對的第一個數(shù)，度數(shù)表示有序數(shù)對的第二個數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可得：圓圈數(shù)表示有序數(shù)對的第一個數(shù)，度數(shù)表示有序數(shù)對的第二個數(shù)，可得答案．【詳解】解：∵A，B的位置分別表示為．∴目標(biāo)C的位置表示為．故答案為：【典例6】（2024·貴州六盤水·一模）如圖，小黔與小紅在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盤坐標(biāo)的上，則小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)是．【答案】【難度】0.85【知識點】實際問題中用坐標(biāo)表示位置【分析】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，根據(jù)建立坐標(biāo)系，再確定小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)即可.【詳解】解：如圖，小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)是，故答案為：．考點三：判斷點所在的象限【典例1】（2024·貴州·中考真題）為培養(yǎng)青少年的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)思維，某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團(tuán)．小紅將“科”“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標(biāo)系，使“創(chuàng)”“新”的坐標(biāo)分別為，，則“技”所在的象限為（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【難度】0.94【知識點】判斷點所在的象限【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，先根據(jù)題意確定平面直角坐標(biāo)系，然后確定點的位置．【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則“技”在第一象限，

故選A．【典例2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則點所在的象限為

(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【難度】0.85【知識點】已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍、判斷點所在的象限、求一元一次不等式的解集、不等式的性質(zhì)【分析】由圖象經(jīng)過第一、三、四象限可知求出，再根據(jù)不等式的性質(zhì)得到，即可判斷所處象限．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解一元一次不等式，點的坐標(biāo)特征，不等式的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【典例3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線，若，則．【答案】2【難度】0.85【知識點】作角平分線(尺規(guī)作圖)、角平分線的性質(zhì)定理、坐標(biāo)與圖形【分析】此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)作圖方法可得點H在第一象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號可得答案．【詳解】解：根據(jù)作圖方法可得點H在第一象限角平分線上；點H橫縱坐標(biāo)相等且為正數(shù)；，解得：，故答案為：．【典例4】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）已知，，則在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，小手蓋住的點的坐標(biāo)可能是（）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識點】坐標(biāo)與圖形、判斷點所在的象限【分析】本題主要考查了判斷點所在的象限，熟知每個象限點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵；根據(jù)，，得到，，觀察圖形判斷出小手蓋住的點在第四象限，據(jù)此解答即可；【詳解】，a、b同號，，，，A．在第三象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；B．在第四象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項符合題意；C．在第一象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；D．在第二象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；故選：B．【典例5】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）點在直線上，坐標(biāo)是二元一次方程的解，則點的位置在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【難度】0.65【知識點】代入消元法、判斷點所在的象限、兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯(lián)立方程組，求出點P的坐標(biāo)即可判斷．【詳解】解∶聯(lián)立方程組，解得，∴P的坐標(biāo)為，∴點P在第四象限，故選∶D．【典例6】（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中有五個點，分別是從中任選一個點恰好在第二象限的概率是．【答案】【難度】0.65【知識點】列舉法求概率、判斷點所在的象限【分析】本題考查了列舉法求概率，第二象限的點坐標(biāo)的特征．熟練掌握列舉法求概率，第二象限的點坐標(biāo)的特征是解題的關(guān)鍵．由題意知，在第二象限，然后求概率即可．【詳解】解：由題意知，在第二象限，∴任選一個點恰好在第二象限的概率是，故答案為：．【典例7】（2024·湖南·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點Px,y，若x，y均為整數(shù)，則稱點P為“整點”．特別地，當(dāng)（其中）的值為整數(shù)時，稱“整點”P為“超整點”，已知點在第二象限，下列說法正確的是（

）A． B．若點P為“整點”，則點P的個數(shù)為3個C．若點P為“超整點”，則點P的個數(shù)為1個 D．若點P為“超整點”，則點P到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于10【答案】C【難度】0.65【知識點】已知點所在的象限求參數(shù)、求點到坐標(biāo)軸的距離、求不等式組的解集【分析】本題考查了新定義，點到坐標(biāo)軸的距離，各象限內(nèi)點的特征等知識，利用各象限內(nèi)點的特征求出a的取值范圍，即可判斷選項A，利用“整點”定義即可判斷選項B，利用“超整點”定義即可判斷選項C，利用“超整點”和點到坐標(biāo)軸的距離即可判斷選項D．【詳解】解：∵點在第二象限，∴，∴，故選項A錯誤；∵點為“整點”，，∴整數(shù)a為，，0，1，∴點P的個數(shù)為4個，故選項B錯誤；∴“整點”P為，，，，∵，，，∴“超整點”P為，故選項C正確；∵點為“超整點”，∴點P坐標(biāo)為，∴點P到兩坐標(biāo)軸的距離之和，故選項D錯誤，故選：C．【典例8】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）從小到大的三個整數(shù)：，2，3，從中隨機抽取一個數(shù)作為點P的橫坐標(biāo)，在余下的兩個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)作為點P的縱坐標(biāo)．(1)請用畫樹狀圖或列表的方法寫出點P所有可能的坐標(biāo)．(2)在所有可能的點P中，求點P落在第二象限的概率．【答案】(1)見解析(2)【難度】0.65【知識點】判斷點所在的象限、列表法或樹狀圖法求概率【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率與直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征．注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）首先根據(jù)題意畫出表格，即可得到P的所有坐標(biāo)；（2）然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與點P落在第二象限的的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】（1）解：由題意知，列表如下：縱坐標(biāo)結(jié)果橫坐標(biāo)23232,3（2）解：共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中點P落在第二象限的結(jié)果有，，共2個，∴P(點P落在第二象限)考點四：直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)【典例1】（2024·貴州貴陽·一模）中國象棋趣味濃厚，基本規(guī)則簡明易懂，而棋子活動的場所，叫作“棋盤”．觀察如圖所示象棋盤，以“炮”為原點，分別以正東、正北方向為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，請寫出“馬”的坐標(biāo)是．

【答案】【難度】0.94【知識點】寫出直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)【分析】此題主要考查了坐標(biāo)確定位置，正確理解題意是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出坐標(biāo)系，進(jìn)而確定公園的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示：“馬”的坐標(biāo)是：．故答案為：．

【典例2】（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）已知a，b都是實數(shù)，設(shè)點，若滿足，則稱點P為“新奇點”．若點是“新奇點”，則M的坐標(biāo)為．【答案】【難度】0.85【知識點】解一元一次方程（二）——去括號、寫出直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)【分析】本題考查新定義．根據(jù)新定義確定m的值．解題關(guān)鍵是理解新定義．根據(jù)“新奇點”的定義，得方程．求解得出的值，從而求出點的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：∵點是“新奇點”，∴．解得：．∴．∴點M的坐標(biāo)為．故答案為：．【典例3】（2024·四川廣元·中考真題）若點滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標(biāo)．【答案】（答案不唯一）【難度】0.85【知識點】解分式方程、坐標(biāo)與圖形【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以后去分母，令x代入一個數(shù)值，得到y(tǒng)的值，以此為點的坐標(biāo)即可，正確解分式方程是解題的關(guān)鍵【詳解】解：等式兩邊都乘以，得，令x=2，則y=?1，∴“美好點”的坐標(biāo)為，故答案為（答案不唯一）【典例4】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖1所示，該幾何體為長方體，記作長方體，如圖2所示，以頂點為原點O，分別以棱，，所在的直線為x軸、y軸、z軸，建成的坐標(biāo)系稱為立體坐標(biāo)系（亦稱三維坐標(biāo)系），立體空間中點的位置由三個有序的實數(shù)確定，記作，稱為該點的坐標(biāo)．若長方體的長寬高分別為，，我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，由點豎直向上平移1個單位可得到點C，所以點C在立體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記為，由此可知點O和點B的坐標(biāo)分別記為，．照此方法，請你確定點D在立體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點】坐標(biāo)與圖形、寫出直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)【分析】本題考查了新定義以及坐標(biāo)與圖形，長方形的性質(zhì)，先理解題意，得出，，結(jié)合點O和點B的坐標(biāo)分別記為，，然后得出，最后得，即可作答．【詳解】解：依題意，∵在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，由點豎直向上平移1個單位可得到點C，所以點C在立體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記為，且長方體的長寬高分別為，，∴，，∵點O和點B的坐標(biāo)分別記為，，∴，∵，∴，故選：C．【典例5】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點B在x軸的正半軸上，且，將沿x軸向右平移得到，與交于點F．若，則點D的坐標(biāo)為．【答案】【難度】0.65【知識點】寫出直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用平移的性質(zhì)求解、由平行判斷成比例的線段【分析】由點，，可得，由平移的性質(zhì)可知，，，則，可求，，進(jìn)而可求點D的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點，，∴，由平移的性質(zhì)可知，，，∴，解得，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行線分線段成比例，點坐標(biāo)等知識．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行線分線段成比例，點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【典例6】（2024·四川樂山·模擬預(yù)測）如圖所示，矩形中，，則點B的坐標(biāo)為（

）．A． B．C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點】解直角三角形的相關(guān)計算、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、寫出直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)、二次根式的混合運算【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，過點A作y軸的平行線交x軸與點E，過點B過作該平行線的垂線垂足為點I，交y軸于點F，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，解直角三角形，求出，利用矩形的性質(zhì)得到，求出，進(jìn)而求出，即可得到點B的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過點A作y軸的平行線交x軸與點E，過點B過作該平行線的垂線垂足為點I，交y軸于點F，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，則，∵矩形中，，∴，∴，∴，同理，，∴在中，，∴在中，，∴在中，，∵，∴四邊形是矩形，∴∴，∵點B在第二象限，∴點B的坐標(biāo)為:故選：A．考點五：點坐標(biāo)規(guī)律探索【典例1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到點，再將點繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到，再將點繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到，依此類推，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點】求繞原點旋轉(zhuǎn)90度的點的坐標(biāo)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、點坐標(biāo)規(guī)律探索【分析】本題考查坐標(biāo)規(guī)律探索，全等三角形的判定與性質(zhì)；過點P作軸，過點作軸，根據(jù)條件證明，即可求得，同理可得：，，即可求解．【詳解】過點P作軸，過點作軸，如圖，∵點繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到點∴，∴∵∴∵∴∵，∴，，∴∴∴；同理可得：，，…….∵∴故選：C．【典例2】（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）如圖，在單位長度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為的弧多次復(fù)制并首尾連接而成．現(xiàn)有一點從（為坐標(biāo)原點）出發(fā)，以每秒米的速度沿曲線向右運動，則在第2024秒時點的縱坐標(biāo)為（）A． B． C．0 D．1【答案】C【難度】0.65【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索、求弧長【分析】本題考查弧長的計算、點的坐標(biāo)的特點，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題意和圖形，可以求得弧的長，然后由圖可知，每走兩個弧為一個循環(huán)，然后即可得到在第2024秒時點P的縱坐標(biāo)．【詳解】解：（米）；∵（秒），∴每4秒一個循環(huán)，∵，∴在第2024秒時點P的縱坐標(biāo)為0，故選：C．【典例3】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點B坐標(biāo)是1,0，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向為）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應(yīng)點記為，的坐標(biāo)是2,0；第二次滾動后，的對應(yīng)點記為，的坐標(biāo)是2,0；第三次滾動后，的對應(yīng)點記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是．【答案】【難度】0.65【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查了點的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運動方式，依次求出點A的對應(yīng)點，，，的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：正方形頂點M的坐標(biāo)為，,是等邊三角形，點B坐標(biāo)是，等邊三角形高為，由題知，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；繼續(xù)滾動有，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個為一組，，的坐標(biāo)與的坐標(biāo)一樣為，故答案為：．【典例4】．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知，，，，，，，…，依此規(guī)律，則點的坐標(biāo)為．【答案】【難度】0.65【知識點】求一個數(shù)的算術(shù)平方根、點坐標(biāo)規(guī)律探索【分析】本題考查了點坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意可知個點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，的坐標(biāo)為，據(jù)此可求得的坐標(biāo)．【詳解】解：∵，，，，，，，…，，∴可知個點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，的坐標(biāo)為，∵，∴的坐標(biāo)為．∴的坐標(biāo)為故答案為：．【典例5】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點、、、…在x軸的正半軸上，點、、…在直線上．若點的坐標(biāo)為2,0，且、、…均為等邊三角形．則點的縱坐標(biāo)為．【答案】【難度】0.4【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索、正比例函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】過點作軸，交直線于點，過點作軸于點，先求出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的長，即可得點的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點，，的縱坐標(biāo)，最后歸納類推出一般規(guī)律得到的縱坐標(biāo)，由此即可算出點的縱坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過點作軸，交直線于點，過點作軸于點，，，當(dāng)時，，即，，，，是等邊三角形，，，，，，即點的縱坐標(biāo)為，同理可得：點的縱坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為，歸納類推得：點的縱坐標(biāo)為（為正整數(shù)），則點的縱坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查了點坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識點，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．【典例6】（2024·寧夏銀川·二模）如圖，（n為正整數(shù)）均為等邊三角形，它們的邊長依次是2，4，6，…，，頂點均在y軸上，點O是所有等邊三角形的中心，點的坐標(biāo)為．

【答案】/【難度】0.65【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】此題考查了點的變化規(guī)律，主要利用了等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形求出點、、的坐標(biāo)，找到點的變化規(guī)律，求出點的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵，，，…，（為正整數(shù)）均為等邊三角形，它們的邊長依次是，頂點均在軸上，過點作軸于點B，連接，

∵點O是所有等邊三角形的中心，∴，∵，∴，∴，∴的坐標(biāo)為，同理可得，，則第二個三角形的頂點的坐標(biāo)為，則第三個三角形的頂點的坐標(biāo)為，∵，∴點是第10個等邊三角形的第2個頂點，位于第四象限，∴點的坐標(biāo)為：．故答案為：．【典例7】（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點，其平移過程如下：若“和點”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點，則點Q的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【難度】0.4【知識點】利用平移的性質(zhì)求解、點坐標(biāo)規(guī)律探索、坐標(biāo)與圖形【分析】本題考查了坐標(biāo)內(nèi)點的平移運動，熟練掌握知識點，利用反向運動理解是解決本題的關(guān)鍵．先找出規(guī)律若“和點”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，按照的反向運動理解去分類討論：①先向右1個單位，不符合題意；②先向下1個單位，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標(biāo)為，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為．【詳解】解：由點可知橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，繼而向上平移1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為2，繼而向左平移1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，又要向上平移1個單位，因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律為若“和點”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，若“和點”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點，則按照“和點”反向運動16次求點Q坐標(biāo)理解，可以分為兩種情況：①先向右1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0，應(yīng)該是向右平移1個單位得到，故矛盾，不成立；②先向下1個單位得到，此時橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，則應(yīng)該向上平移1個單位得到，故符合題意，那么點先向下平移，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標(biāo)為，即，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為，故選：D．【典例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）觀察規(guī)律，運用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過點作軸的垂線，交的圖象于點，交直線于點．則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.15【知識點】點坐標(biāo)規(guī)律探索【分析】令，可得∶縱坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，利用閱讀學(xué)習(xí)的知識遷移計算解答即可．本題考查了交點問題，距離規(guī)律計算，熟練掌握規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵過點的垂線，交的圖象于點，交直線于點；∴令，可得∶縱坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，，．，當(dāng)時．原式故選D．考點六：點的坐標(biāo)變換【典例1】（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，兩點的坐標(biāo)分別為，，將線段平移得到線段．若點的對應(yīng)點是，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是．【答案】【難度】0.85【知識點】由平移方式確定點的坐標(biāo)、坐標(biāo)與圖形【分析】此題主要考查了點的平移規(guī)律與圖形的平移，關(guān)鍵是掌握平移規(guī)律，左右移，縱不變，橫減加，上下移，橫不變，縱加減．根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合已知點，的坐標(biāo)，知點的橫坐標(biāo)加上了1，縱坐標(biāo)加1，則的坐標(biāo)的變化規(guī)律與點相同，即可得到答案．【詳解】解：平移后對應(yīng)點C的坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)加上了4，縱坐標(biāo)加1，點坐標(biāo)為，即，故答案為：．【典例2】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標(biāo)為0,4，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標(biāo)為．【答案】【難度】0.65【知識點】坐標(biāo)與圖形、等邊三角形的性質(zhì)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作，求出，的值即可得到答案．【詳解】解：作，交y軸于點F，由題可得：，是等邊三角形，，∴是的角平分線，，，在中，，即，解得，，，，，故答案為：．【典例3】（2024·遼寧撫順·一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，的頂點均在格點上．(1)畫出關(guān)于原點O的中心對稱圖形．(2)將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，畫出．(3)若由繞著某點旋轉(zhuǎn)得到的，則這點的坐標(biāo)為．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【難度】0.65【知識點】畫已知圖形關(guān)于某點對稱的圖形、找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點、畫旋轉(zhuǎn)圖形、寫出直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)【分析】本題主要考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可畫出；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為兩組對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求；（3）解：如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)中心到兩對應(yīng)點的距離相等；旋轉(zhuǎn)中心在線段的中垂線上，即為圖中點P；由圖象可知，該點的坐標(biāo)為．故答案為：0,1．【典例4】（2024·廣西柳州·三模）如圖，的頂點坐標(biāo)分別是、、．(1)如果將沿x軸翻折得到，寫出的三個頂點坐標(biāo)；(2)如果將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．【答案】(1)圖見解析，，(2)見解析【難度】0.65【知識點】寫出直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)、畫軸對稱圖形、畫旋轉(zhuǎn)圖形【分析】此題考查了作軸對稱圖形和作和旋轉(zhuǎn)圖形，點的坐標(biāo)，熟練掌握軸對稱與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）分別作出點A、B、C關(guān)于x軸的對稱不點、、，再連接，，，然后根據(jù)點在坐標(biāo)系中的位置寫出點、、的坐標(biāo)即可．（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點、繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)的位置、，然后連接、、即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，，，（2）解：如圖所示，即為所求，【典例5】（2024·江蘇常州·中考真題）對于平面內(nèi)有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定的距離后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”．(1)如圖，是線段的四等分點．若，則在圖中，線段的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是________，________（寫出符合條件的一種情況即可）；(2)如圖，等邊三角形的邊長是．用直尺和圓規(guī)作出的一個“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別是、、，以點為圓心，為半徑畫圓．若對上的任意點，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)圖見解析（答案不唯一）(3)或．【難度】0.4【知識點】坐標(biāo)與圖形、用勾股定理解三角形、求一點到圓上點距離的最值、圖形的平移【分析】（）根據(jù)平移的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；（）延長，在射線上截取線段，分別以為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，即為所求；（）分在圓內(nèi)和圓外兩種情況，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵是線段的四等分點．，∴，∴，∴線段的平移圖形是，；故答案為：，；（2）解：如圖所示，即為所求；由作圖可知：，∴四邊形為菱形，∴，∵，∴四邊形為菱形，∴，∴即為所求；（3）解：∵點的坐標(biāo)分別是、、，∴，∴，，∵對上的任意點，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，且，∴或，當(dāng)在圓外時，當(dāng)向上平移時，∵，，∴，∴當(dāng)在圓內(nèi)時，當(dāng)向下平移時，則，，∴，∴，綜上：或．【點睛】本題考查圖形的平移，點到圓上一點的最值，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，菱形的判定，尺規(guī)作圖等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，理解新定義，是解題的關(guān)鍵．考點七：自變量和函數(shù)值【典例1】（2024·山東東營·中考真題）在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度是所掛物體質(zhì)量的一次函數(shù)．一根彈簧不掛物體時長12.5cm，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為2kg時，彈簧長13.5cm．當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為5kg時，彈簧的長度為cm，【答案】【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、由自變量求函數(shù)值的知識點，解答時求出