知識(shí)點(diǎn)73：電場(chǎng)中帶電體的動(dòng)量和能量問(wèn)題【知識(shí)思維方法技巧】帶電體在約束軌道上碰撞問(wèn)題的處理技巧：（1）解決帶電體在約束軌道上的碰撞運(yùn)動(dòng)，要善于把電學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為力學(xué)問(wèn)題，建立帶電體在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的模型，能夠靈活應(yīng)用動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)、能量觀點(diǎn)和動(dòng)量觀點(diǎn)等多角度進(jìn)行分析與研究：（2）動(dòng)量觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)在力學(xué)和電場(chǎng)中應(yīng)用時(shí)的“三同一異”（3）分析方法：先分析受力情況，再分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過(guò)程(平衡、加速或減速，軌跡是直線還是曲線)，然后選用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理、能量守恒定律解題．考點(diǎn)一：帶電體間的碰撞運(yùn)動(dòng)問(wèn)題題型一：點(diǎn)電荷電場(chǎng)中帶電體間碰撞直線運(yùn)動(dòng)模型【典例1提高題】(多選)如圖所示，在光滑絕緣水平面上，A、B兩小球質(zhì)量分別為2m、m，帶電荷量分別為＋q、＋2q。某時(shí)刻A有指向B的速度v0，B球速度為零，之后兩球在運(yùn)動(dòng)中始終未相碰，當(dāng)兩小球從該時(shí)刻開(kāi)始到第一次相距最近的過(guò)程中()A.任意時(shí)刻A、B兩小球的加速度大小之比均為1∶2B.兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，電勢(shì)能減少C.A球減少的機(jī)械能大于B球增加的機(jī)械能D.電場(chǎng)力對(duì)A球做功的大小為eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)【典例1提高題】【答案】AC【解析】?jī)汕蛩艿膸?kù)侖力為作用力與反作用力，大小相等，由F＝ma知兩球的加速度之比eq\f(aA,aB)＝eq\f(\f(F,2m),\f(F,m))＝eq\f(1,2)，故A正確；兩球組成的系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩球距離最近過(guò)程，兩球間的距離減小，電勢(shì)能增大，有部分機(jī)械能減少，故B錯(cuò)誤；由能量守恒定律可知，減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能，系統(tǒng)電勢(shì)能增加，兩球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，兩球距離最近時(shí)，兩球速度相等，由動(dòng)量守恒定律得2mv0＝(2m＋m)v，解得v＝eq\f(2,3)v0，A球減少的機(jī)械能為ΔEkA＝eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)·2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)v0))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,9)mveq\o\al(2,0)，B球增加的機(jī)械能為ΔEkB＝eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)v0))eq\s\up12(2)＝eq\f(2,9)mveq\o\al(2,0)，所以A球減少的機(jī)械能大于B球增加的機(jī)械能，故C正確；由動(dòng)能定理可知，電場(chǎng)力對(duì)A球做功大小W＝eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)·2mv2＝eq\f(5,9)mveq\o\al(2,0)，故D錯(cuò)誤?！镜淅?提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】如圖所示，在光滑絕緣水平面上有兩個(gè)帶電小球A、B，質(zhì)量分別為3m和m，小球A帶正電q，小球B帶負(fù)電－2q，開(kāi)始時(shí)兩小球相距s0，小球A有水平向右的初速度v0，小球B的初速度為零，取初始狀態(tài)下兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)的電勢(shì)能為零．(1)試證明當(dāng)兩小球的速度相同時(shí)系統(tǒng)的電勢(shì)能最大，并求出該最大值；(2)試證明在兩小球的間距不小于s0的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的電勢(shì)能總小于系統(tǒng)的動(dòng)能，并求出這兩種能量的比值的取值范圍．【典例1提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】【答案】(1)證明略eq\f(3,8)mveq\o\al(2,0)(2)證明略0≤eq\f(Ep,Ek)≤eq\f(1,3)【解析】(1)由于兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)所受合外力為零，設(shè)某狀態(tài)下兩小球的速度分別為vA和vB，由動(dòng)量守恒定律得3mv0＝3mvA＋mvB，系統(tǒng)的動(dòng)能減小量ΔEk＝eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，由于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中只有電場(chǎng)力做功，所以系統(tǒng)的動(dòng)能與電勢(shì)能之和守恒，考慮到系統(tǒng)初狀態(tài)下的電勢(shì)能為零，故系統(tǒng)在該狀態(tài)下的電勢(shì)能Ep＝ΔEk＝eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，聯(lián)立得Ep＝－6mveq\o\al(2,A)＋9mv0vA－3mveq\o\al(2,0)，當(dāng)vA＝eq\f(3,4)v0時(shí)，系統(tǒng)的電勢(shì)能取得最大值，得vA＝vB＝eq\f(3,4)v0，即當(dāng)兩小球速度相同時(shí)，系統(tǒng)的電勢(shì)能最大，最大值Epmax＝eq\f(3,8)mveq\o\al(2,0).(2)由于系統(tǒng)的電勢(shì)能與動(dòng)能之和守恒，且初始狀態(tài)下系統(tǒng)的電勢(shì)能為零，所以在系統(tǒng)電勢(shì)能取得最大值時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能取得最小值，為Ekmin＝Ek0－Epmax＝eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,0)－eq\f(3,8)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(9,8)mveq\o\al(2,0)，由于Ekmin>Epmax，所以在兩球間距不小于s0的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的電勢(shì)能總小于系統(tǒng)的動(dòng)能，在這一過(guò)程中兩種能量的比值的取值范圍為0≤eq\f(Ep,Ek)≤eq\f(Epmax,Ekmin)＝eq\f(1,3).題型二：勻強(qiáng)電場(chǎng)中帶電體間的碰撞直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題【典例2提高題】如圖所示，光滑絕緣水平面上方分布著場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)．質(zhì)量為3m、電荷量為＋q的球A由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，與相距為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的不帶電小球B發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞時(shí)間極短，碰撞后作為一個(gè)整體繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)．兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)，求：(1)兩球發(fā)生碰撞前A球的速度大??；(2)A、B碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能；(3)A、B碰撞過(guò)程中B球受到的沖量大?。镜淅?提高題】【答案】(1)eq\r(\f(2EqL,3m))(2)eq\f(1,4)EqL(3)eq\f(\r(6EqLm),4)【解析】(1)由動(dòng)能定理：EqL＝eq\f(1,2)×3mv2，解得v＝eq\r(\f(2EqL,3m))(2)A、B碰撞時(shí)間極短，可認(rèn)為A、B碰撞過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律：3mv＝(3m＋m)v1，解得v1＝eq\f(3,4)v，系統(tǒng)損失的機(jī)械能：ΔE＝eq\f(1,2)×3mv2－eq\f(1,2)(3m＋m)veq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)EqL(3)以B為研究對(duì)象，設(shè)向右為正方向，由動(dòng)量定理：I＝mv1－0解得I＝eq\f(\r(6EqLm),4)，方向水平向右．【典例2提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】如圖所示，一足夠長(zhǎng)的光滑絕緣水平面上方存在著水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E＝3×103V/m。一質(zhì)量m＝1kg、電荷量q＝＋3×10－3C的彈性小球A由靜止釋放。距離A右側(cè)x＝2m處?kù)o置一大小與A相同、質(zhì)量為2m的不帶電的彈性絕緣小球B。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，兩球發(fā)生彈性正碰(碰撞時(shí)間極短，碰撞過(guò)程中電荷不發(fā)生轉(zhuǎn)移)，空氣阻力不計(jì)。求：(1)小球A、B第一次碰后瞬間的速度v1、v2；(2)兩球第一次碰撞后到第二次碰撞前的最大距離Δx?！镜淅?提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】【答案】(1)－2m/s4m/s(2)2m【解析】(1)以電場(chǎng)方向?yàn)檎较?，假設(shè)球A在與球B碰前瞬間的速度為v0，根據(jù)動(dòng)能定理有qEx＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，得v0＝6m/s，A、B兩球碰撞瞬間動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，有mv0＝mv1＋2mv2，eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,2)，聯(lián)立解得v1＝－eq\f(1,3)v0＝－2m/s，v2＝eq\f(2,3)v0＝4m/s。(2)A、B兩球碰撞后A球彈回，向左做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，B球向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A球速度減小到零后反向向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)二者速度相同時(shí)，距離最遠(yuǎn)。設(shè)從碰撞到共速經(jīng)歷的時(shí)間為t，對(duì)A球a＝eq\f(qE,m)＝9m/s2，v2＝v1＋at，解得t＝eq\f(2,3)s，對(duì)兩球xA＝v1t＋eq\f(1,2)at2，xB＝v2t，Δx＝xB－xA＝2m。題型三：帶電體間的碰撞直線+曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題【典例3提高題】如圖所示，ABD為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB段是水平的，BD段為半徑R＝0.2m的半圓，兩段軌道相切于B點(diǎn)，整個(gè)軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小E＝5.0×103V/m.一不帶電的絕緣小球甲，以速度v0沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在B點(diǎn)帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞，甲、乙兩球碰撞后，乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D.已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m＝1.0×10－2kg，乙所帶電荷量q＝2.0×10－5C，g取10m/s2.(水平軌道足夠長(zhǎng)，甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中甲不帶電，乙電荷無(wú)轉(zhuǎn)移)求：(1)乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；(2)碰撞前甲球的速度v0的大小．【典例3提高題】【答案】(1)0.4m(2)2eq\r(5)m/s【解析】(1)設(shè)乙到達(dá)最高點(diǎn)D時(shí)的速度為vD，乙離開(kāi)D點(diǎn)到達(dá)水平軌道的時(shí)間為t，乙的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x，則mg＋qE＝meq\f(vD2,R)①2R＝eq\f(1,2)(eq\f(mg＋qE,m))t2②x＝vDt③聯(lián)立①②③得x＝0.4m．④(2)設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v甲、v乙，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有mv0＝mv甲＋mv乙⑤eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv甲2＋eq\f(1,2)mv乙2⑥聯(lián)立⑤⑥得v乙＝v0⑦由動(dòng)能定理得－mg·2R－qE·2R＝eq\f(1,2)mvD2－eq\f(1,2)mv乙2⑧聯(lián)立①⑦⑧得v0＝2eq\r(5)m/s.【典例3提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】如圖所示，豎直平面內(nèi)有一固定絕緣軌道ABCDP，由半徑r=0.5m的圓弧軌道CDP和與之相切于C點(diǎn)的水平軌道ABC組成，圓弧軌道的直徑DP與豎直半徑OC間的夾角θ=37°，A、B兩點(diǎn)間的距離d=0.2m．質(zhì)量m1=0.05kg的不帶電絕緣滑塊靜止在A點(diǎn)，質(zhì)量m2=0.1kg、電荷量q=1×105C的帶正電小球靜止在B點(diǎn)，小球的右側(cè)空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)用大小F=4.5N、方向水平向右的恒力推滑塊，滑塊到達(dá)B點(diǎn)前瞬間撤去該恒力，滑塊與小球發(fā)生彈性正碰，碰后小球沿軌道運(yùn)動(dòng)，到達(dá)P點(diǎn)時(shí)恰好和軌道無(wú)擠壓且所受合力指向圓心．小球和滑塊均視為質(zhì)點(diǎn)，碰撞過(guò)程中小球的電荷量不變，不計(jì)一切摩擦．取g=10m／s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．(1)求撤去該恒力瞬間滑塊的速度大小v以及勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；(2)求小球到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度大小vP和B、C兩點(diǎn)間的距離x．【典例3提高題對(duì)應(yīng)練習(xí)】【答案】(1)6m/s；7.5×104N/C(2)2.5m/s；0.85m【解析】(1)對(duì)滑塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有：解得：v=6m/s，小球到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，受力如圖所示:則有：qE=m2gtanθ，解得：E=7.5×104N/C(2)小球所受重力與電場(chǎng)力的合力大小為：，小球到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律有：，解得：vP=2.5m/s，滑塊與小球發(fā)生彈性正碰，設(shè)碰后滑塊、小球的速度大小分別為v1、v2，則有：m1v=m1v1+m2v2，，解得：v1=2m/s(“”表示v1的方向水平向左)，v2=4m/s，對(duì)小球碰后運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有：，解得：x=0.85m考點(diǎn)二：帶電連接體間的碰撞運(yùn)動(dòng)問(wèn)題題型一：輕彈簧連接體碰撞模型【典例1提高題】如圖所示，一豎直光滑絕緣的管內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)絕緣彈簧，其下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的小球A相連，整個(gè)空間存在一豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球A靜止時(shí)彈簧恰為原長(zhǎng)，另一質(zhì)量也為m的不帶電的絕緣小球B從管內(nèi)距A高為x0處由靜止開(kāi)始下落，與A發(fā)生碰撞后一起向下運(yùn)動(dòng)。若全過(guò)程中小球A的電荷量不發(fā)生變化，重力加速度為g。（1）若x0已知，試求B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能ΔE；（2）若x0未知，且B與A一起向上運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)時(shí)恰未分離，試求A、B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量x；（3）在滿足第(2)問(wèn)的情況下，試求A、B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度vm?！镜淅?提高題】【答案】(1)eq\f(1,2)mgx0(2)eq\f(mg,k)(3)geq\r(\f(2m,k))【解析】(1)設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E，在碰撞前A靜止、彈簧恰為原長(zhǎng)時(shí)，有mg－qE＝0設(shè)B在與A碰撞前的速度為v0，由機(jī)械能守恒定律得mgx0＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)設(shè)B與A碰撞后共同速度為v1，由動(dòng)量守恒定律得mv0＝2mv1B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能ΔE為，ΔE＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,1)解得ΔE＝eq\f(1,2)mgx0。(2)A、B在最高點(diǎn)恰不分離，此時(shí)彈簧處于拉伸狀態(tài)，且A、B間的彈力為零，設(shè)它們共同加速度為a，則對(duì)B：mg＝ma對(duì)A：mg＋kx－qE＝ma解得x＝eq\f(mg,k)。(3)A、B一起運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合外力為零時(shí)具有最大速度，設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x′，則2mg－(kx′＋qE)＝0解得x′＝eq\f(mg,k)，由于x′＝x，說(shuō)明A、B在最高點(diǎn)處與合外力為0處彈簧的彈性勢(shì)能相等，對(duì)此過(guò)程由能量守恒定律得(qE－2mg)(x′＋x)＝0－eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,m)解得vm＝geq\r(\f(2m,k))。題型二：板塊連接體碰撞模型【典例2提高題】如圖（a）所示，質(zhì)量m1=2.0kg的絕緣木板A靜止在水平地面上，質(zhì)量m2=1.0kg可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電的小物塊B放在木板A上某一位置，其電荷量為q=1.0×103C?？臻g存在足夠大的水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E1=5.0×102V/m。質(zhì)量m3=1.0kg的滑塊C放在A板左側(cè)的地面上，滑塊C與地面間無(wú)摩擦力，其受到水平向右的變力F作用，力F與時(shí)刻t的關(guān)系為（如圖b）。從t0=0時(shí)刻開(kāi)始，滑塊C在變力F作用下由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，在t1=1s時(shí)撤去變力F。此時(shí)滑塊C剛好與木板A發(fā)生彈性正碰，且碰撞時(shí)間極短，此后整個(gè)過(guò)程物塊B都未從木板A上滑落。已知小物塊B與木板A及木板A與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為=0.1，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g取10m/s2。求：（1）撤去變力F瞬間滑塊C的速度大小v1；（2）小物塊B與木板A剛好共速時(shí)的速度v共；（3）若小物塊B與木板A達(dá)到共同速度時(shí)立即將電場(chǎng)強(qiáng)度大小變?yōu)镋2=7.0×102V/m，方向不變，小物塊B始終未從木板A上滑落，則①木板A至少多長(zhǎng)？②整個(gè)過(guò)程中物塊B的電勢(shì)能變化量是多少？【典例2提高題】【答案】（1）10.5m/s；（2）3m/s；（3）①10.5m，②12J【詳解】（1）在F作用的1s內(nèi)，對(duì)滑塊C，由動(dòng)量定理得由圖像圍成的面積可