第23講立體幾何求角度、距離9類

【題型一】求異面直線所成的角

【典例分析】

如圖，已知P,Q分別是正四面體ABCD的側(cè)面ABC與側(cè)面A3D上動點（不包含側(cè)面邊界）,則異面直線CP,

8。所成角不可能的是

A.45°B.65°C.75°D.90°

【變式演練】

1.從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線a,b,且a,b是異面直線，則a,6所成角的余弦值的所

有可能取值構(gòu)成的集合是（）

A.〈。日鳥PT孚H

D.<0,；,拒A/2

2.如圖，已知正三棱錐A-BCD,BC=CD=BD=6，AB=AC=AO=0，點P，。分別棱BC,CDk

（不包含端點），則直線AP,8。所成的角的取值范圍是.

3.在四棱錐P-ABCD中，上4,底面ABCD,底面ABC。為正方形，B4=AB=3,點〃為正方形ABC。內(nèi)

部的一點，且MD=2M4,則直線PM與AD所成角的余弦值的取值范圍為

【題型二】求直線和平面所成角

【典例分析】

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB〃CD,AD=CD=?，AB=M,PA=",DA_LAB,

2

點Q在PB上，且滿足PQ：QB=1：3,求直線CQ與平面PAC所成角的正弦值.

【變式演練】

1.如圖，已知AB,CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且ABJ_CD,若該圓柱的側(cè)面積是其上底面面積的

2百倍，則AB與平面3CQ所成的角為（）

.71兀c5?

A.-B.—D.——

6412

2.設(shè)正方體ABCA-AMGR棱長為1,平面。經(jīng)過頂點A,且與棱AA所在直線所成的角都相等,

則滿足條件的平面。共有（）個.

A.1B.2C.3D.4

2

3.如圖，在四面體01BC中，已知儂，平面VBC,四與平面4BC所成的角為45。，。是8C上一動點，設(shè)

直線V。與平面ABC所成的角為仇則（)

A.比60°B.更30°C.比45°D.先75°

【題型三】求二面角的平面角

【典例分析】

已知四面體A8CD的每個頂點都在球。（。為球心）的球面上，AABC為等邊三角形，AB=BD=2,AD=^2,

且AC1.30,則二面角A-CD-O的正切值為（）

A.逅

Bc

3-T-TD.半

【變式演練】

1.設(shè)4,4是平面a內(nèi)所成角為《的兩條直線，過4,4分別作平面尸，7,且銳二面角，-4-/的大小為￡,

64

銳二面角a-4-7的大小為?，則平面4，7所成的銳二面角的平面角的余弦值可能是（）

BD

A-T-fc：-1

2.過正方形ABCD的頂點A作線段R4_L平面ABCD,若=則平面ABP與平面CDP所成的銳二面角

的余弦值為（）

B-TcTD-T

3

3.如圖，在長方體A4GR—4不。2。2中，A4=2A4=24G，A,B,C分別是44，4打，GG的中

點，記直線2。與AR所成的角為。，平面45cz）2與平面A3GR所成二面角為夕，則（）

A.cosa-cospB.sina=sin0

C.cosa>costj3D.sinavsin/3

【題型四】翻折中的角度

【典例分析】

「斤AP1

如圖，矩形ABCD中，A3=#>BC,「；===彳，EFC3。=。.將梯形ADEF沿著EF翻折成梯形A'D'EF,

DEBF2

則AC與平面BODC所成角可以是（

A.90°B.75°C.45°D.30°

【變式演練】

1.如圖，矩形ABCD中，已知AB=2,BC=4,E為AD的中點.將ZXABE沿著BE向上翻折至AA,BE，

記銳二面角A-3E-C的平面角為a,A'B與平面3CDE所成的角為夕，則下列結(jié)論不可能成立的是（）

4

Af

A.sina=>/2sinfiB.V2cosa=cos/3

C.a<2/3D.a-j3>—

2.已知△ABC,ZB=ZC=30°。是8C的中點，將△ABD沿AD翻折，得到V/WZ>,設(shè)3'A與平面ADC

所成的角為仇，？C與平面ADC所成的角為。2，B7）與平面AOC所成的角為4，則（）

A.03>23.B.qv2aC.ex<2<92D.e2>20,

3.如圖，矩形ABC。中，已知AB=2,3C=4,E為BC的中點.將“BE沿著AE向上翻折至得到四棱

錐M-AECD.平面AEM與平面AECD所成銳二面角為a,直線ME與平面AECD所成角為尸，則下列說

法錯誤的是（）

A.若F為AD中點，則△ABE無論翻折到哪個位置都有平面平面Affib

B.若。為MD中點，則AWE無論翻折到哪個位置都有CQ//平面曲/

C.&sina=sin〃

D.存在某一翻折位置，使J&osa=cos/7

5

【題型五】三種角度之間的相互關(guān)系

【典例分析】

過正方體ABCD-AB|GR棱的中點與直線B2所成角為40。，且與平面ACGA所成角為50。的直線條

數(shù)為（）

【變式演練】

L如圖，二面角0-/-6的大小是60。，線段"ua.Bel,A3與/所成的角為30。.直線A8與平面夕所

成的角的正弦值是（）

2.已知正方體ABC。-4月4A和空間任意直線/,若直線/與直線所成的角為名，與直線C￡所成的角為

%,與平面ABC。所成的角為瓦，與平面ACGA所成的角為與，則（）

71-、）

At.%+a?——B.%+a2—~

TTTT

C.D.（3x+f32>—

3.已知平面a內(nèi)的NAP6=60°,射線尸。與尸APB所成的角均為135。，則尸。與平面。所成的角。的余弦值

是（）

AA/6RJ「百n6

3333

【題型六】三種角度比大小

【典例分析】

如圖，在三棱錐A-3CD中，AB1BC,BCA.CD,E,尸分別為BC,AD的中點，記平面ABC與平面BCD

6

所成的角為4,直線AC,EF與平面BCD所成的角分別為%,”,若AB>BC>CD,貝。（）

A.*>%,又<2%B,”〉％,ex>203c,a<%，2<2伍D.*<%,a>2%

【變式演練】

1.如圖，在等邊三角形ABC中，2E分別是線段AC上異于端點的動點，S.BD=CE,現(xiàn)將三角形ADE

沿直線DE折起，使平面?平面BCED,當(dāng)。從8滑動到A的過程中，則下列選項中錯誤的是（）

A.NAD3的大小不會發(fā)生變化B.二面角4-應(yīng)>-。的平面角的大小不會發(fā)生變化

C.BO與平面ABC所成的角變大D.AB與DE所成的角先變小后變大

2.如圖，在三棱錐P-ABC中，ABLAC,AB=AP,D是棱8C上一點（不含端點）且尸。=皮），記4MB

為a,直線AB與平面PAC所成角為尸，直線與平面A8C所成角為7,則（）

A.y<P，y<aB.P<a,(3<yC.P<a,y<aD.a<P，y<P

3.己知三棱錐D-ABC,記二面角C-AB-O的平面角是6,直線DA與平面ABC所成的角是〃，直線D4與

BC所成的角是為，則（）

7

A.e>exB.o<oxc.o>0.D."%

【題型七】球中的角度

【典例分析】

己知AB、CD是圓O的兩條直徑，且NAOC=60。，如圖1,沿A8折起，使兩個半圓面所在的平面垂直,

折到點M位置，如圖2.設(shè)直線5D與直線0C所成的角為。，則（）

A./BD'C=90。且。>60。B.48。。=90。且。＜60°

C.ZBDCw90°且。>60°D./BD'Cw90°且"60°

【變式演練】

1.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，平面ABC,PA=AB=BC=2,PB與平面PAC所

成的角為30。，則球。的表面積為（）

A.6萬B.12萬C.16萬D.481

2.一圓柱形容器，底面半徑為1,高為3,里面裝有一個小球，小球的表面和圓柱側(cè)面、下底面均相切.過圓

柱上底面圓周上一點作一個平面a,使得a與小球恰好相切，則a與圓柱下底面所成最小的銳二面角的正

弦值為（）

3.一球。內(nèi)接一圓錐，圓錐的軸截面為正三角形ABC,過C作與球。相切的平面a,則直線AC與平面a所

成的角為（）

A.30°B.45°C.15°D.60°

8

【題型八】壓軸小題中的角度題型

【典例分析】

如圖，在等邊三角形A8C中，QE分別是線段AB,AC上異于端點的動點，且BD=CE,現(xiàn)將三角形ADE沿

直線DE折起，使平面平面3CED,當(dāng)。從B滑動到A的過程中，則下列選項中錯誤的是（）

A./ADB的大小不會發(fā)生變化B.二面角A-BD-C的平面角的大小不會發(fā)生變化

C.30與平面ABC所成的角變大D.A5與DE所成的角先變小后變大

【變式演練】

1.在正四面體D-ABC（所有棱長均相等的三棱錐）中，點E在棱上，滿足AE=2E3,點尸為線段AC

上的動點.設(shè)直線OE與平面。射所成的角為a,則（）

TT

A.存在某個位置，使得DEL加'B.存在某個位置，使得/用8=:

4

C.存在某個位置，使得平面DEFL平面D4cD.存在某個位置，使得，

O

2.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D,E,尸分別為各邊的中點，G,H分別為DE,AP的中點，將AABC

沿DE,EF,。尸折成正四面體尸-。防，則在此正四面體中，下列說法正確的是.

①-異面直線PG與。X所成的角的余弦值為|2

?DF±PE；

③G”與尸。所成的角為45。；

④PG與EF所成角為60。

9

3.斜線OA與平面a成15°角，斜足為。，A，為A在a內(nèi)的射影，8為OA的中點，/是a內(nèi)過點。的動直線,

若/上存在點《，鳥使42=/ARB=30°,則黑則的最大值是，此時二面角平面

I|

角的正弦值是

【題型九】距離

【典例分析】

已知正方體ABCD-A4G2的棱長為2,點E為4。1中點，點尸、M在四邊形ABC。內(nèi)（包括邊界），點P

到平面ABB{\的距離等于它到點D的距離，直線MBJ/平面EQD,則PM的最小值為.

【變式演練】

1.已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球。的球面上，AABC滿足AB=2,ZACB=90°,R4為球。的直

徑且必=4,則點P到底面ABC的距離為（）

A.0B.20C.73D.2石

2.空間給定不共面的A,B,C,。四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面a：

4,B,C,。中有三個點到的距離相同，另一個點到。的距離是前三個點到a的距離的2倍，這樣的平面a

的個數(shù)是個

3.如圖，長方體A8CD-A4G2的底面ABCD是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，E、F分別是

側(cè)棱AA1、CG上的動點，A￡+CF=4,點P在棱上，且AP=1,若EF//平面PBD,則CV=.

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【課后練習(xí)】

1.已知三棱錐8-AC。中，棱AB,CD,AC的中點分別是M,N,O,AABC,AACD,都是正三

角形，則異面直線MN與AD所成角的余弦值為.

2.在正方體43CZ）-AiSGDi中，過點C做直線/,使得直線/與直線BAi和BQi所成的角均為70。，則這

樣的直線/（）

A.不存在B.2條

C.4條D.無數(shù)條

3.設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，尸是棱迅上的點（不含端點），記直線尸3與直線AC

所成的角為a,直線P3與平面ABC所成的角為夕，二面角P-AC-8的平面角是7則三個角a,尸，7中

最小的角是（）

A.aB.f3C./D.不能確定

4.如圖，四邊形ABCD中/A=/CBD=90。，NCOS=30。，AB=AC,沿直線BC將△ABC折成△A3C,使

點A，在平面BCD上的射影在乙BCD內(nèi)（不含邊界），記二面角A-BC-￡>的平面角大小為a,直線AB、AD

與平面3co所成角分別為夕、7,則（）

QA—

5.已知直角梯形ABC。滿足:AD〃友:，CDLDA,且AABC為正三角形.將△AOC沿著直線AC翻折至A

AD'C,JLAd<Biy<CD',二面角D'—AB—C,D'—BC—A,。'-AC—B的平面角大小分別為,直

線。A。氏o,c與平面AB。所成角分別是a?,a，則（）

A.0x>02>03,a>y>pB_Ox<02<O3,a>（3>y

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C.*>%>?3，a<B<yD,<02<03,a</3<y

6.?,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與“，b都垂直，斜邊AB

以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與。成60。角時，AB與匕成60。角；②當(dāng)直線A3與。

成60。角時，與力成30。角；③直線AB與。所成角的最大值為60°；④直線AB與。所成角的最小值為30°；

其中正確的是（填寫所有正確結(jié)論的編號）

7.在正三棱柱ABC-A4G中，AC=A4,=2,點M是線段BQ的中點，點N是線段A