模塊二》

專題整合與考點(diǎn)突破篇

專題四立體幾何

第一講空間幾何體的三視圖、表面積和體積

1.由直觀圖判斷三視圖或由三視圖想象直觀圖，以三視圖為載體，考查面積、

體積的計算.

2.空間幾何體的表面積與體積的計算，通常以幾何體為載體與球進(jìn)行交匯

考查，或蘊(yùn)含在兩幾何體的“接”或“切”形態(tài)中.

高考真題體驗(yàn)Gaokaozhentitiyan>>>細(xì)研真題探明考向

1.（2016?全國卷H）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該

幾何體的表面積為（）

［解析］由二視圖可得圓錐的母線長為第2?+（2、8）2=4,S圓錐惻=TIX2X4

=8TI.XS圓柱惻=27iX2X4=167i,S圓柱底=4瓦,...該幾何體的表面積為8兀+16兀+4兀

=28瓦.故選C.

［答案］C

2.（2017.全國卷I）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由

正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該

多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（）

A.10B.12C.14D.16

［解析］該幾何體由上方的三棱錐A-BCE和下方的三棱柱BCE—BGA1

構(gòu)成，其中面CCiAiA和面BBiAiA是梯形，則梯形的面積之和為2X（'2+^X2=

12.故選B.

［答案］B

3.（2017?浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體

積（單位：加3）是（）

A.^+1

C,^+l

［解析］由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1cm,高為3cm的半個圓

錐和三棱錐s—A5C組成的，如圖，三棱錐的高為3cm,底面△45。中，AB

2cm,OC=1cm,。.故其體積V=|X|XTIX12X3+|X|X2X1X3=

J乙J乙

E+lJcm，.故選A.

［答案］A

4.（2016?全國卷III）在封閉的直三棱柱ABC-AiBiQ內(nèi)有一個體積為V的

球.^AB±BC,AB=6,BC=8,AAi=3,則V的最大值是（

—9兀一，-32幾

A.4兀B.亍C.671Dry-

［解析］由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個側(cè)

面都相切，可求得球的半徑為2,球的直徑為4,超過直三棱柱的高，所以這個

球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑尺=宗該球的體積最大，

%^=芻4樂3=4等7r義2等7=9筆7r故選B.

JJoZ

［答案］B

5.（2017?山東卷）由一個長方體和兩個;圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下

圖，則該幾何體的體積為.

側(cè)視圖（左視圖）

［解析］由三視圖得該幾何體的直觀圖（如圖）.

其中，長方體的長，寬，高分別為2,1,1,圓柱體的底面半徑為1,高為1.

1JT

所以該幾何體的體積V=2X1X1+］XTIX12X1=2+,

［答案］2+,

核心考點(diǎn)犬破

Hexinkaodiantupo>>>典例精析題型突破

考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.三視圖的排列規(guī)則

俯視圖放在正（主）視圖的下面，長度與正（主）視圖的長度一樣，側(cè)（左）視圖

放在正（主）視圖的右面，高度與正（主）視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一

樣.即“長對正、高平齊、寬相等”.

2.原圖形面積S與其直觀圖面積S'之間的關(guān)系

0=玲

［對點(diǎn)訓(xùn)練］

1.（2017.山東部分重點(diǎn)高中模擬）某幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所

示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

［解析］由正（主）視圖和側(cè)（左）視圖可知，該幾何體的頂點(diǎn)的正投影只可能

位于底面的某條邊上，而不可能位于底面內(nèi)部，能滿足此要求的有A,B,D,

故選C.

［答案］C

2.正方體ABC。一A出Ci。中，E為棱53的中點(diǎn)（如圖），用過點(diǎn)A,E,

Ci的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的正視圖為（）

ABCD

［解析］過點(diǎn)4E,G的平面與棱QQi相交于點(diǎn)方，且b是棱。A的中點(diǎn),

截去正方體的上半部分，剩余幾何體的直觀圖如圖所示，則其正視圖應(yīng)為選項

C.

［答案］C

3.（2017?北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度

為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.3娘B.2小C.2啦D.2

［解析］由三視圖得該四棱錐的直觀圖如圖中S—ABC。所示，由圖可知,

其最長棱為SO,且底面A5CD是邊長為2的正方形，S3,面ABC。，SB=2,

所以SZ）=留再轉(zhuǎn)=2班.故選B.

［答案］B

4.一水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示），ZABC=

45°,AB=AD=1,DC±BC,則該平面圖形的面積為.

/M）cx

［解析］如圖，在直觀圖中，過點(diǎn)4作垂足為E,

巫

貝1|在Rt^AB石中，AB=1,NA5E=45°,

而四邊形AECD為矩形，AD=1,

：.EC^AD=1,:.BC=BE+EC='+1.

由此可還原原圖形如圖.

在原圖形中，AzD'=1,A'B'=2,

B'C=芋+1，

且A'D'//B'C,A'B'±B'C,

二.該平面圖形的面積為S=；(A'D'+B'C)-AzB'

=罰1+1+當(dāng)X2=2+坐

［答案］2+乎

|名師點(diǎn)撥A

由三視圖還原到直觀圖的3步驟

(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.

(2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線

和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置.

(3)確定幾何體的直觀圖形狀.

考點(diǎn)二空間幾何體的表面積和體積

1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式

(1)5柱側(cè)=c/z(c為底面周長，h為鬲);

(2)5錐側(cè)=手力'(c為底面周長，h'為斜IWJ);

(3)5臺側(cè)=；(c+c')公(c‘，c分別為上下底面的周長，h'為斜高).

2.柱體、錐體、臺體的體積公式

（1）V柱體=S/z（S為底面面積，"為高）;

（2）V錐體=g>S7z（S為底面面積，八為后））；

（3）V臺=/5+回=+S'）/z（不要求記憶）.

3.球的表面積和體積公式

S表=4兀叱（尺為球的半徑），

/球=,4成3（尺為球的半徑）.

［對點(diǎn)訓(xùn)練］

1.（2017.全國卷H）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是

某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何

體的體積為（）

A.90兀B.63TIC.4271D.36TI

［解析］由三視圖可知兩個同樣的幾何體可以拼成一個底面直徑為6,高為

14的圓柱，所以該幾何體的體積V=；X32XTTX14=63兀故選B.

［答案］B

2.（2017.石家莊一模）某幾何體的三視圖如圖所示（網(wǎng)格線中每個小正方形的

邊長為1）,則該幾何體的表面積為（）

A.48B.54C.64D.60

［解析］由三視圖可知該幾何體為棱長分別為3,4,6的長方體所截得，如圖

所示，其中M為棱的中點(diǎn)，5AMCD=1X6X5=15,SAMAD=SAMBC=^X5X3=^,

5AM^B=1X6X4=12,S?ABCD=6X3=18,所以該幾何體的表面積為15+與X2

+12+18=60,故選D.

［答案］D

3.（2017?太原一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.6兀+1B,^+1

(23+72)711D.^^+l

C.4十/

［解析］由幾何體的三視圖知，該幾何體為一個組合體，其中下部是底面直

徑為2,高為2的圓柱，上部是底面直徑為2,高為1的圓錐的四分之一，所以

該幾何體的表面積為4兀+兀+苧+亭+1="詈江+1,故選D.

［答案］D

4.（2017?唐山三模）已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的

體積是?

側(cè)（左）視圖

［解析］由三視圖得該幾何體是底面為直角梯形，一條側(cè)棱垂直于直角梯形

12+4

的上底邊的直角頂點(diǎn)的四棱錐，所以該幾何體的體積為QX一廠X2X2=4.

［答案］4

|名師點(diǎn)撥A

求幾何體表面積和體積關(guān)鍵過好“兩關(guān)”

（1）還原關(guān)，即利用“長對正，寬相等，高平齊”還原空間幾何體的直觀圖.

（2）公式關(guān)，即會利用空間幾何體的體積或表面積公式求簡單組合體的體積

或表面積.

【特別提醒】求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)

則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.

考點(diǎn)三多面體與球

與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.

要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素

角度1:與球的組合體中求棱柱（錐）的表面積或體積

【例1一1】已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個體積為等的

__________L-------切入點(diǎn)：確定球心及切點(diǎn)

L_____〉

堡生爨助逝逍典擔(dān)期,那么這個三棱柱的表面積是（）的位置，得出相應(yīng)的數(shù)量

A.6V3B.1273C.18^/3D.24有關(guān)系，

［解析1根據(jù)已知可得球的半徑等于1,故三棱柱的高等2V3X2+2XyX2V3X3=1873.

于2,底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1,即底面三角形的高

［答案］C

等于3,邊長等于2悟，所以這個三棱柱的表面積等于3X

角度2：與球的組合體中求球的表面積或體積

【傷!11—2】（2017?武漢調(diào)研）一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中鵬財切入點(diǎn)：利用三視圖還原幾何

〉體，確定數(shù)量關(guān)系.

箜嬰直兔二鰥江圓圉姻現(xiàn)強(qiáng)線蚯唆二更生，則此三棱錐生接

嬖謖畫壑為)

）關(guān)鍵點(diǎn)：確定球心的位置，用補(bǔ)

形法或直角三角形求解.

A.16K

B.97r

C.47r

D.K

俯視圖

線面間—確定球

［思維流程］三視圖f直觀圖f位置關(guān)系f心位置

解三角形

求出R

［解析］三棱錐如右圖，設(shè)外接球半徑為H,AB=AC=2,ZfiAC=90°,D

為中點(diǎn).SZ）,面A5C球心。在5。上，SD=2.在直角△OOC中，OC=R,

OD=2—R,。。=也.則（2—H>+（.）2=尺2,即尺=1,故V—A5C的外接圓的

表面積為S=4兀k=9幾，選B.

［答案］B

|名師點(diǎn)撥A

解決多面體與球切、接問題的3步驟

（1）過球及多面體中的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作面，化空間問題為平面

問題.

（2）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，確定球心位置.

（3）建立幾何量間關(guān)系，求半徑匚

【特別提醒】若球面上四點(diǎn)尸、A、B、C構(gòu)成的三條線段力、PB、PC

兩兩互相垂直，且B4=a,PB=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個

球內(nèi)接長方體，根據(jù)4H2=屋+82+。2求解.

［對點(diǎn)訓(xùn)練］

1.［角度1］（2017?全國卷III）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑

為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）

C3加一兀一兀

A.nB彳C，2D.4

［解析］如圖所示，作出圓柱的軸截面，其中CD為圓柱的高，5為CZ）的

中點(diǎn).

由題意可得AC=1,BC=g,則底面半徑r=AB=-—吩=坐,所以

圓柱的體積V=m^h=7iXX1=%.故選B.

［答案］B

2」角度2］（2017?洛陽市高三第一次統(tǒng)考）四面體A—5CZ）中,ZABC=ZABD

=ZCBD=6Q°,AB=3,CB=DB=2,則此四面體外接球的表面積為（）

19"”/恭兀「175冗

AA.5加B.—為—C.17兀D.—%----

［解析］依題意，在△45。中，一。:/八叱一2AB5CcosNA5C=#.

在AABD中，AD=

NAB2+BD2—2ABBDCOSNABD=yft=AC在△58中，BC=DB=2,ZCBD

=60°,因此△5CD是正三角形，CD=2.如圖所示，

記三棱錐A—BCD的外接球球心為O,半徑為凡取CD的中點(diǎn)V,連接

____s

AM,BM,OA,OB,則有AAfLCD,BMLCD,4M=^7—1=#，BM=,X2

二小,AAf+BM2=9^AB2,AM±BM,AM，平面BCD,球心O在平面BCD

iA/3

上的射影是正△5CD的中心Oi,連接00i,則AM〃0Q,0iM,BM=拳

015=全〃=辛.在直角△BOQ中，00i=\lB02-B0l=個催—g,AM=\［6,

A02=OiM2+（AM-OOi）2,即尺2=；+卜仿—^R2—^2,解得4H2=第=號因

1Qjr

此三棱錐A—5CD的外接球的表面積等于471H2=刀，選A.

［答案］A

名師微課導(dǎo)學(xué)Mingshiweikedaoxue＞＞＞技巧點(diǎn)撥升華素養(yǎng)

熱點(diǎn)課題14補(bǔ)形法求幾何體的表面積和體積

應(yīng)用舉例破題關(guān)鍵點(diǎn)

【典例】（2016?北京卷）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該導(dǎo)鞭典使里為（）切入點(diǎn):確定三視圖與直觀圖

＞中線段長度的變化，求出結(jié)果.

關(guān)鍵點(diǎn)：借助長方體由三視圖

＞還原直觀圖，確定線面間的位

B.yC.yD.1

置關(guān)系.

規(guī)范解答構(gòu)建課題模板

［解析1由三視圖可得該幾何體的直觀圖為三棱專隹A-BCD,將其放在長方體中第一步定形狀：根據(jù)給出的三視

如圖所示，其中BD=CD=1,CD_L8D,三棱雄的高為1,所以三棱錐的體積為十圖判斷該幾何體的形狀，若不能

直接判定，可借助正方體、長方

X-i-XlXlXl=-^.故選A.體等.

L0A

第二步定度量：由三視圖中的大

小標(biāo)示確定該幾何體的各個

?^7