廣東省東莞市光明中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={鄧<*<“},8={-2,0,1,2},若人口8=0，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<\B.a<2C.a<\D.a<2

2.已知z=高，則|z_l|=（）

A.日B.1C.&D.2

3.已知公差不為零的等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S“，且&=5（生+出+歿），則人（）

A.8B.10C.13D.15

4.已知點(diǎn)0（0,0）,向量函=（-1,2）,向量無=（2,4）,且羽=2而，則礎(chǔ)=（）

A.-B.MC.-D.晅

233

5.函數(shù)〃x）=sinx+sin2x在區(qū)間（0,3兀）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

6.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，滿足不等式組］：2：；21；；：；的點(diǎn)（乂，）表示的區(qū)域面積為

（）

71

A.――1B.兀C.7i-lD.71-2

2

7.銳角VABC的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為〃也c,角A的平分線交8C于點(diǎn)O,若

〃+2acos5=2c,且〃=近，8=3.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

,71B.4。=述

A.A=—c.s△…孚D.c=l

35

8.若對(duì)于任意正數(shù)天兒不等式Ml+lnx”xlny-世恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（)

1]_J,+oo

B.，一C.D.

ee

二、多選題

9.已知隨機(jī)事件A,8發(fā)生的概率分別為尸(A)=g,尸(8)=：.事件A,2的對(duì)立事件分別

為X，耳,則下列結(jié)論正確的是()

A.叩)=|

B.若A與B互斥，貝UP(AuB)=|

C.若尸(AB)=尸(A)尸(3),則A,B相互獨(dú)立

D.P(A|B)+P(A|B)=P(B)

io.在正方體ABCD-ABIGD中，。為四邊形ABiGA的中心，平面ABon平面cor>=/,

則下列結(jié)論正確的是()

A.直線A。與BC1異面B.AOLBD

C.平面ABO_L平面CODD./〃平面ABG2

11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)“X)滿足"x—y)-/(x+y)=/(x-l)/(yT，且40)=2,

g(x)為"%)的導(dǎo)函數(shù),則()

A.“X)為偶函數(shù)B.g(x)為周期函數(shù)

2025

C.優(yōu))=。D.g(2026)=0

k=0

三、填空題

12.若二項(xiàng)式(2x+@y的展開式中1的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)。=.

%X

13.已知隨機(jī)變量x,y均服從0-1分布，若尸(x=i)=尸(y=i)=g,且尸(xy=o)=i,則

P(X=Y)=.

14.設(shè)圓o：f+產(chǎn)=5與拋物線C:y2=2pM>>0)交于點(diǎn)A(x0,2),為圓。的直徑，過

點(diǎn)8的直線與拋物線C交于不同于點(diǎn)A的兩個(gè)點(diǎn)。，E,則直線與AE的斜率之積

為.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

四、解答題

15.記銳角VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos(3—A)=cosA+cosC.

(1)求8的大?。?/p>

⑵若sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，且VABC的外接圓半徑為1,求VABC的面積.

16.已知函數(shù)〃尤)=：依2+(a-l)x-lnx.

⑴討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)/(X)在［1,2］的最小值g(a).

17.在如圖所示的圓柱中，AB,C。分別是下底面圓O,上底面圓。?的直徑，AD,BC是圓

柱的母線，E為圓。上一點(diǎn)，尸為。E上一點(diǎn)，且OP〃平面8CE

(1)求證：DP=PE；

(2)若AB=8C=2,二面角O-CE—8的正弦值為孚，求三棱錐C-P3E的體積.

V-21

18.已知曲線C:y=￡，。為直線丁=-不上的動(dòng)點(diǎn)，過。作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8.

22

(1)證明：直線48過定點(diǎn)：

(2)若以為圓心的圓與直線48相切，且切點(diǎn)為線段A8的中點(diǎn)，求該圓的方程.

19.甲乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲乙各猜一個(gè)成語，已知甲、乙第一

輪猜對(duì)的概率都為［甲如果第左(keN*)輪猜對(duì)，則他第七+1輪也猜對(duì)的概率為g,如果第

2

左輪猜錯(cuò)，則他第k+1輪也猜錯(cuò)的概率為乙如果第左輪猜對(duì)，則他第k+1輪也猜對(duì)的概

率為:，如果第上輪猜錯(cuò)，則他第k+1輪也猜錯(cuò)的概率為;.在每輪活動(dòng)中，甲乙猜對(duì)與否

互不影響.

(1)若前兩輪活動(dòng)中第二輪甲乙都猜對(duì)成語，求兩人第一輪也都猜對(duì)成語的概率；

(2)若一條信息有"5>l,?eN*)種可能的情形且各種情形互斥，每種情形發(fā)生的概率分別為

鳥，L,P”,則稱“=-￡(平og2編為該條信息的信息燧(單位為比特)，用于量度

1=1

該條信息的復(fù)雜程度.試求甲乙兩人在第二輪活動(dòng)中猜對(duì)成語的個(gè)數(shù)X的信息燧H；

(3)如果“星隊(duì)”在每一輪中活動(dòng)至少有一人猜對(duì)成語，游戲就可以一直進(jìn)行下去，直到他們都

猜錯(cuò)為止.設(shè)停止游戲時(shí)“星隊(duì)”進(jìn)行了y輪游戲，求證：E(y)<4.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《廣東省東莞市光明中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DCCDBDDCABCABD

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【分析】根據(jù)集合A是否為空集進(jìn)行分類討論，由此求得。的取值范圍.

【詳解】當(dāng)時(shí)，A=0,滿足從口8=0,

當(dāng)a>l時(shí)，AX0,由=

可知1<aW2,

綜上所述，a<2.

故選：D

2.C

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的模公式求解.

2-iJ)。一方)

【詳解】解:因?yàn)閦=

l+2i(l+2i)(l-2i)

所以z—l=—1—i,

所以=+(-1)2=0,

故選：c

3.C

【分析】利用等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可求得上的值.

【詳解】因?yàn)楣畈粸榱愕牡炔顢?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為3，且?guī)?5(/+%+%),

因?yàn)镾15=-=15〃8—5(〃3+/+Q左),

整理可得。3+以=2%=%+%3，故氏=%3，所以，左=13.

故選：C.

4.D

【分析】設(shè)方=(x,y),表示出市5、麗的坐標(biāo)，從而得到方程組，解得求出赤，再

由模長(zhǎng)公式求解即可.

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

【詳解】設(shè)麗=(x,y),因?yàn)橄蛄葵?(-1,2),礪=(2,4),

貝屈=而_礪=(x,y)_(-l,2)=(x+l,y_2),

麗=礪一麗=(2,4)—(x,y)=(2-x,4-y),

X=1

解得10,

y=-

3

5.B

【分析】利用二倍角公式可得sinx=?；騦+2cosx=0,故可求零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】令〃尤)=。，貝Usinx+2sinxcosx=0,

故sinx=0或l+2cosx=0,而》€(wěn)(0,3兀)，

所以工=?；騲=2?；騲=夸或苫=手或工=券，

故共有5個(gè)零點(diǎn)，

故選：B.

6.D

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系來求得正確答案.

x2+y2-2x<l(-^-1)-+y2<2

【詳解】依題意,

x2+y2+2x<\(x+1)2+y2<2

所以不等式組表示的區(qū)域是圓G:(xT)?+y2=2與圓C?:(x+iy+y2=2公共的內(nèi)部區(qū)域,

畫出圖象如下圖所示，^(1,0),^(1,0),兩圓半徑都是&,

設(shè)兩個(gè)圓相交于兩點(diǎn)，則4(0,1),*0,-1),

由于『2，

|AC+|AC2|=|CG「AC21AClt

所以AC?是圓C1的切線，AG是圓G的切線,

同理8C?是圓C1的切線，BG是圓G的切線，BC21BC,

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

|Aq|=|AC2|=|Bq|=|BQ|=^,所以四邊形ACtBC2是正方形,

所以區(qū)域面積為；xnx(0)-ix72x72X2=TI-2.

故選：D

7.D

【分析】利用余弦定理，三角形面積公式，逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】因?yàn)?+2ocosB=2c,且。=近，b=3,

2C-3

所以3+2，7COS8=2C,即COSB=："^,

/+。2—/_7+。2-9

由余弦定理,cosB=

2ac2幣c

由2；金=；正2，整理得，一3c+2=0,解得。=1或。=2,

當(dāng)。=1時(shí)，cos5=,<0,此時(shí)B為鈍角，與VABC為銳角三角形矛盾，舍去,

故c=2,即D錯(cuò)誤;

由〃=,b=3,c=2,和余弦定理，可得cosA="+'——9+4-7_1

2bc2x3x2-2

因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以4=g,故A正確；

此時(shí)，S=—bcsinA=—x3x2xsin—=，故C正確;

aABC2232

因?yàn)锳0為角A的平分線，設(shè)AD=%,

由S4e=S+S,nr^-&csin-=-cxsin-+-Z?xsin-,

ABhBADhCAD2jZo2o

即得上巨=J_x+3x,解得x=5叵，即AD=5叵，故B正確.

22455

故選：D.

8.C

【分析】對(duì)不等式分離參數(shù)得到在?吟一不令「。構(gòu)造函數(shù)g⑺=哼1〃?0,+孫

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

則。NgOmax，通過導(dǎo)數(shù)研究g?)單調(diào)性求出最大值即可.

【詳解】由不等式1(1+1!1^"X111'一沖恒成立，且%>0,y>0,

JQ尤XVX

分離參數(shù)得ay〉x(lny_lM)_x,所以QN](lny_lnx)_1,gp?>—ln^--,

設(shè)"十，得〃之^2^，?0,+力)，設(shè)g⑺Jn；T,，?0,+孫則〃Ng?)max.

g@="學(xué),由g'⑺=0得"e2,當(dāng)re(0,e2)時(shí)，g'W>0,g⑺單調(diào)遞增；當(dāng)口④,一)

時(shí)，g'?)<0,gQ)單調(diào)遞減；

2-11

所以g?)max=g(e?)=^-=F.

ee

所以a2r.

e~

故選：C.

9.ABC

【分析】由對(duì)立事件概率的公式求得尸(4),判斷A選項(xiàng)；由互斥事件的概率公式求得

P(AUB),判斷B選項(xiàng)；由獨(dú)立事件的公式求得尸(鈣)，判斷C選項(xiàng)；由條件概率即可判

斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)镻?=l-P(A)=j所以A正確；

對(duì)于B,因?yàn)锳與2互斥，所以P(AuB)=尸(A)+P(2)=:所以B正確；

對(duì)于C,因?yàn)槭?AB)=P(A)尸(可，根據(jù)事件獨(dú)立性的定義可知A,B相互獨(dú)立，所以C正

確;

_-P（AB}P（AB）P（AB）+P（AB）=^=11

對(duì)于D,由「（A|B）+P（A|B）=\\/=———T-,所以D

P⑻P⑻P⑻

錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.ABD

【分析】根據(jù)題意作圖，由線線平行得到兩直線共面，從而找到交線，由線線平行證明線面

平行判斷D選項(xiàng)；利用假設(shè)法和點(diǎn)線面的關(guān)系證明A選項(xiàng)；證明線面垂直，從而得到線線

垂直，判斷B選項(xiàng)；由銳二面角的定義得到兩平面夾角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)，求出二面角即可

判斷C選項(xiàng).

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

【詳解】根據(jù)題意作圖，取A〃，CM中點(diǎn)H,/,連接印，連接AC交B￡＞與點(diǎn)。I，連接。a,

如下:

行一一一?！浮?、弓

，/為A2C片中點(diǎn)，H/〃A/〃AB且Oem，.?.印U平面ABO,

同理可得：mu平面DCO,即m為直線/,/不在平面ABG2內(nèi)，

1//AB,ABu平面ABC]，，；./〃平面ABC^,D選項(xiàng)正確；

,/Iu平面AlBlClDl,：.平面4耳CDCl平面ABO=I,

又：Ge平面AB￡Z)i，

假設(shè)若直線AO與直線BG共面，則Ge/,顯然假設(shè)不成立，

即直線4。與BG異面，A選項(xiàng)正確；

在正方形A3CD中AC13D,在正方體中。。J?平面ABC。，Mu平面ABC。，

OOX1BD,又acnoq=a，ACu平面AOC,。。＜=平面AOC,

，BD工平面AOC,又AOu平面AOC,ABD1OA,B選項(xiàng)正確；

?/HI/Z^B,,Z.HI±平面BCCE,CIu平面BCCQi,BIu平面BCCtBt,

HILCI,HILBI,由：C/u平面。OC,B/u平面AOB,

即ABIC為平面ABO與平面COD的銳二面角，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,

則3/=C7=小C；+CC；=712+22=75,

R[2./02_c.c_Ao

cosABIC=------------=——=_「廣=一片0,即ABICw90°,即平面ABO，平面

2BIIC2XA/5X755

COD不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABD.

11.ABD

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

【分析】通過對(duì)給定的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行賦值等操作來分析函數(shù)f(x)的性質(zhì)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)來

判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性，從而確定正確答案.

【詳解】令x=y=O,代入/熾一田一/口+/=/口一口/⑶一口可得：

/(O)-/(O)=f(-l)/(-l),即o=(f(_i))2,所以f(_i)=o,

令y=l,則/'(x-l)-/。+1)=/(X-l)f(O)=2/(x-l),BP/(x+1)=-/(%-1),

令x=0得/⑴=_〃T)=0,

以x+1替換尤，貝iJ/(x+2)=-/(x),/(3)=/(1+2)=-/(1)=0

以x+2替換x,則/(x+4)=-/。+2)"(無)，所以函數(shù)/(?是周期為4的周期函數(shù).

令X=o,m/(-y)-f(y)=/(-i)/(y-1)=o,gpf(-y)=f(y),

所以/(X)是偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確.

因?yàn)槭侵芷跒?的周期函數(shù)，對(duì)〃x+l)=-/(x-l)兩邊求導(dǎo)得：

f'(x+1)=-f\x-1),即g(x+1)=-g(x—1).

x+1替換X,則g(x+2)=-g(x).

以x+2替換x,則g(尤+4)=-g(尤+2)=g(x),

所以g(X)是周期為4的周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確.

由/(x)的周期為4,且"0)=2,/(1)=0,/(2)=-2,/(3)=0.

2025

￡f(k)=506x(/(0)+/(I)+/(2)+/(3))+/(0)+/(I)

k=0

=506x(2+0-2+0)+2+0=2,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

因?yàn)間(x)的周期為4,2026+4=506…-2,所以g(2026)=g(2).

又/(x+2)=-/(x),兩邊求導(dǎo)得f'(x+2)=-T(x),即g(x+2)=-g(x),

所以g(2)=-g(0).

而/(x--/(x+y)=/(x-l)/(y-1),令尤=y=l,

可得/(O)-/⑵=/(。)/(0),即2-"2)=4,/(2)=-2.

對(duì)/(x+2)=_〃x)兩邊求導(dǎo)得g(x+2)=-g(x),令尤=0,得g(2)=-g(0).

對(duì)/U-y)—/(%+y)=/(x-l)/(y—1)兩邊對(duì)y求導(dǎo)，

得-/'(x-y)-r(x+y)=_f(y-l)/(x-l),

即-g(x-y)-g(x+y)=/(x-l)g(y-l)

令工=y=0,

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

可得-2g(0)=g(-l)/(-l)=0,所以g(0)=0,貝i]g(2026)=0,D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

對(duì)于抽象函數(shù)性質(zhì)的研究，賦值法是一種重要手段，通過合理選取賦值，能夠挖掘出函數(shù)的

奇偶性、周期性等關(guān)鍵性質(zhì).

函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間存在緊密聯(lián)系，對(duì)函數(shù)等式兩邊求導(dǎo)，能從函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的

性質(zhì)，反之亦然.

12.1

rr：

【詳解】試題分析：由二項(xiàng)式定理可得：rM=C-l2.vH-|=C2'-ax-因?yàn)?

的系數(shù)是84,所以尸=5即酸瀘，*=翻gpc,x22xa5=84tz5=84,所以&=1.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

13.-

3

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的概率特征，結(jié)合互斥事件特征和對(duì)立事件概率性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量x,y均服從0-1分布，且p(x=i)=尸(y=i)=g,

所以p(x=i,y=o)+尸(x=i,y=i)=；,

p(x=o,r=i)+p(x=i,y=i)=1.

因?yàn)槭?xy=o)=i,所以p(x=i,y=o)+p(x=o,y=i)+p(x=o,y=o)=i,

且p(x=i,y=i)=o.

因?yàn)閜(x=i,y=i)=o,所以尸(x=i,y=o)=p(x=o,y=i)=g,

因此尸(x=o,y=o)=i_p(x=i,y=o)_p(x=o,y=i)=i_g_g=g,

所以尸(x=y)=尸(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)=；+o=g.

故答案為：

14.2

【分析】由題意得出A。，2),B(-L-2),設(shè)D&,%),E5,%)，由8,D,E三點(diǎn)共線

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

可得了2%+%+2%=占%+%+2玉，結(jié)合犬=4%，y-=4x2,化簡(jiǎn)得+2（%+%）=4，

代入左仞?心E即可求.

【詳解】將A（%2）代入圓的方程Y+y2=5中，

得其+4=5,故％=±1,

又因?yàn)锳（%,2）為圓O:f+y2=5與拋物線C:;/=2pxO>0）的交點(diǎn)，

所以4（1,2）,代入y'Zpx得。=2,即拋物線Uy?=4x,

則3(-1，一2),

設(shè)￡>(%,yj,El9,%)，

y+2必+2

則由3,D,E三點(diǎn)共線可得—=2117,

玉+1x2+1

整理得+/+2X2=占％+%+2%，

又因?yàn)閥；=4X],y；=4尤2，

所以％￡+4%+2y；=y；必+4y2+2MZ,

整理得-M)[%%+2?+%)-4]=0,

由題意Mw%，

所以％%+25+%)=4,

k,k=％一2%一2『一2%一2_44「_______16_______

ADAE

所以%-lx2-l)￡_]*_]M+2%+2%%+2(X+%)+4

44

故答案為：2.

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

15.（l）5=f

（2）空.

4

【分析】（1）由cosC=-cos（A+3）,結(jié)合兩角和差得余弦公式化簡(jiǎn)即可求解；

TT

（2）結(jié)合等比中項(xiàng)及正弦定理可得3再由余弦定理及正弦定理即可求解；

【詳解】（1）因?yàn)閏osC=-cos（A+5）,

所以cos（3-A）=cosA+cosC=cosA-cos（A+B）,

cos（B-A）+cos（A+5）=2cosAcosB=cosA

1TT

又因?yàn)閂ABC為銳角三角形，故COSAHO,所以COS2=5，即8=

（2）因?yàn)閟inA,siaB,sinC成等差數(shù)列，故2sinB=sinA+sinC,由正弦定理得2b=a+c,

而B

結(jié)合余弦定理cos2="'將2b=a+c代入，解得"c,

lac2

因此VABC為正三角形，而VABC外接圓的半徑為1,利用正弦定理可得

a=b=c=2RsinA=石.

故VABC的面積為S=昱義（廚=空

44

16.⑴答案見解析;

4〃一2—ln2,0<—

2

⑵g(a)=，l--+ln?,-<?<1

2a2

3

—a—1,〃21

2

【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論aWO、a＞0研究導(dǎo)數(shù)的區(qū)間符號(hào)，即可得對(duì)應(yīng)單調(diào)性;

（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論。與區(qū)間［L2］的位置關(guān)系求函數(shù)最小值.

【詳解】（1）由題意知/⑺的定義域?yàn)椋?,+e）,（（切=辦+”］」=0+1）（。1）,

XX

①若4W0,尸（x）＜o(jì)恒成立，所以“X）在（0,+e）上單調(diào)遞減.

②若。＞0,由尸（x）=0,得尤=!，

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

所以當(dāng)時(shí)，/f(x)<0；當(dāng)時(shí)，/(%)>0；

所以/(x)在(。，：］上單調(diào)遞減，在［：，+e［上單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)aWO時(shí)，/⑺在(0,+e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)"0時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，,+J上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，在(。,￡|單調(diào)遞減，在(：,+口單調(diào)遞增.

①當(dāng):W2,即時(shí)，/(x)在［1,2］單調(diào)遞減，

當(dāng)尤=2時(shí)，〃x)有最小值〃2)=4a-2-ln2；

②當(dāng)1<卜2,即g<a<l時(shí)，/(￡)在(1,，)上單調(diào)遞減，在［［2］上單調(diào)遞增.

當(dāng)X」時(shí)，/(x)有最小值，4=兒卜］+(a-l)--In—=1--+lna；

a\a)2\aJaa2a

③當(dāng):VI,即時(shí)，〃X)在［1,2］上單調(diào)遞增，

1Q

當(dāng)x=l時(shí)，〃x)有最小值/⑴=3。+"1=5”1；

4〃一2一1口2,0<。<：

1I?I?

綜上:g(a)hI------FIna,—＜。＜I.

2a2

3

—a-I,ci21

2

17.(1)證明見解析

⑵;

【分析】(1)先通過面面平行的判斷證明平面。尸。"1平面3CE,再由面面平行的性質(zhì)證明

O.PWCE,即。丁是中位線，由此得到P是OE的中點(diǎn);

(2)設(shè)NOBE=a,通過勾股定理計(jì)算將P到CE的距離和P到平面BCE的距離用?表示,

根據(jù)二面角的正弦值列方程求出sin?,再代入體積公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)如圖，連接。E，op,

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

因?yàn)锽C為母線，

所以O(shè)Oi〃BC,

又BCu平面3CE,

所以O(shè)G\〃平面BCE.

因?yàn)镺尸〃平面BCE,

所以平面。POJI平面BCE.

又因?yàn)槠矫鍰CE0平面0Pq=OF,平面DCEQ平面BCE=CE,

所以0FIICE,

因?yàn)椤?是CD的中點(diǎn),

所以P是DE的中點(diǎn),

即DP=PE.

(2)如下圖，作EFLOB,EHLCD,OGLBE.

設(shè)P到CE的距離為人則。到CB的距離為2爪

設(shè)NOJBE=(Z,則有OG=O8-sina=sin6Z,BE=2BG=2OBcosa=2cosa,

EF-BE-sin<z=2cosasina,

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

CE=\IBE2+BC2=J4cos2a+4，EH=dEF?+FH。=A/4COS2asin2(z+4，

因?yàn)镾

g、i7CDEHacos'。sin2a+4

所以八—TT：——=---/=一.

2CEJ4cos2a+4

因?yàn)镺P〃平面3。石，

所以。到平面BCE的距離即是0到平面BCE的距離，即OG=sina.

sina岳

sin<D~CE-B>=—=

所以h,4cos2asin2a+4

J4cos2a+4

解得sina=.

2

V

所以％TBE=LCBE=0CBE=-SOBE-BC=-OG-BE-BC=-x—xy[2x2^~.

jooZ3

18.(1)見詳解；⑵f+(y-$2=4或f+(y-1)2=2.

【分析】(1)可設(shè)A(x”%),B(x2,y2),。億-：)然后求出A,B兩點(diǎn)處的切線方程，比如AE>：

%+；=玉(網(wǎng)-。，又因?yàn)?9也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線A8方程，最后求出它

所過的定點(diǎn).

(2)由⑴得帶參數(shù)的直線A8方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過Af為線段AB的中點(diǎn),

成，項(xiàng)得出f的值，從而求出M坐標(biāo)和|加|的值，最后求出圓的方程.

【詳解】⑴證明：設(shè)。匕-；)，4尤2)則/=]；.

又因?yàn)閥=所以y'=x.則切線DA的斜率為毛，故%+；=占(無jT),整理得

2比1-2y+1=0.設(shè)B(X2，%)，同理得2rxi-2%+1=0.A(%,%),B?,y2)都滿足直線方程

2rx-2y+l=0.于是直線2比-2y+l=0過點(diǎn)A,B,而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線

A8方程為2江一2y+l=0.即2比+(-2y+l)=0,當(dāng)2x=0,-2y+1=。時(shí)等式恒成立.所以直

線A3恒過定點(diǎn)(0,；).

⑵由⑴得直線方程為2rx-2y+l=0,和拋物線方程聯(lián)立得：

2tx-2y+l=0

<12化簡(jiǎn)得工2—2比一1=0.于是％+W=2%,必+%=，(玉+々)+1=2/+1設(shè)M為

答案第12頁(yè)，共14頁(yè)

線段48的中點(diǎn)，則

由于成_L屈，而兩1=(f,/-2),。與向量(1J)平行，所以/+“-2)=0,

解得1=0或1=±1.