貴州省貴陽市修文縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

親愛的同學(xué)，歡迎你參加這次高一的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回溯之旅.在一個(gè)多月里，你肯定又有著許多新奇

的發(fā)現(xiàn)和獨(dú)特的體驗(yàn).這一次月考又是你大顯身手的好機(jī)會(huì)喲！我們相信，在這緊張而又愉快的

時(shí)間里，你一定會(huì)有更好的表現(xiàn)！

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.)

1,設(shè)z(j)=2,則()

A.1B.2C.6D.2^2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出z,然后由共軌復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)模公式可得.

2(1+。=]+]

【詳解】因?yàn)閆0T)=2,所以1-1(1-1)。+1),

所以建一，所以土尸?=也

故選：C

2,已知向量』=?T),石=(1,2),3=(3,2),若(萬一+則實(shí)數(shù)x=()

A.-2B.-1C.1D.2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】由：=(x，T),1=(1，2),.=(3,2),得1-石=(x-l,-3),S+c=(4,4)；

又他-刃)//(B+1),所以4(x-1)-4x(-3)=0,解得x=—2.

故選：A.

7T

^B=-,AB=8,AC=7

3,在V/8C中，3，則8C=()

A.5B.3或5C.4D.2或4

【正確答案】B

【分析】利用余弦定理求解即可.

【詳解】由余弦定理，MAB"+BC--2AB-BCcosB=AC2,

即64+8。2—8BC=49,即8c?—88C+15=0,

解得8C=3或5,

經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足題意.

故選：B.

|5|=1,|6|=2,a-6=--則cos(,,a+B)=

)

_V|_V|V26

A.一三

B.2C.4D.2

【正確答案】A

a+b

【分析】先求，結(jié)合向量的夾角公式可求答案.

223

a+b@+=y/a+2a-b+b=l+2x+4=

【詳解】由模長公式

_3

a-@+B)_萬2+方.g_1_]_桓

cos(a,a+b)=

|a||a+6|同卜+可1x^/24

由夾角公式

故選：A

5.在V48c中，角48,C所對(duì)的邊分別為ac,若acosB+bcosN=a,則V48C一定是

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰或直角三角形

【正確答案】B

【分析】利用正弦定理化邊為角，逆用和角公式即得結(jié)論.

［詳解］由acosB+bcosZ=a,利用正弦定理，sin/cos5+cosNsin5=sinZ,

即5由（幺+8）=5也0=5由幺，因0＜/＜兀,0＜。＜無，則/=C或C=7T_/（不合題意舍去）

故aABC一定是等腰三角形.

故選：B.

6.圣?索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn).其中

央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在

索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB,高為（15G-15）m,在它們之間的地面上的點(diǎn)

M（B,M,D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15。和60°,在樓頂A處測(cè)得

塔頂C的仰角為30°,則小明估算索菲亞教堂的高度為（）

B.20mC.306mD_20V3m

【正確答案】C

【分析】在中由正弦得出AM,再結(jié)合ANCM中由正弦定理得到CM,進(jìn)而能求

CD.

【詳解】由題意知：BCW=45。，NMC=105。，則￡）幺5/=30。，

…ABAB

AM=------------=---------

在RtA4W中，sinZAMBsin15°,

AMCM

在ANCM中，由正弦定理得sin30°sin45°,

所以sin30°sin150-sin300

sin15°=sin（45。-30。）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=xx—=-

且v722224

在RtA。。1/中,

05515）＜*[

AB?sin45°-sin60°

CD=CA/-sin60°=i—r—DUD

sin150-sin30°

42（m）.

故選：C.

7.在V48c中，點(diǎn)D在BC上，且滿足點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x,y

12

__kk__I__

滿足BE=xBA+.v8C,則xy的最小值為（）

血百

A.2B.4GC.4+2D9+4夜

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)平面向量基本定理及共線向量定理的推論，由三點(diǎn)4E，。共線得x+4j=l,且

x>0，>>0,再根據(jù)“1”的代換，運(yùn)用基本不等式可得答案.

［詳解］BE=xBA+yBC=xBA+4yBD

由4￡,z)三點(diǎn)共線可得x+4y=l,且x>0/>0,

12(12)/A\2x［4y""2x

—+—=—+—(x+4y)=9+)+——>9+2-x——

所以％yy)yvxy=9+4也，

4y_2x2V2-I4-V2

一二一1=-----=-------

當(dāng)且僅當(dāng)X>即714時(shí)等號(hào)成立.

故選：D.

A

8.在Rt"8C中，^A=90°,AB=2,AC=4口為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在VN8C斜邊BC的中

線AD上，則萬?定的取值范圍為（）

A.S]B.S]c.[°同D.[網(wǎng)

【正確答案】A

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，“CNB為X,〉軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

AP=AAD（Q<A<1^求出尸點(diǎn)坐標(biāo)可得而?卮，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，"C4s為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,

所以'（°，°），8（0,2）,C（4,0）,因?yàn)榭跒锽C的中點(diǎn)，所以,G，1）,

/。=（2,1）設(shè)幺尸=/L4Q（0<4Wl）所以20=4（2,1）=（244）

所以「（24刀，可得麗=（°，2）-（23）=（-242—4）,

PC=（4,0）-（22,2）=（4-22,-2）

2

fiCh,P5-PC=-102+52=5（2-lf-5

所以、7,

因?yàn)?W%1,所以麗?定=5（4-1）2-5武-5叫

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直

角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算求數(shù)量積.

二、選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.)

9.已知4'Z2是復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是()

A.5+i〉4+iB.2產(chǎn)2=212

C.若㈤〉匕2］，則口」乎』=川22|

【正確答案】BD

【分析】當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部不為0時(shí)，復(fù)數(shù)不能比較大小，由此判斷A,C選項(xiàng)；對(duì)于B,D選項(xiàng),

借助復(fù)數(shù)與共朝復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和模長的運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果即可做出判斷.

【詳解】復(fù)數(shù)的虛部不為0,所以不能比較大小，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)為=4+折，z2=c+di則馬馬=(a-bi)(c-di)=ac—bd—(ad+bc)i,

zrz2=(a+bi)(c+di)=ac—bd+(ad+bc)i印一逐？=ac-bd-(ad+bc)i

所以2仔2=2/2,B選項(xiàng)正確；

若Z]="+bi,Z2=c+di,當(dāng)a,4c,d均不為0時(shí)，z；,z；均為虛部不為0的復(fù)數(shù)，所以不能

比較大小，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)Z]=a+6i,z2=c+dit則z?=(a+歷)(c+di)=ac-bd+(ad+6c)i,

222222

\zxz^=J(ac-bdy+(ad+bey=y/ac+bd~+ad~+bc

則，

2222222222

|zj=Va+b|z2|=y]c+d~|Z111z21=7ac+b~d+ad+bc

，，，

所以匕逐』=匕1|"|,D選項(xiàng)正確.

故選：BD.

10.設(shè)竹，,2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下1，B可作為該平面內(nèi)一組基的是()

A1二,+%,B=%B力=2,+%—2，4"

CQ=,+?2b=-。2a-ex-2e2b=-ex+4e2

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)基底的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】由“建2為不共線向量，可知K與q+02,4―e?與"+02,"—202與一耳+402必不

共線，故］而不共線，所以A,C,D符合；

對(duì)于B,a=4b,故乙3共線，所以B不符合；

故選：ACD.

11.下列四個(gè)命題為真命題的是（）.

A.在A4BC中，角48,C所對(duì)的邊分別為“若a=66=2,A=6,要使?jié)M足條件

0€

的三角形有且只有兩個(gè)，則

B.若向量"S,。），"=（2,1）,則［在3上的投影向量為（4,2）

C.已知向量G=（cosa，sina）,3=（2/），貝/‘一同的最大值為6+1

ABAC

AO=X

|刀IsinBsinC

D.在A48C中,若7%eR）,則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡一定通過

^ABC的重心

【正確答案】BCD

a_b..aV3

sinZ<———

【分析】對(duì)于A,根據(jù)正弦定理可求得sin%sinS可得b2,可求得e取值即

可判斷；對(duì)于B,直接根據(jù)投影公式計(jì)算出投影向量的值即可；對(duì)于C,由向量坐標(biāo)的模長公式

代入計(jì)算，即可判斷；對(duì)于D,令8c邊中點(diǎn)為0,則45+/C=2NO,再根據(jù)正弦定理變形

即可判斷.

a_b

［詳解】對(duì)于A,根據(jù)正弦定理可求得sinZsinB,所以bsinZ=asinB<a<b,

aV3兀八八兀

smA<—=——0<^<—

所以b2,且2,可求得3,故A錯(cuò)誤;

a?b

對(duì)于B,直接根據(jù)Z在加上的投影向量.廣三產(chǎn)…

a-by=y](cosa-2)2+(sina-I)2=j6-4cosa-2sina

對(duì)于c,

212

6-4cos^-2sintz=6-2V5r(-^cos6Z+-^sin6r)sin/?=—^,cos/?=-

則A/5A/5,令<5"

則,一B卜^5-2A/5sin(6z+/?)+l

當(dāng)sin(a+￡)=-1時(shí)，I”可取最大值,最大值為石+1,

故C正確；

一一一由時(shí)

對(duì)于D,令8c邊中點(diǎn)為0,則/8+NC=2NO,再根據(jù)正弦定理sinCsmB,

所以|益|sin8=|/|sinC

/__、

~7~r\j4BACXAT77A2幾

AO-2|=^j-----F|=^j----=1=1----((~AB)+AC)=|=^j-----AD

、I|sin5|^C|sinCI|^C|sinCv7|y4C|sinC

代到

因此點(diǎn)。的軌跡在ZD直線上，所以點(diǎn)。的軌跡經(jīng)過重心，故D正確.

故選：BCD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知向量％與區(qū)的夾角為§兀，且忖=2,W=右，則%在B上的投影向量為—

----b

【正確答案】5

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，利用投影向量的公式，可得答案.

【詳解】由題意可得@在行上的投影向量為

N仿cos一兀

a-br

-1<kb=

故答案為.

13.如圖，V4SC中，AB=AC=2,且V48c的面積為6,點(diǎn)。在8c邊上,

ZADC=45°,則幺。的長度等于

A

【正確答案】6

【分析】先利用三角形的面積公式求出/5ZC的大小，再根據(jù)等腰三角形得到/C的大小，最

后在中利用正弦定理即可求解.

［詳解】因?yàn)閂4SC中，AB=AC=2,且V48c的面積為百，

1八

s“叱=—AB?AC?sinNBAC=也sinZBAC=—

VADL-cc

所以2,解得2,

所以N3NC=60?；?20。，

當(dāng)NA4C=60。時(shí)，因?yàn)?8=NC,所以NB=NC=60°,

又/NOC=45。，所以NZMC=180。-60。-45。=75。，不符合題意；

當(dāng)NA4C=120。時(shí)，因?yàn)镹5=NC,所以/B=NC=30。，

ACAD

又NNOC=45°,所以在&4OC中，由正弦定理可得sinN/DC-sin/C,

JCxsm/C==2xl飛

sinZADCV2

即2

故正

ab=ad-bc

14.定義：°d.已知a,b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若

2cosC-12

cosC+lcosC=0；且a+b=5,則邊c的最小值為.

【正確答案】2##2

【分析】先由新定義將原式化簡，并求得cosC,再代入余弦定理公式表示c,利用基本不等式

求得其最小值.

【詳解】由題可知(2COSCT)COSC-2(COSC+1)=0,

化簡得2cos2c-3cosc-2=0,即(2cosC+l)(cosC_2)=0,

「1

cosc=---

C為三角形內(nèi)角，解得2,

由余弦定理得

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab=(a+b^-ab>(a+b^f—[a；)=?

、f75_5V3155g

所以Y42；2時(shí)等號(hào)成立，所以邊。的最小值為2.

56

故答案為.〒

四、解答題：（本題5題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.已知任K|4=4,且2與石的夾角為120。.

⑴求2陪；

（2a-b\L（a-^-kb^z

⑵若'J\人求實(shí)數(shù)左的值.

【正確答案】（1）—6折

6

(2)7

【分析】（1）利用向量數(shù)量積公式，計(jì)算出；利用平方再開方的方法，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)

算，求得歸+"值.

（2）根據(jù)兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積為零列方程，解方程求得上的值.

【小問1詳解】

a-b同Wcosl20°=3x4x-6

B+可=+B）=\la.2+2a-b+b2=V13

【小問2詳解】

Cla-b^X.（a+kb>]（2a-b\（a+kb>\=^

因?yàn)?lt;JV）,所以1八）,

即2G2+2ka-b-a-b-kb2=0,

,6

18—6（2左一1）—16左=24—28左=0解得及='

16.設(shè)復(fù)數(shù)z=（蘇一4時(shí)5）+"+5加+4）i,.為實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)m為何值時(shí)，z是純虛數(shù)；

（2）若機(jī)=-2,求⑶的值；

（3）若復(fù)數(shù)1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【正確答案】（1）5（2）底

（3）（T,5）

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念列式求解；

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式運(yùn)算求解；

（3）根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義列式求解.

【小問1詳解】

m2-4m-5=0

<

若Z是純虛數(shù)，則〔機(jī)2+5機(jī)+47°,解得加=5,

所以當(dāng)加=5時(shí)，z是純虛數(shù).

【小問2詳解】

若根=-2,則z=7-2i,

所以|卡次+（-2）2=后.

【小問3詳解】

因?yàn)閺?fù)數(shù)"=（加—4機(jī)一5）一（>+5機(jī)+4￡對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（（蘇一批一+5加+4))

若復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，

m2-4m-5<0

-（m2+5m+4^<0一八

則〔1）,解得T〈加<5,

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（T6）.

17,在①浣=（2"⑷J=（cosC,cos8）,-//-；②加mN=acos1-熱③

（a+A）（a-A）=（a-c）c三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.在

V/3C中，內(nèi)角4民0的對(duì)邊分別是見"且滿足.注：如果選擇多個(gè)條件分別解

答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

（1）求角以

（2）若b=2,求V48C面積的最大值.

兀

【正確答案】（1）3

（2）6

【分析】（1）選①：由碗〃人得到（2a-c）cos8-6cosc=0,利用正弦定理和三角形內(nèi)角性質(zhì)

cosB=—

化簡得到2sinZcos5_sin/=0,求得2,即可求解;

-sin5=—cos5/-

選②：由正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)得到22,得到tan8="3,即可求解;

cosB=—

選③：由余弦定理求得2,即可求解;

（2）由余弦定理求得片+。2一。。=4,結(jié)合基本不等式求得ac<4,結(jié)合面積公式，即可求解.

【小問1詳解】

解：選①：因?yàn)闄C(jī)=（2。一°/）n=(cosC,cos5)

由說/折，可得(2。-c)cosB-6cosC=0

由正弦定理得.(2sinA-sinC)cosB-sinBcosC

=2sinNcosB-(sinCcos8+sin8cosc)=2sinNcosB-sin(5+C)=0

因?yàn)?+0=兀_幺，可得sin(8+C)=sinZ,所以2sin/cos§_sinN=0,

,。、cosB=—

又因?yàn)閆e（°，》）,可得sm/〉0,所以2

B=—

因?yàn)锽e(0,萬)，所以3.

bsinA=acosB--

選②：因?yàn)镮6人

Gi

sinBsinA=sin/,(——cosB+—sin5)

由正弦定理得22

axsinB=——cosB+—sinB

又因ZA為可得則22

—sin3=——cos5人

即22,可得tan8=

B=—

因?yàn)?e(0，?),所以3

選③：因?yàn)椋?+'）（"'）=（"°）c,可得/+C2=四,

由余弦定理得2aclac2,

B=—

又因?yàn)锽e（0"）,所以3.

【小問2詳解】

B=-

解：因?yàn)?,且3=2,

22c兀

44=a+c-2accos一

由余弦定理知=a2+c2-laccosB即3,

22

可得a+c-ac^4)

又由a2+c2_qc22ac_ac=aj當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以

c1.n/1,.兀fT

S=—acsmB<—x4xsm—=>J3

所以VMC的面積“ABRCr223

即V4SC的面積的最大值為6.

s

18.如圖，在梯形4CD中，ABIICD,ABVAD,AB=2CD=4,E>F分別為℃、

LKJUUUU

C5的中點(diǎn)，且4c?￡E=2,P是線段48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)若EF=mAB+nAD,求加"的值;

(2)求的長；

(3)求麗?麗的取值范圍.

【正確答案】(1)4

(2)2

(3)P,51

【分析】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，可得答案；

(2)利用同一組基底表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案；

(3)利用同一組基底表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【小問1詳解】

EF=-BD

由瓦/分別為dC的中點(diǎn)，則EP//AD,2,

EF--DB--\AB-AD)=mAB+nADm=—,n=—

由圖可得22、7，則22,

1

mn=——

所以4

【小問2詳解】

—■1—■1—.

EF=-AB——ADAC=-AB+AD

由（1）可知222

由則18=0,

ACEF2

4一：西=2屈=2

可得?,解得II

【小問3詳解】

PE=PA+^D+DE=-xAB+AD+-AB=

由圖可得4

|2

AD

=|吃—x+x]xl6+gx4=16x2—16x+5=161x—g1+1

由OKI,則麗?而W,5]

19.正等角中心(positiveisogonalcentre)亦稱費(fèi)馬點(diǎn)，是三角形的巧合點(diǎn)之一.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十

七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與

此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)74BC的三個(gè)內(nèi)

角均小于120。時(shí)，使得/208=/5℃=/0。4=120°的點(diǎn)0即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)V48c有一個(gè)

內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問題：己知

V4BC的內(nèi)角4民C所對(duì)的邊分別為“

⑴若csinC-asinZ=(c-b)sinB

①求A；

②若兒=2,設(shè)點(diǎn)P為VMC的費(fèi)馬點(diǎn)，求蘇?麗+麗?同+卮衣;

(2)若cos2c+2sin(Z+8)sin(Z—8)=1,設(shè)點(diǎn)尸為VNBC的費(fèi)馬點(diǎn)，

\PB\+\PC\=t\PJ!\求實(shí)數(shù)/的最小值.

【正確答案】⑴①60°；②—1；

(2)2+2省.

【分析】(1)①利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得；②利用費(fèi)馬點(diǎn)的意義，結(jié)合

三角形面積公式及數(shù)量積的定義計(jì)算即得.

(2)利用三角恒等變換求出角A,借助費(fèi)馬點(diǎn)，利用余弦定理、