貴州大學(xué)附屬中學(xué)高一下數(shù)學(xué)第一次月考考試試卷

注意事項：

1.本試題共150分，考試時長120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、報名號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.）

1.若圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，則它的體積為（）

A.述兀B.8兀C.12兀D.8扃

3

【答案】A

【解析】

【分析】由條件確定圓錐的底面半徑和高，在利用圓錐的體積公式求結(jié)論.

【詳解】因為圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，

所以圓錐的底面半徑廠=2,高h(yuǎn)不=2有，

所以圓錐的體積V——nr~h——xx4x2\/3=8G兀.

333

故選：A.

2.已知圓臺的上、下底面的面積分別為4兀36兀，側(cè)面積為64兀，則該圓臺的高為（）

A.2有B.3A/3C.4石D.

【答案】C

【解析】

【分析】由題意得圓臺的上、下底面的半徑，作出圓臺的軸截面，根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式計算出母線長，再

利用勾股定理求出圓臺的高即可.

【詳解】做圓臺的軸截面，如圖：

由題意得圓臺的上，下底面的半徑分別為2,6,

設(shè)圓臺的母線長為/,高為"則該圓臺的側(cè)面積

S側(cè)=7IX(2+6)X/=64TI,解得/=8,

所以“二J/2_(6—2)2=4出.

故選：C.

3.已知一圓柱的底面半徑為2,體積為16兀，若該圓柱的底面圓周都在球。的表面上，則球。的表面積為

()

A.32兀B.40兀C.64兀D.80兀

【答案】A

【解析】

【分析】由圓柱體積公式求得圓柱高，從而求得球的半徑，然后由球表面積公式計算.

【詳解】由題意圓柱的軸截面是球。的大圓的內(nèi)接矩形，矩形的對角線是球的直徑，

設(shè)圓柱高為心球半徑為R,圓柱底面半徑為廠=2，

由兀x22/z=16兀得人=4,所以2R=木彳［五萬==4應(yīng),R=2&，

球表面積為S=4?！?=4兀x(2A/2)2=327r,

故選：A.

4.如圖，在正方體ABC?！?4G2中，直線A片與直線()

C.相交且垂直D.相交但不垂直

【答案】A

【解析】

【分析】法一：根據(jù)異面直線的概念判斷即可.法二：利用反證法可證明直線AB1與直線5。異面.

【詳解】法一：由圖形可知，直線與直線6。不同在任何一個平面，這兩條直線為異面直線.

法二：(反證法)假設(shè)直線AB1與直線8。不異面，則直線4瓦與直線共面,

設(shè)直線ABI與直線確定的平面a,又4片,5不共線，所以確定平面ABiB,

所以平面a與平面重合，從而可得Oe平面4用8,與。任平面AqB矛盾，

所以直線AB1與直線異面.

故選：A.

5已知。=log?。.?,。=logf7,。=0.3°',則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定。泊的取值范圍，由指數(shù)函數(shù)的圖像及單調(diào)性確定C的取值范圍即可比較

大小.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)y=log2%在（。,+8）上單調(diào)遞增，所以Iog20.3<log21=0,所以a<0,

對數(shù)函數(shù)y=log6x在（0,+oo）上單調(diào)遞增，所以loge7>k>g66=l,所以Z>>1,

因為指數(shù)函數(shù)y=03"的圖像在X軸上方且在定義域上單調(diào)遞減，

所以0<0.3°,<0.3°=1，所以0<c<l,

所以：a<c<b

故選：B

6.已知VA3C的外接圓圓心為。，且2a0=通+而，|次|=|通|，則向量荏在向量就的投影向量

為（）

A.-BCB.—BCC.--BCD.--BC

4444

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量關(guān)系得出向量夾角，再結(jié)合向量的投影向量公式計算即得.

【詳解】因為240=通+/，所以。是5c的中點，所以可得

\AO\=忸?=\AB\,ZABC=60°

|AB|-|BC|COS120°5C

所以—網(wǎng)三國,所以胃瑞

故選：D.

sinAb

7.VA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且----------+----=1,則C為（)

sin3+sinCa+c

71711715冗

A.—B.—C.----D.

6336

【答案】B

【解析】

qinAt）tih

【詳解】分析：由正弦定理化簡已知等式-----------+——=——+——=1,整理可得:

sinB+sinCa+cb+ca+c

2.z22i

a~+b2-c2=ab，由余弦定理可得cosC="一'='，結(jié)合范圍Ce（O,也即可解得C的值.

2ab2

CLhc

詳解：???由正弦定理可得：sinA=——，sinB=——，sinC=——，

2R2R2R

sinAbab田e-，=o°

.—---------------1-------=1，整理可得：tz2o+Z?2—c2=ab

sinB+sinCa+cb+ca+c

?,?由余弦定理可得：cosC="a--=

lab2

jr

...由Ce(0,〃)，可得：C=—.

3

故選B..

點睛：本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

8.如圖，正方形A3CD的邊長為2,M,N分別為邊上的動點，若E為腦V的中點，且滿足

|防|=1，則方必?麗的最小值為（）

A.8-4A/2B.4C.16-872D.8

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法和基本不等式求得加?麗的最小值

【詳解】如圖，以8為坐標(biāo)原點，前的方向為無軸的正方向，

BA的方向為y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,

則。（2,2）,設(shè)Af（0,y）,N（x,0）,其中x?0,2],y且0,2],則E

因為同=1,所以尤2+^=4,又加=(—2,y—2),而=(x—2,—2),

所以麗'.而=8-2（x+y"8-2伍歹仔=8-4&，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=42時等號成立.

故選：A.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.）

9.下列各式的值為3的是（）

tanl5°

B.2tanl5°cos215°

1+tan215°

/l+cosl20°

「v32兀v3.2兀

C——cos----------sm——

312312V-2"

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角正弦公式可求B；利用二

倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D；

【詳解】對于A：因為tanl5°=tan（45°-30°）=

3

tan15°_2-73_1

所以原式=l+tan215°=i+（2—⑹2=1人不符合；

對于B：原式=2sinl50-cosl50=2xLsin300=1，B符合;

22

對于C：原式=43.cos^=L，C符合；

362

對于D：原式=cos60°=」，D符合.

2

故選：BCD.

10.如圖所示的圓臺。iQ，在軸截面ABC。中，AB=BC=AD=^CD,CD=4,則（）

A.該圓臺的高為百

B.該圓臺軸截面面積為

該圓臺的體積為此殳

C.

3

D.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到的中點，所經(jīng)過的最短路程為5

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)梯形性質(zhì)利用勾股定理計算可判斷A；利用梯形面積公式計算可判斷B；代入圓臺體積公式

可判斷C；利用圓臺側(cè)面展開圖以及勾股定理計算可判斷D.

【詳解】對于A,在梯形A3CD中，OjQ即代表圓臺的高，

利用勾股定理計算可得Oa==J—=6,所以A正確；

1]

對于B,軸截面梯形ABCD的面積為S=5-（A3+CD）eQ=萬乂（2+4）＞＜代=36，因此B錯誤;

對于C,易知下底面圓的面積為兀x2?=4兀，上底面圓的面積為兀xl?=兀；

所以該圓臺的體積為丫=!卜兀+兀+居芯卜6=^^,可得C錯誤;

對于D,將圓臺側(cè)面沿直線3c處剪開，其側(cè)面展開圖如下圖所示：

易知圓弧53',CC'的長度分別為2兀,4兀，設(shè)扇形圓心為。，圓心角為。，OB=r-,

由弧長公式可知夕-=2兀,。（廠+2）=4兀，解得。=兀,廠=2；

所以可得NAOB=9。，

設(shè)￡為AD的中點，連接EC,當(dāng)小蟲從點。沿著EC爬行到AD的中點，所經(jīng)過路程最短,

易知OE=3,OC=4,且OELOC,

由勾股定理可知比=JOE?+oc?=5,可知D正確.

故選：AD

11.已知VABC中，角A5c所對的邊分別是"c且a=3"=J?,c=&,則下列結(jié)論正確的是（）

兀3

A.VA3C是銳角三角形B.B=-C.VA5C的面積為弓D.AB的中線長為行

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)大邊對大角可知角A為鈍角，可得A錯誤；由余弦定理以及三角形面積公式計算可得BC正

確，結(jié)合余弦定理判斷D錯誤.

【詳解】對于A,由題意可知。邊最大，所以角A為VA5C的最大內(nèi)角，

易知cosA=3^——=^=-^-<0,因此角A為鈍角，可得A錯誤；

2bc2j5xj210

對于B,易知cos8="一+c/Z？2=9+上］=交,又5€（0,兀），可得3=百，即B正確；

2ac2x3x，224

對于C,由S=』acsinB=』x3x、/5xY2=。，可得VABC的面積為3，即C正確;

22222

對于D,設(shè)AB的中線為CD,易知CD?=/+（￡）-2ax-cosJB=9+--3=->可得

0222

CD二叵,即D錯誤.

2

故選：BC

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.函數(shù)/（%）=,3,xe1』,e2"|］的值域為_________.

lnx+l（<eJJ

【答案】［1,+8）

【解析】

【分析】由及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得到Inx的取值范圍，進(jìn)而得到lnx+1的取值范圍，從而得

3

到------的取值范圍，即可求得函數(shù)/（%）的值域.

lnx+1

【詳解】因為,所以lnxe（—1,2］,lnx+le（0,3］,

3

所以------e［l,+<?）,即/（幻的值域為［1,”）.

lnx+1

故答案為：［1,+8）.

13已知同=3,忖=4,且M與方不共線.若也+廟與后互相垂直，則左=.

3

【答案】±—

4

【解析】

【分析】由向量垂直時的數(shù)量積為0即可得解.

【詳解】由題意（萬+防）?（商一左B）=0,

即a2-k2b2=0>

可得：9—16左2=0，

3

解得：k=+-,

4

3

故答案為：士—

4

14.VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若Z;=〃cosC+百csinA,則4.=

【答案】三7T

6

【解析】

【分析】先利用正弦定理將已知等式中的邊化為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及三角函數(shù)公式化簡等

式，最后求出角A的值.

【詳解】已知b=〃cosC+J5csinA，由正弦定理可得：

2RsinB=2RsinAcosC+A/3x27?sinCsinA，得到sinB=sinAcosC+GsinCsinA.

因為A+5+C=?,所以5=?—(A+C),那么sin3=sin(7i—(A+C)).

根據(jù)誘導(dǎo)公式sin。-a)=sina,可得sinB=sin(A+C).

所以sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+逝sinCsinA?

可得cosAsinC=A/3sinCsinA?

因為OvCvyr,所以sinCw。，得到cosA=GsinA.

sinA1,J3

即----7=~rf可得tanA=——?

cosA733

TT

又因為OvAv萬，所以A=一.

6

77

故答案為：—.

6

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.已知函數(shù)〃龍)是偶函數(shù)，當(dāng)尤20時，/(x)=ev.

(1)當(dāng)尤＜0時，求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)當(dāng)XG[—1,4)時，求函數(shù)“X)的值域.

【答案】(1)f(x)=ex

⑵[l,e4)

【解析】

【分析】(1)由偶函數(shù)的性質(zhì)可得；

(2)由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得.

【小問1詳解】

x<0,則一x>0,結(jié)合題意得/(一4)=尸,

：“X)是偶函數(shù)，.?./(￡)=/(—￡)=e：

.?.x<0時，/(x)=e-x.

【小問2詳解】

/、[ex,xero,4)

由⑴知小)=k」[TO)

.,.當(dāng)xe[0,4),/(x)e[Le4),

當(dāng)xe[—l,0)J(x)e(l,e],\/(尤)的值域為[l,e)

16.已知同=4,慟=2,且不與方的夾角為120。，求:

⑴怩-可；

(2)若向量2乙—彳5與;1&—平行，求實數(shù)％的值.

【答案】(1)25

(2)+^/6

【解析】

【分析】(1)利用平方的方法來求得正確答案.

(2)根據(jù)向量平行列方程來求得人

【小問1詳解】

/~*\2-*—*2

(2益一6)=4a~-2x2a-b+b=64-4x4x2xcos120°+4=84,

所以12a—B卜V84=2.

【小問2詳解】

由于向量2〃—彳石與XM—35平行，

所以存在實數(shù)左，2a-Ab=k(^Aa-3b^=Aka-3kb,

2二k入

所以《解得2=±y[6.

—A=—3k

17.已知△ABC的周長為J^+l,sinA+sinB=^2sinC-

(1)求邊A3的長；

(2)若AABC的面積為'sinC,求角。的度數(shù).

【答案】(1)1

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)由正弦定理將sinA+sinB=&sinC中的角化為邊，得°+6=缶，再結(jié)合A4BC的周長即可

得解；

(2)由S=1aAinC=1sinC,得ab=L再根據(jù)余弦定理cosC="十?一"即可求得COS。的值,從而

2632ab

得解.

【小問1詳解】

解：由正弦定理知二二==也=，K，

sinAsinBsinC

sinA+sin3=6sinC，

:.a+b=，

???△ABC的周長為Ji+l,

a+Z7+c=A/2+1—yj^2,c+c，

AB=c=l.

【小問2詳解】

解：AABC的面積S=」o6sinC=」sinC,

26

71

ab=—,

3

由(1)知，a+b=屈,C=l，

2-2x--l,

a2+b2-c2(a+b)2-lab-c23..1

由余弦定理知

cosC=、1一5'

lab2ab2x-

3

???Cw(0,?),

18.已知函數(shù)/（x）=&cos12x—R.

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

7171

（2）求函數(shù)/（%）在區(qū)間-3,彳上的最小值和最大值.

o2_

Sir7T

【答案】（1）最小正周期為兀，單調(diào)遞增區(qū)間為[-H+E,E+-],（keZ）

88

（2）最小值為-1,最大值為血

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)周期公式求周期，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間列不等式，可得結(jié)果;

7T

（2）先確定2'—Z取值范圍’再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求最值?

【小問1詳解】

,//(x)=^COS^2A:--^-J,^€R/.T=方=兀

所以函數(shù)/（X）的最小正周期為兀，

兀3兀71

由一兀+2E<2x~—<2kit,(kGZ)得一-—+kn<x<^7i+—,(^GZ)

311jr

即函數(shù)/(%)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間為[———+E,E+—],伏eZ)；

88

【小問2詳解】

7171713兀

QXG■,-2x-v2*T

兀371

因為kcosx在?。上單調(diào)遞增，在。彳上單調(diào)遞減,

所以/(X)=V^cos[2x—；J在7C7C7TJC

上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

OOO2

因為/（—*=°，/（*=行，=—1，

因此當(dāng)x時，/（X）取最小值，為—1,

JT

當(dāng)x=3時，/（X）取最大值，為及.

8

19.“費馬點”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題，該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一

點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)VA3C的三個

內(nèi)角均小于120。時，使得/405=/50。=/。。4=120。的點。即為費馬點；當(dāng)VA3C有一個內(nèi)角大

于或等于120。時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知VA3C的內(nèi)角A&C所

對的邊分別為a,b,c,且1-cos2A=zkir^B+sin?。）.

（1）求角A；

（2）設(shè)點P為VA3C的費馬點，|P3|+|PC|=4尸⑷，求實數(shù)1的最小值.

JT

【答案】（1）A=-

2

（2）2+273

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡可得片=〃+°2,即可求得答案；

2兀

（2）由（1）結(jié)論可得/4依=/5D。=/。巳