鄭州市2024-2025學年高二上期期末考試（附答案）

數(shù)學試題

注意事項：

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.考試時間120分鐘，滿分150分.

考生應首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.交卷時

只交答題卡.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個

選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1,直線氐+y-i=°的傾斜角為（）

A.60°B.120c.135D.150

【答案】B

【解析】

【分析】先由直線方程求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關系可求得答案.

【詳解】直線氐+y—1=0化為y=—耳+1

所以直線后+y-1=0的斜率為-有，

設直線傾斜角為a，則tana=—G,

因為0°<a<180°

所以a=120°，

故選：B.

2.拋物線。：丁=2爐的準線方程為（）

111

A.x=—1B.x=—C.y=--D.V=—

248

【答案】D

【解析】

【分析】首先寫成拋物線的標準方程，再求準線方程.

【詳解】拋物線的標準方程為必=,〉，開口向上，準線方程為y=-L

28

故選：D.

3.已知正項等比數(shù)列｛%｝的前幾項和為S〃，4?%=64,%+。3=1。，Sn=254,則〃=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算可得首項和公比，即可由求和公式求解.

【詳解】由于｛%｝為正項數(shù)列，故％>0,公比9>0,

由q?%=64,q+/=10可得％，%=〃；=64n83=8,

由4+%=10,則4=2,故公比為4==2,

因此「

=2(2"-1)=254，故2"=128，解得"=7,

故選：C

22

4.已知雙曲線L+2L=i(〃z〉o,〃<o)的漸近線方程為y=±2x,則該雙曲線的離心率為()

mn

A.更B.—C.V3D.45

22

【答案】D

【解析】

b

【分析】根據(jù)漸近線方程求出'=從而根據(jù)￡=

aa

【詳解】—+—-1(m>0,〃<0)化為^——2―二1(加>0,〃<0),

mnm—n

則/=加,/=—〃，因為雙曲線土+匕=1(用〉o,n<0)的漸近線方程為y=±2x,

mn

故雙曲線的離心率為￡=1+「=g=6

a

故選：D.

5.在三棱錐A-BCD中，點瓦E分別是A。,的中點，點河為線段所上靠近E的三等分點，若記

A3=a,AC=6,AD=c，則AM=()

11,111,1

A.—a+—b+—cB.-a+—b+—c

666333

c1-1f1--11,1

C—a+—b+—cD.-a+—b+—c

336366

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意作圖，利用空間向量的線性運算，可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，作圖，

AM=AE+EM=-AD+-EF=-AD+-(AF-AE)

2323、)

^-AD+--(AB+AC\--ADAB+-AC+AD^-a+-b+-c.

2312、>2J336336

故選：C

6.數(shù)列｛4｝滿足q=2,,其前〃項的積為n“，則口2025=()

1—a”

A.2B.-6C.-3D.1

【答案】A

【解析】

【分析】首先求數(shù)列｛a“｝的周期，再求乘積.

所以數(shù)列｛&｝的周期為4,且1%%為=1，

所以n2025=n4x506+1=(qa2a3a4)q=q=2.

故選：A

7.已知P是直線/:x—y+6=0上一動點，過點P作圓。：/+儼一4x=0的兩條切線，切點分別為

4B,則四邊形E4cB周長的最小值為（）

A.2+277B.4+477C.4+277D.8

【答案】B

【解析】

【分析】利用圓心到直線的距離轉(zhuǎn)化求四邊形E4cB周長的最小值.

【詳解】圓。：犬+產(chǎn)―4x=0,即（尤—2『+丁=4,

由對稱性可知，四邊形PACB的周長為2（|上4|+|AC|）=2（|/科+2）,

而|P4|=4,\PC\的最小值為點C（2,0）到直線/：x—y+6=。的距離為、一76|=,

V乙

所以1PAi的最小值為2J7，則四邊形PACB的周長的最小值為2義（2r+2）=4J7+4.

故選：B

8.在邊長為2的正方體45CD-ABG。中，E,歹分別為3C,A4的中點，尸，Q分別為線段

24，C1D,上的動點（不包括端點）滿足EPLFQ,則線段PQ的長度最小值為（）

A.V2B.2C.屈D.2.72

【答案】A

【解析】

【分析】利用坐標法表示垂直關系，再代入距離公式，即可求解.

【詳解】如圖建立空間直角坐標系，￡。,2,0）,F（2,0,l）,設P（a,0,2）,。（03,2）,

EP=（a-l「2,2）,FQ=（-2,^,1）,

因為尸Q,所以EP?EQ=—2（a—1）—2/>+2=0,即Z?=2—a,

所以|「。|=1a2+叱=Ja?+（2—a）?={2（a—+2,

當a=l時，線段PQ的最小值為

故選：A

二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知空間向量々=（2,—1,1）,5=（1,2,3）,則下列結論正確的是（）

A.c=（3,2,5）與a,b共面

B.卜+可=26

C.。在匕上的投影向量為^―

I22J

D.。與b夾角的余弦值為叵

14

【答案】AD

【解析】

【分析】我們可以利用平面向量的基本定理判斷選項A；然后利用向量的坐標運算計算其他選項即可.

3=22+〃

【詳解】假設c=（3,2,5）與°力共面，則。=茄+9有解，即2=—4+2〃有解，

5=2+3〃

3=22+〃2=—

解＜2=-%+2〃得＜1,故選項A正確；

5=2+3//〃=二

L15

a+匕=（3,1,4）,所以"+同="+儼+42=、/26,故選項B錯誤；

a,bb2-2+3]（339、

〃在。上的投影向量為帆門獷'4+22+32（123）[14'7'司，故選項C錯誤;

"/丹j\a?b麗2故—2+3選A/2項1D正確；

故選：AD

10.已知s.是公差為d的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，且S7〉S9〉S8,下列說法正確的是（）

A.d<0B.數(shù)列｛S“｝的最小項為國

C.聞>聞D.能使S.<。時〃的最大值為15

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得為<0,49>0，網(wǎng)+49<0,再結合單調(diào)性及前〃項和公式逐項判斷.

【詳解】在等差數(shù)列｛4｝中，由§7〉品>/，得。8=Sg—S7<0,。9=S9—S8>0,心+。9=$9—87<0,

對于A,d=a9-a8>0,A錯誤；

對于B,數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，前8項均為負，從第9項起為正，則數(shù)列｛S,J的最小項為$8,B正確；

對于C,由。8+。9<0，得一。8〉％〉。，因此同>|為|，C正確；

對于D,由為+。9<0,得S.=16（囚；囚6）=8（不+%）<0，D錯誤.

故選：BC

22

11.橢圓。1亮+??=1（〃2〉0）的兩個焦點分別為耳，F(xiàn)2,則下列說法正確的是（）

A,若0<m<1,過點「2的直線與橢圓。交于4B兩點,貝U鈣片的周長為16

B.若直線區(qū)―y—2=0與C恒有公共點，則優(yōu)的取值范圍為［2,+8）

C.若C上存在點P,使得P耳.次=0,則機的取值范圍為（0,2拒］D［4"+8）

D.若m=S，尸為C上一點，0（1,1）,耳為左焦點，貝葉P娟+|PQ|的最小值為8—百

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的定義，即可判斷A,根據(jù)橢圓方程的形式，以及直線所過定義，即可判斷B,將存在點

尸使「耳，「鳥，轉(zhuǎn)化為以閨用|為直徑的圓與橢圓有交點，再討論焦點的位置，即可列式求解，利用橢圓

的定義，結合數(shù)形結合，轉(zhuǎn)化為三點共線，即可判斷D.

【詳解】A.若0<m<1,貝以2=16,a=4,貝UA3耳的周長為4。=16,故A正確;

B.直線依—y—2=0恒過定點（0,—2）,若直線近—y—2=0與C恒有公共點，

則根，2且相w4,故B錯誤；

C.若。上存在點P,使得尸耳-P耳=0,貝1c之〃，

若橢圓的焦點在1軸，則［16-府Nm，冽>0，解得0<冽《2a，

若橢圓的焦點在V軸，則,毋—1624，m>0,解得：m之外反，

綜上可知，機取值范圍為（0,2點］u14"+8）,故C正確；

D./〃=S，橢圓方程為G：L+匕=1,。=4,b=幣,c=J16—7=3,

167

設橢圓的右焦點為F2,則歸周+忸。|=8-|尸閭+|尸。|=8-（|「局-忸0）28-|。W=8-右,

如圖，當P,Q,耳三點共線，且|PQ|<|P￡］,等號成立，

所以用+|PQ|的最小值為8-6,故D正確.

\FiO\F”.

故選：ACD

三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共計15分.

12.已知a=（2,-1,2）,Z?=（-4,2,x），且,貝Ux=.

【答案】5

【解析】

【分析】由a可得數(shù)量積為零，從而可求出x的值.

【詳解】因為a=（2,—1,2）力=（T,2,x）,且alb，

所以2x（^）+2x（-l）+2x=0,解得%=5,

故答案為：5.

13.一條光線從點？（6,4）射出，與x軸相交于點。（4,0）,經(jīng)無軸反射，求反射光線所在的直線方程

【答案】2x+y-8=0

【解析】

【分析】根據(jù)入射光線與反射光線所在直線的斜率關系，即可求反射光線所在直線的斜率，再代入點斜式直

線方程，即可求解.

【詳解】由條可知入射光線和反射光線所在直線的斜率互為相反數(shù)，

入射光線的斜率即O=E=2,所以反射光線所在直線的斜率為-2,且過點。（4,0）,

所以反射光線所在的直線方程為y=-2（x—4）,即2x+y—8=0.

故答案為：2x+y-8=0

14.意大利數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,，其中從第三項起，

每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即囚=。2=1，a“+2=4+i+a〃（"eN*）.后來人們把這樣的一列數(shù)組

成的數(shù)列｛%｝稱為“斐波那契數(shù)列”.記Sn為“斐波那契數(shù)列”｛%｝的前n項和，若

^2024=,++af=,貝！|.（結果用，表示）

P025qa2025-Pq

【答案】—q

【解析】

【分析】由題意得當n>3時，an=an_x+an_2an+l=an+2-an,據(jù)此可證得

S?=an+2-l,af+a^+al++a1=anan+l,再結合已知條件可求得結果.

【詳解】由題意知q=%=1

%+2=?,i+

!+4("wN*)nan+l=an+2-an,

所以cif=a2ax,則W=出(％—q)=%%—wa，

a；=生(。4一)=a3a4—生，?一

“2024="2024(%025-^2023)=〃2024a2025102023a2024'

“2025=1202512026—1202512024'

〃]+〃2+〃3++〃2025=〃2025a2026'即4=〃2025a2026①，

由題意得當n>3時，，則an-l=an~an-2

所以出二。3—，。3二。4一。2，，，“〃一1二?！ㄒ?〃一2，。八二%+1—?！ㄒ?，

所以S〃=%+2+。3++an-\+an

=a1+(?3-a1)+(a4-tz2)++(a?-a?_2)+(??+i-??-i)

=an+an+l-?2=a“+2_&2=4+2.1，

所以S2024=a2026—1=",所以。2026=。+1②，

q

所以由①②可得出0,5=------

P+1

故答案為：一q

p+i

【點睛】方法點睛：與新定義有關的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的

運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學

的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；

2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，

逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.

四、解答題：本題共5小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知圓心為C的圓經(jīng)過A(—1,—1),5(—2,2)兩點，且圓心C在直線I:x-y-1^0上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)過點M(0,3)的直線被圓C截得的弦長為8,求直線/'的方程.

【答案】⑴a—3『+(y—2)2=25

(2)x=0或4x-3y+9=0.

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求圓的方程；

(2)利用弦長公式求圓心到直線的距離，再討論直線的斜率，代入點到直線的距離公式，即可求解.

【小問1詳解】

設圓C的標準方程為(尤―a)?+(y—bp=/，

故圓心。的坐標為(a,。)，因為圓心C在直線/：九一y-l=0上，

所以〃一人一1二0

因為48是圓上兩點，所以|C4|=|CB|,根據(jù)兩點間的距離公式，有

J(a+1)2+3+1)2=J(a+2)2+"2)2,即a—35+3=0,

由①②可得a=3,b=2,r2=25

故圓C的方程為(x—3『+(y—2)2=25,

【小問2詳解】

由(1)知，圓心為C(3,2),半徑為r=5,

設圓心C到直線r的距離為d，則d=［一=3,

若直線/'的斜率不存在，則直線/'的方程為x=0,此時，圓心C到直線/'的距離為3,符合題意；

若直線r的斜率存在，設直線r的方程為丁=辰+3,即"-y+3=0,

|3左一2+3||3左+1|4

由題意可得'r-——'^^^=3,解得左=”，

，左一+13

此時，直線r的方程為y=gx+3,即4x—3y+9=0.

綜上所述，直線/'的方程為x=0或4x—3y+9=0.

16.已知拋物線丁=2px(p>0)上的點A(羽y)與拋物線焦點廠的距離為3,點A到x軸的距離為而.

(1)求拋物線的方程；

(2)若點A在第一象限，則經(jīng)過拋物線焦點E和點A的直線交拋物線于點3,經(jīng)過點A和拋物線頂點的

直線交拋物線的準線于點。，求證：直線8。平行于拋物線的對稱軸.

【答案】(1)/="

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)點A(x,y)與拋物線焦點廠的距離為3、點A到X軸的距離為竹列出方程組可得答

案；

(2)聯(lián)立直線。4的方程、拋物線的準線方程可得點。的縱坐標，再由直線AF的方程和拋物線聯(lián)立，可

得8點的縱坐標，再由點B和點。的縱坐標相等可得答案.

【小問1詳解】

拋物線的準線方程為：x=_4,

2

y=±yf2p

由題意可得＜》+々=3,整理可得°=4,x=l,y=±2^/2,

2P=2px

所以拋物線為：V=8x；

【小問2詳解】

則直線Q4的方程為：y=2&x①,

拋物線的準線方程是x=-2②，

聯(lián)立①②可得點。的縱坐標為：—4枝,

因為焦點F的坐標為(2,0),故直線AF的方程為

y=2及（龍-2）,③

把③式和拋物線聯(lián)立，即消去x得

V+2恁-16=0,

又因為A點縱坐標為2&，故可得B點的縱坐標為-4后，

點8和點。的縱坐標相等，于是可得DB平行于X軸.

17.如圖，在四棱錐尸―ABCO中，底面ABCD是平行四邊形，AB=4,BD=2>j3,PD=AD=2,側(cè)

棱？底面ABC。，點E在線段PC上運動.

（1）證明：AD，平面PB。；

（2）若平面尸3。與平面3QE的夾角為45，試確定點E的位置.

【答案】（1）證明見解析；

（2）點E為線段PC的中點.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得？D_LAO，ADLBD，由線面垂直判定定理證明；

（2）設PE=/lPC,/lw[O,l],設點E的坐標為（x,y,z）,利用空間向量法中兩平面的夾角公式可得2的值.

【小問1詳解】

PD±底面ABCD,ADu底面ABCD,

:.PD±AD，

在△AB￡>中，AD2+BD2=AB2>即AZ）_LBD,

又BDcPD=D,BD,PDu平面PBD,所以平面P3D；

【小問2詳解】

以。為原點，尸所在直線分別為了軸，丫軸，z軸，建立空間直角坐標系，

依題意得：A（2,0,0）,B（0,273,0）,C（-2,273,0）,D（0,0,0）,P（0,0,2）,

由（1）可知，平面尸應），所以平面P3Z）的一個法向量〃=。,0,0）,

由題意可設PE=2PC,2e（O,l）,設點E的坐標為（蒼y,z）,

則PE=（x,y,z-2）,PC=（-2,2班,—2）,

即PE=（尤,y,z—2）=APC=^—22,2A/32,—22j,

可得點E的坐標為（-22,2732,2-22）,

所以D3=（0,273,0）,DE=（-22,2四,2-24）,

設近=（xi，yi，z。是平面的法向量，貝卜4?05=0嗎?￡）￡=（）,

2舟=0

即（I-,取為=1-2,則必=0*1=4,

-2/lX]+2\3/1y[+（2-2/i）Z]=0

所以&=（1-40,2）是平面5。石的一個法向量，

因為平面P3Z）與平面的夾角為45，

1-A41

所以cos45=cos?々

l-^(l-2)2+22"T

18.已知數(shù)列｛q,｝的前〃項和為S“，囚=1且%+]=S=+l(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)在%與%+i之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為4的等差數(shù)列.

(i)記么=；,求數(shù)列出｝的通項公式力；

(ii)求數(shù)列也｝的前〃項和北.

【答案】(1)%=2"T

(2)(i)2=(〃+1)[￡|；(ii)<=6-(〃+3)]￡|.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)和與項的關系結合等比數(shù)列的通項公式即可求解；

(2)(i)根據(jù)題意可得%+i=a“+("+2—1)4,從而可求；

(ii)利用錯位相減法即可求解.

【小問1詳解】

當〃=1時，%=S]+1=2,

當〃之2時，見=S〃—=(%+1-1)一(?！?1)=%+1-?！?即4+i=2區(qū)

又出=2%

所以數(shù)列｛4｝是1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以%=2"、

【小問2詳解】

⑴在%與a“+i之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為媒的等差數(shù)列,

則凡為新數(shù)列的第1項，?！?1為新數(shù)列的第〃+2項，.?.4+1=。"+m+2—I）%

n-1

T

%—42“NN71n+1

即為----，即勿=——-1=(n+l

Z2+1〃+1nd〃2w〃T

(iif=2x1)+3、d)++“￡j+(〃+l)?出①

/=2xg)+3xg)+4xg)++”.出+5+l)(1②,

①-②得，9=2+出+出+出+?+出—5+1）.出n

2

所以1=6—("+3)

19.在平面直角坐標系xQy中，對于任意一點P（x,y），總存在一個點。（尤',了），滿足關系式

%，—

(P'-\,5（2>0,//>0）,則稱。為平面直角坐標系中的伸縮變換.

y=〃y,

（1）在同一直角坐標系中，求平面直角坐標系中的伸縮變換0,使得圓產(chǎn)+9=8變換為橢圓

x'=lxx2

（2）已知曲線可經(jīng)過平面直角坐標系中的伸縮變換（p-.\,得到的曲線是E-.—-y2=l,且

2[y=y216

4與X軸有A3兩個交點（A在8的左側(cè)），過點（4,0）且斜率為左的直線/與4在y軸右側(cè)有”,K兩個

交點.

（i）求左的取值范圍；

（ii）若直線的斜率分別為匕&,網(wǎng),證明：&（勺+%）為定值?

,1

x=-x

2

【答案】（1）《

,V2

y=——y

-4

（2）（i）；（ii）證明見解析

【解析】

【分析】（1）代入伸縮變換公式，利用待定系數(shù)法，即可求解;

（2）首先利用伸縮變換公式求曲線用的方程，（i）聯(lián)立直線與曲線目的方程，利用判別式和韋達定理,

求左得到取值范圍；（ii）利用韋達定理表示左1右和左2%，即可求解.

【小問1詳解】

將伸縮變換/：，（4>0，%>o）代入土+/=i,

x

y=uly2-

得到"）+3?=1，則4^x2+8^y2=8,

”（■

,44=1J2

8%=10

Ir=T

,,1

x=-x

故所求的伸縮變換歸為\2.

,72

y=——y