2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷

一、選擇題(共8題，每題5分，共40分)

2￡

1.設(shè)A,8為兩個(gè)事件，已知產(chǎn)(A)=3,p(B|A)=2,則尸(AB)=()

112：

A.—B.-C.—D.-

239：

【答案】B

【解析】

【分析】利用條件概率的概率公式計(jì)算可得；

【詳解】解：由條件概率的計(jì)算公式，可得：P(AB)=P(B|A)P(A)=|x|=1.

故選：B

2.若函數(shù)八%)滿足/(x)=x3—gr⑵3x,則/'(2)的值為()

A.-1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，再賦值％=2,解關(guān)于/'(2)的方程可得.

【詳解】由/(x)=d—g尸(2)/一3%,得r(x)=3/—/'(2)x—3,

則八2)=12-2/(2)-3,解得42)=3,

故選：C.

3.隨機(jī)變量X的概率分布為

X124

P0.40.3a

則￡(5X+4)等于()

A.5B.15C.45D.與a有關(guān)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)概率分步圖求得。，再根據(jù)期望運(yùn)算可求得E(X),再根據(jù)期望運(yùn)算法則可求得.

【詳解】根據(jù)題意知，a=1-03-0.4=0.3,

E(X)=1x0.4+2x03+4x0.3=2.2,

E(5X+4)=5E(X)+4=5x2.2+4=15,

故選：B

4.已知函數(shù)/(x)=2x—31nx+2022,則〃％)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.陷B(一臼D.3］

【答案】A

【解析】

【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由/''("〈O可求出其遞減區(qū)間.

【詳解】八工)的定義域?yàn)?o,+“)，r(x)=2-e==一，

X

令/''(x)<0,解得0<x<3，

所以了(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為］o,|］,

故選：A.

5.在［工—加］(〃eN+)的展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則所有項(xiàng)系數(shù)和為()

A32B.-32C.0D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和的表達(dá)式求得〃的值，再對(duì)x賦值1即可求得.

【詳解】依題C；+C：+C：=2"=32,解得〃=5,

則二項(xiàng)式正］的所有項(xiàng)系數(shù)之和為［彳—亞］=1.

故選：D.

6.已知函數(shù)/(x)=；x2—(l+a)x+Mnx在x=a處取得極大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(

A.［1,+8)B.(1,+8)

C.(0,1)D,(0,1］

【答案】c

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知條件和導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可判斷.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=gx2—(l+a)x+alnx,定義域?yàn)?0,十。)，

則:⑺=%—(1+〃)+—=1——八——L,

xx

當(dāng)ae(0,l)時(shí)，由/''(x)＞。，可得0＜尤＜?；?＞1,由/''(x)＜0,可得。＜尤＜1,函數(shù)在％處取

得極大值；

當(dāng)。=1時(shí)，/'(X)20恒成立，函數(shù)不存在極值；

當(dāng)ae(L+8)時(shí)，由/''(x)＞0,可得0＜x＜l或%＞。，由/＞'(%)＜0,可得1＜尤＜。，函數(shù)在％處

取得極小值；

所以ae(0,1),

故選：C.

7.在一個(gè)具有五個(gè)行政區(qū)域的地圖上(如圖)，用5種顏色給這五個(gè)行政區(qū)著色，若相鄰的區(qū)域不能用同一

顏色，則不同的著色方法共有()

03

A.420種B.360種C.540種D.300種

【答案】A

【解析】

【分析】先分類，再分步進(jìn)行.先分顏色種類為3,4,5,再分步計(jì)算.

【詳解】選用三種顏色時(shí)，必須1,5同色，2,4同色，此時(shí)有C；A；=60種；

選用四種顏色時(shí)，必須1,5同色或2,4同色，此時(shí)有C；C；A：=240種；

選用五種顏色時(shí)，有A；=120種，

所以一共有60+240+120=420種，

故選：A.

8.已知函數(shù)/(%)=〃/+%+6,若函數(shù)/(%)在(0,/(。))處的切線方程為y=2%+3,則力?的值為

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得/'(。)=2,求得。的值，再根據(jù)切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，可求得》的值，即可得答案.

【詳解】Vf\x)=aex+l,

/'(0)=ci+1—2,解得a—l,f(0)—a+b—l+b—3,b=2r>

ab=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注

意切點(diǎn)既在切線上又在曲線上的應(yīng)用.

二、多選題(共3題，每題6分，共18分)

9.一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，下列說(shuō)法正確的是()

A,從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是:

B.從中任取3球，恰有兩個(gè)白球的概率是二

C.從中任取3球，取得白球個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是1

D.從中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到紅球，則后兩次中恰有一次取到紅球的概率為

2_

5

【答案】BC

【解析】

【分析】利用古典概型概率公式求解恰有一個(gè)白球和恰有兩個(gè)白球的概率，判斷A、B正誤；利用離散型

隨機(jī)變量的分布列求得取得白球個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望，判斷C正誤，利用條件概率，求出結(jié)果判斷D正誤.

020x&o

【詳解】A選項(xiàng)中，所求概率尸二-1^=.=］故A錯(cuò)誤，

C2cl1x41

B選項(xiàng)中，所求概率尸=一/且=《鼠二,，故B正確，

C選項(xiàng)中，從中任取3球，取得白球個(gè)數(shù)X的可能取值為0,12由A、B可知

p（x=l）=筆L部=|,P（X=2）=雯=Y=g,則P（X=0）=g所求

NUJ乙UJJ

i3i

E（X）=0x1+1Xy+2x1=1,故C正確，

3-4=|,故D錯(cuò)誤,

D選項(xiàng)中，所求概率尸=

C：C；10

故選：BC.

10.已知15x-的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,下列說(shuō)法正確的是()

A2,“，10成等差數(shù)列

B.各項(xiàng)系數(shù)之和為64

C.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)

D.展開(kāi)式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)

【答案】ABD

【解析】

【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出〃的值，再令x=l可求系數(shù)和，根據(jù)展開(kāi)式的總項(xiàng)數(shù)可得二項(xiàng)式系

數(shù)最大項(xiàng)，利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求第5項(xiàng).

【詳解】由的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2〃=64,得”=6,得2,6,10成等差數(shù)列，A正確;

令x=l,的各項(xiàng)系數(shù)之和為64,B正確;

的展開(kāi)式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確;

的展開(kāi)式中的第5項(xiàng)為C：（5x）2=15義25義81為常數(shù)項(xiàng)，D正確.

故選:ABD

11.已知函數(shù)〃力=(3%2—1)2—8三—a,則()

A.7(%)的極大值為1一47

B./(%)最小值為一5-。

C.當(dāng)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多時(shí)，4的取值范圍為［藥,1J

D.不等式/(x)<-a的解的最大值與最小值之差小于1.2

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值、最值，即可判斷A、B,

再根據(jù)函數(shù)的極值及零點(diǎn)求出參數(shù)。的取值范圍，即可判斷C,再根據(jù)特殊值判斷D；

【詳解】解：因?yàn)椤?(3f—I)?—

所以—(%)=2(3d—1)x6x—24無(wú)2=12x(x—1)(3%+1).

當(dāng)一g<x<0或x>l時(shí)，/,(x)>0；當(dāng)x<-g或0cxe1時(shí)，

即/(%)在F°，Tj和(。，1)上單調(diào)遞減，在,0)和(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在x=-1取得極小值，在x=0處取得極大值，在x=l處取得極小值,

3

〃1)=一4一。＜/

故”司的極大值為"0)=1—a,"%)的最小值為了⑴二7一a,故A正確，B錯(cuò)誤.

所以了(%)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為4,止匕時(shí)/［一；］=|^一。<0，f(0)=l-?>0,解得c正確.

不等式/(x)V—a，即(3式—8,vo,令g(x)=(3d—I)：8/，則

g，(x)=2(3光2-1)x6光-24/=12x(x-1)(3%+1).

當(dāng)一耳<%<0或%>1時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x<—耳或0vxvl時(shí)，g，(x)<0.

即g(%)在［-8,-g)和(0,1)上單調(diào)遞減，在,0)和(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)的函數(shù)圖象如下所示:

因?yàn)間(0.2)=0.882—I6x0.04>0,g0.4)=4.88?—8x1.43>0,

則g(x)W0的解的最大值與最小值之差小于1.4—Q2=1.2,

即不等式/(x)<-a的解的最大值與最小值之差小于1.4-0.2=1.2,D正確.

故選：ACD

三、填空題(共3題，每題5分，共15分)

12.已知函數(shù)/(x)=2f+1,則1向〃2+-)—〃2)=

-Ax

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義求解。

【詳解】根據(jù)題意，則/(又［加2+“2)

r(x)=4x,'2)=8,以一)—r（2）=8.

Ax

故答案為：8

13.已知隨機(jī)變量X,y滿足F=2X+L且隨機(jī)變量X的分布列如下：

X012

￡]_

Pa

63

則隨機(jī)變量y的方差。(y)等于

【答案】—##2-

99

【解析】

【分析】根據(jù)分布列中概率和為1可得。，再由期望、方差公式計(jì)算出。(X),最后利用

D(aX+b)=crD(X)計(jì)算可得答案.

【詳解】因2+工+。=1,所以。=工，

632

￡(X)=|xO+|xl+|x2=|,D(X)=1x^O-^+|x|^l-^+|x^2-^=|，

520

所以。(工)=。(2乂+1)=4。(乂)=4><3=豆.

故答案為：—.

9

14.(l+x)(l+2x『的展開(kāi)式中爐的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】56

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)求解即可；

【詳解】第一個(gè)括號(hào)內(nèi)取1時(shí)，第二個(gè)為C；倉(cāng)巾(2%)3=32%3；

第一個(gè)括號(hào)內(nèi)取x時(shí)，第二個(gè)為C；倉(cāng)曠(2%)2=24%2,

所以展開(kāi)式中犬的系數(shù)為32+24=56,

故答案為：56.

四、解答題(共5題，共77分)

15.4名男生4名女生排成一排，分別求下列情形排法：

(1)甲乙二人必須站在一起；

(2)甲乙二人不能站在一起；

(3)男女必須間隔而站；

(4)甲乙二人中間恰有1人.

【答案】(1)10080；(2)30240；(3)1152；(4)8640.

【解析】

【分析】(1)先把甲乙捆綁看成一個(gè)整體，再和其他人一起排列；

(2)先把其他6個(gè)人排好，再排甲乙插空；

(3)先排列男生，再排列女生，再把女生插入男生隊(duì)伍；

(4)先排列甲乙，再?gòu)?個(gè)人中間選擇1個(gè)人放在甲乙中間，把他們看成一個(gè)整體，和其他人排列.

【詳解】(1)先把甲乙捆綁看成一個(gè)整體，再和其他人一起排列，甲乙二人必須站在一起的排法總數(shù)為

&禺=10080；

(2)先把其他6個(gè)人排好，再排甲乙插空，甲乙二人不能站在一起的排法總數(shù)為星禺=30240；

(3)先排列男生，再排列女生，再把女生插入男生隊(duì)伍，男女必須間隔而站的排法總數(shù)為

A：A：x2=1152；

(4)先排列甲乙，再?gòu)?個(gè)人中間選擇1個(gè)人放在甲乙中間，把他們看成一個(gè)整體，和其他人排列，甲

乙二人中間恰有1人的排法總數(shù)為北xC：x尺=8640.

16.己知函數(shù)/(%)=%3+幻；2_021+],aeR.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(%)在區(qū)間[—2,1]上的最大值；

(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)"％)的極值.

【答案】(1)2(2)當(dāng)〃=0時(shí)，沒(méi)有極值；當(dāng)〃>0時(shí)，極大值為〃3+1，極小值為1——a3.

27

【解析】

【分析】⑴當(dāng)〃=1時(shí)，〃力=爐+%2一尤+1,可得:八%)=3d+2%-l=(%+l)(3%-l).,/(x)=0,

得x=—1或1二」，列出函數(shù)單調(diào)性表格，即可最大值；

3

(2)/(x)=3x2+26zx-4z2=(X+6Z)(3X-6Z),令/'(x)=0,得x=—a或％=三，分別討論Q=0和

〃>0,即可求得〃力的極值.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí),/(%)=d+尤2—%+],

所以yf(x)=3x2+2x-l=(x+l)(3x—1).

令/'(x)=。，得％=-1或x=g,

列表如下：

1

X-2(-2,-1)-11

3(卬

廣⑴+0-0+

極大極小

"%)/(-2)/、//(I)

值值

由于/(-1)=2,/(1)=2,

所以函數(shù)7(%)在區(qū)間［—2,1］上的最大值為2.

(2)/f(x)=3x2+2ax-a~=(x+a)(3x-a),

令廣⑶=0,得》=_4或％=].

當(dāng)。=0時(shí)，/'(%)=3—20,所以函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值.

當(dāng)〃>0時(shí)，列表如下：

a

X一(2〔-局I

+0-0+

小)極大值極小值

函數(shù)/(%)的極大值為/(一。)=。3+1,極小值為d=l-捺

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和極值，解題關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的方法和極值定義,

考查分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

3456

17.己知(1+2X)6-=旬+4彳+。2彳2H-OJ%+a4x+a5x+a6x.

(1)求與的值；

(2)求+。2+色+44+。5的值；

(3)求[—2a、+3a3—4%+5%—6a$的值.

【答案】(1)70

(2)663

(3)-92

【解析】

【分析】(1)根據(jù)通項(xiàng)求解即可；

(2)令％=0求出%),令x=l,求出“0+%+4+%+44+“5+%，進(jìn)而得到結(jié)果.

(3)對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，令了=-1,求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得：02=Cg-22-C1.(-I)”.

【小問(wèn)2詳解】

令％=0,則4=I6—(—I)，_2,

再令x=l9貝1ao+%+%+/+%+%+4=36=729,

又〃6=C/26=64,

所以+a,+%+。4+%=729—2—64=663.

【小問(wèn)3詳解】

兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：

2345

12-(1+2無(wú)丫一5?(%-=4+2a2x+3a3x+4?4x+5a5x+6a6x，

令x=—1,則q—2a2+3q-44+5%—64=12■(-1)—5■(—2)=—92.

18.2020年10月4日，第29屆全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)奧林匹克競(jìng)賽，在重慶巴蜀中學(xué)隆重舉行，若將本次成

績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之

間，將數(shù)據(jù)按照［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；

(2)若按照分層隨機(jī)抽樣從成績(jī)?cè)冢?0,90),(90,100］的兩組中抽取了6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3

人，記x為3人中成績(jī)?cè)冢?0,100］的人數(shù)，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)a=0.016,73.5分；(2)分布列見(jiàn)解析，1.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得a=0.016,再結(jié)合中位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解；

（2）根據(jù)題意，得出在［80,90）抽取了4人，［90,100］抽取了2人，得到隨機(jī)變量4的取

【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得（0.012+0.024+0.04+a+0.008）xl0=l,

解得a=0.016,

由［50,60）,［60,70）的概率之和為（0.012+0.024）x10=0.36,

014

所以中位數(shù)為70+Jxl0=73.5（分）.

0.4

（2）由題意，可得在［80,90）共有0.016x10x50=8（人），

在［90,100］共有0.008x10x50=4（人），

所以在［80,90）抽取了4人,在［90,100］抽取了2人，

所以隨機(jī)變量&的取值為0』,2,

32

可得℃=0）=C3=1尸6=1）=c辛2cl=?3,06=2）=宥C'C=］1，

小012

131

P

555

所以數(shù)學(xué)期望為EC）=0x11+l3xm+2xg1=l.

【點(diǎn)睛】對(duì)于用樣本估計(jì)總體主要注意以下兩個(gè)方面：

1、用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)總體則是用樣本的頻

率分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確，直方圖比較直觀；

2、頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形

的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以，所有小長(zhǎng)方形的面積的和等于1.

19.已知函數(shù)/（x）=lnx-ax.

（1）討論函數(shù)/（幻的單調(diào)區(qū)間；

3

（2）若a>0,證明：關(guān)于x