哈三中2024—2025學(xué)年度下學(xué)期高一學(xué)年4月月考

數(shù)學(xué)試卷

考試說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)

間為120分鐘；

第I卷（選擇題，共58分）

一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

z=i（1+i）

1.已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】計(jì)算出則可選出答案.

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.

故選：B

a=（x,1）b=（3,.r）jH=

2.已知向量,，若，則實(shí)數(shù)（）

-5>/3±y/3

A.B.C.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式直接求解即可.

b-(3,x)

【詳解】因?yàn)橄蛄?/p>

所以，得

故選：C

ABCABCahc=3a=2C=-——sinJ=

3.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，3,則（

)

第1頁(yè)/共20頁(yè)

V34>/31x/3

3332

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理即可得到答案.

ac,_2x—―/r

【詳解】由正弦定理一;=「：，得.”『sin。/2力.

c33

故選：A.

4.如圖，已知3=6,AC=ii,B'C=$跖，c7=3無，則瓦=（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算法則即可求出.

【詳解】由比=$訪，得友=;而=[（K-萬而，—￡,

^\^DE=DC+CE=-（AC-AB]+-CA=\---\AC--AB=—b--a

4'J3U3）4124

故選：B

5.已知向量d,6滿足萬|二|5=2,+i=2』，則向量d在向量卜上的投影向量等于（）

1-1-1.1/

A.-aB.--aC.3bD.--o

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算得到16=2,再利用投影向量的定義，即可求解.

【詳解】因?yàn)镮萬1=1分|=2,|五+坂|=26,則|1+5『=/+2）石+廬=12,

第2頁(yè)/共20頁(yè)

即?！7晨…4=12得到J6=2,

a-bb1r

所以u(píng)在卜上的投影向量是下「.同二鼻/',

故選：C.

6.如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為400米，一艘船從河岸的A地出發(fā)，向河對(duì)岸航行.已知船在

靜水中的航行速度E的大小為日|=6kmh,水流速度正的大小為|彳|=2km/h,船的速度與水流速度的

合速度為，那么當(dāng)航程最短時(shí)，下列說法正確的是()

A

A

---1

A.船頭方向與水流方向垂直B.COSli,F：=--

4

C.>=4^kmhD.該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為3分鐘

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)航程最短的條件確定船頭方向，再利用向量關(guān)系求以雙片,馬〉、合速度I可以及渡河時(shí)間.

【詳解】當(dāng)航程最短時(shí)，船的實(shí)際航線應(yīng)垂直河岸，此時(shí)船在靜水中的速度Q應(yīng)斜向上游，船頭方向與水

流方向不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

設(shè)船在靜水中的速度G與水流速度L的夾角為H,因?yàn)榇膶?shí)際航線垂直河岸，所以H、L與合速度F構(gòu)

成直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可得v21=!V,cos(180-0).

己知|斗|=6km/h,|可=2km/h,則2=6cos(180-0),即cos(180-0)=；,根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得

11.II

-COS0n=所以cosOn=-；,即cos〈“，r,〉=-,HB選項(xiàng)錯(cuò)誤.

3334

由H、「,與合速度方構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可得|》|=J1『i寸.

將|p|=6km/h,|%|=2km/h代入，可得已=啟-2：=J36-4=夜=46"，「h，C選項(xiàng)正確.

0.4二I卜

河寬d=400米=0.4千米,合速度|i?|=4，ikm/h,可得”

45/F-105/2

第3頁(yè)供20頁(yè)

將成方h換算為分鐘，所以，=武力x60=36■分鐘*3分鐘，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

7.在ABC43,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，人,,已知“cos8-$=c,且/取.的外接圓直

徑為4,則.48C周長(zhǎng)的最大值為()

A.4B.4+2^3C.8+4^3D,6^3

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，求出角A,再結(jié)合正弦定理求出邊。，最后根據(jù)三角

函數(shù)的性質(zhì)求出.48C周長(zhǎng)的最大值.

【詳解】已知。?38-17>=。，由正弦定理可得a=2Ksin.4,hiRsmB,c-1RsinC.

2

將其代入已知條件可得：sinAcosB--sinB=sinC.

2

因?yàn)?4+8+C=x,那么sinC?sin(i-M+J1)=sin1.1-S).

則sinAcos8--sinB=sinAcosB+cosAsinB,移項(xiàng)可得-Isin8=cos.4sinB.

22

因?yàn)?「(Lu),所以sin8=0,兩邊同時(shí)除以sin8可得cos/

2

2TC

又因?yàn)椋踿(O.SI,所以/=亍.

已知.46C的外接圓直徑為4,即2/?=4,由正弦定理可得。=2Rsin」=4xsina=4x五=26.

32

A-2/?sinS=4sinS,c=2AsinC=4sinC,且。二冗一/一8二三一8.

則ABC的周長(zhǎng)A=a+6+c=2"+4sin3+4sin(W-5).

根據(jù)兩角差的正弦公式和輔助角公式，可得：

L=2^/T+4sinJ3+4(—^-cosB-—sinB)=26+4sinB+2>/3cos5-2sinS

22

2。+2$inB+2/cos8=2。+4sin(B+—)

第4頁(yè)/共20頁(yè)

，、八TTcn，兀2兀

因?yàn)?w（0,j）,所以8+不）.

當(dāng)8+1=1，即5=?時(shí)，sin（8」）取得最大值.

3263

此時(shí).48C周長(zhǎng)的最大值為26+4x1=4+26.

故選：B.

8.在ABC已知18-2,1=3,若點(diǎn)。為48c的外心，點(diǎn)"滿足=則

而7.if=（）

17511

A.--B.-C.-D.3

623

【答案】A

【解析】

【分析】將彳/用a與：if表示出來，再利用外心的性質(zhì)求出idn與7。Xc＞最后根據(jù)向量數(shù)量

積的運(yùn)算求出Yo/if.

【詳解】已知？『『二Vc，即而=；就.

根據(jù)向量加法的三角形法則可得丁+而,將而=；脛代入可得：

AM=AB■￥—BC=AB+—{AC—AB）=—AB+—AC

3333

設(shè)。為,48中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)。為.48C的外心，則ODL48,即麗?麗=0.

又因?yàn)槎?麗=（而+萬0）?而=布布+萬。茄.

由于5"7?=0，且=則4O,48=g4613=

已知,48-2,所以而?軸=1x2’=2.

2

同理，設(shè)E為」（‘中點(diǎn)，則歷?%=（荏+函）?大=瑟?衣+反

因?yàn)楣?AC-0，且4E=./C,所以4。,4C=g/C?/C=5|/C『.

----------1,9

已知』C=3,所以AO-AC=-x3"=.

22

將/Al=月+代入joJ\!可得：

第5頁(yè)/共20頁(yè)

_______2-1—2______1_____—21Q438917

AOAM=AO^（-AB^-AC）=-AO-AB^-AO-AC=-^l^-^-=-^-=-^-=—

^S33333232666

故選：A.

二、多選題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若jh,二J,則?c

B.若j不=￡.?且,一…，則?=6

C.在.48C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，h,,.4＞8是sin」＞sin8的充要條件

D.在.48C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,8，，若acos.4=hcosB,則是等腰三角

形

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)零向量和任意向量平行，若元=（i,即便「不且h與，也不一定平行.

B選項(xiàng)。?I：=＞?？苫癁椋╠-/））?/=0,這只能說明i不與；垂直，不能得出「=6.

ah___

C選項(xiàng)正弦定理一~~-=——=2R,大角對(duì)大邊，d＞8則。＞萬，能推出sm」＞sin8；反之也成立，

sinAsinB

所以是充要條件.

D選項(xiàng)由正弦定理把a(bǔ)cosA-bcosB化為sin2.4=sin25,因?yàn)?.4,25e（0,2nI,所以24=28或

2.4=JI2B,三角形可能是等腰或直角三角形.

【詳解】當(dāng)H=Li時(shí)，對(duì)于任意向量6和，，都有14且5;'7,但此時(shí)d與，不一定平行.所以A選項(xiàng)

錯(cuò)誤.

由ji=＞?可得a.c-%c=O,根據(jù)向量數(shù)量積的分配律，即他-石）1=0.

當(dāng)時(shí)，只能說明；不與「垂直或者。=6,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

在,中，根據(jù)正弦定理r-=/-==J=2R（R為.48C外接圓半徑），可得a=2Rsin」，

sinAs\nBsmC

6=2RsinB.

若,4＞8,則a＞b（大角對(duì)大邊），即2Rsin.」＞2Rsin8,所以sin」＞sinS；反之，若sin.』＞sin8,

則2Rsin』＞2Rsin8,即a＞6,所以X＞8.

第6頁(yè)供20頁(yè)

因此，.4>8是sin.」>sin8的充要條件，('選項(xiàng)正確.

己知acosA=bcosB,由正弦定理，=-r-=2R,可得a=2Rsin.4,b=NRsmB,則

sinAsinB

2RsinJcosJ=IRsinBcosB,即sin2.4=sin28.

因?yàn)?4,8曰OR,所以2428e(0,2n|,那么2,4=28或2,4=JI28.

當(dāng)21=28時(shí)，,4=8,H8C是等腰三角形；

當(dāng)2.4=JI28時(shí)，4+8=：,.48(7是直角三角形.

所以僅由acos.4=hcosB不能得出.48。一定是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABD.

10.在.48C中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,,若c=3,6=1,A=g角A的平分線

.4。交8c于。，則下列說法正確的是()

AAD=—AB+—ACB.S-殛

44-2

CD.cosZADC=—

7

【答案】AD

【解析】

BDAB3___3____

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A‘用角平分線定理得加=下=丁推出初=［比'再把而用行與衣表示對(duì)

于選項(xiàng)B,用三角形面積公式S=：6csin.4,代入/>=1,c=3,4=:計(jì)算面積判斷.對(duì)于選項(xiàng)C,根

據(jù),我?=S-M+S“7),分別表示出三個(gè)三角形面積列方程求10.對(duì)于選項(xiàng)D,先在△.■I8D用余弦定

理求8。，再求8('、CD,最后在△」8。用余弦定理求cos/.」DC.

BDAB

【詳解】在.48C中，是角A的平分線，貝卜，不=丁7.

DCAC

BD33,

已知c=3,/>=1,即=3,4C=1,所以一=—,那么AD=—3C.

DCI4

因?yàn)?。=AB+~BD="AB+—BC=AB+—(4C—48)=-48+—4C,所以選項(xiàng)A正確.

4444

根據(jù)三角形面積公式Sj*=5Asin.4.

已知。=3,b=\,A=^,則S=Lxix3xsin-=-x3x^-=b^-#b^.,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

3232242

第7頁(yè)/共20頁(yè)

因?yàn)?.?=S^ABD+S“m.

a/iiA1A

由=△-，SJB。=7"8'/°§而不，SJC。=7/C/Asin不，可得

42222

=—x^Dx3xsin—+—x^Dxlxsin—?

42626

即氈=_Lx40x(3+1)x1,上g=4。，解得40=氈力邁，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

422448

在AABD中，根據(jù)余弦定理BO：=48,+/O'-2,4B3O-COS4.

2

由前面計(jì)算可知.4。=逆，48=3,cosA=cos'="，則

4262

8。：=3：+(9尸-2x3x氈x^=竺，所以8。=竺.

442164

AD2+CD'-AC21

在△.480中，再根據(jù)余弦定理求cos/」。。，cosZJDC=~,CD=-BC,

2ADCD4

BC:=AB1+AC2-2AB-ACcos.4=32+I2-2x3x1xcosy=7,所以8c=J7,

4

所以選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

11.在48C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,,>tan.4+tan5='-0，則下列結(jié)論正確

acoso

的是()

B.若.48。為銳角三角形，且A=2,則該三角形面積的范圍為(L2)

設(shè)—皿=亞c叱—?,且』",則八2c的最小值為Q^浮/7

D.若.48C的面積為2,。，b,邊上的高分別為》，h：,h.,且4生用=/,則，：的最大值為

第8頁(yè)/共20頁(yè)

I6V2+16

【答案】ABD

【解析】

?c?c

【分析】利用正弦定理和三角恒等變換得到—~~-，從而得到tanA=\,求出」=?：判

cos4cosnsinACQSD*4

斷A,利用.48C為銳角三角形求出8￡（；,：）,再結(jié)合正弦定理和三角形面積公式表示出Z最后

42

利用正切函數(shù)性質(zhì)求解取值范圍判斷B,將8萬=J—8C：變形為.45;二^/月,―^.4（：,兩邊

平方后得到!+,=J8+21,再利用基本不等式“1”的妙用求解最值判斷C,利用三角形面積公式，得到

bc

k=4^,l=hh^=—=—,利用余弦定理及基本不等式求出「28JT-8,從而求出廠的最大

abca

值判斷D即可.

【詳解】對(duì)于A,由題意得lan.47an8='",

4cos8

，一i一rsin,4sinBsinC

由正弦定理可得-----+--=---------,

cosAcosBsinAcosB

sinAsinBsinAcosB+cosAsinBsin(.4+B)sinC

而-----+-----=-----------------------=-----------=-----------

cosAcosBcosAcosBcosAcosBcosAcosB

故-^------=---------,因?yàn)?<C<i且cosB位于分母位置，

cos4cos8sin.4cosfl

所以sinCM.cosfi#0,得到-----=-----,

cosAsinA

即tand=l,又所以4二￡,故A正確，

對(duì)于B,因?yàn)?8C為銳角三角形，所以0<8<］，。<。<：,

而「二甲-Bw(0,f),解得

*T/Q/

由三角形面積公式得S小=lx^xcx2=—C,

2

由正弦定理得一二A=解得2sinC2sin(8+w)

sinBC=-:------=-:------

sinBsinB

NqsinB+^cosS)

sin8+y/lcosB_應(yīng)+巫，

sinBtanB

為D

因

o二)，所以I"BwlL+工I,

42

第9頁(yè)/共20頁(yè)

則--e(OJ),故1+----e(l,2),即Sd?*e(l,2),故B正確，

tanBtanB

對(duì)于C,因BD=—^—BC,即75-加=c(左一刀),

2b+c2b+c[

得至ij」Z)-AB=----AC-■AB,故AD------AB+-----AC,

2b+c2b+cc+2bc+2b

1.4"、'c2b24b2c2

岡也十力開傕間付-

~(c+2h)21(c+2h)2(工+才了2

則禹+懸+黑髀得哨喀

故(c+2/>)2=(5+2&)/>>‘，c4-26=y]5+242he>

當(dāng)且僅當(dāng)方=c時(shí)取等號(hào)，所以6+2，的最小值不為二1一，故C錯(cuò)誤,

7

對(duì)于D,結(jié)合三角形面積公式得1a%=2,2萬生=2,1C〃3=2,

ZZZ

44464

則.=-J】、==—，h、h,h\=――,

abcabc

又因?yàn)椋?g（.="feesinA-；bc---=---=2,所以力c=4JF,

2224

結(jié)合余弦定理得a2=b:+c'-6bc>2bc-岳c=(2—拉)x4&=8后一8,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，貝ij/=2人,

'"5abca

128<128_128(8忘+8)_128(8&+8)

得到〃=160+16,故D正確.

a2-85/2-8"(85/2-8)(8VI+8)-64

故選：ABD

第n卷（非選擇題，共92分）

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.

第10頁(yè)/共20頁(yè)

12.設(shè)：EC,在復(fù)平面內(nèi)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則滿足141：，3的點(diǎn)Z的集合形成的圖形面積為.

【答案】8兀

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義確定點(diǎn)Z的集合所表示的圖形，再根據(jù)圓的面積公式計(jì)算該圖形的面積.

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為二.

已知14：S3,這表示點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離大于等于且小于等于，所以點(diǎn)Z的集合形成的圖形是以原點(diǎn)

為圓心，半徑（=?和半徑￡=3的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)（包括內(nèi)外圓周）.

半徑為的圓的面積?$=兀x3,=9兀，半徑為的圓的面積￡=71x1°=ji.

所以圓環(huán)面積S=S：=9兀一兀=8兀.

故答案為：8兀.

13.已知/8C的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,且a?：c=2:3：4,貝ij.48C的最小角

的余弦值為.

7

【答案】##0.875

OQ

【解析】

【分析】由題設(shè)可得A最小，利用余弦定理可求其余弦值.

【詳解】因?yàn)閍:6:c=2:3:4,故可設(shè)。=2A./-=U.c；>Oi,

25k2-4k27

因?yàn)閍<A<（,故A最小，從而cosA=—-------=-.

2x34x448

故答案為：

14.在ABC5J+5C=12,；八，m?2Ad=川有，田三R,貝I.48C面積的最大

值為,止匕時(shí)/二71的最小值為.

【答案】0.12②.—

【解析】

【分析】作出輔助線，利用向量線性運(yùn)算得到|萬。=6,歸7卜12,利用三角形面積公式求出最值.再建立坐

標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求最值即可.

【詳解】設(shè)點(diǎn)孔8為線段DE的三等分點(diǎn)，因?yàn)?/p>

第11頁(yè)/共20頁(yè)

BA+BC\=\AC-AB\=\2BA+AC\=\EA^AC^EC^M,

|就+^|=|而+而-而|=|2而+而|=|而+而|=|反|=6,

則S』”c=-SMDE=—x—|CD|-|CE|sinZ.DCE<—x—x12x6=12,

33232

當(dāng)且僅當(dāng)NDC￡=90°時(shí)，等號(hào)成立，

故48C面積的最大值為12.

由于/。。￡=90°,|反|=6,|反|=12,則點(diǎn),4.8為線段的三等分點(diǎn)，

則。。用,￡。2,6),4(4/),〃1,2),(0制,設(shè)P(x,y),由力+1K=mAB得，

(4-i,4-y)+2(-i,-y):M14,-2),BP(4-3J(,4-)y)=(4w,-2fl!I,

則4-,4-”?-2n,MeR,得4-31W-2(4-3y),

整理得到，t+2：-4二°,則P(-3+，門.

則PB,PA=(4+2,r,2-v)-(2r.4-r)=(4+2r)(2y)+(2-r)(4-r)=5,v2+2v+8,

--------,1,39--------39

即PB,PA-5r"+2j'+8=5(y+—)*+,MeR,則jrR,則P8,P4>—.

當(dāng)i=-g時(shí)，取得最小值，最小值為百.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(.0=萬,「，向量玩=(2sinx+JJcosx,sinx),萬=(cosx,-JJsinK).

(1)求函數(shù)/(K)周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)xe-y.y,求函數(shù)./(K)的值域.

【答案】(1)最小正周期鄭，單調(diào)遞增區(qū)間，&萬-尚，4”+2，keZ.

第12頁(yè)/共20頁(yè)

⑵[-V3.2]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換得/(x)=2sin(2x+(),從而得到其最小正周

期和單調(diào)增區(qū)間；

(2)利用整體法得2.r+,從而得到其值域.

【小問1詳解】

/(x)=(2sinx+/cos.r|cosx-^3sin:x

=2sinxcos.r+V3cos2x-5/3sin2x

-sin2x+>/3cos2x=2sin|2.r+y|,

則其最小正周期為7=芋=兀,

令--<2.v+—<2kn+—.A-eZ,

232

解得A;r-‘上￡x&kk?”.AGZ,

1212

則其單調(diào)遞增區(qū)間*“一號(hào)4'+千，kwZ.

1X1X

【小問2詳解】

因?yàn)開y-y,則2K-,￡力,

則其值域?yàn)?sin(-?),2sin/,即卜6,21.

16.己知向量「=1」，2|,6=|憶3|,c：=(7/5],且11-3/J]11.

⑴求恒-日；

(2)求向量5與liF的夾角的余弦值.

【答案】(1)J麗；

第13頁(yè)/共20頁(yè)

⑵.晅

10

【解析】

【分析】(1)利用向量加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出機(jī)的值，再利用向量的模長(zhǎng)公式計(jì)

算即可.

(2)根據(jù)向量數(shù)量積的定義計(jì)算向量的夾角.

【小問1詳解】

由題意,a36=113m,7),c=(7,-5),

因?yàn)?2-3否)1%所以|5-3斗d=7(l-3m)+35=O,解得m=2.

則5=(2,3),25c=(-3,11|,

所以兇-1=J(-3/+lF=阿.

【小問2詳解】

由(1)可知，E={2,3|,故。=II,-1).

/--r\內(nèi)("可-1-23M

.3V/FO

故向量u?與1f卜的夾角的余弦值為-律一.

10

;;

17.已知.48。中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,,若c=3,u+r-ac=h-,。為線段

AC中點(diǎn)，且BD=—.

2

(1)求。；

(2)求sin」值.

【答案】(1)。=2；

⑵叵.

7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)余弦定理得8=5,再利用向量中線定理和數(shù)量積運(yùn)算律即可得到答案；

第14頁(yè)/共20頁(yè)

(2)首先求出/)=",再利用正弦定理即可得到答案.

【小問1詳解】

因?yàn)?：+-0C=V,貝WJ-尸二0C,

22

EI八a'+c-bac

貝!JcosB=----------=—

lac

因?yàn)?e|0,兀)，所以8=3.

因?yàn)锽Z)=-(43+4C),則B力二—+,

2』

即而2」停?+2而JT+就］,

19If,,K,、

WV=7c*+2flcxcos-+o*,代入c=3,化簡(jiǎn)得。?+3.+3。=19，解得a=2或-5（舍去），則

44\37

o=2.

【小問2詳解】

因?yàn)閞+J-ac=h：,即2：+3：-2x3=/，解得b=幣.

h2=V7/jT

根據(jù)正弦定理得弁=普，即sinAb，解得sinA=---

k7

18.“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)發(fā)展理念，哈三中學(xué)生發(fā)展中心開展“播種校園

綠色，守護(hù)綠色校園”種植活動(dòng).已知教學(xué)樓下有一塊扇形區(qū)域，擬對(duì)這塊扇形空地408進(jìn)行改造.如圖

所示，平行四邊形0”尸'區(qū)域?yàn)閷W(xué)生的休息區(qū)域，陰影區(qū)域?yàn)椤熬G植”區(qū)域，點(diǎn)P在弧48上，點(diǎn)，”和

點(diǎn)N分別在線段。，和線段。8上，且0L=5Dm,N4OB=：,設(shè)/PO8=0.

第15頁(yè)/共20頁(yè)

(1)當(dāng)0=工時(shí)，求的值；

6

(2)請(qǐng)用8表示線段。'的長(zhǎng)度，并寫出學(xué)生的休息區(qū)域OMP，的面積關(guān)于H的函數(shù)關(guān)系式；

(3)擬在國(guó)年耳域種植一些花草，費(fèi)用為6元m’，求總費(fèi)用申關(guān)于H的函數(shù)關(guān)系式，并求其最小值.

【答案】(1)等

(2).=鳴仔0),0<0<?5=生嗎3」.些&<般上

313yl33633

(3)H,=-5000>/3(sin20+-)+2500x+250073,0<0<-；W=2500(n-J3)

63"""

【解析】

【分析】(1)在AOP"中由正弦定理求得「1/,0”,即可由數(shù)量積的定義求得結(jié)果；

(2)在AOPM中由正弦定理用8表示PH,0”，結(jié)合三角形的面積公式，即可求得結(jié)果，再根據(jù)三角函

數(shù)的性質(zhì)，即可求得取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的8.

(3)根據(jù)扇形面積公式計(jì)算出扇形面積，進(jìn)而求出陰影部分面積，得到費(fèi)用函數(shù)關(guān)系式，借助三角函數(shù)性

質(zhì)求最值即可.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，在AOPM中，ZA/OP=-,ZPA/O=—,ZA/PO=-,又OP=50,

636

50PMOM

PMOM

故由正弦定理可得:1,

sinZWOPsinZA/PO耳

r22

解得PM=OM=ON=

3

必--------50650J311250

故0MON=OMxONxcosZ.AOB=—^-x

33丁了

【小問2詳解】

在AOPN中，ZONP=—,ZOPN=--e,

3

ON50

OP10073.

由正弦定理得1,即si.".2n,即ON=

sin20PNsin20NPsin—33

33

第16頁(yè)/共20頁(yè)

…,,八c八”.八廣八1OOv3.?7tcl.八5UUUV3./x.i7t八

則停車場(chǎng)面積S=2s式用、=OP?ONsin。=50x-------sinI——0IsinG=-----------sinOsinI——0

口口u5000石.八.(71,、)廿占八c兀

即3=————sinOsinjj-O卜其中0<8<]，

c5000b..(n\5000>/3.1.

S=----------sinOnsin——0a=----------smO——cosOo——sinO

3U)3I22]

5OOO&7G.QA1?='

=----------------smOcosO——sin0

3\22/

50005/3fV3..^\M112500同G.M1M1]

=----------——sin20a+—cos20——=----------——sm20+—cos20——

3(444j3(222)

2500方。.M兀、112500石，.M,兀、125073

3I62j363

.250073,.“JT1250Gn

則nl(S=........-sin20+-........—,A0<ne<-.

3633

【小問3詳解】

設(shè)陰影部分面積為Sfu；,扇形空地」08面積為S.,，則\,*=5悄；-S.并且

1250

502——n

r3

生述出20+4出述,。＜6n

則S”

3633

貝!JT=65：*=6(^-?-250°^(sin2e+-)41250^)=-5000>/3(sin20+-)+25OOjt+25OO>/3,

用“33636

娜W=-50005/3(sin20+-)+25OOx+2500^,0<0<-,

63

因?yàn)閛<e<一,所以一<2。+—<--,

3666

則當(dāng)20?￡=：,即。=F時(shí)，-5000x/J($in20+取得最小值，則總費(fèi)用w取得最小值.

6266

求得Wmm=-5000V3+2500*25006=25OOJT-2500-=2500(x-6).

19.定義：設(shè)°為坐標(biāo)原點(diǎn)，若非零向量0府-(&〃)，函數(shù)八K)的解析式滿足.小"usin<，

第17頁(yè)/共20頁(yè)

則稱/a)為的伴隨函數(shù)，o.w為/U)的伴隨向量.

(1)若向量初i/為函數(shù)/(x)=25in的伴隨向量，求初i/的坐標(biāo);

o,>

(2)若函數(shù)/(K)為向量麗=(24、7)的伴隨函數(shù)，在.48C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

恰好為函數(shù)的最大值.

(i)若/ACB的角平分線交于點(diǎn)。，c=2,求CD的最大值;

(ii)在銳角X8C中，求7='+：的范圍.

ab

【答案】(i)KF=(CR；

4

(2)G)

【解析】

【分析】(1)利用兩角和正弦公式展開結(jié)合題意即可求解；

(2)(i)利用輔助角公式結(jié)合題意可求角C,利用等面積法可表達(dá)出角平分線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理和基本不等

式可求出最大值；

(ii)利用正弦定理邊化角，再利用內(nèi)角和消元，再利用和差化積和積化和差公式，再利用熟悉函數(shù)的單調(diào)性

可求出值域.

【小問1詳解】

由已知得：/(x)=2sin(x+看)=2(sinxcos^-+cosxsin看)=>/3sinx+cosx,

根據(jù)題意可知：OM=(71.11；

【小問2詳解】

⑴根據(jù)題意由=[24.7)可知：/(x)=24sinx+7cos.v,

利用輔助角公式得:/(=25|-^ysin.r+—cosxl-25sin(x+^)

724

其中sin<p—，cos<p

/J25

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當(dāng)工+(p=：時(shí)，./(“取到最大值

n24

所以C+<p=5，貝!IsinC=sin[,-4J=co