高二數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（每小題5分，計(jì)40分）

1.已知函數(shù)“X）在R上可導(dǎo)，若*2）=3,則處"2+3AX,/（2-AX）=（）

A.9B.12C.6D.3

2.已知拋物線/=—2px（p〉0）的焦點(diǎn)為月若拋物線上的點(diǎn)（-1,以）與點(diǎn)6間的距離為3,則

m=（）

A.2V2B.-4C.-272或2亞D.4或_4

3.已知數(shù)列｛6｝滿足3%-2%=%,且％=0,a6=2023,則%=（）

2023「2023—2023-2023

AA.——B.--C.——D.——

31336365

22

4.已知雙曲線。:3-與=1（°>0]>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡，工，P為C的右支上一點(diǎn)，

ab

/尸片￡=20。,/片/里=60。，則C的離心率為（）

sin4002sin40°cos4002cos40°

5.已知實(shí)數(shù)XJ滿足（x-3）2+（y-4）2=3,則y-3x的最大值為（）

A.5-V30B.而+5C.-V30-5D.V3O-5

cc

6.設(shè)數(shù)歹!]｛七｝的前"項(xiàng)和為",滯-；=-1同=32,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.｛與｝是等比數(shù)列B.邑,\-53耳-56成等差數(shù)列，公差為-9

C.當(dāng)且僅當(dāng)〃=17時(shí)，S,取得最大值D.S/0時(shí)，〃的最大值為33

7.當(dāng)"0時(shí)，設(shè)函數(shù)〃x）存在導(dǎo)數(shù)/'（X）,且滿足〃x）+#設(shè)）=e工,若"1）=0,則〃-1）=

（）

A.--eB.--C.0D.e--

eee

8.已知數(shù)列｛叫的首項(xiàng)為1,且見(jiàn)+/a,=2"（〃eN*），a=2bg24+l）-l,設(shè)數(shù)列也｝中不在

數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列上｝,則數(shù)列仁｝的前100項(xiàng)和為（

）

A.11449B.11202C.11209D.11195

二、多選題（每小題6分，計(jì)18分）

9.某工廠生產(chǎn)的200個(gè)零件中，有198件合格品，2件不合格品，從這200個(gè)零件

中任意抽出3件，則抽出的3個(gè)零件中（）

A.至多有1件不合格品的抽法種數(shù)為C；C4

B.都是合格品的抽法種數(shù)為《。。

C.至少有1件不合格品的抽法種數(shù)為C；黑8+C打98

D.至少有1件不合格品的抽法種數(shù)為

10.已知在首項(xiàng)為1,公差為d的等差數(shù)列｛0“｝中，/、。2、是等比數(shù)列｛，｝的前三

項(xiàng)，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為則（）

A."=0或d=3B.S"="（27）J是等差數(shù)列D.2=4"T

11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都

等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，下列說(shuō)法正確的是（）

A.2次傳球后球在丙手上的概率是!

B.3次傳球后球在乙手上的概率是:

C.3次傳球后球在甲手上的概率是!

D.〃次傳球后球在甲手上的概率是；1-

三、填空題（每小題5份，計(jì)15分）

12.已知（一+福）"的二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024,則展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為

17

13已知直線/分別與曲線/（x）=tax,g（x）=e*相切于點(diǎn)（%,產(chǎn)），則上--1r的值

X]1

為.

14.如圖，經(jīng)過(guò)邊長(zhǎng)為1的正方體的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的平面截正方體得到一個(gè)正三角形，將

這個(gè)截面上方部分去掉，得到一個(gè)七面體，則這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑

是.

四、解答題(共5小題，計(jì)77分)

15.中國(guó)在第75屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上承諾，努力爭(zhēng)取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和(簡(jiǎn)稱“雙

碳目標(biāo)”).新能源電動(dòng)汽車作為戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的

作用.賽力斯汽車有限公司為了調(diào)查客戶對(duì)旗下AIT0問(wèn)界M7的滿意程度，對(duì)所有的

意向客戶發(fā)起了滿意度問(wèn)卷調(diào)查，將打分在80分以上的客戶稱為“問(wèn)界粉”.現(xiàn)將

參與調(diào)查的客戶打分(滿分100分)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖：

⑴估計(jì)本次調(diào)查客戶打分的中位數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù))；

⑵按是否為“問(wèn)界粉”比例采用分層抽樣的方法抽取10名客戶前往重慶賽力斯兩江

智慧工廠參觀，在10名參觀的客戶中隨機(jī)抽取2名客戶贈(zèng)送價(jià)值2萬(wàn)元的購(gòu)車抵用

券.記獲贈(zèng)購(gòu)車券的“問(wèn)界粉”人數(shù)為匕求4的分布列和數(shù)學(xué)期望E管).

16.已知數(shù)列｛g｝滿足%=3,。用=3%+3向.

(1)證明：數(shù)列松｝為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)％;

⑵求數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和

17.如圖平面4BC,BC1AC,E是線段5c上的動(dòng)點(diǎn)，E是MC的中點(diǎn)，已知

AM=AC.

(1)證明：平面平面及5C；

(2)若/M=/C=2,BC=2拒,N在線段上.

(i)求點(diǎn)C到平面AEB的距離；

(ii)是否存在點(diǎn)N,使得平面N4C與平面Z助夾角的余弦值為J?若存在，求窗的值;若

7\Mn\

M

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.如圖，圓E的圓心為網(wǎng)-百，。），半徑為4,尸（君,0）是圓E內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，M是圓E上任

意一點(diǎn).線段E彼的垂直平分線工和半徑EN相交于點(diǎn)N,當(dāng)點(diǎn)/在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)N

的軌跡為曲線c

（1）求曲線。的方程；

（2）設(shè)曲線C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)8,點(diǎn)尸為曲線C上異于48的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB

交直線x=4于點(diǎn)T,連結(jié)ZT交曲線C于點(diǎn)。.直線4P、Z0的斜率分別為幻八kAQ.

（i）求證：后"飽。為定值；

（ii）證明直線尸。經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

19.對(duì)于函數(shù)/（X）=X3+X2+X-1,我們無(wú)法直接求出它的零點(diǎn)，數(shù)學(xué)家牛頓用設(shè)切線的方法

解決了這個(gè)問(wèn)題.設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為「，如果可以找到一步步逼近『的％,不，”,使

得當(dāng)“f+co時(shí)，r,則可把X“看做函數(shù)〃x）=0的近似解，這個(gè)方法被稱為“牛頓法”.具

體步驟為：選取合適的修,在橫坐標(biāo)為％的點(diǎn)作〃x）的切線，切線與無(wú)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即

占，再用占代替修,重復(fù)上面的過(guò)程得到馬,如此循環(huán)計(jì)算出當(dāng).我們知道在屈,/伉））

處的切線的斜率為/'（*,由此寫出切線方程了-/伉）=（伉）—無(wú)。），因?yàn)閺V?。┢?,所以

令>=。得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)再=%-朱

同理得）—/（玉）=/'（石）（、—X1）,

X.X/（一）/（當(dāng)-1）

以此類推，可以得到X”=X,T

2f（Xn-lY

(1)對(duì)于函數(shù)當(dāng)毛=1時(shí)，求X1,馬的值；

(2)已知函數(shù)g(x)的定義域R.

⑴對(duì)于函數(shù)g(x),若｛%｝為公差不為零的等差數(shù)列，求證：g(x)無(wú)零點(diǎn);

(ii)當(dāng)g(x)=(?x-a)"(a23)時(shí),運(yùn)用“牛頓法”證明：/->1

高二數(shù)學(xué)答案

題號(hào)12345678910

答案BCABDDDBCDAC

題號(hào)11

答案ACD

1.B【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義可知：

72）=Hm〃2+3心）-〃2…）」x如〃2+3Ax）-〃2-1）央,

\）-04Ax4-0Ax

故lim〃2+3M-42-'）=3x4=12.故選:B.

Ax

2.C解析：拋物線/=—2px（夕＞0）開口向左，依題意,拋物線上的點(diǎn)（-1,他）與點(diǎn)尸間的距離

為3,所以1+g=3=4，拋物線方程為/=—8%，令x=—1,得加2=&，解得加=±2&,故選：C.

3.【詳解】由3%-2%=%可得:2（冊(cè)-%）=%+「%,若/_%=（）,則

a—Q

。6=%=。4=。3=。2=。1=0，與題中條件矛盾，故4—0,所以e—-=2,也即數(shù)列

an-an-\

｛見(jiàn)+1-%｝是以=電為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以2+「a“=電。2”7,則有

“6—%=4—。5+〃5-+%-%+。3—。2+。2一%,

也即4=。2,24+。2,23+42,22+42,21+。2,2°=31a2，所以。2=,故選：A.

4.B【詳解】

依題意得/尸耳片=180。-20。-60。=100。，則C的離心率為：=!|=忸版啊

sinZF1PFz_sin60°_sin60°

sinZPF^-sin/PFRsinl00°-sin20°sin(600+40°)-sin(60°-40°)

sin60°

.故選：B.

2cos60°sin40°2sin40

5.D【詳解】設(shè)》-3x=/n,將其看作直線3x-y+加=0,由直線3x-y+加=0與圓

（x-3）2+（y-4）2=3有公共點(diǎn)，得圓心（3,4）到直線的距離小于或等于圓的半徑行,

|3x3-4+m|

《出,解得-5-a4加4-5+而，所以機(jī)的最大值為a-5,

Tio

即V-3x的最大值為回一5.故選：D

6.D【詳解】因?yàn)檗{=-1a=32,所以數(shù)列是以-1為公差，32為首項(xiàng)的等差數(shù)

H+1n［n)

2

列，所以2=32-(〃-1)=33-"，所以S"=33”_〃2,所以當(dāng)〃22時(shí)，=33(H-1)-(?-1),所

22

以氏=S?-Sn^=33n-n-[33(n-1)-(n-1)]=34-2?,

因?yàn)?=d=32,所以%=34-2力，對(duì)于A,因?yàn)?+「%=34-2(〃+1)-34+2〃=-2,

所以｛%｝是以-2為公差的等差數(shù)列，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B,因?yàn)?USS”/,所以

S3=90,$6=162,Sg=216,所以$6-$3=162-90=72,邑-$6=216-162=54,

因?yàn)?2-90=54-72=-18,所以邑凡T.Qo成等差數(shù)列，公差為-18,所以B錯(cuò)誤，對(duì)于

C,S“=33”"2,對(duì)稱軸為77=5=16.5,因?yàn)椤╡N*,所以當(dāng)"=16或〃=17時(shí)，E,取得最大

值，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D,由S“=33〃-〃2N0,得0V"W33,且“eN*,所以〃的最大值為

33,所以D正確，故選：D

7.D【詳解】由〃力+/(x)=e"即x/(x)+/(x)=e\即［?。?『=心所以力(x)=e，+c,c是

常數(shù)，當(dāng)x=l時(shí)，/⑴=e+c=O,所以c=-e,當(dāng)x=-l時(shí)，-e,得/(-l)=e-：.故

選：D

8.【答案】B

【詳解】數(shù)列｛叫的首項(xiàng)為1,且%-。.=2",

1

當(dāng)〃22時(shí)，?！?+(。2-。1)+(。3-出)---+(%-?！ㄒ?)=2"1,

=1+21+^+...+2"-1==2"-1,而％=1滿足上式，因此

\-2.

bn=210g2(%+1)-1=2〃-1,而狐。=199M7=127<199,1=255>199,

因此數(shù)列｛g｝的前100項(xiàng)和為數(shù)列｛"｝的前107項(xiàng)的和減去數(shù)列｛%｝的前7項(xiàng)的和，

所以數(shù)列,“｝的前100項(xiàng)和為107。+2：1°7-1)_(21+22+...+27-7)=1072-(=^-7)=11202.

故選：B

9.【答案】CD【詳解】對(duì)于A：至多有1件不合格品分兩種，一種是只有1件不合

格品，一種是沒(méi)有不合格品，故抽法種數(shù)為C；C；9s+C：98,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：都是合格品的抽法種數(shù)為C：98,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：至少有1件不合格品分兩種，一種是只有1件不合格品，一種是有2件不合

格品，故抽法種數(shù)為C；C；98+C；C；98,C正確；對(duì)于D：至少有1件不合格品的抽法種數(shù)

為匾-C：98,D正確.故選CD.

10.【答案】AC【詳解】由題意則(1+d)2=1+5",整理得〃2一3d=0,可得"=0

或d=3,當(dāng)"=0時(shí)，%=1,s?=n,則2=1,即［2］是等差數(shù)列，此時(shí)4=1；當(dāng)d=3

時(shí)，a?=3n-2,5=若心，則&即［2］是等差數(shù)列，

此時(shí)4=1也=4也=16,易知公比為4,故勿=4"7；綜上，A、C對(duì)，B、D錯(cuò).

故選：AC

11.【答案】ACD【詳解】第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲

,甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4個(gè)結(jié)果，它們等可能，2次傳球后球在丙手中的事

件有：甲乙丙，1個(gè)結(jié)果，所以概率是:，故A正確；

第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，

甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個(gè)結(jié)果，它們等可能，

3次傳球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個(gè)結(jié)果，所以

概率為］故B錯(cuò)誤；

O

91

3次傳球后球在甲手上的事件為：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2個(gè)結(jié)果，所以概率為9=；

o4

,故C正確；〃次傳球后球在甲手上的事件記為4,則有=+令

——1

Pn=尸(4),則尸(4+J4)=0,尸(4+J4)=于于是得

--1

^(4+1)=^(4W+i14)+m,)^(4+i14,)=A-o+-(i-A,)，

故。用=；(i-4),則=而第一次由甲傳球后，球不可能在甲手中，即

A=0,則有R—=數(shù)列⑵-也是以一為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以

%-：=-3嚴(yán)，即1-(尸，故D正確.

故選ACD.

12.【答案】210

【詳解】??,(/+5)”的二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024,即(1+1)"=1024,

.?.?=10.設(shè)(X3+-4)10的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為&，則,”。⑺=,

X

令30-5，=0,得”6,故展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為C=C：0=?x：x：x：=210.

4x3x2xl

故答案為：210.

13.答案：1解析：由/⑴=lnx,g(x)=e",有/(x)=Lg<x)=e",

x

/,(X)在點(diǎn)(X[/nx])處的切線方程為J-Inxj=—(x-x；),

X1

X2

g(x)在點(diǎn)(工2戶)處的切線方程為y-e"2=e(x-x2),

」X

-=e2

2

貝！J有<再，得In、[一1=Inef—1=-%2-1=e^(1-x2),

X2

In-1=e(1-x2)

所以e*X+12一_?_=i+?_，可得!一_?_i.

=1=ZVZ1="2~=I=

X11-X21-X21-X2x2-1X]%2—1

故答案為：L

14.【答案】匕回

3

【詳解】如圖，七面體為正方體”截去三棱錐瓦-24G的圖形，

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的球最大時(shí)，

該球與三個(gè)正方形面和等邊三角形面相切，且球心在體對(duì)角線金。上，

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則3(1,1,0),4(1,0,1)6(0』,1),

設(shè)球心O(a,a,a)[o<a4；j,故萩=(0,-1,1),屬=歷=(1-凡1-a,p),

設(shè)平面網(wǎng)G的法向量為萬(wàn)=(x/,z),則有一一,，可取萬(wàn)=(1,1,1),

n?BQ=-x+z=0

則球心。到平面網(wǎng)G的距離為嗎d」i一因?yàn)榍?。與三個(gè)正方形面和

\n\拒V3

等邊三角形面相切，所以力=。，解得。=三",

3-百

所以這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是

3

15.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知：打分低于70分的客戶所占比例為40%

,打分低于80分的客戶的所占比例為70%,所以本次調(diào)查客戶打分的中位數(shù)在［70

,80)內(nèi)，由70+10x=2|九73.3,所以本次調(diào)查客戶打分的中位數(shù)約為73.3

分；

(2)根據(jù)按比例的分層抽樣：抽取的“問(wèn)界粉”客戶3人，“非問(wèn)界粉”客戶7人

,則占的所有可能取值分別為0,1,2,

其中：%=0)=$%=1)=方=<，雄=2)=乎=*,

joJojo

7713

所以數(shù)學(xué)期望￡C)=0XR+1XA+2XR=；.

16.【詳解】(1)因?yàn)椋?3%+”所以翁寧+1,又為=3,所以去=1，所以數(shù)列{1}

是以為1首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以9l+(〃-l)xl="，所以a,=〃.3".

(2)由(1J可得。“=小3”，

所以S“=1X3+2X3?+3X33+……+小3",則3s“=1x3?+2x3^+3x3,+……+〃-3向，

兩式相減得一2S“=3+3?+33+3"+……+3”一/3角,一小3向一"-3用，

1-32

所以￥=:+?**?

17.【詳解】(1)VAM=AC,E是MC的中點(diǎn)，,/ElMC,二3，平面A8C,BCu平面

ABC,XvBCLAC,^ACr>MA=A,/Cu平面皿C,M4u平面M4C,/.BC±

平面M4C,又/￡u平面ZEE,:.BCLAE,又8CCWC=C,2Cu平面也C,MCu平面

MBC,二/E，平面"3C,又/Eu平面4E71.平面/E尸，平面"BC

（2）（i）以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

c（0,0,0）,4（2,0,0）,5（0,2A/3,0）,M（2,0,2）,￡（1,0,1）,

AE=（-l,0,l）,ZB=（-2,273,0）,痂=（0,2班,0）設(shè)平面的法向量為而=（再,則

AE?成=0—Xy+2[=0

叫一+2同=。取必=1,可得加=（有人

AB-m=0

所以八吟叱當(dāng)二差1，即點(diǎn)。到平面皿的距離為孚;

（ii）M3=（-2,273,-2）,CA=（2,0,0）^MN=AMB=（-22,2732,-22）,貝lj

N（2-2/2后,2-2彳），GV=（2-22,2732,2-22）,設(shè)平面NAC的法向量為萬(wàn)共私為4）則

CA-n=02X[—0

CN,元=0口（2—2/）x2+2y[^大y[+（2—2X）Z2=0

令大。可得萬(wàn)=（0,2-1,5/^2）,

|cos流力卜川叫V7-V422-2A+17,化簡(jiǎn)得18萬(wàn)_州+1=0,解得2=§或%,

■,\MB\3或％.

18.【詳解】（1）由題意可知，|回+|叼=|泗/|+|隅=4>|防=2百,由橢圓定義可得，點(diǎn)N

的軌跡是以E,尸為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2.=4,焦距2c=忸尸|=2場(chǎng),

丫2

所以〃=/一/=1,因此曲線C方程為?+/=1.

（2）證明：⑴設(shè)尸（士,必），Q（x2,y2）,T（4,m）,由題可知4（-2,0）,B（2,0）,如下圖所示，則

必二加2”

于是加=

$-2,2玉一2,

2

所以如也°