江蘇省前黃高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初檢測數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.|i+i-i2-i3|=（）

A.0B.72C.2A/2D.8

2.已知集合A={-1,。123},2=|x|cos彳=0：,則AC|3=（）

A.{0,2}B.{-1,1,3}C.{-1,1}D,{1,2,3}

3.直三棱柱ABC-ABiC中，AB=AC=A4,,ABJ.AC,則A片與3c所成角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

4.已知落5為單位向量，且1在很上的投影向量為?，貝中”可=（）

A.2B.3C.20D.20

5.已知無窮數(shù)列{%}滿足：4=2,貝1]“對任意〃z,〃eN*,都有=%"％”是“數(shù)列{%}是

等比數(shù)列'’的（）

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.己知函數(shù)尤）=log“（a*+6）（t?>0,且。聲1）的值域?yàn)镽,則人的范圍是（）

A.B.C.D.（-oo,0]

/八兀、1

則”—的值為，

7.若3sin8+cos0=V10，）

A.7B.-7D.-14

8.已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)（0,0）的直線與C交于兩點(diǎn)，則當(dāng)

2|MF|+|NF|取得最小值時，AF7VW的面積為（）

A.2B.2A/2C.V2+2D.4

二、多選題

9.已知兩個變量y與x對應(yīng)關(guān)系如下表:

X12345

y5m8910.5

若y與x滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=I.25X+4.25,則()

A.y與X正相關(guān)B."2=7

C.樣本數(shù)據(jù)y的第70百分位數(shù)為8.5D.各組數(shù)據(jù)的殘差和為0

10.若函數(shù)/(x)=6sin2x+acos2x圖像的一條對稱軸方程為x=],則()

A.a——1

B.將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移m個單位得到的圖象關(guān)于y軸對稱

O

C.若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,間上恰有2個極值點(diǎn)，則等加音

JT

D.函數(shù)>=/(無)-4x+§只有一個零點(diǎn)

11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線石：3爐+3/-2附=8就是其中之一，則下列四個

結(jié)論中正確的是()

A.曲線E關(guān)于原點(diǎn)對稱，且關(guān)于直線y=x對稱

B.曲線E上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于2

C.若M(x,y)是曲線E上的任意一點(diǎn)，則3y-x的最大值為6

D.已知尸(U),若直線、=丘(左>0)與曲線E交于A,8兩點(diǎn)，則|朋+|尸邳為定值

三、填空題

22

12.已知雙曲線C:\-==l(a>0,6>0)的左，右焦點(diǎn)分別為片,B，尸是C上一點(diǎn)，

ab

朋?鼻瓦=0,且I尸閶耳閶,歸耳|成等差數(shù)列，則c的離心率為.

13.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,8=60。，若點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，且AD=?,

則.=—,

a

試卷第2頁，共4頁

14.由兩個字母A3構(gòu)成的一個6位的序列.

(1)在字母A恰好出現(xiàn)2次的前提下，字母A不相鄰的概率為

(2)含有連續(xù)子序列■的序列有個(例如符合題意).

四、解答題

15.已知數(shù)列3},電}滿足弓=0,1+anan+l+2an+i=0,bn=a?+l(neN*).

⑴求證：數(shù)歹是等差數(shù)歹(J;

⑵令c“=4.+m”+2,若qc2c3…，求滿足條件的”的最大值.

16.己知橢圓C:田+二=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為久,耳,點(diǎn)P在C上，且2用，片入

/b2

3

直線尸耳的斜率為“過點(diǎn)片的直線,與C交于反兩點(diǎn),當(dāng)軸時‘四邊形做V的

面積為3.

⑴求C的方程;

⑵若以為直徑的圓與直線尸耳相切，求直線/的方程.

17.已知函數(shù)/(無)=6—111%—4,。€尺.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)函數(shù)/(X)有極值-3時，設(shè)x=r為函數(shù)g(x)=(x-2)eX-/(x)的極大值點(diǎn)，證明:

0<g(Z)<l.

18.如圖，在三棱錐尸—ADE中，。為棱尸。上一點(diǎn)，AC=1,AE=^-,CE=—,S.AC±PD,

33

PDLDE.

A

⑴證明：AC，平面PDE；

(2)求四面體ACDE的外接球的體積;

⑶若平面。E與平面ADE夾角的余弦值為獨(dú)求DE的長.

13

19.設(shè)VABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,函數(shù)f(n)=sinnA+sinnB+sinnC(neN*).

(D?rC=-|,求/⑴的取值范圍；

⑵證明：/(?)>0當(dāng)且僅當(dāng)sinnA,sinnB,sinnC中至少有兩個大于0；

(3)當(dāng)VABC為銳角三角形時，若""”恒大于0或恒小于0,求出所有大于3的〃值.

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省前黃高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初檢測數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案CBCCADDAADABD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模的意義求解即可.

【詳解】因?yàn)閘+T-i3=l+2i+l=2+2i，

所以|l+i-i2T=|2+2i|=」22+22=2后.

故選：C.

2.B

【分析】解cosm=0求出集合B,再求交集可得答案.

【詳解】由cos￡=0得/=E+]（人Z）,

解得x=2%+l,因?yàn)閆eZ,所以集合B是所有奇數(shù)構(gòu)成的集合，

則Ac3={-1,1,3}.

故選：B.

3.C

【分析】利用三棱柱的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量夾角公式,

即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，以A為原點(diǎn)，以為尤軸，以AC為y軸，以AA為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖所示，令=AC=A4]=2,

則A（0,0,0）,4（2,0,2）,3（2,0,0）,C（0,2,0）,所以福=（2,0,2）,BC=（-2,2,0）,

AB!BQ

設(shè)A片與3c所成角為e,則cos6=所以A片與BC所成角為60。.

2,

答案第1頁，共15頁

z.A\Ci

故選：c.

4.C

【分析】利用平面向量的數(shù)量積及投影向量即可求出兩個向量的夾角，再利用向量的模長公

式即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)Z與B的夾角為凡由題意得|a|cos6j|=；B,：.cos9=g,

所以,一弓=9a"-6a-b+b=9—6xg+l=8,A|3A-S|=272

故選：C

5.A

【分析】先令租=1,得到a,”i=2a“，故充分性成立，若｛%｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為4,則

4=2曠',得到當(dāng)夕2時，am+n^aman,故必要性不成立，從而得到答案.

【詳解】對任意相,"eN*,都有am+n=aman,

令力=1得an+i=01cI,=2an,故｛4｝是公比為2的等比數(shù)列,

充分性成立，

若｛%｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為4,貝

m+

則am=2尸,am+n=2q"~\aman=2產(chǎn).2心包…,

當(dāng)力2時，am+naman,故必要性不成立，

則“對任意犯〃eN*,都有因+“=”是“數(shù)列｛%｝是等比數(shù)歹！J”的充分且不必要條件.

故選：A

6.D

答案第2頁，共15頁

【分析】由題意可得（0,+8）是函數(shù),=爐+。的值域的子集，求解即可.

【詳角軍】令％=優(yōu)+》，貝！Jg?）=log/,

要使函數(shù)“X）Toga（優(yōu)+b）（a>0，且awl）的值域?yàn)镽,

則（0,+。）是函數(shù)/=優(yōu)+〃的值域的子集，又xcR時，ax>0,

所以Z?V。，所以Z?的范圍是（一8,0].

故選：D.

7.D

【分析】利用輔助角公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等知識求得正確答案.

【詳解】3sin^+cos^=^/10|—1=sin^+—^cos^=^/10(sin0coscp+cos0sincp)

VW

=V10sin(^+^)=\/10,sin(^+^)=l,

71131

所以6=2fal+5一0次wZ,sin0=~i=,coscp=—p=,tan(p=—

vlO3

2

2tan"3_3

tan2(p=

1-tan2(p4'

9

3

tan20=tan(4E+兀-20)=tan(兀-2。)=-tan2^?=-—

1sin(6+1)cos(6>+1)

/八兀、

tan(6+—)—,_oo

tan(<9+—)cos(<9+—)sin(<9+—)

888

-cos(2e+：］

sin2(6>+—)-cos2(0+—)

88

|sin^2<9+^

sin(6+—)cos(6+—)

88

3

11-tan20+4-

=-2x=-2x------------=-2x--^-=-14

tan26+13

tan126+￡-----r1

4

故選：D

8.A

【分析】利用坐標(biāo)法去表達(dá)焦半徑|MF|=而+2,|NF|=%+2,然后由方程組可得一元二次方

答案第3頁，共15頁

程韋達(dá)定理，然后把轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)關(guān)系，然后消去系數(shù)加，利用％為=-80

這個定值，可求出最小值，從而可得成立條件，即可求出面積.

【詳解】

由過點(diǎn)(￡o)的直線可設(shè)為=與拋物線y2=8x,聯(lián)立消去尤得：

y1=8(〃zy+忘)=>y1-Smy-8A/2=0,

設(shè)交點(diǎn)Af(%,yj,N(孫％),則%+%=8m,%為=-8"

由2|其刊+|7VF|=2(%+2)+尤2+2=2再+x2+6=2(myx+\[2\+my2+A/2+6

=g(2y；+3X%+￡)+30+6=g(2y；+y；)+62g卜2血%%)+6=1。,

取等號條件是垃%=-%=4,

此時5由，2_閭％一%|=；|2-閭2夜_(-4*2-閩2+2-2.

故選：A.

9.AD

【分析】利用相關(guān)性的定義及線性回歸直線可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸方程上可

判斷選項(xiàng)B；利用百分位數(shù)的計(jì)算可判斷選項(xiàng)C；利用回歸方程計(jì)算預(yù)測值可得殘差即可判

斷選項(xiàng)D.

【詳解】由回歸直線方程知：1.25>0,所以J與x正相關(guān)，故選項(xiàng)A正確；

由表格數(shù)據(jù)及回歸方程易知第=3,1=5+〃?+8;9+10.5=]25X3+4.25,解得加=7.5,

故選項(xiàng)B錯誤；

易知5*0.7=3.5,所以樣本數(shù)據(jù)》的第70百分位數(shù)為9,故選項(xiàng)C錯誤；

由回歸直線方程知x=l，2,3,4,5時對應(yīng)的預(yù)測值分別為￡=5.5，6.75,8,9.25,10.5,對

應(yīng)殘差分別為-0.5,0.75,0,-0.25,0,顯然殘差之和為0,故選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

答案第4頁，共15頁

10.ABD

71

【分析】由輔助角公式化簡，即可得到了±J3+J,從而判斷A,由三角函數(shù)的圖像

變換即可判斷B,由極值點(diǎn)的定義即可判斷C,由函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的定義即可判斷

D.

【詳解】對于A,f(x)=sin2x+?cos2x=^3+tz2sin(2x+(p),其中tan0=

因?yàn)楹瘮?shù)/(可圖像的一條對稱軸方程為元三

71

所以/y/3sin—兀+acos—7i=-------=±,3+,

3322

解得a=—l,故A正確;

對于B,由A可矢口/(x)=V3sin2x-cos2x=2sinl2x--^-1,

將函數(shù)y=/(X)的圖像向右平移?個單位得到函數(shù)

0

弓71為偶函數(shù)，故正確;

y=2sinx~~=2sin[2%-])=-2cos2%B

2

對于C,由B可知"x)=2sin(2x-3，貝(]/(尤)=4cos(2x-《J,

6

令/'(x)=°，可得2%—弓=3+也,左￡2,所以％=1+?,左cZ,

當(dāng)時，f'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增,

715]

當(dāng)xe時，r(x)<0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞減,

54

當(dāng)xe—71,—71時，/'(尤)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

63

所以X=1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，X=2兀是函數(shù)的極小值點(diǎn),

36

若函數(shù))=/(x)在區(qū)間(o,〃?)上恰有2個極值點(diǎn)，則若，故c錯誤;

對于D,令g(x)=/(x)-4x+g=2sin|2x-^]-4x+?,

3\o6/3

則g'(x)=4cos-4V0,所以函數(shù)g⑺在R上單調(diào)遞減,

71.7C7C?

且g=2sin2XA_^—4x----1—=0,

12123

所以函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)，故D正確;

故選：ABD

答案第5頁，共15頁

11.ACD

【分析】根據(jù)曲線上任意一點(diǎn)a，)，結(jié)合曲線方程判斷(-羽-y),(y,x)是否在曲線上判斷A；

令第一象限點(diǎn)(x，y)在曲線E上，得孫=3爐+廠應(yīng)用基本不等式求得V+y2

的范圍判斷B；根據(jù)題意M(x,y)位于第二象限時3y-x取得最大值，令t=3y-x,得

36y2-203+3?-8=0,利用A20求，的范圍判斷C；設(shè)第一象限點(diǎn)A(x,y),則B(-x,-y)且

3/+3/_2孫=8,結(jié)合兩點(diǎn)距離公式求|以|+怛目的長判斷D.

【詳解】根據(jù)曲線方程，若點(diǎn)(羽、)在曲線E上，易知點(diǎn)(-尤,-丫)，(y,x)滿足曲線E的方程，

所以曲線E關(guān)于原點(diǎn)對稱，且關(guān)于直線>=彳對稱，故A正確；

根據(jù)對稱性，不妨記第一象限點(diǎn)(Xy)在曲線E上，貝。3x?+3y2-2孫=8,

中石x2+/▽3x2+3y2-8?,3x2+3y2-8x2+y2

因?yàn)閷OV-----，又孫=-------——，則-------——<-----,

2222

解得V+y2V4,當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=0時取等號，

所以曲線E上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于等于2,故B錯誤；

由曲線E的對稱性知，當(dāng)"(x,y)位于第二象限時3y-x取得最大值，

所以3犬+3丁+2孫=8,令，=3y-x,將x=3y-Z"代入3d+3丁+2◎=8,

可得369-203+3產(chǎn)-8=0,故公=(20日一4義36、(3〃一8/0,解得/436,

所以/V6,所以3y-x的最大值為6,故C正確；

由題知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，不妨設(shè)第一象限點(diǎn)A(x,y),

貝|]8(—尤,一y),,g.3x2+3y2-2xy=8,所以6肛一2盯48,

所以封42,所以一一個<0,

貝IJ|E4|=y/(x-l)2+(y-l)2=J亨+\-2(不j，

答案第6頁，共15頁

所以（照+網(wǎng)+告+2（當(dāng)+力-4（x+y）：

4xy2814x2/鉤孫1004孫28/2孫]0丫

-亍+9+V-99~+~9~~^~+1~+--TJ

=手+]+]-手=16,所以|即+歸到為定值，故D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)曲線方程的特征判斷曲線的對稱性，結(jié)合各項(xiàng)選擇特殊象限點(diǎn),

運(yùn)用基本不等式，兩點(diǎn)間距離公式，方程法判斷各項(xiàng)是關(guān)鍵.

12.2

【分析】根據(jù)雙曲線的定義和已知條件得出IWI與1尸乙1的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)列

出等式，最后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出離心率.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線C上，所以|尸用-|PR|=2a,即|尸耳|=|Pg|+2°.

因?yàn)槎??鼻母=0,所以產(chǎn)工，片工，則在RtAPg耳中，|P耳|為點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)的絕對值.

將x=c代入雙曲線方程，可得與=1,即y2=:，那么|尸況|=匕.

abaa

已知IPKI,w知i,IWI成等差數(shù)列，可得21KBi=|尸乙|+|P耳|.

A2h2

又因?yàn)镮6工l=2c,\PFl\=\PF2\+2af所以2x2。=幺+幺+2〃.

aa

將加=°2-4代入2x2c=^+0+2。中，可得4c=20-"-）+2°.

aaa

得至U4QC=2（c2—a2）+2/,即4〃c=2c2.

因?yàn)閏>0,可得2a=c.根據(jù)雙曲線的離心率公式，可得e=￡=2.

a

故答案為：2.

13.-

3

【分析】在VABC和中，分別使用余弦定理，得到方程，聯(lián)立消去6,得到￡=[

a3

^22_,2

【詳解】在VABC中，由余弦定理得cosB="+c一〃，

lac

即“+°2一”=36+02一/=m①，

2ac2

答案第7頁，共15頁

在中，由余弦定理得8s八吟新直

C2+L2__L"

即一彳14c2+—a2——b2=—ac@,

2

2c--a442

2

聯(lián)立①②，消去人可得/+/—々°=402+/—2〃c,

即。=3c,故￡=(.

a3

故答案為：—

14.-27

3

【分析】①利用插空法結(jié)合古典概型來求此事件發(fā)生的概率；

②利用分類討論思想，來討論可能出現(xiàn)的重復(fù)值，即可求出個數(shù).

【詳解】①在字母A恰好出現(xiàn)2次的前提下，字母B出現(xiàn)4次，

「蜀"4x3x2xlx5x42

則字母A不相鄰的概率為:

￡6x5x4x3x2xl3

②按AS4可能出現(xiàn)的四個位置進(jìn)行分類：

當(dāng)A8A出現(xiàn)在前三個位置時，如ABAxxx,后面三個位置，每個位置都可以出現(xiàn)A或B,

所以此時共有23=8個序列；

當(dāng)出現(xiàn)在第2,3,4位置時，tDxABAxx,剩下三個位置，每個位置也都可以出現(xiàn)A或B,

所以此時也是共有23=8個序列，并且與前三個位置的序列沒有重復(fù)；

當(dāng)9出現(xiàn)在第3,4,5位置時，如xxAS4x,剩下三個位置，每個位置也都可以出現(xiàn)A或3,

所以此時也是共有23=8個序列，但此時與ABAxxx的序列有重復(fù)，

也就是/ISABAx,同時滿足這兩個序列有2個序列，

當(dāng)ABA出現(xiàn)在第4,5,6位置時，如xxxASA,剩下三個位置，每個位置也都可以出現(xiàn)A或B,

所以此時也是共有23=8個序列，但此時與xABAxx的序列有重復(fù)，

也就是同時滿足這兩個序列有2個，

此時也與ABAxxx的序列有重復(fù)，也就是仞4AB4,同時滿足這兩個序列的有1個，

所以綜上：含有連續(xù)子序歹UABA的序歹U有4x8—2—2—1=27個.

2

故答案為：y:27.

15.(1)證明見解析

答案第8頁，共15頁

(2)4

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義可證是等差數(shù)列.

(2)求出｛%｝的通項(xiàng)后利用累乘可求｛5｝的前“項(xiàng)積，從而可求〃的最大值.

【詳解】⑴由1+%?！?2。用=。，貝

1111

由

b

2+1n弓用+14+1。"+1見+4+1+見+1

一〃〃+i-=i

-2?！?1-1++〃“+]

則數(shù)列是等差數(shù)列.

(2)由%=0,貝I]4=4+1=1,所以是以1為首項(xiàng)，以1公差的等差數(shù)列,

即]=l+(〃—l)xl=〃，可得

0〃n

由2=4+1,貝Ija“=6“-1=L1-1=1——n,

nn

-n—n—1n

可得G=an+ian+2=

n+1n+2n+2

123n1x2

所以%=-X—X—X…X--------------------=---------------,

G.J

切以123〃345n+2(n+l)(n+2)

21

則(枕+1)(〃+2)＞了，整理可得〃2+3”4。＜0,A=9+4X40=169,

解得。<〃<士晅，即?！磶住?,所以〃的最大值為4.

2

22

16.⑴C:工+乙=1

43

(2)x=±^-y-l

【分析】(1)根據(jù)斜率公式以及面積公式即可結(jié)合4—從二。2求解,

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得圓心

-43m

,利用弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

3m2+4'3m2+4

【詳解】(1)如圖：耳(―c,0)，1(c,0),

方2b2

將尤=。代入橢圓方程,可得|y|="，故尸C,,

aa)

答案第9頁，共15頁

b2

2

又四邊形A耳gP的面積為2c.h幺=3,

a

結(jié)合l2—/=。2,故Q=2,Z?=石,C=l,

22

聯(lián)立C：±r+Lv二1與AB:x=/ny-l可得(3>+4)/-6my-9=0,

43

-9

設(shè)g，x），3M，則網(wǎng)=

3m2+4

-g_9

故玉+尤2=，〃（必+%）-2=#著，%%=病著

-43m

故圓心為

3m2+4'3m2+4

-4=1+藐%

故圓心到直線尸工的距離為。-

3m2+4

則圓的半徑為

J1+療］(%+%)2-4%%

由于相切，故1+4=6（二+1），解得加=±逅

3m2+43m2+43

答案第10頁，共15頁

17.(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，分類討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)，即可求解;

(2)求導(dǎo)，由*=/為極大值點(diǎn)，得到te'=1,ln/=T,進(jìn)而得至lJg?)=5-2"+；

結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性即可求證；

【詳解】⑴由函數(shù)〃"=依一lnx,qeR的定義域?yàn)?0,+8),則f(x)=a-：=『，

當(dāng)aWO時，廣(“<0,在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)。>0時，當(dāng)。<尤時，/。)<°，則/(%)在(。，>)上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，/'(x)>0,則/⑴在。+(?)上單調(diào)遞增；

故當(dāng)4W0時，在(0,+◎上單調(diào)遞減；

當(dāng)。>0時，/(X)在(0,。上單調(diào)遞減，在。+8)上單調(diào)遞增；

(2)由(1)可知：/(l)=axl-ln--4=-3,

aaa

解得：a=l,經(jīng)驗(yàn)證a=l符合題意；

所以g(x)=(%-2)ex-x+lnx+4,aeR

所以g'(%)=(%T)e"-x+-,

x

即g，(無)=(x—l)e-l+J=(xe1?(xT),

令g，(x)=O,可得：*-1=0或x=L

構(gòu)造函數(shù)6(x)=xe*-1,易知x>0時，/?(x)=xe*-1單調(diào)遞增，

〃出=；”-1<0,/z(l)=e-l>0,

所以存在唯一x=r使得6(。=0,

所以當(dāng)0<x<r時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)r<x<l時，g'M<o,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以x=r為函數(shù)g(x)=(x-2)eA-/(x)的極大值點(diǎn)，

答案第11頁，共15頁

且！＜￡＜1,H=l,\nt=-t

2

故g(。=(/-2)e'—，+ln，+4=5—2"+’］,

由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知y=z+L在單調(diào)遞減，

t2

所以，＜f+l＜3

2t

所以一l＜g⑺=5-21+；］＜0,得證；

18.⑴證明見解析；

(2)——71

27

*

【分析】(1)利用勾股定理以及線面垂直的判定定理證明即可得出結(jié)論；

(2)依題意可通過構(gòu)造長方體得出四面體ACDE的外接球的直徑，即可求出外接球的體積;

(3)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)兩平面夾角的向量求法列方程計(jì)算可解

得DE=g.

2

【詳解】(1)根據(jù)題意由AC=1,AE=友,CE=正可得4。2+以2=4序，

33

即ZC_LCF,

又AC_LPD,且CE,POu平面PDE,

因此AC_L平面PDE；

(2)由(1)中AC,平面PDE,又OEu平面PDE,所以ACLDE；

又PD1DE,AC±PD,

所以ACP2OE兩兩垂直，

所以四面體ACDE的外接球即為以。瓦AC,CD為長方體的長、寬、高時長方體的外接球，

該球直徑為AE,

因此四面體ACDE的外接球的體積為4兀(寸］3="兀［=-7t.

(3)由(1)中ACPDDE兩兩垂直可知，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。瓦。尸所在直線分別為％＞軸，過點(diǎn)。作垂直于平面PDE的直線作為z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下所示：

答案第12頁，共15頁

A

DE~*

設(shè)吟"考

,在RtATDE中由勾股定理可得CO=

7

X\

易知0(0,0,0),AO,J!-巴1,E&0,o),c0,七1_/,0；

3

可得屈=o,CA=(o,O,l),DE=(r,O,O),ZM=12

3

7

設(shè)平面C4E的法向量為陽=a，%,zj,

，貝!J%=t,

設(shè)平面ADE的法向量為為=（吃,％，Z2），

DE?為=/%=0

則,解得％=。，令%=T，則4=

%?n=-，2%+z2=。

所以沅=[o,T,Jg_/

m-n\3而

因此可得出他砌HL

m\\n\1[4213

33

解得"g.

可得DE的長為

答案第13頁，共15頁

rr3V3

19.(1)^3,—

(2)證明見解析

(3)n=4

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(2)先證明：當(dāng)x+y+z=左萬(ZeZ)時，