專題7-3離散型隨機變量的均值與方差（數(shù)字特征）

總覽1題型解讀

【題型1】求離散型隨機變量的均值（期望）.......................................1

【題型2】均值的性質...........................................................5

【題型3】由離散型隨機變量的均值求參數(shù).........................................7

【題型4】求離散型隨機變量的方差、標準差.......................................9

【題型5】方差的性質...........................................................13

【題型6】方差的期望表示*......................................................14

【題型7】求兩點分布的均值與方差..............................................16

【題型8】離散型隨機變量的綜合問題............................................18

題型匯編知識點梳理與?？碱}型訓練

【題型1】求離散型隨機變量的均值（期望）

基礎知識

離散型隨機變量的均值

（1）定義

一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示:

XXIX2Xn

PPiP2Pn

則稱E（X）=X]P]+尤2P2+「+xiPi++X”P”為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡

稱期望，它反映了隨機變量取值的平均水平.

⑵對均值（期望）的理解

求離散型隨機變量的期望應注意：

①期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.

②E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)

是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài).

③均值與隨機變量有相同的單位.

1.某日A,8兩個沿海城市受臺風襲擊的概率相同，已知A市或8市至少有一個受臺風襲擊的概率

為0.36,若用X表示這一天受臺風襲擊的城市個數(shù)，則E(X)=()

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

【答案】D

【分析】由對立事件與獨立事件的概率公式求出P(A)=P(B)=0.2，由題意知X=0,1,2,分別求出

相應的概率能求出EX.

【詳解】設A8兩市受臺風襲擊的概率均為。，

則A市或8市都不受臺風襲擊的概率為

(1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或0=1.8(舍去)，

p(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=2x0.8x0.2=0.32,

尸(X=2)=0.2x0.2=0.04,

二雙X)=0x0.64+1x0.32+2x0.04=0.4,故選D.

2.(高二下?山東濱州?期中)已知隨機變量X的分布列如下所示，則E(X)=()

X024

1

Pml-3m

5

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先由概率和為1,列方程求出機，然后利用期望公式求解即可

【詳解】由題意得g+m+l-3w=l,解得根=&,

所以

3.某射手射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下表：

X78910

0.2

現(xiàn)該射手進行兩次射擊，以兩次射擊中所得最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為4,則E(J)=.

【答案】9.1

【詳解】X的取值范圍為{7,8,9,10},且尸信=7)=0.12=0.01,

尸偌=8)=2x0.1x0.4+0.42=0.24,

p(歲=9)=2x0.1x0.3+2x04x0.3+0.32=0.39,

=10)=2x0.1x0.2+2x0.4x0.2+2x0.3x0.2+0.22=0.36.

所以4分布列為

478910

P0.010.240.390.36

磯J)=7x0.01+8x0.24+9x0.39+10x0.36=9.1

4.(高二下?浙江嘉興?期中)不透明的盒子中有6個球，其中4個綠球，2個紅球，這6個小球除顏

色外完全相同，每次不放回的從中取出1個球，取出紅球即停.記X為此過程中取到的綠球的個

數(shù).

⑴求尸(X=2)；(2)寫出隨機變量X的分布列，并求磯X).

|4

【答案】⑴丁(2)分布列見解析，￡(%)=-

【分析】(1)X=2表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，結合獨立事件的概率乘法

公式可求得尸(X=2)的值；

(2)分析可知，X的可能取值有0、1、2、3、4,求出隨機變量X在不同取值下的概率，可得出

隨機變量X的分布列，進而可求得E(X)的值.

【詳解】(1)解：X=2表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，

4321

所以，P(X)=—x—x—=—.

v76545

(2)解：由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2、3、4,

尸(X=0)K，P(X=l)=1x|=±,P(X=2)=g,

p(X=3)=-x-x-x-=—,p(^x=4)=-x-x-x-=—,

v7654315v7654315

所以，隨機變量X的分布列如下表所示：

X01234

￡4121

P

31551515

141214

所以，E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—+4x—=—

v7315515153

【鞏固練習1】已知離散型隨機變量。的概率分布列如下表：則數(shù)學期望等于()

135

P0.5m0.2

A.1B.0.6C.2+3mD.2.4

【答案】D

【分析】利用概率和為1計算出尸(J=3)的概率，結合期望公式計算即可.

【詳解】結合表格可知P楂=1)+尸仁=3)+=5)=1,

即0.5+根+0.2=1,解得：m=0.3,

所以￡1(4)=1x0.5+3x0.3+5x0.2=2.4.

【鞏固練習2】(高二下.湖南衡陽?期中)一袋中裝有編號分別為1,2,3,4的4個球，現(xiàn)從中隨機

取出2個球，用X表示取出球的最大編號，則石(X)=()

11

A.2B.3D.

【答案】C

【分析】由題意隨機變量X所有可能取值為2,3,4,然后求出各自對應的概率，即可求出X的分

布列，再計算期望即可.

【詳解】由題意隨機變量X所有可能取值為2,3,4.

11

且尸(X=2)=k1=W1，P(X=3)=Wc=±1,P(X=4)=WC=L1.

C；6，、Cj3C；2

因此X的分布列為：

X234

11j_

P

632

貝阻乂)=2、，+3*工+4*!=竺

6323

【鞏固練習3】(高二下?福建漳州?期中)某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號

分別為1,2,3,4,5的五批疫苗，供全市所轄的A,B,C三個區(qū)市民接種，每個區(qū)均能從中任

選一個批號的疫苗接種，則三個區(qū)市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同的概率是;記A,

B,C三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為X,則X的期望是.

12

【答案】||3

【分析】根據(jù)題意，利用古典概型的概率計算公式，求得三個區(qū)注射的疫苗批號恰好有兩個區(qū)相同

的概率；再由三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為X的所有可能值為1,2,3,4,5,求得相應的概率，結

合期望的公式，即可求解.

C2c2A212

【詳解】設三個區(qū)注射的疫苗批號恰好有兩個區(qū)相同記為事件A,則尸⑷==上;

5325

再設三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為X,則X的所有可能值為1,2,3,4,5,

可得”中22）」+丁口,

J1^—^7JJ.乙J

1+C：x4+C；CA；371+C；x4+C；A；31

尸(X=3)==——，尸(X=4)=

125125

1+C；x4_13

P(X=5)=

53125

13c31。37彳31u13。

所以X的數(shù)學期望為石（X）=lx------i-2x------i-3x------i-4x------i-5x=3.

125125125125125

【題型2】均值的性質

基礎知識

若離散型隨機變量X的均值為E（X）,Y=aX+b,其中。力為常數(shù)，則￥也是一個離散型隨機變量，且

E（Y）=E（aX+b）=aE（X）+b.

特別地，當a=0時，E（b）=b；當a=l時，E（X+b）=E（X）+6；當6=0時，E（aX）=aE（X）.

5.已知隨機變量x的分布列表如下表，且隨機變量y=2x+3,則y的期望是（）

X-101

Pm

23

【答案】A

【分析】由隨機變量X的分布列求出機，求出現(xiàn)X),由y=2X+3,得E(y)=2磯X)+3,由此能

求出結果.

【詳解】由隨機變量X的分布列得：-+-+m=l,解得相=!，

236

/.E(X)=-lx-+Ox-+lx-=--,y=2X+3,

v72363

27

.'.E(y)=2E(X)+3=--+3=j.

6.已知隨機變量式f>0)滿足E(2-3f)+F2(f)=6,則E(f)=()

A.-1或4B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)均值的性質可得E(2-3f)=3E(f),則E(2-3f)+E2(f)=6即為嚴管)-3￡(f)-4=

0,解方程求得答案.

【詳解】因為E(2—3f)+E2(f)=6,所以E2(f)-3E(f)-4=0,

解得E(f)=4或E&)=-1(舍去)

【鞏固練習1】已知〃的分布列為:

-101

1工1

P36

設。=3〃一2貝的值為

42

A.—3B.—C.—D.5

33

【答案】A

【詳解】由題意可知E5）=-lx-+0x-+lx-=--.

2363

?：&=3"-2,所以=￡（31]-2）=3E⑺-2=-3.

【鞏固練習2】設離散型隨機變量X可能取的值為1、2、3、4.P(X=k)=ak+b(k=l,2、3、4).又

X的均值E(X)=3,貝|°+6=一

【答案】』

【詳解】依題意得=l?（a+Z?）+2?（2a+/?）+3?（3a+/?）+4?（4a+/?）=3,且概率和

（a+Z?）+（2a+Z?）+（3a+b）+（4a+Z7）=1,解得Q==（）,〃+/?.

【鞏固練習3】已知隨機變量X的分布列如下表所示

X12345

P0.10.2b0.20.1

則E(2X—5)的值等于()

A.1B.2C.3D.4

【分析】先求出6的值，再利用期望定義求出E(X),再進一步求出E(2X—5).

【詳解】由題得04+0.2+。+0.2+0.1=1,b=0.4,

所以E(X)=1x0.1+2x0.2+3x0.4+4x0.2+5x0.1=3

所以E(2X-5)=2E(X)—5=2x3—5=1.

【題型3】由離散型隨機變量的均值求參數(shù)

基礎知識

根據(jù)分布列的性質以及期望公式即可求出參數(shù)

7.若隨機變量X的分布列如下表，且EX=6.3,則表中。的值為.

X4a9

P0.50.1b

【答案】7

【解析】根據(jù)概率之和為1求得b的值，然后利用隨機變量X的數(shù)學期望值可求出實數(shù)。的值.

【詳解】由于概率之和為1,則6=1-0.5—0.1=04,

=4x0.5+41x0.1+9x0.4=6.3,解得。=7.

8.已知X的分布列為

X-101

j_1j_

P

~236

7

且y=〃x+3,E(y)=-,則〃為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】先求出頤X)=(-1)x-+Ox-+lx-=--.再由y=qX+3得E(y)=oE(X)+3.

2363

71

—=a(—)+3,解得〃=2.

33

9.(高二下?江蘇鎮(zhèn)江?期末)已知隨機變量滿足尸6=%)=雙+優(yōu)龍=-1,0,1),其中若

EC)=g，貝1"=，b=.

11

【答案】74

63

【詳解】由尸q=x)=ax+6(x=T,0,l),

可得P(《=_l)=6_a,P(^=0)=&,P^=1)=b+a,

所以Z?-a+b+a+b=3b=l,則b=；,

又E?=-lx(Z?-a)+0xb+lx(a+b)=2a=g,則a='.

【鞏固練習1】設離散型隨機變量X可能的取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+6,若X的均值E(X)=3,

則a—b等于()

【分析】將X=l,2,3,4代入P(X=k)的表達式，利用概率之和為1列方程，利用期望值列出第

二個方程，聯(lián)立方程組，可求解得a+b的值.

【詳解】依題意可的X的分布列為：

X1234

Pa+b2a+b3a+b4a+b

a+b+2a+b+3a+b+4a+b=li,_,,,,i

依題意得—(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3，解侍。=方b=0,i^a+b=

【鞏固練習2】某項上機考試的規(guī)則是：每位學員最多可上機考試3次，一旦通過，則停止考試；

否則一直到3次上機考試結束為止.某學員一次上機考試通過的概率為p(p豐0),考試次數(shù)為X,若X

的數(shù)學期望E(X)>1.75,則p的取值可能是()

【分析】根據(jù)獨立重復實驗的概率計算方法求出隨機變量X的分布列，根據(jù)數(shù)學期望的公式即可計

算〃的范圍.

【詳解】考試次數(shù)X的所有可能取值為1,2,3,

P(x=1)=P，P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,

.,.E(X)=p+2(l-p)p+3(l-p)2>1,75,

即4P2_12P+5>0,解得p<5或p>又0Vp<1,故0Vp<萬.

【鞏固練習3】已知隨機變量x,y滿足y=2x+3,y的期望E(Y)=￡x的分布列為:

B-a=i'b=i

31

C.a=-1,b入=-1cD.a=-,bk=-

3688

【分析】根據(jù)期望的性質可求得E(X),再根據(jù)期望公式及概率之和為1,列出方程組，解之即可得

解.

【詳解】解：因為E(Y)=2E(X)+3=：7,

11

-1—1x—F0xa+lxb=—11

所以E(X)=-9貝1|有?213,解得a=

—Fa+b=1

2

【題型4】求離散型隨機變量的方差、標準差

核心?技巧

離散型隨機變量的方差、標準差

(1)定義

設離散型隨機變量X的分布列為

XXIX2XiXn

PP1P2PiPn

22

則稱D(X)=(Xj-E(X))“+(xz—E(X)yp2+…+(/-E(X))2pn=￡(x,—￡(^))pt為隨機變量X

Z=1

的方差，并稱而為隨機變量X的標準差，記為。(X).

(2)意義

隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散

程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中，方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.

10.(高二?遼寧遼陽?期末)小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中

的概率為1,記小明射擊2次的得分為X,則。(x)=()

【答案】B

【分析】先找出X的取值可能，計算每種可能的概率后結合方差定義計算即可得.

【詳解】由題意可知，X的取值可能為-2,0,2,

224

因為P(X=2)=§Xw=§,

尸(X=-2)=X=1

9

尸部=0)心知=：

一

，

24212一4

故o(x)[2、IX+2X+OX-16

9----3-9-9-

—

I—

3-9-

11.(高二?廣東廣州?期末)隨機變量。有3個不同的取值，且其分布列如下:

則W2)的值為.

【答案】弓3

16

【分析】根據(jù)給定表格，求出鏟的分布列，再利用方差的定義計算即得.

i3

【詳解】依題意，片的取值為0,1,且尸（三=0）=:，尸（三=1）=

一44

1Q3

貝IF的期望項產）=0'一+卜一=一，

444

所以長的方差℃2）=（0—彳）2*廠（1—噎.

3

故答案為：—

16

【鞏固練習1］（高二下?山東濰坊?期末）隨機變量。的分布列是

若E（O=|,貝.

Q

【答案】I

Q

【分析】根據(jù)概率之和等于1及E（J）=§求得然后再利用方差公式即可求得答案.

84

【詳解】解：E（g）=2a+4b=m，即a+2b=§,

21

又因Q+Z?=1,所以。=—,/?=一,

33

所以ZO=gx[2.|)+}[4一|)=|.

【鞏固練習2］若離散型隨機變量X的分布列為

HH3

nP

□InU

則X的方差。（X）=.

【答案】；

4

【分析】根據(jù)分布列的性質求出參數(shù)〃的值，在根據(jù)期望、方差公式計算可得.

2

【詳解】由巴+幺=1,解得。=1或a=—2（舍去）.

22

.?.X的分布列為

2

.?.￡(X)=Ox|+lxl=l,則Z>(x)=[o-:

【鞏固練習3】(高二下?山東淄博?期末)隨機變量X的分布列為:

則。")=

【答案】二

16

【分析】利用概率之和為1算出"，然后利用期望和方差的計算公式進行計算即可.

4

【詳解】由概率之和為1可得,+〃=,

244

1117

石(X)=lx—+2x—+3x—=一,

v72444

214)414J414J16

【鞏固練習4】(浙江杭州?期末)在一次隨機試驗中，事件A發(fā)生的概率為夕，事件A發(fā)生的次數(shù)為

九則期望石C)=—,方差的最大值為一.

【答案】P-

4

【詳解】記事件A發(fā)生的次數(shù)為。可能的值為0、1

期望窈=0x(1_p)+lxp=/?

方差此=(0-p)2x(l-0)+(l-0)2x0=0(l-04；

故期望EC)==P,方差的最大值為:

【題型5】方差的性質

/核心?技巧/

若離散型隨機變量x的方差為。(x),丫=業(yè)+人，其中。力為常數(shù)，則y也是一個離散型隨機變量,

且。(y)=O(aX+b)=/o(x).

12.若數(shù)據(jù)打,久2,…,打的平均數(shù)為禮方差為s2,則5X1+2,5犯+2,…,5出+2的平均數(shù)和方差分別

為()

A.x,s2B.5%+2,s2C.5%+2,25s2D.x,25s2

【分析】利用期望、方差性質求新數(shù)據(jù)的期望、方差.

【詳解】由期望、方差的性質知：E(5X+2)=5E(X)+2=5元+2,D(5X+2)=25D(X)=25s2

13.離散型隨機變量X的分布列為P(X=%)=&i=l,2,3,…，6,其期望為E(X),若

f(x,-E(X)y4=2,則O(2X+1)=.

i=l

【答案】8

【分析】根據(jù)方差的定義求得。(X)=2,然后利用方差性質求解即可.

【詳解】由題意及方差定義知3(*)=￡(%-石5))2匕=2,所以D(2X+1)=4O(X)=8.

i=l

【鞏固練習1】若隨機變量X的分布列如表，且E(X)=2,則D(2X—3)的值為()

【分析】由概率之和等于1得出p=1,求出方差，并由方差性質求解即可.

【詳解】由題意可得：t1+p1+：=1,解得p=；1,因為E(X)=2,所以Oxt1+21x：+1ax：=2,

解得a=3.所以。(X)=(0-2產x工+(2—2)2x工+(3-2)2x工=1.

623

所以。(2X-3)=4D(X)=4.

【鞏固練習2】已知隨機變量X滿足E(2X—1)=2,D(2X-1)=4,貝U()

cqc

A.E(X)=2,D(x)B.F(x)=j,D(X)=：

C.E(X)=j,D(X)=1D.E(X)=2,D(X)=1

【分析】根據(jù)期望和方差公式，即可判斷選項.

【詳解】E(2X-1)=2E(X)-1=2,得E(X)=|,

D(2X-1)=4D(X)=4,0(X)=1.

【鞏固練習3】設a>0,若隨機變量《的分布列如下表：

-102

Pa2a3a

則下列方差中最大的是()

A.0?)B.D(|<|)C.D(2<-1)D.D(2|<|-1)

【分析】利用期望和方差的計算公式及其方差的性質分別求解即可.

【詳解】由題意，得a+2a+3a=，1,則a=￡o,

所以=-lx^+0xj+2xj=?mi)=ixi+oxi+2xi=1)

所以D(0=:x(_l_g+：x(o-4)2+卜(2-丁=11，。(9)="(1-)+打(0—92

1Xf2--f=-

2\6736,

所以。(24-1)=4D?)=4x||=-l，Z)(2|<|-1)=4D(KI)=7,

即O(24一1)最大

【題型6】方差的期望表示*

/核心?技巧/

D(X)=E[(X-E(X))2]

=E\_X2-2X-E(X)+E2CQ]

=E(X2)-[E(X)]2

利用數(shù)學期望計算方差非常簡便，尤其是樣本數(shù)較多的情形。

14.（高二下?安徽黃山?期末）隨機變量4的分布列如下表，則。（5X+E（X））=.

X012

P0.40.2a

【答案】20

【分析】由概率和為1求出凡先求出E(X)和O(X),進而求出D(5X+1).

【詳解】由0.4+0.2+。=1,得“=0.4,所以E(X)=lx。.2+2x04=1,E(X2)=lxO.2+4xO.4=1.8,

D(X)=E(X2)-(f(X))2=0.8,D(5X+1)=25D(X)=25x0.8=20

15.（2023高二?安徽）一離散型隨機變量X的分布列為:

X0123

P0.1abc

其中。力為變數(shù)，c為正常數(shù)，且當時方差D（X）有最大值，貝ijc的值為.

【答案】0.1

【分析】由題意得a+6+c=0.9再利用期望、方差的性質計算可得答案.

【詳解】由題意得，a+b+c=0.9,E（X）=a+2》+3c=0.9+b+2cE（X?）=a+46+9c=°.9+3b+8c,

￡＞（X）=E（X2）-[￡（X）]2=0.9+36+8C-（0.9+6+2C）2

=孑+（1.2-4cW+0.09+4.4c-4c2,

.,.當b=0.6-2c時有最大值，此時L2-4c+c=0.9,解得c=0.1.

【鞏固練習1】（浙江?期中）將2名科學家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用。表示兩名

科學家之間的航天員人數(shù)，則E（J）=,.

【答案】11

【分析】根據(jù)題意可得4的所有可能取值為0,1,2,3,求出對應的概率，進而求出頤號和￡（片），

根據(jù)。⑸=網"）-爐⑶計算即可.

【詳解】解：J的所有可能取值為0,1,2,3.

P《=O）=掌=：；

M1)=c；*=g

Ox-9」

所以E($)==2,

510510

所以n(O=E(y)_石2管)=1.

【鞏固練習2】(高二下?吉林長春?期中)若p為非負實數(shù)，隨機變量X的分布列為下表，則Q(x)的

【分析】根據(jù)所給的分布列，寫出關于概率0的不等式組，解出p的范圍，寫出期望和方差的表示

式，根據(jù)〃的范圍，求出最值.

0<--p<l1

【詳解】:2,:.pe[0,~],

0<p<l2

.?.E(X)=p+l<|,E(X)=p+2,

.■.D(X)=E(X2)-E2(X)=-p2-p+l=-(p+^)2+^,

.?.當。=0時，D(X)max=l.

【題型7】求兩點分布的均值與方差

核心?技巧

一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么￡(X)=Ox(l-p)+lxp=p.

16.已知隨機變量X服從兩點分布，且尸(X=1)=04,設孑=2X-3,那么E(J)=

【答案】一2.2

【解析】先求出E(X),再由隨機變量的線性關系的期望性質，即可求解.

【詳解】E(X)=1x0.4+0x(1-0.4)=0.4,E(^)=2E(X)-3=-2.2

17.(多選)已知隨機變量。服從兩點分布，且尸值=1)=口。=1,2),若g<B<2<l，則下列判

斷不正確的是()

A.E仁)<。值)B.E槎)<EG)

C.E(￡)<￡>(瑞)D.。信)俗)

【答案】ACD

【分析】利用兩點分布的期望與方差公式求解即可.

【詳解】依題意，得尸(4=1)="，尸值=1)=02,。服從兩點分布，

所以E信1)=口，￡值)=。2,D(A)=P1(1-Pl),。值)=。2(1-。2)，

因為g<B<P2<l,則0<l-R<g,。<1-。2<；，

所以P2>。2(1-P2),Pi<P2,Pl>P1(1-P1),

所以E?)>。?),E信)<E?),E信)>。侑)，

DCS)-。(芻)=Pl(1-)-P2(1-02)=(P「。2)(1-Pl-。2)>。,即0㈤>。倭),

所以ACD錯誤，B正確.

【鞏固練習1】已知隨機變量X服從兩點分布，且P(X=l)=0.4，設孑=2X-3,那么E<)=.

【答案】一2.2

【解析】先求出E(X),再由隨機變量的線性關系的期望性質，即可求解.

【詳解】E(X)=lx0.4+0x(l—0.4)=0.4,E(J)=2E(X)-3=-2.2

故答案為：-2.2

【鞏固練習2】(高二?廣西桂林?期末)一位足球運動員在有人防守的情況下，射門命中的概率P=03,

用隨機變量X表示他一次射門的命中次數(shù)，則D(X)=.

【答案】0.21

【分析】先求出期望，借助期望求方差.

【詳解】由題知，一次射門命中次數(shù)為0次或1次，

p(x=0)=1-0.3=0.7,尸(X=1)=0.3,

因土匕E(X)=0x0.7+lx0.3=0.3,

￡(X2)=0X0.7+1X0.3=0.3,

D(X)=￡(X2)-E2(X)=0.3-0.32=0.21

【鞏固練習3】（多選）若隨機變量X服從兩點分布，其中尸（X=0）=：,E（X）,D（X）分別為隨

機變量X的均值與方差，則下列結論正確的是（）

A.P（X=1）=E（X）B.E（4X+1）=4

3

c-o（x）=”D.O（4X+1）=4

'"16'，

【答案】ABC

【分析】首先寫出兩點分布，再根據(jù)期望和方差公式求E（X）,D（X）,再根據(jù)E（4X+1）=4E（X）+1,

r＞（4X+l）=42D（X）,計算期望和方差.

1Q

【詳解】因為隨機變量X服從兩點分布，JLP（X=O）=-,所以p（x=l）=j

133

E（X）=Ox-+lx^=1,所以尸（X=1）=E（X）,故A正確；

3

E（4X+1）=4￡（X）+1=4X-+1=4,故B正確；

r＞（x）=]o-雪一雪x；=W，故c正確；

3

D（4X+1）=42D（X）=16X—=3,故D不正確.

【題型8】離散型隨機變量的綜合問題

18.（高二下?廣東廣州?期末）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜

歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，3，C歌名的概率及猜對時獲得相應

的公益基金分別是：猜對歌曲A的概率為0.8,可獲公益基金1千元；猜對歌曲2的概率為0.5,

可獲公益基金2千元；猜對歌曲C的概率為0.5,可獲公益基金3千元.規(guī)則如下：按照A,民C

的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，記嘉賓獲得的公益基金總額為X千元,

則（）

A.尸（X=3）=0.4

B.E（2X+1）=5.4

C.D（2X+1）=18.24

D.獲得公益基金的期望值與猜歌順序無關

【答案】BC

【分析】確定X的取值，求得每個值對應概率，可判斷A；繼而可求得期望和方差，根據(jù)期望和方

差的性質可判斷B,C;再求出按照A,C,8的順序猜時的期望值，比較可判斷D.

【詳解】由題意，可分別用A,民C表示猜對三首歌曲A,8,C歌名的的事件，則A,3,C相互獨立，

按照A,8,C的順序猜，則X的取值可能為0,1,3,6,

則P(X=0)=尸(Z)=0.2,尸(X=1)=P(AB)=0.8X0.5=0.40,

尸(X=3)=P(ABC)=0.8x0.5x0,5=0.2,P(X=6)=尸(ABC)=0.8x0.5x0.5=0.2,

貝E(X)=0x0.2+lx0.4+3x0.2+6x0.2=2.2,

D(X)=(0-2.2)2x0.2+(l-2.2)2x0.4+(3-2.2)2x0.2+(6-2.2)2x0.2=4.56,

故E(2X+1)=2x2.2+1=5.4,D(2X+1)=4x4.56=18.24,

由此可知A錯誤；B正確，C正確；

假設按照A,C8的順序猜，設y表示此時獲得的公益基金總額

貝"P(y=0)=P(A)=0.2,p(y=1)=P(AC)=0.8x0.5=0.40,

p(y=4)=P(ACB)=0.8x0.5x0.5=0.2,P(Y=6)=P(ABC)=0.8x0.5x0.5=0.2,

則E(y)=0x0.2+lx0.4+4x0.2+6x0.2=2.4,

與按照A,瓦C的順序猜的期望值不同，故D錯誤

19.甲、乙兩人進行投籃比賽，分輪次進行，每輪比賽甲、乙各投籃一次.比賽規(guī)定：若甲投中，

乙未投中，甲得1分，乙得一1分；若甲未投中，乙投中，甲得一1分，乙得1分；若甲、乙都

投中或都未投中，甲、乙均得0分.當甲、乙兩人累計得分的差值大于或等于4分時，就停止

比賽，分數(shù)多的獲勝：4輪比賽后，若甲、乙兩人累計得分的差值小于4分也停止比賽，分數(shù)

多的獲勝，分數(shù)相同則平局、甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.5和0.6,且互不影響.一輪比

賽中甲的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)求甲、乙兩人最終平局的概率；

(3)記甲、乙一共進行了y輪比賽，求y的分布列及期望.

【答案】(1)分布列見解析

(2)0.2569

(3)分布列見解析，期望為3.61

【分析】(1)X的所有可能取值為-1,0,1,求出相應的概率列出分布列即可；

(2)因為甲、乙兩人最終平局，所以甲、乙一定進行了四輪比賽分三種情況：①四輪比賽中甲、乙

均得。分；②四輪比賽中有兩輪甲、乙均得0分，另兩輪，甲、乙各得1分；③四輪比賽中甲、乙

各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分；再分別求出每一種情況的概率相加即可；

(3)y的所有可能取值為2,3,4,求出對應的概率列出分布列即可.

【詳解】(1)依題意，

X的所有可能取值為一1,0,1.

P(X=—l)=(l-O.5)xO.6=O.3,

p(X=O)=O.5xO.6+(l-0.5)(1-0.4)=0.5,

p(X=1)=0.5x(1-0.6)=0.2,

①四輪比賽中甲、乙均得0分，其概率為OS4=0.0625.

②四輪比賽中有兩輪甲、乙均得0分，另兩輪，甲、乙各得1分,

其概率為2C：x0.5x0.5x0.2x0.3=0.18.

③四輪比賽中甲、乙各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分，

其概率為4x0.2x0.3x0.2x0.3=0.0144.

故甲、乙兩人最終平局的概率為0.0625+0.18+0.0144=0.2569.

(3)￥的所有可能取值為2,3,4.

P(Y=2)=0.3x0.3+0.2x0.2=0.13,

P(y=3)=2x0.3x0.3x0.5+2x0.2x0.2x0.5=0.13,

尸(y=4)=i—尸(y=2)—尸(y=3)=o.74,

所以y的分布列為

Y234

P0.130.130.74

E(y)=2x0.13+3x0.13+4x0.74=3.61.

20.A,B,C,。四人進行羽毛球單打循環(huán)練習賽，其中每局有兩人比賽，每局比賽結束時，負

的一方下場，第1局由A,3對賽，接下來按照C,￡＞的順序上場第2局、第3局(來替換負

的那個人)，每次負的人其上場順序排到另外2個等待上場的人之后(即排到最后一個)，需要

再等2局(即下場后的第3局)才能參加下一場練習賽.設各局中雙方獲勝的概率均為3，各局

比賽的結果相互獨立.

(1)求前4局A都不下場的概率；

(2)用X表示前4局中3獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

【答案】⑴4

16

19

(2)分布列見解析，￡(X)=—.

16

【分析】(1)根據(jù)前4局A都不下場，由前4局A都獲勝求解；

(2)由X的所有可能取值為0,1,2,3,4,分別求得其概率，列出分布列，再求期望.

【詳解】(1)前4局A都不下場說明前4局A都獲勝，

故前4局A都不下場的概率p=m±=

222216

(2)依題意X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

其中，X=0表示第1局B輸，第4局是B上場，且8輸，則P(X=0)=[x]=!；

224

X=1表示第1局3輸，第4局是3上場，且3贏或第1局3贏，且第2局3輸，

則尸。=1)=夏+基卜!；

22222

X=2表而第1局B贏,且第2局3贏，第3局6輸，

則P(X=2)=:X：X!=：；

222X

X=3表示第1局與贏，且第2局6贏，第3局5贏，第4局3輸，

貝1P(X=3)=-x-x-x-