專題14棱臺(tái)相關(guān)解答題十大題型匯總

◎常考題型目錄

題型1平行關(guān)系......................................................................1

題型2垂直關(guān)系......................................................................3

題型3長(zhǎng)度面積高度問(wèn)題.............................................................6

題型4距離體積問(wèn)題.................................................................15

題型5線線、線面角問(wèn)題............................................................26

題型6二面角問(wèn)題...................................................................37

題型7線面角與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題............................................................50

題型8二面角與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題............................................................59

題型9體積與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題..............................................................70

題型10最值取值范圍問(wèn)題...........................................................79

Q題型分類

題型1平行關(guān)系

【例題112023?全國(guó)?高三專題練習(xí)那圖，四棱臺(tái)ABCD-EFGH的底面是菱形目4比W=

,DH1平面ABCD,EH=2,DH=3,AD=4.

⑴求證：力E〃平面BDG；

（2）求三棱錐F-BDG的體積.

【答案】Q）證明見(jiàn)解析

(2)273

【分析】（1）連接4C交BD于點(diǎn)。，根據(jù)EG//AC,EG=AO可證得四邊形AOGE為平行

四邊形，由此可得4E〃G。,由線面平行的判定可證得結(jié)論；

(2)由GE，DH,GE，F(xiàn)H可證得GE，平面BDHF,利用體積橋吸-BDG=%.BDF可求得

結(jié)果.

【詳解】(1)連接AC交BD于點(diǎn)。，連接EG.GO,

?.?幾何體ABCD-EFGH為四棱臺(tái)A,C,G,E四點(diǎn)共面目EGu平面EFGH/Cu平面ABCD,

???平面EFG”〃平面ABCD,：.EG//AC；

???四邊形EFGH和ABCD均為菱形，Z.BAD=￡,EH=2,AD=4,

EG=^AC=A0=2V3,??.四邊形AOGE為平彳亍四邊形，:.AE//GO,

又GOu平面BDG,AEC平面BDG,4E〃平面BDG.

(2)連接GE交于K,

???DH_L平面ABCD,平面4BCD〃平面EFGH，,DHJ_平面EFGH,

又GEu平面EFGH,GE1DH,

vGEA.FH,DHC\FH=H,DH,FHu平面BDHF，,GE1平面BDHF；

???四邊形EFGH為菱形,4FEH=^BAD=g,EF=2,二GK=B,

F-BDG—VG-BDF—^SABDF'GK=|x|x4x3xV3=2V3.

【變式HI(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，已知四棱臺(tái)4BCD-48心。1中,AB//CD,

AD1AB,

CCi=CB=CD=2AB=2右外,E是BC的中點(diǎn).證明：II平面CCrDrD.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】取4。的中點(diǎn)M,利用中位線證平面&EM〃平面CC.D.D即可.

【詳解】證明：如圖，取4。的中點(diǎn)M,連接&MME,

因?yàn)樵谒睦馀_(tái)ABCD-4把1的。1中,CD=2C1D1,

所以AD=2A1D1,且力。//A%,即MD=A1D1,且MD//A1D1,

所以四邊形&AWD1是平行四邊形，所以.

又占MC平面CC^D^D,DD1u平面CC-^D^D,所以〃平面CC^D^D.

因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以EM是梯形ABCD的中位線，所以EM//CD,

又EM，平面CCDD,DCu平面CCrDrD,所以EM〃平面CCxDrD.

又因?yàn)镃ME=M,&M、MEu平面&EM,所以平面力iEM〃平面。。避道.

因?yàn)?Eu平面41EM,所以&E〃平面CC^D^D.

題型2垂直關(guān)系

【例題2]（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）在三棱臺(tái)AB?-4BC中，NB4C=90°/〃1平面

ABC,ArA=43,AB=AC=2A1C1=2,D為BC的中點(diǎn).證明：平面44D1平面BCC1B1.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量數(shù)量積坐標(biāo)表示求出近-AD=O^C-

=0,即可證得BC1AD,BC14&,即BC_L平面44D,再由面面垂直的判定定理即可

證明.

【詳解】由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝！]71(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),711(0,0,V3),0(1,1,0),所以前=(-2,2,0),而=(1,1,0),筋1=

(0,0,場(chǎng),

因?yàn)榻?AD=-2+2+0=0,FC.A41=0+0+0=0,

所以阮1AD,BC1甌，所以BC1AD,BC1AA1.

又ADCAA1=A,AD,AAru平面44D,所以BCJ_平面力遇。,又BCu平面BCCrBr,

所以平面，平面BCC1B1.

【變式21](2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，C—平面DEF,

AB±BC.

(1)設(shè)平面ACECI平面DEF=a,求證:DFlIa;

(2)若EF=CF=2BC,試問(wèn)在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG,平面CDE?若存在,

請(qǐng)確定G點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在點(diǎn)G,且BG—BE

【分析】(1)利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可證；

(2)取CE的中點(diǎn)0,連接F0并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,然后證明

GFJ_平面CDE可得.

【詳解】(1)在三棱臺(tái)ABC-DEF中，

ACllDF,ACu平面ACE,DFC平面ACE,

.,.DFII平面ACE.

又.DFu平面DEF,平面ACED平面DEF=a,

.1.DFlla.

(2)線段BE上存在點(diǎn)G,且BG=[BE時(shí)，使得平面DFG,平面CDE.

證明如下：

取CE的中點(diǎn)0,連接F0并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

連接GD,-.CF=EF,.'.GF±CE.

在三棱臺(tái)ABC-DEF中，AB±BC^DE±EF.

由CF,平面DEF,DEu平面DEF,可得CF±DE.

又CFAEF=F,CFu平面CBEF,EFu平面CBEF,平面CBEF,

.,GFu平面CBEF,..DE^GF.

?.CEnDE=E,CEu平面CDE,DEu平面CDE,

..GF_L平面CDE.

又GFu平面DFG，二平面DFG,平面CDE.

.OCE,EF=CF=2BC,

由平面幾何知識(shí)易證AHOC空AFOE,

.-.HB=BC=1EF.

由AHGB-AFGE,可知黑=警=9，

即BG=：BE.

題型3長(zhǎng)度面積高度問(wèn)題

【例題3]（2022秋?河南源河?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱臺(tái)ABCD-AiBQDi的底面

是矩形,平面ABCDJ_平面ABB1A1,AB=2A1B1=2,AAi=2,BB[=岳.

(1)求證：DC^AAi;

(2)若二面角B-CCi-D的二面角的余弦值為-那，求AD的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)AD=4.

2

【分析】(1冼利用勾股定理可得BB\=BE+8止2,由此可知BE1BXE，結(jié)合AE//A.B.,

可知占41AB,可得AA1J_平面ABCD,進(jìn)而得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4D=2a,根據(jù)題設(shè)關(guān)系，求出平面CC.D及平面8。的的法

向量，根據(jù)題設(shè)建立方程，即可求解.

【詳解】(1)取4B中點(diǎn)E,連接&E,可得力E=且AE〃2/,

所以四邊形AEBi41為平行四邊形，所以=AA1=2,BE=1,

所以B闿=BE?+8*2,貝?。軧E±B1E,所以AAl^AB,

又平面ABCD,平面ABB1A1,所以AA1_L平面ABCD,

又由DCu平面ABCD,所以DC±AA1.

(2)由(1)知AA1±AD，設(shè)AD=2a(a>0),

分別以4DA41/B所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(0,0,2),C(2a,0,2),D(2a,0,0),Cl(a,2,l),

故無(wú)1=(-a,2,-1),DC=(0,0,2),BC=(2a,0,0),

設(shè)平面CC1D的法向量元=(x,y,z),則心驍二〉即「叱?丁二°,

取x=2,可得平面CC1D的一個(gè)法向量元=(2,a,0),

設(shè)平面BCC1的法向量沅=(x,y,z),則嚴(yán)巴二°，即「?！?°，

(m-BC—0izax-u

取y=1,可得平面BCC1的一個(gè)法向量沅=(0,1,2),

所以cos<n,m>==廠

\n\-\m\V5-Va2+4

由二面角B-CCI-D的二面角的余弦值為一等，

【點(diǎn)睛】求解直線與平面所成角的方法:

1、定義法：根據(jù)直線與平面所成角的定義，結(jié)合垂線段與斜線段的長(zhǎng)度比求得線面角的正

弦值；

2、向量法：分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量方法

向量的夾角（或補(bǔ)角）；

3、法向量法：求出斜線的方向向量和平面的法向量所夾的銳角，取其余角即為斜線與平面

所成的角.

【變式31J1.（2023?全國(guó)?高二假期作業(yè)）如圖，在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=BC=CA=

2DF=2,FC=1,^ACF=乙BCF=90。，G為線段AC中點(diǎn),H為線段BC上的點(diǎn)，BD//

平面FGH.

⑴求證：點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn)；

（2）求三棱臺(tái)DEF-ABC的表面積.

【答案】Q）證明見(jiàn)解析

逋+地+3

44

【分析】(1)連接CD,設(shè)CDCFG=0,由BD〃平面FGH,證得BD//HO，結(jié)合。是CD

的中點(diǎn)，得到點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)；

(2)根據(jù)題意，先求得上下底面正三角形的面積分別屋加尸=亨和S.BC=V3,再結(jié)合側(cè)

面ADFC和側(cè)面EFCB均為直角梯形，求得面積為S1=|,由側(cè)面ADEB為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)

E作EM1AB,求得EM的長(zhǎng)，得到側(cè)面ABED的面積為S2=”,即可求解.

【詳解】(1)連接CD,設(shè)CDnFG=0,連接HO、DG,

因?yàn)锽D//平面FGH,BDu平面CBD,且平面CBDCi平面FGH=HO,

所以BD//HO,

又因?yàn)樗倪呅蜠FCG是正方形，且。是CD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)H是BC的中點(diǎn).

(2)三棱臺(tái)DEF—4BC中，

因?yàn)锳B=BC=CA,所以△ABC為等邊三角形，

所以△DEF也為等邊三角形，且EF=DE=DF=1,

上底面△DEF為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為1,可得面積為屋煙=亨xM=?，

下底面△ABC為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2,可得面積為S“BC=苧x冊(cè)=百，

又因?yàn)橐?CF=LBCF=90°,所以側(cè)面ADFC和側(cè)面EFCB均為直角梯形，且FC=1,

其面積均為Si=；x(l+2)xl=|,

側(cè)面ADEB為等腰梯形，其中DE=1,AB=2,且4。=BE=VS/72+EH2=V2,

過(guò)點(diǎn)E作EM_L48,垂足為M,可得EM=VfiF2-BM2=J(V2)2-(1)2=y,

所以側(cè)面ABED的面積為S2=；x(l+2)x?=乎，

所以三棱臺(tái)的表面積為S=苧+百+2X,+乎=乎+乎+3.

【變式31]2.（2022?上海?高二專題練習(xí)）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器工和正

四棱臺(tái)形（正四棱錐被平行于底面的平面截去一個(gè)小正四棱錐后剩下的多面體）玻璃容器口

的高均為32cm容器I的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10V7cm容器n的兩底面對(duì)角線EG、％Gi

的長(zhǎng)分別為14cm和62cm.分別在容器I和容器n中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根

玻璃棒I,其長(zhǎng)度為40cm.（容器厚度，玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）

（1）求容器I、容器n的容積；

（2）①將I放在容器I中，I的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CM上,求I沒(méi)入水中部分

（水面以下）的長(zhǎng)度；

②將I放在容器n中,1的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GGi上，求I沒(méi)入水中部分（水

面以下）的長(zhǎng)度.

【答案】（l）11200cm3；26176cm3;

(2)①16cm;②20cm.

【分析】(1)利用正四棱柱和正四棱臺(tái)的體積公式計(jì)算作答.

(2)分別作出玻璃棒I所在的正四棱柱和正四棱臺(tái)的對(duì)角面，借助解三角形知識(shí)分別求解

作答.

【詳解】(1)容器I的底面正方形ABCD面積S=\AC2=TX(10V7)2=350(cm2),其容

3

積匕=s1-AAi=350x32=11200(cm),

容器口的底面EFGH面積Si=[EG2=^x142=98(cm2),底面場(chǎng)尸道坦1面積S2=

=gx622=1922(52),

容器口的容積%=1(Si+,5祝+$2)X32=家98+.98X1922+1922)X32=

26176(cm3).

(2)①由正四棱柱的定義知，對(duì)角面力CC/i是矩形，設(shè)玻璃棒的另一端落在CCi上的點(diǎn)

M處，如圖，

由AC=10y/7,AM=40得：CM=y/AM2-AC2=30,sinzCAM=黑=：,

設(shè)AM與水面的交點(diǎn)為Pi,過(guò)Pi作P1Q//CQ交AC于?,在容器I中，CCi，平面ABCD,

則PiQi，平面ABCD,

因此P1Q1=12,力Pi==16'

所以玻璃棒I沒(méi)入水中部分(水面以下)的長(zhǎng)度為16cm.

②。,。1是正四棱臺(tái)兩底面中心，由正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知，對(duì)角面EGGiEi是等腰梯形,

點(diǎn)。,。1分別是兩底的中點(diǎn)，設(shè)玻璃棒的另一端落在GGi上的點(diǎn)N處，如圖，

過(guò)G作GK//O0交EiGi于點(diǎn)K,貝!]GK，Gmi,GK=。0=32,而EG=14￡忑1=62,

22

因此，KG1=叱*=24,GG1=?K2+KG：=V32+24=40,

sinNEGGi=sin/GG/=—=^,顯然NEGGi為鈍角,cos^EGG1=-1,

GG155

4

在八ENG中,由正弦定理得sin乙ENG=迎等0=義=(cos乙ENG=,

EN402527

于是得sin4NEG=sin(4EGN+4ENG)=sin乙EGNcos乙ENG+cos乙EGNsin乙ENG=gx

24,/3、73

——25Fk(——5，)X——25=一5,'

設(shè)EN與水面的交點(diǎn)為P2過(guò)P2作。2(?2〃。。1交直線EG于Q2在容器口中,001，平面EFGH,

則P2Q2，平面EFGH,

因此P2Q2=12,EP2=P2Q2=201,

IUUXL'Zsin乙NEG

所以玻璃棒I沒(méi)入水中部分(水面以下)的長(zhǎng)度為20cm.

【變式31]3.(2023秋?四川成都?高三樹德中學(xué)?？计谀?如圖，在四棱臺(tái)4BCD-

4止1的。1中，底面四邊形48CD為菱形,力&=A1Bi==1,^ABC=60°.AAt，平

面ABCD.

(1)若點(diǎn)M是4D的中點(diǎn),求證：gM14C；

(2)棱BC上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-ADr-D的余弦值為:?若存在，求線段CE

的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，且CE=1—字.

【分析】(1)取BC中點(diǎn)Q,連接加、&C、AC,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AQ、AD、AAt

所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出Q祈?中=0,進(jìn)而可證得

CrM1&C；

(2)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(遮,人,0)，其中-1W入W1，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)人的方程,

由題意得出點(diǎn)E在線段QC上，可求得人的值，進(jìn)而可求得CE,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)取BC中點(diǎn)Q,連接4Q、&C、AC.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，貝U=BC,4ABC=60°,ABC為等邊三角形，

???Q為BC的中點(diǎn)，貝!]4Q1BC,?；AQ1AD,

由于_L平面力BCD,以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AQ、AD、所在直線分別為無(wú)軸、y軸、

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

則4(000)、&(0,0,1)、￡＞式0,1,1)、Q(遮,0,0)、C(百,1,0)、的停詞、”(0,1,0),

CTM=(-y,1,-l),A^C=(V3,l,-1),

C^M.砧=—|+g+(—1)2=0,CiM1ArC；

(2)假設(shè)點(diǎn)E存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(遮九0),其中一1<A<1,

AE=(V3,A,0),AD[=(0,1,1),

設(shè)平面AD.E的法向量為”(x,y,z),則V,票，即產(chǎn)可應(yīng)丁，

取y=-B,則％=入，z=8,所以,n=(X,-V3,V3),

平面40%的一個(gè)法向量為沅=(1,0,0),

所以/|cos<mfn>|=ppp：=-T==|,解得入=±f,

又由于二面角E-AD.-D為銳角，由圖可知，點(diǎn)E在線段QC上所以入=亨，即CE=1-手.

因此，棱BC上存在一點(diǎn)E，使得二面角E-AD^D的余弦值為I,止匕時(shí)CE=1-孚

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何開放性問(wèn)題求解方法有以下兩種：

(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，

得出結(jié)論；

(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，根據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參

數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線，否則不存在.

【變式31]4.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖所示，正四棱臺(tái)AC'的高是17cm,兩底

面的邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm.

(1)求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.

(2)求該棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積.

【答案】(1)側(cè)棱長(zhǎng)為19cm,斜高為5V13cm;(2)200V13cm2,200vH+272cm2.

【分析】Q)設(shè)棱臺(tái)AC’兩底面的中心分別是。'和。，B'C'、BC的中點(diǎn)分別是E'、E,連接0’。、

E'E、OB、O'B\O'E\OE,則四邊形。BB'。'、OEE'。'都是直角梯形，由此計(jì)算可得側(cè)棱長(zhǎng)

和斜局)；

(2)由梯形面積公式計(jì)算出側(cè)面積，側(cè)面各與兩個(gè)底面面積和為全面積.

【詳解】⑴設(shè)棱臺(tái)力C'兩底面的中心分別是?！?。，

BC\8C的中點(diǎn)分別是E'、E,

連接?！?。、E'E、OB、0B\0E\OE,

則四邊形OBBO：OEE'O'都是直角梯形,且。'0=17cm,

在正方形ABCD中，BC=16cm,則OB—8A/2cm,0E=8cm,

在正方形a‘B'C'D'中,BC'=4cm,則0'B'=2夜cm,O'E'=2cm,

在直角梯形。,OBB，中，BB'=Joo'2+(OB-O'B')2=J172+(8A/2-2>/2)2=19cm,

在直角梯形O'OEE'中,EE'=J。。、+(0E-O'E')2=V172+(8-2)2=5V13cm,

即這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm,斜高為5V13cm；

(2)S側(cè)=4x1x(4+16)x5V13=200V13cm2,

S表面積=S側(cè)+S上底面+S下底面=200V13+4x4+16x16=200V13+272cm2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題正棱臺(tái)的計(jì)算.在正棱臺(tái)的計(jì)算中關(guān)鍵是掌握兩個(gè)直角梯形，即

題中所作兩個(gè)直角梯形，結(jié)合側(cè)面它包含了正棱臺(tái)中所有量：上、下底面棱長(zhǎng)、側(cè)棱長(zhǎng)，高、

斜高，上下底面外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，側(cè)棱與底面所成的角，側(cè)面與底面所成二面角的

平面角.掌握了這兩個(gè)直角梯形結(jié)合上下底可就計(jì)算正棱臺(tái)是所有量

題型4距離體積問(wèn)題

【例題4]（2022秋?全國(guó)?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在四棱臺(tái)ABCD-4道1的小中，底面ABCD

是正方形,且側(cè)棱BB1，底面ABCD,BB1=BC=2B1C1=8,O,E,F分別是BD,CBi，CCi的中

點(diǎn).

⑴求證：平面OEF〃平面AB1C1；

（2）求直線EF到平面力當(dāng)小的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）272

【分析】Q）運(yùn)用"兩個(gè)平面內(nèi)存在兩條相交的直線分別平行則兩平面平行"定理即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量來(lái)計(jì)算E點(diǎn)到平面力的距離即可.

【詳解】（1）如下圖所示，

連接AC,則。是AC的中點(diǎn),E是BiC的中點(diǎn),：.OE//ABr,AB1c平面AB1C1,

OEC平面血Ci,OE〃平面AB1C1,又F是CCi的中點(diǎn)，:EF//B1C1,

81clu平面AB1C1,EFC平面ABrC1,：.EF//平面ABrC1，又EFCOE=E,0Eu平

面OEF,EFu平面OEF，，平面OEF〃平面4當(dāng)?shù)?

(2)以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BBi為y軸，，建立空間直角坐標(biāo)系如上圖，

則有^(8,0,0),B1(0,0,8),C1(0,4,8),C(0,8,0),F(0,4,4),

由于EF//平面AB^C^,直線EF與平面ABiG距禺就是E點(diǎn)到平面力當(dāng)?shù)牡木嚓?

設(shè)直線BiE與平面力/Ci法向量的夾角為8，福=(-8,0,8),醞(=(0,4,0),瓦^(guò)=(0,4,一

4),

設(shè)平面481cl的一個(gè)法向量為元=(居y,z),則有巧迫=。，即｛令

(n-ABi=08x+8z=0

x=1，則y=0,z=1，，五=(1,0,1)；

cos0=能J=|，點(diǎn)E到平面ABiQ的距離為d-\B^E\-COS0=4&x1=242；

綜上，直線EF到平面的距離為2魚.

【變式41]1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四棱臺(tái)ABCD-4/心外的上、下底面

分別是邊長(zhǎng)為1和2的正方形，公力=2,且公力，底面ABCD，點(diǎn)P,Q分別在棱DDi,

BC上,PQ〃平面力BBi41,點(diǎn)M在棱A4上,PM//AD.

(1)證明:PQ//BM;

(2)若平面PDQ與平面AQD所成的銳二面角的余弦值為等,求三棱錐A-QDP的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵I

【分析】(1)利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PDQ與平面AQD的法向量，根據(jù)銳二面角的余弦

值為等求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用(1)中的條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由三棱錐AQDP的體積

^A-QDP=Up_4DQ即可求解.

【詳解】(1)由題意知:PM//AD,且BC//AD,所以PM//BC,

所以M,B,C,P四點(diǎn)共面.

又因?yàn)镻Q〃平面ABBrAr,且平面MBCPn平面ABBxAr=BM,

所以PQ//BM.

(2)因?yàn)锳B,AD,4公兩兩垂直，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

AB,AD,力公所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樗睦馀_(tái)ABCD-4/1的小的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為1和2的正方形，&4=2,

所以4(0,0,0),￡)(0,2,0),1,2),設(shè)Q(2,t,0),0<t<2,

所以麗=(2,t-2,0)，西=(0,-1,2),

設(shè)為=(x,y,z)是平面PDQ的一個(gè)法向量，

人卜「西=0即i-y+2z=0'

取％=(2—t,2,l)；

又平面AQD的一個(gè)法向量是元2=(0,0,1),

所以gs0初=黯=?^^=等，

解得t=,或t=I（舍去）此時(shí)Q（2,|,0）,

由（1）知四邊形MBQP是平行四邊形，所以PM=BQ=|,

設(shè)M（O,O,m）,貝!|P（O,|,m）,

因?yàn)辄c(diǎn)P在棱上，所以由前=入西（0<A<1）,

得（0,-=A（0,—1,2）,

解得b=L從而p（D

lm=1v27

故三棱錐AQDP的體積唳-QDP=Vp-ADQ=[SAHDQ-/i=|x|x2x2xl=|

【變式41】2.（2023秋?湖北隨州高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在三棱臺(tái)

ABC-DEF中，G為AC中點(diǎn),AC=2DF,AB1BC,BC1CF.

（1）求證:BC1平面DEG；

（2）若AB=BC=2,CF，AB,平面EFG與平面ACFD所成二面角大小為三,求三棱錐E-

DFG的體積

【答案】Q）證明見(jiàn)解析

（2）：

【分析】（1）易證得四邊形GCFD為平行四邊形，由此可得8C，CG,結(jié)合BC1DE,由

線面垂直的判定可得結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DG=CF=巾（巾>0）,

由二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得小，利用體積橋唳“FG=九-DEF可求得結(jié)果.

【詳解】(1)在三棱臺(tái)ABC—DEF中，G為4c中點(diǎn)，貝?。?C=2GC,

又4C=2DF,GC=DF,

???AC//DF，，四邊形GCFD為平行四邊形，,DG//CF,

又BC_LCF,BCLDG,

■：DE//AB,AB1BC,???BC1DE,

???DECDG=D,DE,DGu平面DEG，二BC，平面DEG.

(2)CF1AB,DG//CF,???DGLAB,

又DGLBC,ABCBC=B,AB,BCu平面ABC,-?.DG1平面ABC,

連接BG,*AB=BC=2,AB，BC,G為AC中點(diǎn)，,GB1AC；

以其瓦就，血｝為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系G-xyz,

則G(0,0,0),B(VXO,O),71(0,-V2,0),C(0,V2,0),

設(shè)DG=CF=m(m>0),貝?。荨?gt;(0,0,m),F(0,V2,m),

.-.GE=GD+DE=GD+^AB=(0,0,m)+|(V2,V2,0)=俘,當(dāng)即),GF=(0,V2,m),

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為五=(x,y,z),

—7^V2V2n

I-..!TL'GE—~~xH~y+TiTZ—0>>.自々力/日—?(

則,_j2，令z=-魚，解得：y=TH,%=zn,.,.幾=-魚)；

n-GF=y［2y+mz=0

又平面ACFD的一個(gè)法向量記=(1,0,0),

|cos(m,n)|=-5^7=-T===7,解得：m=1,即DG=1,

M-\n\V27n2+22

DG1平面ABC,平面ABC〃平面DEF,DG_L平面DEF,

1111

E-DFG—G-DEF=-DG--X-XlXlXl-

【變式41]3.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，四棱臺(tái)ABCD-①當(dāng)?shù)膬?nèi)的上下底面均

為正方形，側(cè)面力DDi41與底面垂直，BB1=CCi=B1C1=3BC.

⑴求證：平面ADD1A11平面ABB141;

(2)已知四棱臺(tái)4BCD-4把心小的體積為26V3.給出以下兩個(gè)問(wèn)題：

①求異面直線BC和的距離

②求占到平面的距離.

請(qǐng)從以上兩個(gè)問(wèn)題中選取一道進(jìn)行求解.

注：若兩個(gè)問(wèn)題均求解，則按第一個(gè)問(wèn)題計(jì)分.

【答案】Q)證明見(jiàn)解析

⑵①舊；好咨

【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理，可得AB1平面ADD^,進(jìn)而可知平面ADD.A,1

平面ABB.

(2)先根據(jù)棱臺(tái)的體積求出各條邊及高的長(zhǎng)度，若選擇問(wèn)題①求解，即求異面直線BC和

的公垂線段AB的長(zhǎng)度，若選擇問(wèn)題②求解,為到平面CDDiCi的距離就是為到直線

的距離，用三角形等面積可求.

【詳解】（1）在正方形ABCD中，有力B.

由題設(shè)，平面ADDxAr1平面ABCD,且平面ADDrAxC平面ABCD=AD,

所以AB-L平面ADD^A^.

而ABu平面ABBi公,所以平面ADDrAr1平面ABB^.

（2）設(shè)幽=?=BQ=3BC=3x

方法一：利用棱臺(tái)的體積公式

由勾股定理，直角梯形CDDiCi的高DDi=—（的小-3=V5x，等腰梯形ADD.A,

的高（也就是四棱臺(tái)的高）h=加―（號(hào)吁=2%.

故四棱臺(tái)ABCD-久方的內(nèi)的體積7=1-2x-（%2+3x3+10x2）=26A/3,解得x=<3.

方法二：復(fù)原棱錐

如圖，延長(zhǎng)各側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)P.

則四棱臺(tái)ABCD—Z/iCiDi的體積V=Vp-A1B1C1D1—VP-ABCD,其中，尸一公5遙必，^P-ABCD

分別表示四棱錐P-公當(dāng)?shù)摹?和P-ABCD的體積.

由于兩棱錐位似，SlttVp.A1B1C1D1,^P-ABCD=（B]CI：BC）3=27,

所以，P-Z1B1C1D1=27W.

由勾股定理，直角梯形CDD?的高DD.=]際-（的%-CD/=V5x,

等腰梯形4。/久的高（也就是四棱臺(tái)的高）h=J叫—（骨呼=2x.

故四棱錐P-4/iCiDi的高為m=3%,

%-AB?%=1,3%?（3x）2=27V3,解得久=V3.

若選擇問(wèn)題①求解：

由（1）知，AB1平面ADD^,且ADu平面4叫&,故ABJ.AAt.

在正方形ABCD中，有力B1BC,因此AB是異面直線BC和A4的公垂線段，所以異面直

線BC和力&的距離為力B=x=百.故異面直線BC和441的距離為K.

若選擇問(wèn)題②求解：

同（1）可知平面ADD^A^_L平面CDD^C^,所以力i到平面。。小。的距禺就是為到直線DD^

的距離d.

因?yàn)闉殪嚎?何=^A1D1-h=?d,所以d=.

故&到平面CDDiCi的距離是零

【變式41]4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知四棱臺(tái)ABCD-的下底面是邊長(zhǎng)

為4的正方形,力&=4,且441，面ABCD，點(diǎn)P為￡>/的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC上，BQ=3QC,

D￡）i與面ABCD所成角的正切值為2.

(1)證明：PQ//^A1ABB1；

(2)求證：A%，面PBC,并求三棱錐Q-PH%的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析，6.

【分析】(1)取中點(diǎn)E,連接PE、BE,過(guò)Di作DM于H,可證四邊形PQBE為平

行四邊形，得出PQ//BE,故而PQ〃面占4BB1;

(2注44i1面4BCD可得44i1BC,由相似三角形可得4為1BE，故而1平面PEBC,

求出名到平面PE8C的距離，代入體積公式即可得出棱錐的體積

【詳解】(1)證明：取力&中點(diǎn)E,連接PE、BE,過(guò)小作。擔(dān)UD于H.

???AAi1面ABCD,AA\〃D\H，二DrH1面ABCD.

■-為DDi與面ABCD所成角.

也=2,又A&=4,

DH'人1'

???DH=2.

:.=2.

???PE=^(A1D1+AD)=3,

3

BQ=”C=3

4

又EP//AD,EP//BQ,

???四邊形PQBE為平行四邊形，

???PQ//BE,

又PQ之面4遇82，BEu面4遇8%，

???PQ〃面

(2)???44i1面ABCD,BCu平面ABCD,

???AAt1BC,

y,BCLAB,ABnAAr=A,

??.BC1面ABBrAr,又ABru平面ABBrAr,

???BC1ABr.

在梯形&4B/中，RtABAE=,

???Z.BrAE+Z.AEB=Z-B1AE+Z.AB^A1=90°,

???AB^_LBE,

又BECBC=BiBEu平面PEBCzBCu平面PEBC,

??.ABr1面PEBC.

設(shè)網(wǎng)nBE=M,???ZE=2,4B=4,??.BM=2用

A/i=2,AA^=4,?,?AB1—2A/5,

…AE-AB2x44V5

???AM=---=—7==—,

BE2V55

B]M=AB-y—AM=115',

又收=萍=3,

VQ-PB%=VBI-PBQ~^SAPBQ?BIM=|X|X3X2V5x=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，考查了空間想象

能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

題型5線線、線面角問(wèn)題

【例題5]（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖,在四棱臺(tái)力BCD-4/心。1中，底面ABCD

為平行四邊形，平面ABrC_L平面ABCD,DD1=ZM=A1B1=^AB=2,乙BAD=熱

（2）若B遇=BiC,求直線BCi與平面ABrC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

，3V42

（OA）28

【分析】（1）連接BD交AC于點(diǎn)。，連接,證明四邊形OBMD為平行四邊形，

可得。/〃DD,,再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得。為1平面ABCD，從而可得DDr1平面ABCD，再證明AD1

BD,以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】（1）連接BD交AC于點(diǎn)。，連接,

在四棱臺(tái)ABCD-AiBiCiDi中,因?yàn)镈Dr=DA==^AB=2,

所以O(shè)D〃B/i且OD=Bi%,

所以四邊形OBWiD為平行四邊形，

所以O(shè)B,〃DD\,

又DD]C平面ABrC,0B1u平面AB-^C,

所以〃平面AB^C;

(2)因?yàn)楫?dāng)力=B]C,0為AC的中點(diǎn),

所以0Br1AC,

又平面ABrC1平面ABCD,平面ABrCC平面ABCD=AC,OBXu平面ABXC,

所以O(shè)B】J■平面ABCD,

又OBJID%,所以皿，平面ABCD,

又在△ABD中，力。==2,^BAD=g,所以BD=2相,

貝!]AD2+BD2=AB2,所以ADLBD,

如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則2(2,0,0),為(0,遮,2),C(-2,2V3,0),B(0,2V3,0),C1(-1,V3,2),

所以宿=(-1,-百,2),砧=(-2,V3,2),ZC=(-4,2V3.0),

設(shè)平面ABrC的法向量為元=(x.y,z),

有，五-AB-2x+V3y+2z—0

r取x=百，則y=2,z=0,

In-AC=—4x+2V3y=0

所以五=(V3,2,0),

瓦7?記3V42

貝[）]cos（反;，五）1=

I西卜同一28

所以直線BC】與平面AB.C所成角的正弦值為噂.

Zo

【變式51]1.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)48。-4/心中,BA1BC,

平面占B1B41平面力BC,二面角九-BC-A的大小為45°,AB=2,BC==AA1=1.

（2）求異面直線與B4所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵w

【分析】（1）根據(jù)題意可得NBiB力=45。，取AB中點(diǎn)O,連結(jié)OB1，利用梯形和平行四邊

形的相關(guān)性質(zhì)得到。為1,則4411BA,再利用線面垂直的判定即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩異面直線所在的方向向量，然

后利用空間向量的夾角公式即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)锽C1BA,平面41為841平面ABC,

平面4//力n平面ABC=AB,BCu平面ABC,

所以BC_L平面力i/B4,

又因?yàn)?4i,BB]u平面

所以BC1AAi,BC1BB1,所以N/BA是二面角九-BC-4的平面角，

因?yàn)槎娼荍-BC-4的大小為45°,

所以立/瓦4=45°.

取AB中點(diǎn)O,連結(jié)OBi,

在梯形4/1艮4中,當(dāng)力1WBA,0/1=1=8出，

所以四邊形4/1。力是平彳丁四邊形,所以O(shè)B】=AA1=1,OB]HAAi,

從而在三角形0B&中，4BiB。=45°,OB1=OB=1,

所以NBBi。=4B]BO=45°,所以NBOBi=90°,即OBr1BA,所以A4i1BA.

又因?yàn)锳Ai1BC,AB,BCu平面ABC,ABCtBC=B,所以_L平面ABC.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，平面ABC內(nèi)過(guò)。平行于BC的直線為y軸，。當(dāng)為z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz,

則8(100),4(-1,0,1),/(OOI),C(L1,O),

所以西=(-2,0,1),瓦忑=(1,1,-1),

所以異面直線BA】與恥所成角的余弦值為番鬻=|?

|D7111|Ivjxy-JIu

【變式51]2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-48與/中，AB=

2&Bi=4,正四棱臺(tái)的體積為28.

(1)求正四棱臺(tái)的高；

(2)求直線BO】與平面8CC/1所成角的正弦值.

【答案】(1)3

⑵罌.

【分析】(1)由棱臺(tái)體積公式求解；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求線面角.

【詳解】(1)由題可知AB=4,4當(dāng)=2,

所以LBCD=16,SA1B1C1D1=4,

設(shè)正四棱臺(tái)的高為無(wú),

則V=1[SABCD+SA1B1C1D1+JSABCD-SA1B1C1D1)h

=1x(16+4+,16x4)九=gh=28,

所以％=3,

即正四棱臺(tái)的高為3.

(2)設(shè)正四棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為6,0,取BC,AB的中點(diǎn)分別為F,G,連

接OF,0G,。。1,易知0G,OF,。0兩兩垂直，

所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以0G,OF,。3所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),8(2,20),。式一1,-1,3),C(-2,2,0),,8式1,1,3),

所以西=(-3,—3,3),BC=(-4,0,0)，西=(―1,一1,3).

設(shè)平面BCC/i的法向量為元=(x,y,z),

則［BC--4x_°0，取z=1,則y=3,久=0,所以元=(0,3,1),

(n-BB1=-x-y+3z=0

設(shè)直線BDi與平面BCC/i所成的角為a,

貝"ina=|cos(Wn)|=隔==f，

即直線叫與平面BCC/i所成角的正弦值為察.

【變式51]3.(2023春?高二課時(shí)練習(xí))如圖,在三棱臺(tái)ABC一DEF中，平面BCFE1平

面ABC,4ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(1)求直線BD與平面ABC所成角的正弦值；

(2)求點(diǎn)E到平面BCD的距離.

【答案】⑴?

(2)；

【分析】(1)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求線面夾