題型八閱讀理解題2025年中考數(shù)學重難題型分類練題型八閱讀理解題

類型一定義新運算

1.(2024威海)定義新運算：

①在平面直角坐標系中，{a,b}表示動點從原點出發(fā)，沿著x軸正方向(aK))或負方向(a<0)平移|a|個單位長度,

再沿著y軸正方向(應(yīng)0)或負方向(b<0)平移|b|個單位長度.例如，動點從原點出發(fā)，沿著x軸負方向平移2個單位長

度，再沿著y軸正方向平移1個單位長度，記作{-2,1}.

②加法運算法則：|a,b|+|cd=|a+c,b+d|,其中a,b,c,d為實數(shù)

若|3,5|+{m,n|={-l,2|,|則下列結(jié)論正確的是()

A.m=2,n=7B.m=-4,n=-3

C.m=4,n=3D.m=-4,n=3

2.(2024廣州)定義新運算：a區(qū)b=?―中3,5丁。，例如：—204=(―2>—4=0,2軟=-2+3=1.若x(8)1

—a+b,a>().

=一*則*的值為.

3.(2024呼倫貝爾)對于實數(shù)a,b定義運算“※”為aXb=a+3b,例如5X2=5+3x2=l1,則關(guān)于x的不等式xXm<2有

且只有一個正整數(shù)解時，m的取值范圍是_______.

類型二新概念的理解與應(yīng)用

4.(2024河北)平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)，且橫、縱坐標之和大于。的點稱為“和點”.將某

“和點’平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)(當余數(shù)為。時，向右平移；當余數(shù)為1

時，向上平移；當余數(shù)為2時，向左平移),每次平移1個單位長度.

—

例：“和點”P(2,1)按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后,到達點生(2,2),

右卜左

其平移過程如下:P(2,1)3入(3,1)上小式3,2)—>匕(2,2).|

張余?的I

______________________________________________________________

若“和點”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達點Qi6(-19),則點Q的坐標為

()

A.(6,l)或(7,1)B.(15,-7)或(8,0)

C.(6,0)或(8,0)D.(5,l)或(7,1)

5.(2024上海)對于一個二次函數(shù)y=a(%-m)2+k(_a豐0)中存在一點P(久。y')使得x'-m=y'-k0,則

稱2|/―爪I為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線y=一#+7+3*開口大小”為.

6.(2024瀘州)定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移a(a)0)個單位，再繞原點按逆時針方向旋

轉(zhuǎn)0角度，這樣的圖形運動叫做圖形的p(a,9)變換如點A(2,0)按照p(l，90。)變換后得到點4的坐標為(-1，2),則

點B（舊，-1）按照p（2,105。）變換后得到點.次的坐標為.

7.（2024山西）閱讀與思考

下面是博學小組研究性學習報告的部分內(nèi)容，請認真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù).

關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報告

博學小組

研究對象：等邊半正多邊形

研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念一性質(zhì)一判定”的路徑,由一般到特殊進行研究.

研究方法：觀察（測量、實驗）一猜想一推理證明研究內(nèi)容：

【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，

我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形.

第7題圖①

如圖①，我們學習過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形.類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半

正八邊形…

【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對等

邊半正六邊形研究如下：

第7題圖②

概念理解：如圖②，如果六邊形ABCDEF是等邊

半正六邊形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA,

ZA=ZC=ZE,ZB=ZD=ZF,HZA^ZB.

性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下

結(jié)論：

內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為一▲一°.

對角線：…

任務(wù):

⑴直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內(nèi)容：;

(2)如圖③，六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形.連接對角線AD,

猜想與N凡4D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖④，已知A4CE是正三角形，。。是它的外接圓.請在圖④中作一個等邊半正六邊形ABCDEF.(要求：尺

規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

第7題圖

8.(2024北京)在平面直角坐標系xOy中,0O的半徑為1.對于OO的弦AB和不在直線AB上的點C,給出如

下定義：若點C關(guān)于直線^AB的對稱點。在0O上或其內(nèi)部，且乙4cB=a,則稱點C是弦AB的“a可及點

⑴如圖，點A(0,l),B(l,0).

①在點6(2,0),C2(l-2),C36,0)中，點________是弦AB的“a可及點”，其中a=一。；

②若點D是弦AB的“90。可及點”，則點D的橫坐標的最大值為「

(2)已知R是直線yWx—百上一點,且存在。O的弦MN，使得點P是弦MN的“60?？杉包c”.記點P的橫

坐標為t,直接寫出t的取值范圍.

第8席圖

9.(2024遼寧)已知乃是自變量x的函數(shù)，當％=久當時，稱函數(shù)丫2為內(nèi)函數(shù)月的“升幕函數(shù)”.在平面直角

坐標系中，對于函數(shù)為圖象上任意一點A(m,n),稱點B(m,mn)為點A"關(guān)于上的升幕點”，點B在函數(shù)月的“升幕

函數(shù)”丫2的圖象上.

例如：函數(shù)71=2%，當為=孫1=x?2%=27時,貝［］函數(shù)y2=2婷是函數(shù)月=2比的“升幕函數(shù)”.

在平面直角坐標系中，函數(shù)71=2久的圖象上任意一點A(m,2m)，點B(m，27n2)為點A“關(guān)于y1的升幕點”，

點B在函數(shù)yi%=2比的“升幕函數(shù)1%=2/的圖象上.

⑴求函數(shù)%=：%的“升幕函數(shù)”丫2的函數(shù)表達式.

(2)如圖，點A在函數(shù)為=沁)0)的圖象上，點A"關(guān)于yi的升幕月點”B在點A上方，當AB=2時，求點

A的坐標.

(3)點A在函數(shù)為=-久+4的圖象上，點A"關(guān)于yi的升幕點為點y1B,設(shè)點A的橫坐標為m.

①若點B與點A重合，求m的值；

②若點B在點A的上方，過點B作x軸的平行線，與函數(shù)yi的“升y1黑函數(shù)”內(nèi)的圖象相交于點C,以AB,

BC為鄰邊構(gòu)造矩形ABCD,設(shè)矩形ABCD的周長為y,求y關(guān)于m的函數(shù)表達式；

③在②的條件下，當直線y=ti與函數(shù)y的圖象的交點有3個時，從左到右依次記為E,F,G,當直線y=

t2與函數(shù)y的圖象的交點有2個時，從左到右依次記為M,N,若EF=MN,請直接冒出-L的值.

第9題圖備用圖

10.(2024蘭州)在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：點P是圖形W外一點，點Q在PO的延長線上，

使得監(jiān)=|,如果點Q在圖形W上,則稱點P是圖形W的“延長2分點”.例如：如圖①，A(2,4),B(2,2),P(-l--|)

是線段AB外一點,Q(2,3)在PO的延長線上，且券=泅為點Q在線段AB上，所以點P是線段AB的“延長2分

八占、、”?

⑴如圖①，已知圖形L^AB,A(2,4),B(2,2@Pi(-|，T),P2(T，-1)/3(-"2)中_____是圖形電的

“延長2分點”；

⑵如圖②，已知圖形吸線段BC,B(2,2),C(5,2),若直線MN:y=-x+b上存在點P是圖形勿2的“延長2分

點”，求b的最小值；

⑶如圖③,已知圖形明以T(t,l)為圓心泮徑為1的。T,若以口(-1,-2比(-1,1)下(2,1)為頂點的等腰直角三角形口

EF上存在點P,使得點P是圖形傷的“延長2分點”.請直接寫出t的取值范圍.

類型三解題方法型

11.新考法綜合與實踐(2024濱州)【教材呈現(xiàn)】

現(xiàn)行人教版九年級下冊數(shù)學教材85頁“拓廣探索”第14題：

14如圖,在銳角△ZBC中，探究-T-,之間的關(guān)系(提?。悍謩e作AB和BC邊上的哥)

【得出結(jié)論】

a_匕_c

sinAsinBsinC

【基礎(chǔ)應(yīng)用】

在△A8C中,ZB=75°,ZC=45。,BC=2,,利用以上結(jié)論求AB的長.

【推廣證明】

進一步研究發(fā)現(xiàn)，號=號=9不僅在銳角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且還滿足號=

sinAsmBsinCsmA

卷=忘=2期為△ABC外接圓的半徑).

請利用圖①證明：高=卷=高=2R.

【拓展應(yīng)用】

如圖②，四邊形ABCD中，AB=2,BC=3,CD=4/8="=90。.求過A,B,D三點的圓的半徑.

題型八閱讀理解題

1.解題思路

理解題干中的定義，分別建立m,n的等量關(guān)系求解即可.

B【解析】由題知,3+111=-1,5+11=2,解得m=-4,n=-3.

2.-2或:【解析】①當x<0時，/—1=一:，解得x=-3正值已舍);②當x>0時，—+1=-*解得x=(綜

上所述，X的值是或

3.0<m<|【解析】根據(jù)題意可知,xXm=x+3m<2,解得x<2-3m,：xXm<2有且只有一個正整數(shù)解,，

{3m>X?解不等式①，得6</解不等式②，得機N0,；.0Wslantm<j.

4.解題思路

根據(jù)題干的例子可知“和點”P(2,1)先向右平移1個單位后，按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平

移，而Qi6是通過16次平移后得到的點，因此需要進行反推，此時注意分情況討論，舍去不符合題意的結(jié)果即

可.

D【解析】由題意得，若“和點”余數(shù)為0,先向右平移1,再向上平移，之后向左向上循環(huán)；若“和點”余數(shù)為1,

向上平移1,之后向左向上循環(huán)；若“和點'余數(shù)為2,向左向上循環(huán)；由于平移16次后到達點Qi6(-L9),余數(shù)為

2,若“和點”余數(shù)為0,平移16次后余數(shù)為2,先向右平移1,再向上平移到點A(m,n),之后向左向上循環(huán)7輪到(Q

16(-1,9),則m-7=-l,n+7=9,A(6,2),所以“和點”Q(5,l);若“和點，余數(shù)為1,平移16次后余數(shù)為1,不符題意；若“和點”

余數(shù)為2,平移16次后余數(shù)為2,向左向上循環(huán)8輪到點Qi6(-1,9).此時坐標應(yīng)為(-1+8,9-8)即和點”Q(7,l),綜上所

述，點Q的坐標為(5,1)或(7,1).

5.解題思路

觀察題干所給的二次函數(shù)的解析式為頂點式，可以看到“開口大小”是由二次函數(shù)的解析式移項變形得來的，

故需要先將拋物線的解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，再進行變形求解即可.

4【解析】根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知y-k=a(x-小尸中存在一點P(x；y),使得x'-m=y'-k^Q,

則a=y,一%——1—=—ix2+i%+3=--(x2--x)+3=--(x2——i')+3=--(x2—~x+

(x'-m)2x'-m,232、3，2k39972、3

6+2+3=-|1一3+1!，；?y=-#久+3中存在一點P(x',y'),有解得久一2,

三廁2|1一,|=4,拋物線y=-；x2+|x+3"開口大小”為4.

6.解題思路

根據(jù)題意，畫出示意圖，將其放在平面坐標系中求解更加簡單，將變換過程分為兩步求解，先將點B向上平

移2個單位后，通過做x軸的垂線，將其落在直角三角形中，結(jié)合三角函數(shù)的定義，求得該點與x正半軸的夾角及

該點到原點的距離，再繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)105。后，做x軸的垂線，將點B落在直角三角形中，結(jié)合平角的定義

和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可.

(-V2-V2)【解析】如解圖，根據(jù)題意，點B(舊，-1)向上平移2個單位，得到點C(百,1),連接BC交x軸

于點E,.CE=1,OE=WOC=Jl2+(V3)2=2,sin"OE=黑=>.乙COE=30。,根據(jù)題意，將點C俑

,1)繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)105°*：.NB'OE=105。+30°=135。,,過點B作BDLx軸于點D,/.OB'=OC=21B'

OD=180°-135°=45。,二B'D=OD=OB'.sin45°=/,..,.點B，的坐標為((一魚，&).

7.解:⑴240;

【解法提示】；六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，，六邊形內(nèi)角和為(6-2>180。=720。,：NA=/C=NE,NB

=ND=NF,且NArNB,.,.相鄰兩個內(nèi)角的和為240。.

(2)/BAD=/FAD,理由如下：

如解圖①，連接BD,FD,

第7題解圖①

,/六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，

/.AB=BC=CD=DE=EF=FA,ZC=ZE,

ABCD^AFED(SAS),BD=FD.

AB=AF

在4ABD與4AFD中，｛BD=FD,

AD=AD

AABD^AAFD(SSS),ZBAD=ZFAD;

解題技巧

通過巧構(gòu)輔助線，將在多邊形中證明/BAD=/FAD的問題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問題.

(3)如解圖②，③,六邊形ABCDEF即為所求.(答案不唯一)

A

A

BF

D

圖②圖③

第7題解圖

8.解:⑴①C2,45;

r

【解法提示】如解圖①，作出。O關(guān)于弦AB的對稱圓。O；連接OA,0B,OCi,OCz,O'C3二?若點C關(guān)于直

線AB的對稱點C在。0上或其內(nèi)部，且NACB=a,則稱點C是弦AB的“a可及點”，，點C應(yīng)在。0,的圓內(nèi)或圓

上?點人(0,1)2(1,0),；.0人=0：6=1,而/人08=90。,，/人80=/0人8=45。,由對稱的性質(zhì)得/0口人=/0,人8=45。,；.4

O'BA為等腰直角三角形,.'OUl),則C。=a2+了=V2>1,,故Ci在。O外，不符合題意；(C20'=2-1

22

=1,故C2在0O上符合題意；C30'=J(j)+I=f>1,故C3在。O外，不符合題意，，點C2是弦AB的“a

可及點”，可知B,O',C2三點共線，連接AC2,1?,AB=AB,a=/.AC2B=^/.AO/B=45°.

【解法提示】如解圖②,取AB的中點H,以點H為圓心,HA為半徑，作。H,在。H上取一點D,連接DH,AD,

BD,則NADB=9(T,；.HD=HA=HB..?.點D在AB上方半圓上運動(不包括端點A,B),且DH〃x軸時，點D的橫坐

標最大,?.,OA=OB=1,NAOB=90°,；.AB=V2,HD=^AB=y,"^(0-1),B(l-0),???H》，??.此時xDxH+DH

竽,.??點D的橫坐標的最大值為萼.

1

<t<

4-2-

T［，，，3+V13

或1<"--—.

【解法提示】作出。。關(guān)于MN的對稱圓OCT?若點P關(guān)于直線MN的對稱點P在。0上或其內(nèi)部，目/

MPN=a廁稱點P是弦MN的“a可及點”，，點P應(yīng)在。0,的圓內(nèi)或圓上，如解圖③，作出△MPN的外接圓。0”,連

接O"M,O"N,...點P在以O(shè)”為圓心.MO”為半徑的優(yōu)弧歷V上運動（不包括端點M,N）,ZMO"N=2ZMPN=120°,

.?.NO”MN=30。.由對稱得點0,。在MN的垂直平分線上，：^MPN的外接圓為。0”,.,.點0”也在MN的垂直平

分線上，記OO'與NM交于點QMQ=M0"-cos300=MN:2MQ=V5M。”,,隨著MN的變化,。O”會

靠近。0',如解圖④，當點0與點0”重合時，點P在。。上，即為臨界狀態(tài)，止匕時MN最大，MN=用M。"=V3,

如解圖⑤，連接O"P,OP,VOP<OO"+O"P,.\當MN最大，MN=舊時，此時△O"NP為等邊三角形，由上述過程

知MN=2MQ=V3M0",MO"=0"P=1,二。。"'的半徑r=l,OP的最大值為2.設(shè)P（t，V3t-遍）廁OP?=（t

-0）2+（V3t-V3）2=4t2-6t+3=4,解得t=過步，如解圖⑥，記直線y=V3x-百與0O交于T,S,與y

軸交于點K,連接OS,過點S作SL±x軸于點L,當x=O,y=-V3,；.K（0,-遮）;當y=0時，V3x-V3=0,解得x=l,.\與x

軸交于點T（l,0）,；..tanNOTK=等=舊,OT=OS,.\ZOTK=60°,,\AOTS為等邊三角形,；.4TOS=60。,：.0L=

l，LS=今S&-由，，點P不在線段ST上,At的取值范圍是上手Wt<義或1<tWslant

第8題解圖

2

9.解：(l)y2=xyr=x--x=-x;

（2廠.?點A在函數(shù)月=久久）0）的圖象上,

設(shè)點A的坐標為(%一),

則點A"關(guān)于yi的升幕點”B的坐標為(x,3).

?.?點B在點A的上方，4B=2,3—：=2,

解得x=3,點A的坐標為A(3,l);

(3)

解題思路

將A,B坐標用含有m的式子表示出來.

...點A在函數(shù)為=-％+4的圖象上，橫坐標為m,

點A的坐標為(m,-m+4),

點A”關(guān)于yi的升幕點”B的坐標為(+4皿),函數(shù)為=f+4的“升幕函數(shù)”的表達式為y2=

-x2+4x,它的對稱軸為直線x=2.

①

解題思路

根據(jù)A,B重合時橫縱坐標相等，建立關(guān)于m的方程求解即可.

:點B與點A重合，

??-—m+4=—m2+4m,

解得nt】=1,m，2—4,

，m的值為1或4;

②

解題思路

將線段用m表示出來，根據(jù)m的取值范圍進行分類討論.

:點B在點A的上方，目四邊形ABCD為矩形，

「?l<m<4,且m#2,

AB=-m2+4m—(—m+4)=—m2+5m—4,

當l<m<2時,BC=2(2-m),

y=2(—m2+5m—4)+4(2—m)=-2m2+6m,

當2<m<4時,BC=2(m-2),

y=2(—m2+5m—4)+4(m—2)=—2m2+14m—16,

—2m2+6m,(1<m<2)

綜上所述y={

—2m2+14m—16,(2<m<4)

解題思路

由EF二MN,分2種情況進行討論:a.EF與MN平行且相等；b.點M是拋物線y=-2m2+6機的頂點，進行求

解.

4或3-2V2.

22

【解法提示】當E,F,M,N如解圖①所示時，令-2x+6%=印可得-2x+6%-匕=0,x1+x2=

222

—3=3,%I%2=：=小則EF?=(x1—%2)=(%i+x2)—4%I%2=9-2tl，令—2x+14%—16=辦可得一2

216t222

X+14%—16—12=0,???+%2=—3=7,久1%2=(=^,MN=(%1—%2)=(%1+%2)2—4%1%2=17—2

七，.??EF=MN,.??9—2匕=17-2/解得t2一匕=4;；當E,F,M,N如解圖②所示時,則M為拋物線gl的頂

點，頂點坐標為（詞…2=2-2/+14”-16號可得叼=手,“2=上愛舍去）廁MN=亨-|=2

2

-加,同理可得，EF=9-2t1；EF=MN,；.9-2tt=（2-a）；解得置=歿立,t2-=3-2VI綜上所

第9題解圖

10.解:⑴P2島；

⑵如解圖①，連接BO并延長至B：使得B'O=^B。,連接CO并延長至C,使得CO=IC0,

過點B作BG，x軸于點G,過點C作CHLx軸于點H,過點B作BG」x軸于點G：過點C作CH」x軸

于點H1.

VBG±xffi.B'G'Xx軸,；.ZBGO=ZB'G'O.

ZBOG=ZB'OG',.\ABGO^AB'G,O.

.B'G'_OG'_1

??BG~OG~2

VB(2,2),

?-.BG=2,0G=2..-.B'G'=1,OG'=1..-.—1)同理可得，

?.?直線.MN:y=-x+b一上存在點P為圖形W2：線段BC的“延長2分點”，

?*.y=-x+b與線段BC相交時存在點P為圖形W2的“延長2分點

當y=-x+b經(jīng)過-1)時b取最小值.

+b=—1,/?=--.

22

???b的最小值為-1

DD

圖③圖④

圖⑤

圖⑥

第10題解圖

(3)l<t<3或一位-l<t<V2-l.

【解法提示】如解圖②，連接TO并延長至T”，使得廠0=10,過點T作TKLx軸于點K,過點T作TK

」軸于點「；軸,軸,。；^T'K'0.：.—=

xK'TK_LxTK_Lx.*.NTKO/T'KZTOK=ZT'OK',AATKO^TK

霽，「TCI),—1)「延長2分點”點P在以廠(—衿￡)為圓心，半徑為扣勺。T上二?以D(-1,-2),E(-1,

D,F(2,1)為頂點的等腰直角三角形DEF上存在點P，:.。1與DE,DF相交或相切時存在點P.①如解圖③，當。

T在DE的左側(cè)且與DE相切時0T的半徑為|,E(-1，1),二|xT|=K'O=|-j|=|；.t=3或-3(舍).如解圖④，

當。T”在DE的右側(cè)且與DE相切時同理可得.t=l".lWtW3;②如解圖⑤，當。T在DF的左側(cè)且與DF相切于點L.

連接