專練06填空題-壓軸（15題）

1.（2025?湖北十堰?八年級期末）如圖，等邊AMC中，BC=12,M是高所在直線上的一個動點，連接

MB,將線段8M點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到3N,連接HN.在點M運動過程中，線段EW長度的最小值是

A

【答案】3

【解析】

解:如圖，取BC的中點G,連接MG

ZH\XB

N

：.BG=CG=-BC=6

2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得3N=3M,ZMBN=60°

???等邊AABC中，CH為A8邊上的高

：.AB=BC=12,BH=-AB,ZABC=60°,ZBCH=-^ACB=30°

22

：.BH=BG,ZMBN=ZABC

：.ZMBN-ZMBA=ZABC-ZMBA

：.ZNBH=ZMBG

在△NBH和△M8G中

BN=BM

<ZNBH=ZMBG

BH=BG

：.ANBH%AMBG(SAS)

：.HN=GM

HN長度的最小值即為GM長度的最小值

根據(jù)垂線段最短，當GM_LC”時，GM最小

此時在RtACGM中,ZGCM=30°

：.GM=-CG=3

2

即HV長度的最小值為3.

故答案為：3.

【點睛】

此題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、求線段的最小值和直角三角形

的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、垂線段最短和30。所對的直角邊

是斜邊的一半是解決此題的關(guān)鍵.

2.（2025?貴州銅仁?八年級期末）如圖，已知NMON=30點4,A2,4,…在射線ON上，點B/,B2,B3,...

在射線。/上，△A1B1A2,AA2B2A3,△A3B34,…均為等邊三角形，若04=1,則△A202582025A2025的邊長

【解析】

解：,??△4B/A2為等邊三角形,

/.ZAIBIA2=60°,AIBJ=AIA2,

ZMON=30°f

：.NA祖0=30。,

???△04囪為等腰三角形，

/.AiBi=OAi,

.\AiBi=AIA2=OAJ,

9：OAI=1,

同理可知4042&為等腰三角形,

OA2=A2B2=A2A3=2,

同理可知4。生明為等腰三角形，

OA3=ASB3=ASA4=22，

同理可知4。4曲為等腰三角形，

/.0A4=4祖=4必5=23，

依次類推：OAn=AnBn=AnAn+i=2,,_1,

△A202582025A2025的邊長為：2"21=22020,

故答案為：22020.

【點睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，歸納，總結(jié)，驗證，應(yīng)用的能力，能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律

并應(yīng)用規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2025?黑龍江雞西?八年級期末）如圖，△ABC,△OCE都是等邊三角形，則①②△A3。絲△BC。，

③NBAE=NACE,④ABCD0AACE,⑤/BDC=NAEC,以上正確的序號是

【答案】①④⑤

【解析】

解：???△ABC,AOCE都是等邊三角形，

.-.AB=AC=BC,CD=CE=DE,ZACB=ZDCE=60。,

:.ZBCD=ZACE,

在△BCD和AACE中，

BC=AC

"ZBCD=ZACE,

CD=CE

.?小BCD-ACE(SAS),故④正確，

:.AE=BD,NBDC=ZAEC,故①，⑤正確，

'：AB=CB,BD=BD,AD與CD不一定相等，故△ABD與△BCD不一定全等；故②錯誤,

VZBAC=ZDCE=m°,ZACE=ZACD+ZDCE,ZBAE=ZBAC+ZACE,

；?/E4c與NACO不一定相等，故③錯誤.

故答案為：①④⑤.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是本題的關(guān)鍵.

4.（2025?山東德州?八年級期末）如圖，中，NA=NACB,CP平分ZACS,BD、CD分別是AASC的

兩外角的平分線，射線BD的反向延長線交CP于點P,下列結(jié)論中：①CPCD；②/尸=gZA；③BC=CD；

@Z￡>=90°-^ZA;⑤尸D〃AC.其中正確的結(jié)論是___________（直接填寫序號）.

2

【答案】①②④⑤

【解析】

解：VZBG4+ZBCF=180°,CP平分NAC8,CD平分/FCB,

11

???ZPCB=-ZBCA,ZDCB=-ZBCF,

22

ZPCD=ZPCB+ZDCB=-/BCA+-NBCF=-(ZBCA+ZBCF)=1x180°=90°,

222''2

：.CP±CD；

故①正確；

延長C8到G,如圖,

?；BD平分NCBE,

：./EBD=NDBC,

?；NEBD=/PBA,ZCBD=ZPBG,

:?/PBA=/PBG,

：.ZABG=2ZGBP,

VZABG=ZA+ZACB,BP2ZPBG=ZA+2ZPCBf/PBG=/P+/PCB,

：.ZPBG=^/A+NPCB,

：./P=gNA,

故②正確；

?：CD平分/BCF,BD平分/CBE,

：.ZBCD=-ZBCF,ZDBC=-ZCBE,

22

11

ZBCD+ZCBD=-ZBCF+-/CBE,

22

=1(ZA+ZABC)+1(ZA+ZACB),

=90°+-ZA,

2

.\ZD=180°-(/BCD+/CBD)==180°-90°--ZA=90°--ZA,

22

故④正確；

?.?ZBAC=ZACB,

???2ZDBC=ZEBC=ZA+ZACB=2ZA,

NDBC=NA,

：.ZD=90°--ZDBC,

2

：.2ZD+ZDBC=180°,

只有當NA=60。時，ZD=ZDBC=60°,

：.BC=CD,

故③不正確，

"?ZDBC=ZA=ZACB,

J.PD/7AC,

故⑤正確；

故答案為：①②④⑤.

【點睛】

本題考查三角形內(nèi)角與外角平分線，等腰三角形性質(zhì)與判定，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平行線判

定，掌握三角形內(nèi)角與外角平分線定義，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平行線判定是解題關(guān)鍵.

5.（2025?四川宜賓?八年級期末）己知：Rt^ABC^,ZBAC=90°,AB=AC=1,。是BC邊上的一個動點

（其中0。＜/84。＜45。），以為直角邊作R/AAOE,其中/D4E=90。，S.AD=AE,DE交AC于點F,

過點A作于點G,交BC于H,在。點的運動過程中，有下列結(jié)論：①"BD出AACE：②BADC2

2

=2AD；③8。2+狼2=。吟④當近一1時，AC平分NHAE；⑤當/射。=22.5。時，5^0=25^,

其中正確的有.（將所有正確結(jié)論的番號填在答題卡對應(yīng)題號的橫線上）

【答案】①②③④

【解析】

解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AOE中,

\'AB=AC,NBAC=NDAE=90°,AD=AE.

，ZBAD=ZCAE.

AABDW/\ACE.故①符合題意；

在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，

1ABC1ACB1ADE?AED45?,

AABD烏LACE,

\?ACE45靶DCE=45?45?90?,BDCE,DE2=2AD2,

\CE2+CD-=DE',

\BD2+CD2=2AD\故②符合題意，

如圖，連接由，則EH?=CE2+C/f2=。"2+3。2,

等腰直角三角形AOE,AHdDE,

\DG=EG,DH=EH,

\DH1CH2+BD\故③符合題意；

QAB=AC=1,?BAC90?,BD&-1,

\BC=V2,Cr>=^-(V2-1)=l,CE=BD^y/2-1,而EH=DH=LCH,

\"+(0一=(]_CH)2,

解得：CH=V2-1=CE,

QAC=AC,?ACB1ACE45?,

\NACH^/ACE,

\^HAC1EAC,即AC平分E)HAE,故④符合題意,

如圖，過尸作HV_LAE于N,

Q?BAD22.5?,ffij^BAD^CAE,

\?CAE22.5靶47）=45?22.5?67.5?1DAF,

\?GAF45?22.5?22.5??CAE,而4GADE,

\FG=FN,

\EG?2GF,而。G=EG,

\DG72GF,

\SVADG?2SVAGF，故⑤不符合題意；

綜上：符合題意的有：①②③④.

故答案為：①②③④

【點睛】

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，利用S4S證明三角形全等，勾股定理的應(yīng)用，線段的垂直平分線的

定義與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，二次根式的乘法運算，掌握以上知識是解本題的關(guān)鍵.

6.（2025?廣東廣州?八年級期末）如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC,AD=CD,我們把這種兩組鄰邊分別

相等的四邊形叫做“箏形箏形42C。的對角線AC、8。相交于點。.已知/AOC=120。，ZABC=6Q°,

小嬋同學(xué)得到如下結(jié)論：①△ABC是等邊三角形；②BD=2AD；③S承形ABCD=AGBD；④點M、N分別

在線段AB、BC上,且NM￡W=60。，則MV=AM+CN,其中正確的結(jié)論有.（填寫所有正確結(jié)論的

序號）

D

【答案】①②④

【解析】

解：:四邊形A5C0是“箏形”四邊形，

：.AB=BC,AD=CD,

???ZABC=60°f

???△A5C是等邊三角形，故①正確；

：.ZBAC=ZBCA=60°f

'：AD=CDfZADC=120°,

：.ZDAC=ZDCA=30°,

：.ZDAB=90°,

\'AD=CDfAB=BC,BD=BD,

:?AABD沿ACBD(SSS),

???ZABD=ZCBD=30。,ZADB=ZBDC=60°,

：.BD=2ADf故②正確；

*/Zr)OC=Z￡>AC+ZAZ)B=60o+30o=90o,

：.AC.LBDf

?*S^g^^ABCD—S^ACD~^S^ACB,

S四邊形ABCD=|XACXOO+1xACxO8=1xAC^BD,故③錯誤；

延長BC到E,使CE=AM,連接。E,如圖所示:

ZDAB=ZDCB=90°,

：.NDAB=NDCE=90。,

又；AM=CE,AD=CD,

：.AADM^ACDE(SAS),

:./ADM=/CDE,DM=DE,

"?ZADC=120°,

"?ZMDN=60°,

：.ZADM+ZCDN=AADC-ZMDN=60°,

：.ZCDE+ZCDN=ZEDN=60°,

ZEDN=ZMDN,

又■:DN=DN,

:AMDN咨AEDN(SAS),

：.MN=EN,

"?EN=CE+CN=AM+CN,

：.AM+CN=MN,故④正確；

故答案為：①②④.

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解“箏形”的性質(zhì)和添

加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.(2025?福建泉州?八年級期末)如圖，點C為線段AE上一動點(不與點A、E重合)，在AE同側(cè)分別作

等邊AABC和等邊△CDE,AD與BE交于點O,與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接尸。、OC.現(xiàn)

給出以下結(jié)論:①=BE；②NA08=60。；③CO平分/BCD；④AO=30+CO.其中正確的是.（寫

出所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①②④

【解析】

解：\?等邊AABC和等邊ACDE,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

：.180°-ZECD=180°-ZACB,

即/ACr>=/BCE,

在"CO與ABCE中，

AC=BC

<NACD=NBCE,

CD=CE

；.AACD”ABCE（SAS）,

：.AD=BE,故①正確；

ZCAD=ZCBE,

'：ZAPC=ZBPO,

：.ZAOB=180°-ZCBE-ZBPO=180°-ZCAD-ZAPC=ZACP=60°,

：.ZAOB^60°,故②正確；

■:AACD烏ABCE（已證），

:./CAD=/CBE,

VZACB=ZECD=60°（已證），

ZBCQ=180°-60°x2=60°,

/ACB=NBCQ=60。,

在"CP與ABCQ中，

ZCAD=ZCBE

<AC=BC,

ZACB=ZBCQ

；?AACPABCQ(ASA),

：.AP=BQfCP=CQ,

???△。尸。為等邊三角形

：.ZCPQ=60°f

：.ZACB=ZCPQ,

J.PQ//AE,

假設(shè)OC平分ZBCD

???ZPCO=ZQCO=30°f

'：CP=CQ,

：.OC1.PQ,OC平分PQ,

???OP=OQ,

：.CO平分NPO。，

ZAOB=60°,

：.ZPOQ=180°-ZAOB=120°

：.ZPOC=ZQOC=60°f

???ZBCA=ZDCE=60°,ZOCA=ZBCA+ZOCP=ZDCE+ZOCQ=90°,

在△AOC和△EOC中，

ZAOC=ZEOC

<oc=oc,

ZOCA=ZOCE

：.^AOC^AEOC(ASA),

:.AC=EC,

???題中沒有AC=EC條件，

為此只有AC=EC時CO平分/BCD,

故③不正確；

BD

O

/\\

Ac

在04上截取0H=0C,連結(jié)CH,過。作C7LL0A于F,CG_L8E于G,

???ZAFC=ZBGC=90°,

?：AACPQMBCQ,

:?/CAP=/CBQ,

在尸C和△BGC中，

ZAFC=ZBGC

</FAC=/GBC,

AC=BC

：.AAFC^ABGC(AAS),

:.CF=CG,

VCF±0A,CG±BEf

：.CO平分NAOE,

ZAOB=60°,

：.ZAOE=180°-ZAOB=180°-60°=120°,

ZH0C=ZEOC=-ZAOE=-xl20°=60°,

22

???△OHC為等邊三角形，

:?CH=CO,NHCO=60。，

AZACH+ZHCB=60°,NHCB+NBCO=60。,

：./ACH=/BCO,

在△4”。和480c中，

CH=CO

<ZACH=ZBCO,

AC=BC

：.AAHC^ABOC(SAS),

：.AH=BO,

?.AO=AH+HO=BO+OC,

故④正確.

綜上所述，正確的是①②④.

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的判定，需要多次證明三角形全等，

反證法，綜合性較強，但難度不是很大，是熱點題目，仔細分析圖形是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?江蘇?泰州市海陵學(xué)校八年級期末）根據(jù)教材第65頁“思考”欄目可以得到這樣一個結(jié)論：如圖，在

RdABC中，ZACB=90°,ZA=30°,貝IAB=28C.請在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若AC=2,點。是

A8邊上的動點，則。+^4。的最小值為.

【答案】6

【解析】

解：作射線AG,使得N8AG=30。，

過。作￡>E_LAG于E,過C作CP_LAG于尸,

G，

：.DE=^AD,

：.CD+；AD=CD+DE^CF,

VZCAG=ZCAB+ZBAG=60°fAC=2f

???ZACF=30°,

.*.AF=1,

CF=VAC2-AF2=5/3，

.?.C￡>+qAO的最小值為名.

故答案為：V3.

【點睛】

本題主要考查勾股定理，含30。直角三角形中,30。所對的直角邊等于斜邊一半，作出射線AG,使得/BAG=30。

是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2025?遼寧沈陽?八年級期末）如圖，在HAABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=8,點。為AB的中點，

若直角EDF繞點D旋轉(zhuǎn),分別交AC于點E,交BC于點尸，則下列說法：

①AE=CF；

@EC+CF=y/2AD;

③DE=DF；

④若AECF的面積為一個定值，則EF的長也是一個定值.

其中正確的有.

【答案】①②③④

【解析】

解：①連接8.

在用AABC中，NACB=90。，AC^BC,點。為A3的中點，

:.CD±AB,CD=AD=DB,

在AADE與ACD/7中，ZA=ZDCF=45°,AD=CD,ZADE=ZCDF,

:.\ADE=\CDF(ASA),

■-AE=CF.說法正確；

②在HAABC中，ZACB=90°,AC^BC,AB=8,

AC=BC=4拒.

由①知AE=CF,

:.EC+CF=EC+AE=AC=4-j2.說法正確；

③由①知MDE三ACDF,

:.DE=DF.說法正確；

④?.?AECP的面積=gxCE-CF,如果這是一個定值，則CE-CF是一個定值，

又,；EC+CF=4叵,

EF-=EC2+CF2=(EC+CF#-2.CECF,

△EC/的面積為一個定值，則E尸的長也是一個定值，故說法正確.

故答案為①②③④.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是證

明AADE三ACDP.

10.（2019?四川成都?八年級期末）如圖，等邊△ABC內(nèi)有一點O,OA=3,OB=4,OC=5,以點B為旋

轉(zhuǎn)中心將BO逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段3。'，連接A。，下列結(jié)論：①△ABO'可以看成是ABOC繞點B逆

時針旋轉(zhuǎn)60。得到的；②點。與O'的距禺為5；③/AOB=150。；④S四邊形AOBO，=6+4y/2;⑤S*0c+^/^AOB

=6+”.其中正確的結(jié)論有一.（填正確序號）

【答案】①③⑤

【解析】

解：如下圖，連接00',

VAABC為等邊三角形,

AZABC=60°,AB=CB；

由題意得：NOBO，=60。,OB=O,B,

...△OBO,為等邊三角形，ZABO^ZCBO,

.".OO,=OB=4；ZBOO1=60°,

...選項②錯誤；

AB=BC

在4人80，與4CBO中，"ZABO'=ZCBO,

BO'=BO

：.AABO^ACBO(SAS),

...AO'=OC=5,

△ABO'可以看成是△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得至I］的,

二選項①正確；

在八人。。'中，：32+42=52,

...△AOO,為直角三角形,

.../A00'=90°,ZAOB=90°+60°=150°,

???選項③正確；

,**S四邊形AOBO'=-x42xsin60°+gx3x4=4班+6,

?,?選項④錯誤；

如下圖，將△AOB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60。至△AO〃C,連接OO",

同理可得，△AOO〃是邊長為3的等邊三角形，

△COO〃是邊長為3,4,5的直角三角形，

SAAOC+SAAOB

—S四邊形AOCO"

—S^cocr+S^AOO"

=lx3x4+1x32xsin60°

=6+”

4

故⑤正確；

故答案為：①③⑤.

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理，熟練掌

握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

11.（2025?福建?泉州五中八年級期末）如圖，在AASC中，ZACB=90°,DEIBC,DE=AC,若AC=2,AD

=DB=4,ZADC=30°.以下四個結(jié)論:①四邊形ACEZ）是平行四邊形;②乙45°；③2（#+收）；

④點尸是中點，點G、H分別是線段上的動點，則FG+G8的最小值為".正確的是.（填

序號）

A

【答案】①③④

【解析】

解：VZACB=90°,DEVBC,

...NCOE=NAC8=90。，

二DE//AC

y.'：DE=AC,

.??四邊形ACED是平行四邊形；故結(jié)論①正確.

,：AD=DB=4,乙4。。=30。，

ZABC=ZDAB=15°,

假設(shè)N45°,則ZDBE=ZABE-ZABC=45°-15°=30°,

.?.在RMBDE中，BE=2DE=4,

DB=yjDE2-BE2=A/42-22=2734>

假設(shè)不成立；故結(jié)論②錯誤.

在HABDE中，AC=2,AD=4,

CD=y/AD2-AC2=>/42-22=273，

BC=CD+DB=2y/3+4

...在R/AACB中，AC=2,BC=2y/3+4,

AB=7BC2+AC2=J(2點+4『+22=+2國=2a+20,

即A8=2(#+匈；故結(jié)論③正確.

如圖所示，作點尸關(guān)于BC對稱的點尸，作/HLAfi于點”，與BC相交于點G,則歹G=aG,

FG+GH=F'G+GH=F'H,根據(jù)"直線外一點到直線的距離，垂線段最短”可知，此時FG+GH有最小值.

A

E

連接AG,FF與BC相交于點M,

VF'H±AB,ZABC=15°,

ZHG3=75。，

ZCGF'=75°,

四邊形AC即是平行四邊形，

ZGCF'=ZADC=30°,

：.ZCF'G=75°,

CF'=CG

又：點b是AD中點，點/與點尸'關(guān)于BC對稱，AD=4,

：.CF'^AF=~AD^2,

2

CG=CF'=2,

：.CG=AC,GF'=NMFhMC=水+僅一商=#_及

△ACG為等腰直角三角形，

AAG=2y/2,/C4G=45。，

ZGAD=180°-90°-30°-45°=15°,

又?.,/QAB=15°,

NG4H=15°+15°=30°,

...在中，F(xiàn)G=-AG=-X2A/2=V2,

22

丁點尸是AD中點，點廠與點尸關(guān)于BC對稱，CD=2日

：.CM=-CD=-x2y/3=y/3,F'F±CB.

22

Z.F'M^-DE=-AC^-x2^1,

222

,?CG=2,

MG=CG-CM=2-6,

.?.在MzJWF'G中，GF'=y]MF'2+MG2=^l2+(2-73)2=痛-0)?="一&，

/.FG+GH=F'G+GH=娓-0+啦=娓,

即尸G+GH的最小值為后；故結(jié)論④正確.

故答案為：①③④.

【點睛】

本題考查勾股定理的應(yīng)用.其中涉及平行線的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形中30。角所對的

直角邊等于斜邊的一半，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，“一定兩動”求線段最小值等問題.綜合性較強.

12.(2025?內(nèi)蒙古烏海?八年級期末)如圖，QABCZ(中，/DBC=45°,DE_LBC于點E,BFLCD于點F,

DE,即相交于點即與AD的延長線相交于點G.下面給出四個結(jié)論：①=②=

@AB=BH；?ABCF=AGDF,其中正確的結(jié)論是.

【答案】①②③

【解析】

解：ZDBC=45°,DBLBC

：./DBE=/BDE=45。

：.BE=DE

：.BD=^/2BE

故①正確

■:DELBC,BFLCD

：.NBEH=NDEC=9。。

：.ZBHE+ZHBE=9Q°=ZHBE+ZC

：.ZC=ZBHE

?；四邊形ABCD是平行四邊形，

ANA=NC=NBHE

故②正確

ZC+ZCDE=90

ZCDB=ZHBE

在48〃￡和40cB中

ZHBE=ZEDC

<BE=DE

NBEH=ZDEC=90°

ABHE與ADCE(ASA)

：.BH=CD

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD

：.AB=BH

故③正確

在ABb和△GO尸中，只有三個角相等，沒有邊相等，則這兩個三角形不全等

故④錯誤

故正確的有①②③

故答案為：①②③

【點睛】

本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知

識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

13.(2025?四川成都?八年級期末)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，ZC=60°,絲=羋，點/在BC上，

BC6

且CF=ggC,點E為邊CD上的一動點，連接所，AE,將△CEF沿直線EF翻折，點C的對應(yīng)點為點G,

連接BG,若點B,點G,點E在同條直線上，則生的值為.

E

G

B尸0

【答案】而

【解析】

解：在平行四邊形ABC。中，

..ABV13

?*——，

BC6

■'-^.AB=CD=y/13k,AD=BC=6k,

■.■CF=-BC,

3

:.CF=2k,BF=4k,

由翻折可得，F(xiàn)C=FG=2k,EG=EC,ZEGF=ZC=60°,

過點/任EM_LBE于M,

BM=^BF2-FM2="(4Q2_(顯)=屈k,

BG=BM-GM=(V13-1)4,

設(shè)CE=GE=x,過￡作印_18(7于N,

貝｝|CN=L,EN=—X,

22

在直角三角形BEN中，BN=6k-；x,BE=BG+GE=(-Ji3-l)k+x,

(6k-1x)2+吟x)2=[(V13-1)左+無產(chǎn)，

：.x=(y/13-l)k,

DE=k,

延長書、AD交于點T,

二.NT=90。，ZTDE=60°,

DT=-DE=-k,TE=-k,

222

113

/.AT=AD+DT=6k+-k=—k,

22

2222

/.AE=^AT+TE=J—k+-k=j43kf

V44

絲=①=聞.

DEk

故答案為：743.

【點睛】

此題考查的是翻折變換、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線是解決

此題關(guān)鍵.

14.（2025?山東濟南?八年級期末）如圖，△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,四

邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交于點F連接3。交CE于點G,連接BE.下列結(jié)論中：①CE

=DB；②△A￡>C是等腰直角三角形；③NADB=NAEB；④CD=EF；@S剪形BCDE=^BD-CE；@BC2

+DE2^BE2+CD2；其中一定正確的是（把所有正確結(jié)論的序號填在模線上）

B

D

【答案】①②③⑤⑥

【解析】

解：①：/BAC=NOAE=90。，

ZBAC+NZMC=ZDAE+ADAC,

即：ZBAD=ZCAE,

???△ABC和AADE都是等腰直角三角形,

：.AB=AC,AE=AD,

：.ABAD^ACAE(SAS),

CE=BD,

二故①正確；

②：四邊形ACDE是平行四邊形，

/.ZEAD=ZADC=90°,AE=CD,

AADE是等腰直角三角形，

：.AE=AD,

：.AD=CD,

AAADC是等腰直角三角形，

???故②正確；

③,/△ADC是等腰直角三角形，

：.ZCAD=45°,

：.ZBAD=9O0+45°=135°,

'：ZEAD=ZBAC=90°,ZC4D=45°,

ZBAE=360°-90o-90o-45o=135°,

又AB=AB,AD=AE,

：.ABAE^ABAD(SAS),

：./ADB=/AEB；

故③正確；

④：四邊形ACDE是平行四邊形，

：.EF=CF,AF=DF,

又由②得：AAOC是等腰直角三角形，

...△CED為直角三角形且/C。尸=90°,

CD^CF,即CD^EF,

故④CO=EF錯誤；

⑤△BAE^ABAD,

:.ACAE義ABAE,

???ZBEA=ZCEA=ABDA,

???ZAEF+ZAFE=90°,

：.NAFE+NBEA=9。。,

■:NGFD=NAFE,ZADB=ZAEB,

：.ZADB+ZGFD=90°,

：.ZCGD=90°f

：.BDLCE,

S四邊形BCDE=—BD-CE,

故⑤正確；

@VZCGD=90°,

：.BC2=CG2+BG2,DE2=GD2+GE2,CD^CC^+DG2,BE2=BCf+GE2,

：.BC2+DE2=BE2+CD2.

故⑥正確；

故答案為：①②③⑤⑥.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意細心分析，

熟練應(yīng)用全等三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

15.（2025?浙江?八年級期末）如圖，在口A8CD中，AD=4叵2尸分別為CD,AB上的動點，DE=BF,

分別以AE,CF為對稱軸翻折△AQE,ABCF,點。，8的對稱點分別為G,H.若E、G、H、尸恰好在同

一直線上，ZGAF=45°,且G8=5.5,則A3的長是.

【答案】14.5

【解析】

解：過G點作尸于點

由折疊知AG=A￡>=40，

VZGAF=45°,

???ZAGM=45

5

：.AM=GM=^AG=4,

2

*；DE=BF,

???設(shè)。6=3/=羽則由折疊性質(zhì)知，EG=DE=BF=FH=x,

?：GH=55

/.EF=2x+5.5,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

：.DC//ABf

：.ZAED=ZBAE,

ZAED=NAEG,

：.ZFAE=ZFEA,

/.AF=EF=2x+5.5,

AAB=AF+BF=3x+5.5,MF=AF-AM=2x+1.5,

222

由勾股定理得，F(xiàn)G-FM=MGf

即(x+5.5)2-(2x+1.5)2=42,

4

解得，x=3,或》=--(舍)，

...AB=3x+5.5=14.5,

故答案為：14.5.

【點睛】

本題考查勾股定理，平行四邊形性質(zhì)，方程思想的運用，屬于綜合提高題.

16.（2020?山東濟南?八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD,AD=2AB,尸是A。的中點，作

垂足E在線段AB上，連接ERCF,則下列結(jié)論：①/BCD=2/DCF；②EF=CF；③S&CDF=SACEF；

@ZDFE=3ZAEF,一定成立的是.（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

尸D

E,

BL-----------------------

【答案】①②④

【解析】

①???點F是AD的中點，

：?AF=FD.

???在平行四邊形ABCD中，AD=2ABf

AD//BC,AF=FD=CD,

ZDFC=ZFCB,ZDFC=ZDCF,

:./FCB=NDCF,

???NBCD=2NDCF,故①正確；

②延長EF,交CD延長線于點M,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AB//CD,

ZA=ZMDF,

,?,點F是AD的中點，

；?AF=FD.

ZA=ZFDM

在△4￡尸和4。匹做中，\AF=DF

ZAFE=ZDFM

AAEF=^\DFM(ASA)

:.FE=MF,ZAEF=/M.

\-CE.LAB,

/.ZAEC=90°,

ZECD=ZAEC=90°,

:.CF=^EM=EF,故②正確；

③：FE=MF,

.,SvEFC=S^CFM?

?'S^CFM=S^CDF+S^MDF

S/^cDF<S^EFC，故③錯誤；

④設(shè)NFEC=x,則ZFCE=X,

ZDCF=ZDFC=90°-x,

:.ZEFC=l?fr-2x,

:.ZEFD=90P-x+180P-2x=27CP-3x.

QZ4￡F=90°-x,

.-.ZDFE=3ZAEF,故④正確；

綜上所述，正確的有①②④，

故答案為：①②④.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握這些性質(zhì)和定理是

解題的關(guān)鍵.

17.（2019?河南三門峽?八年級期末）如圖，直線4,4分別經(jīng)過點（1，。）和（4,0）且平行于y軸.nOABCm

點A,C分別在直線4和4上，0是坐標原點，則對角線長的最小值為.

【答案】5

【解析】

解：過點B作BDL/2,交直線x=4于點D,過點B作BE，x軸，交x軸于點E,直線//與OC交于點M,

與x軸交于點F,直線〃與AB交于點N.

?/四邊形OABC是平行四邊形，

AZOAB=ZBCO,OC//AB,OA=BC,

???直線〃與直線/2均垂直于X軸，

???AM〃CN,

???四邊形ANCM是平行四邊形，

AZMAN=ZNCM,

.*.ZOAF=ZBCD,

ZOFA=ZBDC=90°,

.,.ZFOA=ZDBC,

在^OAF和^BCD中，

ZFOA=ZDBC

<OA=BC,

ZOAF=/BCD

AAOAF^ABCD(ASA),

ABD=OF=1,

.*.OE=4+1=5,

，22

?-OB=y/oE^BE.

由于OE的長不變，所以當BE最小時(即B點在x軸上)，OB取得最小值，最小值為OB=OE=5.

故答案為：5.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識；熟練

掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

18.（2019?四川達州?八年級期末）如圖，在AABC中，AB^AC,E,尸分別是BC,AC的中點，以AC為斜

邊作RtAAZJC,若/CAO=/BAC=45。，則