搶分秘籍06全等三角形中常見(jiàn)的基本模型

CCC

【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】一線三等角模型【題型二】手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

【題型三】倍長(zhǎng)中線模型【題型四】截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

【題型五】十字架模型【題型六】半角模型

考情分析：全等三角形中常見(jiàn)的基本模型綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)

容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，手拉手、一線三等角、半角模型高頻，常涉對(duì)應(yīng)邊/角相等、幾何變換，多在幾何綜

合題中出現(xiàn)。

2.從題型角度看，以解答題的最后三題題為主，造模型證全等，壓軸題常結(jié)合動(dòng)點(diǎn)、多模型綜合。分

值10-12分左右，著實(shí)不少！

備考策略：熟記模型特征及輔助線（如倍長(zhǎng)中線、截長(zhǎng)補(bǔ)短），針對(duì)不同題型專項(xiàng)訓(xùn)練，總結(jié)模型

應(yīng)用規(guī)律。

6題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】一線三等角模型

【例1】（2025?四川南充?一模）如圖，在四邊形ABCD中，NA=/B=90。，點(diǎn)E是A3邊上一點(diǎn),

AE=BC,ED±EC,

⑴求證：AD=BE；

(2)若AD=3,5C=6,求CD的長(zhǎng)度.

【嘗試初探】（1）如圖1,若平行四邊形ABCD是正方形，E為3。的中點(diǎn)，ZAEF=90°,求三的值；

DF

CF

【深入探究】（2）如圖2,NB=45。，NAEF=90。，AE=EF,求"的值；

DF

AAD5RFQ「花

【拓展延伸】（3）如圖3,■與。E交于點(diǎn)。，tanN8OE=tanZA=:,—=|,器='，求淙的值.

【變式1】（2025?山東泰安?一模）綜合與實(shí)踐

【經(jīng)典再現(xiàn)】

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教科書69頁(yè)14題:如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，ZAEF=90°

且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P.求證AE=EF.（提示：取A3的中點(diǎn)H,連接HE.）

圖1圖2圖3

（1）請(qǐng)你思考題中的"提示"，這樣添加輔助線的目的是構(gòu)造出_____,進(jìn)而得到A￡=EF.

【類比探究】

（2）如圖2,四邊形ABCD是矩形，且工式=〃，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，/AE尸=90。，且所交矩形外角的

BC

AE

平分線5于點(diǎn)/，求卡的值（用含〃的式子表示）；

EF

【綜合應(yīng)用】

（3）如圖3,尸為邊O）上一點(diǎn)，連接AP,PF,在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)〃=］，NPAE=45。,尸尸=行時(shí)，

請(qǐng)直接寫出BC的長(zhǎng).

【變式2］（2024?甘肅天水?二模）綜合與實(shí)踐

感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖，點(diǎn)M在直線3c上，且ZABM=ZAMN=NNCM=a（a可

以是直角、銳角或者鈍角），像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型，我們把它稱為“一線三

等角"模型.

應(yīng)用:

圖1圖2圖3

⑴如圖1,在矩形A3CZ）中，M,N分別為8C,CD邊上的點(diǎn)，ZAAEV=90°,且AM=V7V,則鉆，CN,BC

的數(shù)量關(guān)系是;

（2）如圖2,在VABC中，BC=6,ZC=60°,M是AC上的點(diǎn)（AC>3C）,且NABAf=60。，AM=7,求

BM的長(zhǎng)；

（3）如圖3,在四邊形ABMC中，ZBAC=ZABM=90°,NAMC=45。，AB=3,AC=4,求tan/C4"的

值.

【變式3］（2025?山東濟(jì)南?一模）（一）模型呈現(xiàn)

（1）如圖1,點(diǎn)A在直線/上，ZBAD=90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)8作3C，/于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作DEL/于點(diǎn)E,

由Nl+N2=N2+/D=90。，得Nl=ND,又NAC3=NDE4=90。，可以推理得到會(huì)D4E,進(jìn)而得到

AC=,BC=.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為"K字"模型或"一線三等角"模型；

（二）模型體驗(yàn)

（2）如圖2,在VA5C中，點(diǎn)。為AB上一點(diǎn)，DE=DF=3,ZA=ZEDF=ZB,四邊形C互匠的周長(zhǎng)為10,

VA3C的周長(zhǎng)為18.小誠(chéng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)根據(jù)模型可以推理得到AADE也△麗，進(jìn)而得到4石=8￡>,4。=3e，

那么AB=AE+BF,再根據(jù)題目中周長(zhǎng)信息就可得AB=；

（三）模型拓展

（3）如圖3,在VABC中，ZACB=90°,AC=2BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且于點(diǎn)。，BEIM/

點(diǎn)E.請(qǐng)猜想線段DE,AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程：

（四）模型應(yīng)用

（4）如圖4,已知在矩形ABCD中，AB=14,BC=7,點(diǎn)E在C。邊上，且DE=4.P是對(duì)角線AC上一動(dòng)

點(diǎn)，Q是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足sin/EPQ=|石，當(dāng)尸在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)求線段AQ的最大值，并求出

此時(shí)線段9的長(zhǎng)度.

【題型二】手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

【例1X2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）如圖①，VABC和VADE都是等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。,

當(dāng)點(diǎn)8在線段AD上，點(diǎn)C在線段AE上時(shí)，我們很容易得到3D=CE,BD1.CE,不需證明.

（1）如圖②，將VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0<a<90。），連接3D和CE,猜想：和CE的位置關(guān)系」數(shù)量

關(guān)系：并給出證明過(guò)程.

⑵如圖③，當(dāng)VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)。恰好落在BC的延長(zhǎng)線上，連接CE.若=

CD=娓,則線段DE=_；

⑶若P為。E中點(diǎn)，連接BP,AB=AC=2近,AD=AE=4亞,當(dāng)VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，BP最大

值為加，最小值為"，則加〃的值為.

圖示0D

區(qū)

ABAB

AB

OC在△OAB內(nèi)且拉手線OC在△OAB外且拉手線OC在△OAB外且拉手線

無(wú)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)有交點(diǎn)

條件在等腰/OAB中，OA=OB,在等腰△OCZ）中,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,W/

OCD繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一定角度后,連接AC,8。（稱為“拉手線”左手拉左手,右手拉

右手），若拉手線有交點(diǎn)，記相交于點(diǎn)，連接OE

結(jié)論1.△AOC之△BOD,（即拉手線相等）；

2.E。平分NAED:

3.ZAEB=ZAOB=a

【例2】（2025?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究

問(wèn)題情境：在研究旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，卓越小組的同學(xué)使用了兩個(gè)全等的直角三角形展開(kāi)探究.如圖1,將兩個(gè)三

角形點(diǎn)A重合放置,ZCAB=ZDAE=90°,AC=AD=3,AB=AE^4.將固定，RlADE繞點(diǎn)

A旋轉(zhuǎn).

ffll圖2圖3

猜想證明：（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)〃落在BC邊上時(shí)，連接3E,試猜想3E與的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明.

問(wèn)題拓展：（2）如圖3,當(dāng)點(diǎn)。落在2C邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作上14。，過(guò)點(diǎn)E作砂，AE,DF與EF交于

點(diǎn)、F,連接求郎的長(zhǎng).

深入探究：（3）在RKADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直線DE與直線AC,3c交于點(diǎn)M,N,直線AE與直線BC

交于點(diǎn)P,當(dāng)。E〃AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形AAWP的面積.

【變式1］（2025?黑龍江牡丹江?一模）在菱形ABCD中，ZABC=60°,P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊

向右側(cè)作等邊三角形APE,點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)尸的位置變化而變化，連接CE.

推理證明：

（1）當(dāng)點(diǎn)E在菱形A5CD內(nèi)部或邊上時(shí)，如圖①，求證：CE+PD=y/3AB；寫出圖①的證明過(guò)程;

探究問(wèn)題：

(2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，如圖②，圖③，請(qǐng)分別寫出線段PD,CE,AB之間的數(shù)量關(guān)系，不需

證明；

拓展思考：

(3)在(1)和(2)的條件下，若AB=6jLAP=6,則尸。的長(zhǎng)為.

【變式2](2025?廣西?一模)【經(jīng)典回顧】

(1)如圖1,VABC,VAZJE都是等邊三角形,連接3D,CE.求證：△AB*AACE；

【類比遷移】

(2)如圖2,VABC,VADE都是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,連接BD,CE相交于點(diǎn)。，BD

與AC相交于點(diǎn)P,類比(1)有△相序△ACE.點(diǎn)M,N,P分別為3C,DE,CD的中點(diǎn)，連接板，

NF,M尸與CE相交于點(diǎn)T.請(qǐng)判斷板，NF的關(guān)系，并證明；

【拓展應(yīng)用】

(3)在⑵的條件下，連接MZV,如圖3,VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),若AB=6,AE=4.求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AMNF

面積的最大值.

【變式3](2025?廣東深圳?一模)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,將正方形A5CD和正方形用'G按如圖所示的位置擺放，連接BE和DG,則fiE■與DG的數(shù)量

關(guān)系是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【類比探究】

(2)若將“正方形ABC。和正方形AEFG"改成"矩形A3CD和矩形AEFG,且矩形ABC。。矩形的e,

AE=3,AG=4",如圖，點(diǎn)從D、G三點(diǎn)共線，點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，若"叵，求助的長(zhǎng).

5

【拓展延伸】

(3)若將“正方形ABCD和正方形A￡FG改成“菱形A8CD和菱形AEFG,且菱形ABCD"菱形鉆燈，如圖

3,AO=5,AC=8,AG平分，D4C,點(diǎn)P在射線AG上,在射線AF上截取A。，使得AQ=1AP,連接PQ,QC,

3

當(dāng)tan/PQC=一時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

【題型三】倍長(zhǎng)中線模型

【例1】（2025?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題提出】

小紅遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,VABC中，AB=6,AC=4,是中線，求AD的取值范圍.

【構(gòu)建模型】

她的做法是：延長(zhǎng)AD到E,使=連接3E,證明△BED白△C4D,經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解

決.她的這種做法把中線延長(zhǎng)了一倍，所以我們通常稱為“倍長(zhǎng)中線法

請(qǐng)回答：

（1）小紅證明△■BEE監(jiān)△C4D的判定定理是：

（2）AD的取值范圍是_

【模型應(yīng)用】

（3）如圖2,在VABC中，AD是VABC的中線，NC4D=45。，在AD上取一點(diǎn)E,連接BE,若3E=AC=4,

則"燕尾"四邊形AEBC的面積為一.

1）倍長(zhǎng)中線模型（中線型）

A

圖1圖2

條件：為AABC的中線。結(jié)論：AABD=AECD

證明：延長(zhǎng)4。至點(diǎn)E,使DE=A￡>,連結(jié)CE。

?.?&。為“"的中線，：.BD=CD,YNBDA=/CDE,：.4ABD咨4ECD(SAS)

2)倍長(zhǎng)類中線模型(中點(diǎn)型)

條件：AABC中，。為8C邊的中點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)(不同于端點(diǎn))。結(jié)論：4EDB會(huì)FDC。

證明：延長(zhǎng)EZ),使=?！?連接CP。

?.?。為BC邊的中點(diǎn)，：.BD=DC,'：ZBDE=ZCDF,MEDBQXFDC(SAS')

【例2】(2024?甘肅白銀?一模)【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在VABC中，。為BC邊的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)H,使=連接C”.由

ZADB=NCDH,得VADB會(huì)VHDC,則A3與CH的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為.

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,在VA3C中，AP平分NSAC,。為3c邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。?！ㄈ耸?，交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

Q,交AB邊于點(diǎn)K.試判斷8K與CQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在RtZXABC中，ZBAC=90°,AC=6,AB=8,。為BC邊的中點(diǎn)，連接A￡>,E為AC邊

上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)?^BF=AC.求AE的長(zhǎng)度；

圖1圖2圖3

【變式1】(2025?山東濟(jì)寧?一模)(1)如圖①，在VABC中，若AS=10,AC=6,則2C邊上的中線AD的

取值范圍是;

(2)如圖②，在VABC中，。是BC邊上的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)、E,。P交AC于點(diǎn)R

連接取，求證：BE+CF>EF；

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,N3CD=140。，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70。角,

角的兩邊分別交AB,AD于E,尸兩點(diǎn)，連接環(huán)，探索線段BE,DF,所之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖①圖②圖③

【變式2](2025,遼寧本溪?模擬預(yù)測(cè))【問(wèn)題初探】

(1)如圖1,AD是VABC的中線，AB=6,AC=4,求中線長(zhǎng)度的取值范圍.

小紅和小林兩名同學(xué)從不同角度進(jìn)行思考，給出了兩種解題思路.

①小紅同學(xué)的思考過(guò)程：如圖2,延長(zhǎng)84到點(diǎn)E,使AE=B4,連接CE,利用三角形中位線…；

②小林同學(xué)的思考過(guò)程：如圖3,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使連接CE,構(gòu)造三角形全等…；

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出解答過(guò)程.

【遷移應(yīng)用】

(2)請(qǐng)你依照上述兩名同學(xué)的解題思路或者按照自己的思路，解答下面問(wèn)題.

如圖4,已知等腰中，AB=AC,ABAC=90°,點(diǎn)。在直線BC上移動(dòng)，連接AD,將AD繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接BE,取BE中點(diǎn)/，連接AF,猜想AF與C。之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的猜想；

【能力提升】

(3)在(2)的條件下，若9=1,AB=2血,請(qǐng)你直接寫出題的長(zhǎng)度.

圖4圖5

【題型四】截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

【例1】(2025?貴州黔東南?一模)閱讀材料，并解決問(wèn)題:

A

【思維指引】（1）如圖1等邊VABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求NAPB

的度數(shù).

解決此題，我們可以將AABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時(shí)AACP會(huì)AABP,連接尸7,借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

可以推導(dǎo)出APAP是三角形；這樣利用旋轉(zhuǎn)變換，我們將三條線段PA.PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形

中，從而求出ZAPB=。；

【知識(shí)遷移】（2）如圖2,在VABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸為8c上的點(diǎn)且ZEAF=45。，請(qǐng)判

斷防，BE,PC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【方法推廣】（3）如圖3,在VABC中，NABC=30。，AB=2,3C=3,點(diǎn)尸為VA2C內(nèi)一點(diǎn)，連接序、PB、PC,

直接寫出PA+忘尸2+PC的最小值.

證明：法1(截長(zhǎng)法)：在線段AC上截取線段A夕=AB,連接。及

為AABC的角平分線，AZBAD=ZB'AD,'：AD=AD,：.J\ABD^AAB'D(SAS)

：./B=/AB'D,BD=B'D,"：ZB=2ZC,：.ZAB'D=2ZC,：.ZAB'D=2ZC,：.ZB'DC=ZC,

：.B'C^B'D,：.BD=B'C,'：AB'+B'C^AC,：.AB+BD=AC.

法2(補(bǔ)短法)：延長(zhǎng)A8至點(diǎn)C使得AC=AC,連接BC。

為AA2C的角平分線，/.ZC'AD=ZCAD,'：AD=AD,/.ACADIACAD(SAS)

：.ZC'=ZC,VZB=2ZC,：.ZB=2ZC,：.ZBDC'=ZC,:.BC'=BD,

'：AB+BC'=AC,：.AB+BD=AC.

【例2】（2025?廣東韶關(guān)?一模）【知識(shí)技能】

（1）如圖1,點(diǎn)、E,歹分別在正方形ABCZ）的邊2C,C。上，ZE4r=45。，連接跖，試猜想防，BE,DF

之間的數(shù)量關(guān)系.

梳理解答思路并完成填空.

A.旋轉(zhuǎn)法：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADG,易證,故

可使48與AD重合，則BE=DG,ZADG^ZB=90°,可EF,BE,。尸之間的數(shù)量

得/￡DG=180。，即歹，D,G三點(diǎn)共線.關(guān)系為_(kāi)_______.

B.截長(zhǎng)補(bǔ)短法：延長(zhǎng)C。至點(diǎn)G,使得DG=BE,由

ZB^ZADG=90°,AB^AD,即△M￡T絲△ADG,可以

得到AE=AG.

【數(shù)學(xué)理解】

(2)如圖2,在VABC中，ABAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。，E均在邊BC上，且NZME=45。，試猜想3。，

DE,EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【拓展探索】

(3)如圖3,正方形ABCZ)的邊長(zhǎng)為及，ZE4F=45°,連接8￡),分別交AE,AF于點(diǎn)M,N.若M恰

好為線段上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng).

【變式1](23-24九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí))已知，在正方形ABCD中，△3EF是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的

等腰直角三角形，連接DF并取其中點(diǎn)G,連接EG、CG.

dDA

E

CB

圖2圖3

⑴如圖1,若△5EF的頂點(diǎn)E在線段BD上，則EG和CG的關(guān)系；

⑵如圖2,若△3EF的頂點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，貝U(1)中的結(jié)論是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶若△3EF的頂點(diǎn)E在/DBC內(nèi)，如圖3位置所示，則(1)中的結(jié)論是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型五】十字架模型

【例1】(2025?廣東清遠(yuǎn)?一模)己知正方形ABCD,點(diǎn)E,尸分別為邊8C8上兩點(diǎn).

圖1圖2圖3

【建立模型】

(1)如圖1,連接如果尸，求證：AE=BF；

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE,作AE的垂直平分線交43于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)、F,若。斤=2,

BG=4,求AABE1的周長(zhǎng)；

【模型遷移】

(3)如圖3,將AABE沿AE折疊，使點(diǎn)8落在3尸上的點(diǎn)G處，AE與跖交于點(diǎn)若AB=12,CF=5,

求G產(chǎn)的長(zhǎng).

條件：1)如圖1,在正方形ABC。中，若￡、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，AELBF-,結(jié)論：AE=BF。

證明：,四邊形ABCD是正方形，??.ZABE=NC=90。，AB=BC,：.ZBFC+ZCBF=90°

-：AE±BF,：.ZAEB+ZCBF=90°,:.ZAEB=ZBFC,:.AABE會(huì)ABCF(SAS),；.AE=BF.

條件：2)如圖2,在正方形ABC。中，若￡、F、G分別是BC、CD、AB上的點(diǎn)，AE±GF；結(jié)論：AE=GF。

證明：在PC上取一點(diǎn)P,使得GB=PF,連結(jié)8尸。

,??四邊形ABCD是正方形，，AB//CD,.,.四邊形3PFG是平行四邊形，.?.GF//2P,GF=BP,

同1)中證明，nTWAE=GF.

條件：3)如圖3,正方形ABC。中，若E、F、G、X分別是BC、CD、AB、上的點(diǎn)，EH1GF；

結(jié)論：HE=GFo

證明：在PC、BE上取一點(diǎn)P、Q,使得GB=PEAH=QE,連結(jié)BP、AQo

,??四邊形ABC。是正方形，...AB//C。，.,.四邊形BPEG是平行四邊形，...GM/BP,GF=BP,

同理可證得：四邊形AQEH是平行四邊形，AQ=HF,同1）中證明，可得HE=GF。

【例2】（24-25九年級(jí)上?山西大同?期末）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)：一些含有兩條互相垂直的線段的圖形中，某些線段之間存在特殊的數(shù)量關(guān)系.他們進(jìn)

行了如下探究.

⑴猜想證明

如圖（1）,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別在邊AB,CD,AD,BC上,且EhGH,請(qǐng)判

斷口和G"的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

⑵遷移探究

如圖（2）,在Rt^ABC中，/區(qū)4c=90。，AB=AC,點(diǎn)O,E分別在邊AC,上，且求證：

AB_BE

~\D~~EC'

（3）拓展應(yīng)用

如圖（3）,在矩形ABC。中，AB=6,BC^IO,BE平分/ABC交AD于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為AE上一點(diǎn)，AG±BF

交BE于點(diǎn)、H,交矩形ABCD的邊于點(diǎn)G.當(dāng)即=2AF時(shí)，請(qǐng)直接寫出G"的長(zhǎng).

【變式1］（24-25九年級(jí)上?湖南岳陽(yáng)?期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直

的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】（1）如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別是48,AD上的兩點(diǎn)，連接DE,CF,DE±CF,

則有DF的值為_(kāi)_______;

CF

CE

（2）如圖2,在矩形ABQ9中，NDBC=30。，點(diǎn)E是AO上的一點(diǎn)，連接CE,BD,且CEJ_BD,貝U茄的

值為;

【類比探究】(3)如圖3,在四邊形ABCD中，NA=/3=90。，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE,過(guò)點(diǎn)C作。E

的垂線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)片求證：DEAB=CFAD-,

【拓展延伸】(4)如圖4,在RtAABO中，ZBAD=90°,AB=4,A￡>=8,將△ABO沿翻折，點(diǎn)A

DE

落在點(diǎn)C處得△CB。，點(diǎn)E,尸分別在邊A3,AD上，連接DE,CF,且DE_LCF,求一的值.

CF

【題型六】半角模型

【例1】(2025,貴州貴陽(yáng),模擬預(yù)測(cè))當(dāng)幾何圖形中，兩個(gè)共頂點(diǎn)的角所在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們

稱之為“半角模型"，通常用"旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)"看待圖形的幾何變換，使得兩個(gè)分散的角變換成為一個(gè)三角形，相

當(dāng)于構(gòu)造出兩個(gè)三角形全等.

圖1圖2圖3

【問(wèn)題初探】

(1)如圖1,在四邊形ABCD中，AD=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90,,E、尸分別是48、8C邊上的

點(diǎn)，且N￡DF=45。，求出圖中線段EF,AE,尸C之間的數(shù)量關(guān)系.

如圖1,從條件出發(fā)：將VADE繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到VCDM位置，根據(jù)"旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)"分析CM與AE之

間的關(guān)系，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，可證得結(jié)論.

【類比分析】

(2)如圖2,在四邊形45co中，AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°,NE4/=45。，且BC=7,￡>C=13,

CF=5,求BE的長(zhǎng).

【學(xué)以致用】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,/ABC與ZADC互補(bǔ)，點(diǎn)E、/分別在射線CB、0c上，

S.ZEAF=^ZBAD.當(dāng)3C=5,￡>C=8,CF=2時(shí)，求出△CEF的周長(zhǎng).

1）正方形半角模型

條件：四邊形ABC。是正方形，Z￡CF=45°；結(jié)論：①ABCE出LDCG；②ACEF冬ACGF；?EF=BE+

DF-,④AAEF的周長(zhǎng)=2A&⑤CE、C尸分別平分NBEF和/石即。

證明：將ACBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ACDG,即AC8E四△CDG,

AZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=9Q°,BE=DG,CE=CG；

,.,ABCD是正方形，；./B=/CDF=NBCD=9Q。,BA^DA；：.ZCDG+ZCDF^ISQ0,故RD、G共線。

；/EC尸=45°,AZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF^45°,：.ZECF=ZGCF=45°,

,:CF=CF,：.4CEF/ACGF,:.EF=GF,\'GF^DG+DF,:.GF=BE+DF,：.EF=BE+DF,

：.AAEF^J^^z=EF+AE+AF^BE+DF+AE+AF=AB+AD=2AB,過(guò)點(diǎn)C作CHIEF,貝l|/CHE=90°,

,：XCEF烏ACGF,，。=口/（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用證得：ACBE0△CHE,

:./HEC=NCBE,同理可證：ZHFC=ZDFC,即CE、CT分別平分/8E尸和NEfTX

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AA2C是等腰直角三角形（/ft4c=90。，AB=AC）,ZDA￡=45°；

結(jié)論：①ABAD注ACAG；②③NECG==90°；@DEr=BD2+E（^；

證明：將“2。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至"CG,^ABAD^ACAG,

：.ZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD^AG,BD=CG；

VZDAE=45°,：.ZBAD+ZEAC^45°,：.ZCAG+ZEAC^ZGAE^45°,：.ZDAE=ZGAE=45°,

\'AE=AE,：.ADAE^/\GAE,:.ED=EG,ABC是等腰直角三角形，AZACB=45°,/.ZECG=90°,

：.GE1=GC2+EC2,：.DE2=BD~+EC2；

結(jié)論：①△BDE1烏△C￡）G；②AEDF沿AGDF；③EF=BE+CF；④AAEP的周長(zhǎng)=242；

⑤）DE、DF分別平分NBEF和/EFC。

證明：將△DBE■繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至△DCG,即ABDE/△COG,

/.ZEDB=ZGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

'：ZBDC=12.0°,ZEDF=6Q°,：.ZBDE+ZCDF=60°,；./GDC+/CDF=NGDF=60。,故NGDF=NEDF,

"：DF=DF,；.4EDF烏AGDF,:.EF=GF,,:GF=CG+CF,：.GF^BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF^J^^z=EF+AE+AF=BE+CF+AE+AF=AB+AC=2.AB,

過(guò)點(diǎn)。作DH/EF,DMJ,GF,貝I/OHF=NOMF=90°,

?：4EDF沿AGDF,（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用乩證得：ADHFmADMF,

：.ZHFD=ZMFD,同理可證：ZBFD=ZFED,BPDE,DF分別平分N8EF和/EFC。

4）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

條件：AABC是等邊三角形，Z￡40=30°；

、2

結(jié)論:①ABDAmACFA；②ADAE四AFAE；③NECB=120°；@DE2=（-BD+￡Q2+BD；

27

證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AACF,即ABA。絲△CAF,

：./BAD=NCAF,ZB=ZFCA=60°,AD=AF,BD=CF；

VZDAE=30°,：.ZBAD+ZEAC^30°,：.ZCAF+ZEAC^ZFAE^Q°,：.ZDAE=ZFAE^Q0,

'：AE^AE,:.&DAE9叢FAE,；.ED=EF,：AABC是等邊三角形，ZACB=60°,：.ZECF^120°,

-11y/3y/3

過(guò)點(diǎn)尸作FH13C,/.ZFCH=60°,NCFH=30°,:.CH=—CF=—BD,FH=—CF=—BD,

2222

?.,在直角三角形中：FEr=FH2+EH2,：.DE2=（-BD+EC）2+（—BD）2

22

【例2】（23-24八年級(jí)上?北京東城?期中）已知，在四邊形ABCD中，=仞,/5+加心=180。,區(qū)F分

別是邊BC、CD上