蘇教版高一暑假作業(yè)3：指數函數與對數函數

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.（2023?浙江省?假期作業(yè)）已知*=6〃=p,且=+：=2,貝加的值為（）

A.3B.4C.6D.12

2.已知/⑺=14,,則人/（26））等于（）

11

A-5B.&C,lD.2

06

3.（2023?北京市市轄區(qū)?期末考試）已知a=4。\b=2,c=log40.6,則a,b,c的大小關系為（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

4.（2023?江西省吉安市?月考試卷）已知函數y=loga（x+3）-1（其中a>。且aH1）的圖象恒過定點4,若

點力也在函數/（無）=3,+b的圖象上，則/（log94）的值為（）

A.1B*C.|D.1

5.（2024?湖南省長沙市?單元測試）設/（久）=1°康幻；俳，若/（X）—a=0有三個不同的實數根，則

實數a的取值范圍是（）

A.0<a<1B.0<a<1C.0<a<1D.0<a<1

2

6.（2024?浙江省麗水市?月考試卷）已知函數f（久）=log2（x-ax+3a）在[2,+8）上是增函數，貝b的取值范

圍是（）

A.（-co,4]B.（-00,2]C.（-4,4]D.（-4,2]

7.（2023?山東省濟寧市?期末考試）某教學軟件在剛發(fā)布時有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶.

如果教師用戶人數R（t）與天數t之間滿足關系式：R（t）=Roekt,其中k為常數，&是剛發(fā)布時的教師用戶

人數，則教師用戶超過20000名至少經過的天數為（）（參考數據：lg2-0.3010）

A.9B.10C.11D.12

8.（2024?湖南省常德市?期末考試）已知函數（⑺=>2若關于久的方程嚴（久）一（a+

8）/（x）-a=0有6個不同的實數根，則實數a的取值范圍為（）

A.（-4,—祟B.[—竽,0）C.（—4,0）D.（―4,—|）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.（2023?遼寧省?聯(lián)考題）已知log^a+log9b=0,則下列說法一定正確的是（）

A.(2a)2=2bB.a-elna=bC.b=a2D.log2a=log8ab

10.(2023?安徽省合肥市?月考試卷)若函數=講-e2-x,則下述正確的是()

A./(%)在(-8,+8)單調遞增B./(%)的值域為(0,+8)

C.y=/(%)的圖象關于直線％=1對稱D.y=/(%)的圖象關于點(1,0)對稱

11.(2024.湖南省長沙市.聯(lián)考)已知函數/(%)=喜一10%。>1),g(%)=占一旬>1)的零點分別為

12，貝女)

11

A.勺=21gx2B.—+—=1C./+利>4D.xrx2<10

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2023?北京市市轄區(qū)?期末考試)寫出一個同時滿足下列兩個條件的函數f(%)=.

①對V%1，%26(0,+8),有=/(%1)+/(%2)；

②當％e(4,+8)時，/(x)>1恒成立.

2

13.(2024?湖北省宜昌市?月考試卷)函數f(x)=(1)-X+4X+I(0<X<3)的值域為.

14.(2024.江蘇省鹽城市.期末考試)已知函數f(x)=(|/+31-(比+3)1該函數/(%)在R上的所有零點之和

為;使得不等式/'(2m-1)>f(m+3)成立的實數m的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(2024.重慶市?單元測試)(本小題13分)

計算：

103

(1)5^-log3ll-logn27+log82+log48;

(2)若36一3-m=2肩，求9m+9-機的值.

16.(2023?湖南省邵陽市?聯(lián)考題)(本小題15分)

函數y=FQ)的圖象如圖所示，該圖象由募函數/(久)=開與對數函數g(x)=logbx“拼接”而成.

(1)求F(x)的解析式；

(2)若(m+2)-。>(3-2m)-。,求m的取值范圍.

17.(2024?湖北省恩施土家族苗族自治州?月考試卷)(本小題15分)

7

已知函數/(%)=a-產五.

(1)判斷函數/(%)的單調性，并用單調性定義證明；

(2)若f(X)為奇函數，求滿足f(2ax)</《)的X的取值范圍.

O

18.(2023?江蘇省南通市?期末考試)(本小題17分)

已知函數/(%)=log2x.

(1)解關于x的不等式言)W2；(2)求函數9。)=/偌)"(4?！?，久6百16］的最小值.

19.(2023?湖南省長沙市?月考試卷)(本小題17分)

有一種候鳥每年都按一定的路線遷徒，飛往繁殖地產卵，科學家經過測量發(fā)現候鳥的飛行速度可以表示

為函數U金-0匯0，單位是krn/rn譏，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數，久o代表測量過程

中某類候鳥每分鐘的耗氧量偏差(參考數據：國2=0.30,312=3.74,314-4.66).

(1)當X。=2,候鳥每分鐘的耗氧量為8100個單位時，候鳥的飛行速度是多少km/機譏？

(2)當x0=5,候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少單位？

(3)若雄鳥的飛行速度為2.5/OTI/M譏，同類雌鳥的飛行速度為1.5/OTI/M譏，則此時雄鳥每分鐘的耗氧量是

雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？

L【答案】D

【解析】【分析】

本題考查對數運算，考查轉化思想，是一道基礎題.

求出％,y,得到關于p的方程，解出即可.

【解答】

Xy12

解：4=6=p,貝k=log4p,y=log6p,-+-=logp4：+210gp6=logp144：=2,

所以p=<144=12,

故選D

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查分段函數的求值，屬于基礎題.

將自變量代入相應的解析式求值即可.

【解答】

解：已知〃>4，

則"26)=log5(26-l)=2,

所以開/(26)]=/(2)=e2-2=i.

故選C.

3.【答案】A

【解析】【分析】

利用對數函數和指數函數的性質求解.

本題考查三個數的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數函數和指數函數的性質的合理

運用.

【解答】

解：1??a=401=202,b=206,

1<a<Z?,

又c=log40.6<0,

-?c<a<b,

故選：A.

4.【答案】a

【解析】【分析】

本題考查了指數與指數塞的運算、對數與對數運算，屬于基礎題.

先利用函數y=loga(x+3)-1的解析式得出其圖象必過哪一個定點，再將該定點的坐標代入函數函數

/(%)=3%+b式中求出b,最后即可求出相應的函數值/(log32).

【解答】

解：?函數y=loga(x+3)-l(a>0,。W1)的圖象恒過定點/(一2,-1),

將％=—2,y=-1代入y=3%+b得:3菖+力=-1,

.?.,b=-豆10，

???f(x)=3、一冬

則“喀4)=〃嗨2)=3。24與

108

=2Q一豆=§?

故選A.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了方程的根的個數問題，分段函數的圖象，屬于較易題.

由〃")={1o；x|>0/畫出"%)的圖象’若/⑶一。=°有三個不同的實數根’可轉化為函數y=

a與函數〃久)的圖象有三個不同的交點進行求解，通過數形結合易得出實數a的取值范圍.

【解答】

解：由題意可知，函數人久)的圖象如圖，

若/■(%)-a=。有三個不同的實數根，

則函數y=a與函數/'(X)的圖象有三個不同的交點,

由圖象易知，實數a的取值范圍是0<a41.

故選C.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查復合函數的單調性，二次函數的性質，對數函數的單調區(qū)間，屬于簡單題.

2

若函數/(x)=log2(x-ax+3a)在［2,+8)上是增函數，則/-ax+3a>0在［2,+8)恒成立，結合二次

函數的單調性，得a的不等式求解即可.

【解答】

2

解：若函數fO)=log2(x-ax+3a)在［2,+8)上是增函數，

則函數g(x)-x2-ax+3a在［2,+8)上為增函數，

且x￡［2,+8)上，x2-ax+3a>0恒成立，

所以三2,g(2)=4+a>0,

解得一4<a<4.

故選C.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查利用指數函數模型解決實際問題，屬于基礎題.

InlO,

根據已知條件求得RQ)=100e可:結合R(t)>20000及指對數關系、對數運算性質求解集，即可得結

果.

【解答】

7?(0)=Re°=100(Ro=100

解:由題設o可得),InlO,

5k

R(5)=Roe=1000

InlOInlO

所以R(t)=lOOe-^則lOOe飛>20000,

故t=TKIF=51g20。=5X(lg2+2)?11,505>11,

所以教師用戶超過20000名至少經過12天.

故選：D

8.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查了分段函數的圖象，函數零點、方程的根的個數和二次方程根的分布，屬于中檔題.

利用分段函數的圖象，結合指、對數函數的圖象作出函數/(%)的圖象，利用函數零點、方程的根的個

數，結合圖象把問題轉化為關于t的方程產-(a+8)t-a=0在(1,3］有兩個不同的實數根，再利用二次方

程根的分布，計算得結論.

解：作函數/(久)的圖象如下：

由圖象知：要關于無的方程嚴(%)-(Q+8)/(%)-a=0有6個不同的實數根，

設/(%)=t,則關于t的方程產-(a+8)t-a=0在(1,3]有兩個不同的實數根，

[—(a+8)產—4X1X(-Cl)〉0

因此|1<%一<3,解得一4<a《一半

I-a>04

19-3(a+8)-a>0

所以實數a的取值范圍為(-4,-引

9.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查對數式、指數式的化簡、運算，屬于中檔題.

利用對數的運算性質化簡方程得b=a2,結合指數、對數的運算性質逐一判斷即可得解.

【解答】

解：依題意，得一/093。+21。93匕=0，即/。必匕=log3a2,

則6=a2,且a,6>0,故C項正確；

對于4項，(2。)2=2。?2。=22。去2%故A項錯誤；

對于B項，a-eina=a2=6,故8項正確；

對于D項，log2a=log8abn3log2a=log2abnb=a2,故。項正確.

故選BCD.

10.【答案】AD

【解析】【分析】

本題考查指數函數的性質，函數的單調性、對稱性以及值域問題，屬于中檔題.

根據指數函數的單調性即可判定4通過舉反例可以判定B,C;根據/O)+/(2-x)=0,可以判定選項

D.

【解答】

解：4因為y=靖是R上的增函數，y=e2T是R上的減函數，

所以/(%)=ex-e2T在(_8,+8)上單調遞增，故A正確；

5若x<2-x,即x<l時，則f(x)<0,故8錯誤；

C.對于函數f(x)=eX-e2T,因為f(0)=l—e2,f(2)=e2-l,f(0)齊國(2),

故y=/Q)的圖象不關于直線X=1對稱，故C錯誤；

。因為f(x)+f(2-x)=ex-e2T+e2~x-ex=0,所以y=/(x)的圖象關于點(1,0)對稱，故。正確;

故選AD

11.【答案】BC

【解析】【分析】

本題考查函數的零點問題，考查函數的對稱性、指數函數和對數函數的性質，屬于一般題.

利用對稱性求出久1=想尤2，x2=10%1,進而可得工+工=1,結合y=-^彳(x>1)的圖象與直線y=久的

交點為(2,2)即可解答.

【解答】

解：因為函數丫=W(%>1)的圖象關于直線丫=》對稱，

y=10"與y=Igx的圖象關于直線y=x對稱，

設y=士(久>1)與y=io”圖象的交點為a,y=士(久>1)與y=igx圖象的交點為8,

Xi

則4(久1，10叼)與B(x2，lg乂2)也關于直線y=久對稱，則=igx2,%2=io.

因為己_10右=0,所以含=右，則/+犯=久62,即5+[=L

因為y=喜0>1)的圖象與直線y=久的交點為(2,2),貝也(久1<2,

所以與+久2=久1+5、=久1-1+高三+2>4,(等號取不到).

X±X2-%!-10*1,xrG(1,2),

令h(久)=x-10x,xe(1,2),h'(x)=(1+x-lnl0)10x>0,

所以無(無)在(1,2)上單調遞增，

所以10<h(x)<200,

則10<%62<200.

故選BC.

12.【答案】10g2X(答案不唯一)

【解析】【分析】

本題考查了對數的運算性質和對數函數的單調性，屬于基礎題.

由〃久)滿足的兩個條件可以聯(lián)想到對數函數，再根據對數函數的性質進行判斷即可得答案.

【解答】

解：因為由“X)滿足的兩個條件可以聯(lián)想到對數函數，

當f(x)=log2%時，

對VX],X2G(0,+°0);=10g2(XiX2)=log2%l+log2Kz=+/■(久2)，滿足條件①;

當x6(4,+8)時，y(x)>log24=2>1,滿足條件②.

故答案為：log2久(答案不唯一).

13.【答案】七巾

【解析】【分析】

本題考查了復合函數的性質，運用換元法求解.

設it(x)=-x2+4%+1,0<%<3,得1<u(x)<5,轉化為g(a)=(1)u,1WaW5,根據單調性求解.

【解答】

解：設〃(%)=-x2+4%+1,0<x<3,

,?,〃(%)=—(%—2)2+5,0<x<3

???1<u(x)<5,

2

?.?函數〃久)=(1)-X+4X+1(0<X<3),

g(a)=(|)u,1<U<5,

根據單調性可知：*<g(u)<I，

即函數f(x)=⑥-+1(0<x<3)的值域為點斗

故答案為后,.

14.【答案】—6

8

(一寸4)

【解析】【分析】

本題考查了函數的奇偶性及利用性質解不等式和轉化思想，屬于中檔題.

先設g(x)=(|)因一;則晨久)=g(x+3),根據人久)關于％=-3對稱，且只有兩個零點，則零點之和

為-6；根據f(x)的單調性和對稱性化簡，然后解出不等式即可

【解答】

解：設函數g(x)=(削加一E則g(x)為偶函數，

則有：。(久)在(0,+8)上單調遞減；在(-8,0)上單調遞增；

9(0)=1,g⑴=一,故g(0)g(l)<0,

可得g(x)在(。,+8)上有一個零點；在(-8,0)上有一個零點,

且兩個零點關于原點對稱，

故/(%)有兩個零點，而且關于￡=-3對稱，則兩個零點之和為：-6,

不等式f(26-1)>f(m+3)等價為：|2m-1+3|<|m+3+3|,

即有：3nI?-4m-32<0,

解得：—g<m<4,

故答案為：—6；(-1,4).

15.【答案】解：(1)原式=3-logsllx31ogu3+/og22+|log22

1311

=3-3+5+亍=

3zo

(2)將等式3m-3-m=2門兩邊同時平方得9m+9-m-2=12

貝197n+9-機=14.

【解析】本題考查了對數式的運算、指數幕的運算，屬基礎題.

(4a=-f_1

16.【答案】解：(1)由圖象得｛2解得。=-5,

(log”=2lb=16

F(x)=12,°<“44；

llog16x,x>4

ii

(2)由(1)得(m+2)2>(3-2m)2,

i

因為幕函數y=謂在[0,+8)上單調遞增，

'm+2>0

所以3-2m>0，解得§<小4亍

TH+2>3—2m

所以m的取值范圍是?，1].

【解析】本題考查了對數函數和塞函數圖象和性質，利用函數單調性解不等式，求函數解析式，屬于中

檔題.

(1)根據圖象過點(4,今，列方程組求出a,b,可得尸(乃的解析式；

(2)根據幕函數的單調性，列不等式組即可求6的取值范圍.

17.【答案】解：(1)函數/Q)=a—島為R上的增函數，

證明如下：任取%1、%26氏且%1>%2，

則2%1>2不>0,

所以〃/)-fg=(a-磊)一(a-高)=閔3>°，

即/1(/)>)(%2)，

所以函數f(x)=a-島為R上的增函數.

(2)若函數f(%)為奇函數,則/(_%)+f(x)=0,

即2廠(苦l(xiāng)+島)=°，

則a=x之二_+=i,

J2*(2x+l)2X+12X+1

因為函數/(%)為R上的增函數，

由/(2球)</($得2以=2"<也解得x<-3.

因此，滿足的》的取值范圍是｛用乂<-3].

【解析】本題考查了函數的性質，函數單調性的證明與應用，屬于較難題.

(1)根據單調性的定義進行判斷，可知函數/(X)的單調性；

(2)根據函數的奇偶性求出a,再由函數的單調性列不等式求解即可.

18.【答案】解：(1)不等式可化為:

(Y-kl

x>1或x<—1

晦言<2=.

%+1’.%*或%

----<4<1

U-1一

解得無>羨或久<-1,

所以不等式的解集為(—8,—1)U［p+8);

x

a

(2)。(久)=log2jg-log2(4-x)

=(log2x-4)(log2x+2a),

當％c［5,16］時，t=log2xe［-14］，

令h(t)=(t-4)(力+2a),

若a<—2時，則九(t)在［-1,4］上單調遞減,則/i(t)的最小值為九(4)=0,??.g(