第1頁/共1頁2024北京重點校高二（下）期末數(shù)學匯編導數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)綜合（人教B版）（解答題）一、解答題1．（2024北京海淀高二下期末）已知函數(shù)，其中.(1)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意，都有，求的值.2．（2024北京東城高二下期末）設(shè)函數(shù)，其中.曲線在點處的切線方程為.(1)求，的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間.3．（2024北京海淀高二下期末）已知函數(shù)．(1)判斷在上的單調(diào)性，并證明；(2)求在上的零點個數(shù)．4．（2024北京豐臺高二下期末）已知函數(shù)（）．(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)當時，求證：．5．（2024北京通州高二下期末）已知函數(shù)．(1)當時，求的最小值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)寫出的零點個數(shù)（直接寫出結(jié)果）．6．（2024北京房山高二下期末）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的極值點；(2)若的極小值為，求函數(shù)在上的最大值．7．（2024北京豐臺高二下期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的極值．8．（2024北京石景山高二下期末）已知函數(shù).(1)求證：當時，；(2)當時，若曲線在曲線的上方，求實數(shù)a的取值范圍.9．（2024北京海淀高二下期末）已知(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)已知有兩個極值點，且滿足，求的值；(3)在(2)的條件下，若在上恒成立，求的取值范圍．10．（2024北京房山高二下期末）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對于任意的，有，求的取值范圍.11．（2024北京通州高二下期末）已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線的斜率為1，求曲線在點處的切線方程；(2)定義：若，均有，則稱函數(shù)為函數(shù)的控制函數(shù)．①，試問是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”？并說明理由；②，若為函數(shù)的“控制函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．12．（2024北京石景山高二下期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若對都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．13．（2024北京順義高二下期末）已知函數(shù).(1)求在點處的切線方程；(2)當時，求在區(qū)間上的最大值.14．（2024北京西城高二下期末）函數(shù)，其中．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間[0，3]上有兩個零點，求m的取值范圍．15．（2024北京昌平高二下期末）設(shè)函數(shù).(1)若，求曲線y=fx在點處的切線方程；(2)若在處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍；(3)若對任意的x∈R，恒成立，直接寫出實數(shù)的范圍.16．（2024北京順義高二下期末）已知函數(shù)，設(shè).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上存在極小值m，（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：．17．（2024北京懷柔高二下期末）已知函數(shù)，其中(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當曲線在點處的切線與直線垂直時，若函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方，則的取值范圍．18．（2024北京懷柔高二下期末）設(shè)函數(shù)，(1)求曲線y=在點（0，）處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；(3)若方程在有三個不同的根，求的取值范圍．19．（2024北京昌平高二下期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（2024北京東城高二下期末）已知函數(shù).(1)當時，求的極值；(2)若對任意，有恒成立，求的取值范圍；(3)證明：若在區(qū)間上存在唯一零點，則（其中）.21．（2024北京第二中學高二下期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若的極大值為，求的值；(3)當時，若，使得，求的取值范圍．22．（2024北京延慶高二下期末）求下列函數(shù)的導函數(shù).(1)；(2)；(3)；(4).23．（2024北京西城高二下期末）為冷卻生產(chǎn)出來的工件，某工廠需要建造一個無蓋的長方體水池，要求該水池的底面是正方形，且水池最大儲水量為．已知水池底面的造價為，側(cè)面的造價為．（注：銜接處材料損耗忽略不計）(1)把水池的造價S（單位：元）表示為水池底面邊長x（單位：m）的函數(shù)；(2)為使水池的總造價最低，應(yīng)如何確定水池底面的邊長？24．（2024北京朝陽高二下期末）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)的極小值為，求a的值.25．（2024北京大興高二下期末）已知函數(shù)，．(1)若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)已知，當，試比較與的大小，并說明理由．26．（2024北京延慶高二下期末）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；(3)求的零點個數(shù)．27．（2024北京西城高二下期末）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)的極小值為0，求a的值；(3)在（2）的條件下，若對任意的，成立，求實數(shù)k的最小值28．（2024北京朝陽高二下期末）設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.若函數(shù)滿足（為函數(shù)的定義域），當時恒成立，則稱為函數(shù)的“點”，已知.(1)若直線l斜率為，（i）求及直線l的方程；（ii）記，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求證：函數(shù)有且只有一個“T點”.29．（2024北京大興高二下期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的零點個數(shù)．30．（2024北京第二中學高二下期末）已知函數(shù)．(1)證明：在上單調(diào)遞減；(2)若函數(shù)（為的導函數(shù)），且單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．31．（2024北京人大附中朝陽學校高二下期末）已知函數(shù)．(1)若在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當時，判斷0是否為函數(shù)的極值點，并說明理由；(3)若存在三個實數(shù)，滿足，求實數(shù)a的取值范圍．32．（2024北京人大附中朝陽學校高二下期末）已知函數(shù)（，為正實數(shù)）．（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍．

參考答案1．(1)增區(qū)間是，減區(qū)間是(2)【分析】（1）先求出，由題意得求出，檢驗可得；（2）先將“不等式恒成立”問題等價轉(zhuǎn)化為“恒成立”問題，再構(gòu)造函數(shù)，由與，分三類探究即可.【詳解】（1），由，函數(shù)定義域為.則，∵在處取得極值，∴，設(shè)，則在單調(diào)遞減，至多一個實數(shù)根，又，方程有且僅有一個實數(shù)根.當時，，其中.，，當時，，則，在單調(diào)遞增；當時，，則，在單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，極大值為.故的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）由（1）知，當時，在處取最大值，且最大值為，即任意時，都有，滿足題意.由，得，令，則，不等式轉(zhuǎn)化為，即在恒成立.設(shè)，其中，，其中，①當時，且，故存在，使，由在單調(diào)遞減，則當時，，在單調(diào)遞減，所以，故不滿足恒成立，即不合題意；②當時，且，故存在，使，由在單調(diào)遞減，則當時，，在單調(diào)遞增，所以，故不滿足恒成立，即不合題意；綜上所述，若對于任意，都有，則.【點睛】已知不等式恒成立求參數(shù)問題，我們可以先取定義域內(nèi)的一個或幾個特殊點探路.如題目第（2）問中得到，由恒成立，考慮，再借助與的大小分類討論求解即可.2．(1)(2)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義列式計算即得.（2）利用（1）的結(jié)論，利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）依題意，，又，則，解得，所以.（2）由（1）知，的定義域為R，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.3．(1)在上單調(diào)遞增，證明見解析；(2)一個.【分析】（1）先判斷單調(diào)性，再求導函數(shù)根據(jù)導函數(shù)正負證明函數(shù)單調(diào)性；（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及極值結(jié)合零點存在定理得出零點個數(shù).【詳解】（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：因為，所以，又因為，從而，所以，所以在上單調(diào)遞增．（2）由(1)知：，因為x∈0,+令，得．與f′x在區(qū)間0,+f0+極小因為，，所以由零點存在定理及單調(diào)性可知，在0,+∞上恰有一個零點．4．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由在上恒成立可得，再由導數(shù)確定的單調(diào)性與最值后可得參數(shù)范圍；（2）利用導數(shù)求得的最大值，由這個最大值小球0可得證，為此需要對的零點進行定性確定，然后利用的性質(zhì)寫明．【詳解】（1）由已知得，設(shè)，，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以時，恒成立．因為時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為，即．當時，符合題意．所以．（2）當時，，，則．設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．因為，，所以，使得，即．當變化時，，，的變化如下表：＋0－＋0－單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的最大值為．因為，所以，，所以，故．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式，一般可利用導數(shù)求得最大值，再由證得結(jié)論，此類題這里有一個難點，即的不易求得，我們可以進行定性分析，即證明存在，使得，利用此等式可化簡并證明出結(jié)論成立．5．(1)；(2)答案見解析；(3)當時，無零點；當時，有1個零點.【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導數(shù)，探討單調(diào)性求出最小值.（2）求出函數(shù)的導數(shù)，按導數(shù)的零點分布情況分類討論求出單調(diào)區(qū)間.（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，借助單調(diào)性確定最值、極值情況，并結(jié)合零點存在性性定理確定零點個數(shù).【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當時，，求導得，而，則當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值為.（2）函數(shù)的定義域為，求導得，當時，，則當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，令，解得，，①當，即時，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當，即時，由，得或，由，得，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當，即時，恒成立，函數(shù)上上單調(diào)遞增；④當，即時，由，得或，由，得，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，.（3）由（2）知，當時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，因此函數(shù)無零點；當時，函數(shù)在上遞減，在，上遞增，當時，取得極小值，當時，取得極大值，而從大于0的方向趨近于0時，趨近于負無窮大，因此有唯一零點；當時，函數(shù)在上遞增，，因此有唯一零點；當時，函數(shù)在，上遞增，在遞減，當時，取得極在值，當時，取得極小值，而趨近于正無窮大時，趨近于正無窮大，因此有唯一零點；所以當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)有唯一零點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：導數(shù)問題往往涉及到分類討論，分類討論標準的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導數(shù)是否有零點、零點存在時零點是否在給定的范圍內(nèi)及零點在給定范圍內(nèi)時兩個零點的大小關(guān)系來分層討論.6．(1)是函數(shù)的極小值點；是函數(shù)的極大值點.(2)最大值.【分析】（1）先求導函數(shù)再根據(jù)導函數(shù)正負得出函數(shù)的極值；（2）先根據(jù)極小值求出a，再根據(jù)極值及邊界值求最大值即可.【詳解】（1），

令，得或.

f′x，f00遞減a遞增遞減所以是函數(shù)的極小值點；是函數(shù)的極大值點.（2）因為的極小值為，即解得，又，

.所以當時，取得最大值.7．(1)；(2)極小值為，極大值為．【分析】（1）求導，利用導數(shù)值求解斜率，由點斜式即可求解直線方程，（2）由導數(shù)確定單調(diào)性即可解極值.【詳解】（1）由已知得，所以．因為，所以切點為，故曲線在點處的切線方程為．（2）由（1）知，，．令，得，令，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．所以有極小值為，極大值為．8．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）構(gòu)造，求導可得，分析的符號可得的單調(diào)性，從而可證明；（2）當時，由（1）知，滿足題意.令，求導，分與討論即可求解.【詳解】（1）令，.由得，于是，故函數(shù)是上的增函數(shù).所以當時，，即；（2）當時，由（1）知，滿足題意.令，則.當時，若，，則在上是減函數(shù).所以時，，不合題意.當時，，則在上是減函數(shù)，所以，不合題意.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍.9．(1)(2)(3)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導，由極值點的定義可知方程有兩個不等正根，再根據(jù)整理得，利用韋達定理代入即可求解；（3）令，利用導函數(shù)求的單調(diào)性證明在上恒成立即可.【詳解】（1）當時，，所以，所以．所以曲線在點處的切線方程為．（2）因為，所以，因為有兩個極值點，所以有兩個大于0的變號零點，所以方程有兩個不等正根，所以，解得，又因為，即有，整理得，代入，可得，解得，又因為，所以可得，經(jīng)檢驗，符合題意．（3）由(2)可知且，從而，因為在上恒成立，令，則有在上恒成立，易得，因為，所以，令，對稱軸，①當時，，所以在單調(diào)遞增，從而恒成立，所以在也恒成立，所以在單調(diào)遞增，從而恒成立．②當時，，所以有兩個不等實根（不妨設(shè)），所以，且當時，，從而，所以在上單調(diào)遞減，所以，與“在上恒成立”矛盾，綜上，的取值范圍是．【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)最值之間的比較，列出不等式關(guān)系求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；4、若參變分離不易求解，考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.10．(1)(2)當時，在和上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在和上遞減，在上遞增.(3)【分析】（1）直接計算導數(shù)，并利用導數(shù)的定義即可；（2）對分情況判斷的正負，即可得到的單調(diào)區(qū)間；（3）對和兩種情況分類討論，即可得到的取值范圍.【詳解】（1）由，知.所以當時，有，.故曲線在處的切線經(jīng)過，且斜率為，所以其方程為，即.（2）當時，對有，對有，故在和上遞減，在上遞增；當時，對有，故在上遞增；當時，對有，對有，故在和上遞減，在上遞增.綜上，當時，在和上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在和上遞減，在上遞增.（3）我們有.當時，由于，，故根據(jù)（2）的結(jié)果知在上遞增.故對任意的，都有，滿足條件；當時，由于，故.所以原結(jié)論對不成立，不滿足條件.綜上，的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對進行恰當?shù)姆诸愑懻摚娇傻玫剿蟮慕Y(jié)果.11．(1)切線方程為，(2)①是“控制函數(shù)”，理由見解析；②【分析】（1）根據(jù)斜率求出切點坐標，再由直線的點斜式方程可得答案；（2）①由得，根據(jù)的范圍可得答案；②轉(zhuǎn)化為，恒成立，令求出在的最值可得答案.【詳解】（1），所以，解得或，可得切點坐標為，或，所以曲線在點處的切線方程為，曲線在點處的切線方程為；（2）①，是“控制函數(shù)”，理由如下，由得，可得，，因為時，恒成立，即恒成立，所以函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”；②，若為函數(shù)的“控制函數(shù)”，則，恒成立，即，恒成立，令，，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在有極小值，，，所以.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.12．(1)極大值；極小值(2)【分析】（1）對函數(shù)求導，結(jié)合函數(shù)極值的定義即可求解；（2）只需求出不等式左邊的最小值即可，結(jié)合導數(shù)與最值的關(guān)系即可得解.【詳解】（1）由，得.

令得或.當變化時，在各區(qū)間上的正負，以及的單調(diào)性如下表所示：＋0－0＋↗極大↘極小↗所以當時取極大值；當時取極小值.（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值為.對都有恒成立，所以.13．(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出切點坐標，利用導數(shù)求出切線斜率，再用點斜式寫出切線方程，從而得解；（2）求出在區(qū)間上的端點函數(shù)值以及極值，比較大小，分類討論，得到最大值.【詳解】（1）∵,∴..∴在處的切線方程為，即.（2）由（Ⅰ）可知.令，可得或.當變化時，與的變化情況如下表所示.x01-0+1單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增a+2∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當，即時，.當，即時，.所以當時，的最大值為1；當時，的最大值為.14．(1)為單調(diào)增區(qū)間，為單調(diào)減區(qū)間；(2)【分析】（1）先求導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)正負判斷單調(diào)區(qū)間；（2）先移項把兩個零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有兩個交點即可求解.【詳解】（1）當在上單調(diào)遞增；當在上單調(diào)遞減；所以fx的增區(qū)間為，減區(qū)間為1,+∞（2）有兩個零點，所以有兩個根，設(shè),單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又因為由題知，與有兩個交點，所以,即.15．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）對函數(shù)求導后，分和討論導數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可求出函數(shù)的極值點；（3）由（2）可知當時，滿足題意.【詳解】（1）若，則，所以所以曲線在點處的切線方程為.（2），..①若，，當時，,單調(diào)遞減，當時，,單調(diào)遞增，所以在處取得極小值.②若，令,得或.若，即.當變化時，與的變化如下表：遞增極大值遞減極小值遞增所以在，是增函數(shù)，在上是減函數(shù).所以在處取得極小值.若,即,當時，，所以，單調(diào)遞增．所以不是的極小值點．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是（3）由（2）可知，當時，在上遞減，在上遞增，所以，所以對任意的，恒成立，所以滿足題意，當時，在，是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，當時，，所以，所以對任意的，恒成立，不可能為真，當時，在上遞增，則，綜上，，即實數(shù)的范圍為【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)解決函數(shù)極值點問題，考查利用導數(shù)解決不等式恒成問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是分類討論，考查分類討論思想和計算能力，屬于較難題.16．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)（ii）；（ii）證明見解析【分析】（1）先求導數(shù)得到，然后再一次利用求導得出單調(diào)區(qū)間；（2）（i）法一：分類討論：時無極值，時，有極大值，再一次分類討論：極大值小于0，極大值大于0，最后得出符合題意的范圍；法二：先求出的最大值，根據(jù)最大值大于0，和小于0分類討論，最后得出符合題意的范圍；（ii）由（i）寫出m的解析式，構(gòu)造二次函數(shù)即可得證.【詳解】（1）若，則，.所以，則.令，即，解得;令，即，解得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（?。┓ㄒ唬阂驗?，所以.易知在上單調(diào)遞減，.當即時，，在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以無極值.當即時，由可得.當變化時，與的變化情況如下表所示.x(0,ln(2a))ln(2a)(ln(2a),+∞)h’(x)+0h(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時，有極大值.①當即時，，在上單調(diào)遞減.所以無極值.②當即時，因為，所以在上有且只有一個零點，記為.當變化時，與的變化情況如下表所示.x(0,x0)x0(x0,ln(2a))0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，當時，有極小值.法二：.令，則當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，①當，即時，在上單調(diào)遞減，所以無極值.②當，即時，當且時，.又，使.所以當時，即在上單調(diào)遞減.當時，即在上單調(diào)遞增.當時，有極小值.有極小值時，的取值范圍是.（ⅱ）由（i）知，...,.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問中（i）的關(guān)鍵在于處理好導函數(shù)的單調(diào)性或最值問題，從而影響原函數(shù)的極值情況，要保證原函數(shù)有極小值，只需要確保導函數(shù)有變號零點，且導函數(shù)在零點附近是遞增的即可.17．(1)答案見解析(2)【分析】（1）由題意，對函數(shù)進行求導，分別討論當和這兩種情況，進而根據(jù)導函數(shù)符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)的幾何性質(zhì)求出，設(shè)出切點坐標，構(gòu)造函數(shù)，得到切點坐標，進而可得的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以函數(shù)的定義域為當時，對任意的恒成立，所以函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，令，得舍負，—極小值所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為．綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2），曲線在點的切線與直線垂直，，是一條過原點的直線，假設(shè)直線與曲線相切，設(shè)切點坐標，則

所以，令

則恒成立，在單調(diào)遞增，，所以有且僅有一解，即切點坐標，當直線與曲線相切時，切點

，此時直線的斜率為1，即，所以當函數(shù)的圖象總在圖象的上方時，【點睛】利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：1.對原函數(shù)求導；2.判斷導函數(shù)的符號；3.根據(jù)導函數(shù)符號判斷單調(diào)性.18．(1)(2)最大值為10；最小值為(3)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程求解.（2）根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求出區(qū)間端點處的函數(shù)值、極值進行比較.（3）利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及求出函數(shù)的極值、最值，把函數(shù)的根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題.【詳解】（1）代入得到，即切點坐標（0，1）由，得．

-所以曲線y=在點（0，）處的切線方程為.（2）由，得．令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：-4-31（1，3）3↗10↘↗10所以在區(qū)間上，當x=-3或x=3時，最大值為10；當x=1時，最小值為．（3）若方程在上有三個不同的根，可得y=的圖象與直線y=有3個交點由（2）可知：-3（-3，1）1↗10↘↗又當；當所以時，方程有三個不同根．

-19．(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；(2)【分析】（1）求導，直接利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可；（2）由（1）的結(jié)論可得在上的單調(diào)性，求出函數(shù)在上的最大值，即可求解的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以，令，即，解得或，且當時，，當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；（2）由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；且，，所以在上的最大值為，因為關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，即，所以，所以的取值范圍為．20．(1)極小值為，無極大值(2)(3)證明見解析【分析】（1）直接通過求導判斷單調(diào)性，從而求得極值；（2）對和分類討論，當時由知條件不滿足，當時可通過求導得到單調(diào)性，推知條件滿足，從而得到的取值范圍是；（3）由條件可直接得到，然后通過導數(shù)判斷在上的單調(diào)性，再證明，即可通過反證法得到結(jié)論.【詳解】（1）當時，，從而.故對有，對有.所以在上遞減，在上遞增.從而有唯一的極值點，且是極小值點，對應(yīng)極小值為f1=0，無極大值.（2）由，知.若，則.而對有，所以在上遞減.故，從而對不成立，不滿足條件；若，則對有，所以在上遞增.從而對任意x∈1,+∞，有綜上，的取值范圍是.（3）據(jù)（2）的結(jié)果，當時對x∈1,+∞有，故對有.此即，所以對任意的，在中取就有.回到原題.若在區(qū)間1,+∞上存在唯一零點，根據(jù)（2）的結(jié)果，首先有.此時對有，對有.所以，在上遞減，在上遞增.而f1=0，故1,+∞上的零點滿足由于，而對任意的，都有，取，就有，從而.所以.假設(shè)，由及有，所以.由在上遞增，且，即可從，推知.但這與是的零點矛盾，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于在小問（3）中，適當使用小問（2）的結(jié)論，進行進一步的拓展或適當?shù)睦?，從而證得小問（3）所求的結(jié)論.21．(1)(2)(3)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義即可求解切線方程；（2）對函數(shù)求導后，由，得或，然后分，和三種情況討論導數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，使極大值為可求出；（3）將問題轉(zhuǎn)化為在上的值域是在的值域的子集，由（2）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，然后分，和三種情況討論即可.【詳解】（1），則，因為，所以切點即，所以切線為.（2），因為，令，解得或，①當時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，不符合題意；②當時，即時，，在R上單調(diào)遞增，無極大值；③當時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，，符合題意．綜上所述，．（3）由題意得當時，在上的值域是在的值域的子集，由（2）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，，當時，，①當時，即時，當時，單調(diào)遞增，，又因為當時，，因為，所以當時，使得，②當時，即時，當時，單調(diào)遞增，，當時，，若滿足題意，只需，即，③當時，即時，當時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，所以，又因為時，，若滿足題意，只需，即，因為，所以，所以無解，所以不合題意綜上，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題第（3）問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化問題為當時，在上的值域是在的值域的子集，進一步轉(zhuǎn)化求函數(shù)的值域問題，從而得解.22．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用求導法則求導即得；（2）利用分式函數(shù)的求導法則求導即得；（3）利用分式函數(shù)的求導法則求導即得；（4）利用復合函數(shù)的求導法則求導即得.【詳解】（1）（2）（3）（4）23．(1)(2)為使水池的總造價最低，應(yīng)確定水池底面的邊長為2m【分析】（1）根據(jù)題意求出長方體水池高，據(jù)此即可求解；（2）利用導數(shù)即可求解.【詳解】（1）因為水池底面邊長，所以長方體水池高為，所以；（2）令，所以，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，所以為使水池的總造價最低，應(yīng)確定水池底面的邊長為.24．(1)答案見解析(2)或【分析】（1）先進行求導運算，再根據(jù)導數(shù)情況對進行分類討論導數(shù)正負即可得到函數(shù)的單調(diào)性.（2）由（1）的單調(diào)性可得函數(shù)的極小值，進而可求出a的值.【詳解】（1）由題函數(shù)定義域為，，所以當時，若，；，；故此時函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，若，；，；故此時函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.（2）由（1）當時，函數(shù)的極小值為，，符合；當時，函數(shù)的極小值為，，符合.故a的值為或.25．(1)(2)答案見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)極值點定義可構(gòu)造方程求得，再檢驗即可；（2）分別在和兩種情況下，根據(jù)導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）令，可求得；令，利用導數(shù)和零點存在定理可確定?x即的正負，從而得到Fx的單調(diào)性和最值，通過最值可知，進而得到大小關(guān)系.【詳解】（1）因為，所以，是的極值點，，解得，經(jīng)檢驗符合題意；（2）函數(shù)定義域為0,+∞，，當時，f′x>0恒成立，所以在0,+∴fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+當時，令，解得，當時，f′x>0；當時，f′∴fx的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）令，則，令，則，函數(shù)?x在0,+∞又，，存在唯一零點，使得，當時，?x<0；當時，?x>0當時，；當時，；函數(shù)Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，即，，，在0,+∞上恒成立.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)?x（3）利用導數(shù)研究?x（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．26．(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在有解，則在有解，即可求解；（3）令，將問題轉(zhuǎn)化為與交點的個數(shù)，利用導數(shù)研究的大致圖象，即可求解.【詳解】（1）當時，，則，故，，在點處的切線方程為，即（2），當時，在單調(diào)遞增，此時無極值點，當時，令或，要使得在上存在極值，則需要，解得（3）令，令，則，記，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，且，當時，，而當時，，作出的大致圖象如下：故當時，無零點；當或時，一個零點；當時，兩個零點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是參變分離得到，令，，從而轉(zhuǎn)化為與交點的個數(shù)27．(1)(2)(3)1【分析】（1）求導，即可根據(jù)點斜式求解切線方程，（2）求導，根據(jù)導函數(shù)的正負確定原函數(shù)單調(diào)性，即可由極值求解，（3）將問題轉(zhuǎn)化為對任意的，，構(gòu)造函數(shù)，即可結(jié)合分類討論求解函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）當時，，則，故，又，故y=fx在點處的切線方程為（2），故當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故當時，取極小值，故，故（3）由（2）知，故，故對任意的，成立，只需要對任意的，，記，則，①時，此時，故當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故當時，取極小值也是最小值，故，不符合題意，②當時，此時，故當時，，單調(diào)遞增，故，符合題意，③當時，此時，故當時，，單調(diào)遞減，故，不符合題意，④當時，故當時，，單調(diào)遞減，故，不符合題意，綜上可得，所以實數(shù)的最小值為12.28．(1)（i）；，（ii）在上單調(diào)遞減(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切點和切線方程，求導，分析函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）先把“點”定義轉(zhuǎn)化為：當x∈0,x0時，；當x∈x0,+∞【詳解】（1）（i）由題意：，，由，得：.所以切點為所以切線方程為：即.（ii），，所以恒成立，所以，F(xiàn)x在上單調(diào)遞減.（2）當時，恒成立等價于：當x∈0,x0時，；當x∈x因為，，，所以在點x0,fx0