第1頁/共1頁2024北京重點(diǎn)校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編數(shù)列章節(jié)綜合（非選擇題）一、填空題1．（2024北京海淀高二下期末）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，則；的最小值為.2．（2024北京石景山高二下期末）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則.3．（2024北京海淀高二下期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，當(dāng)時(shí)，．給出下列四個(gè)結(jié)論:①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，恒成立；④當(dāng)時(shí)，從第三項(xiàng)起為遞增數(shù)列．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為．4．（2024北京海淀高二下期末）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，若，則．5．（2024北京房山高二下期末）設(shè)無窮數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若是單調(diào)遞減數(shù)列，則的一個(gè)取值為.6．（2024北京順義高二下期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則；前項(xiàng)積的最小值為.7．（2024北京懷柔高二下期末）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形．例如圖（1）是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，將每邊3等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得到圖（2），如此繼續(xù)下去，得到圖（3），則第三個(gè)圖形的邊數(shù)；第個(gè)圖形的周長(zhǎng)．

8．（2024北京懷柔高二下期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則下列各項(xiàng)說法正確的是．(填寫所有正確選項(xiàng)的序號(hào))①當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和；②若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則；③，數(shù)列的前n項(xiàng)積既有最大值又有最小值；④若恒成立，則．9．（2024北京懷柔高二下期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則；前項(xiàng)和的最大值為．10．（2024北京昌平高二下期末）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中對(duì)于同余問題給出了較完整的解法，即“大衍求一術(shù)”，也稱“中國(guó)剩余定理”．現(xiàn)有問題：將正整數(shù)中，被2除余1且被3除余2的數(shù)，按由小到大的順序排成一列，則此列數(shù)中第10項(xiàng)為.11．（2024北京延慶高二下期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足，其中常數(shù).給出下列四個(gè)判斷：①若，，則；②若，則；③若，，則；④，不存在實(shí)數(shù)，使得.其中所有正確判斷的序號(hào)是．12．（2024北京西城高二下期末）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且．則；使得成立的n的最小值為．13．（2024北京昌平高二下期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.數(shù)列的前項(xiàng)和為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③使成立的的最大值為4048；④當(dāng)時(shí)，取得最小值.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.二、解答題14．（2024北京海淀高二下期末）已知數(shù)列滿足，集合．設(shè)中有個(gè)元素，從小到大排列依次為(1)若，請(qǐng)直接寫出；(2)若，求；(3)若，求的最小值15．（2024北京房山高二下期末）若數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有，則稱是“數(shù)列”．(1)若，，判斷，是否是“數(shù)列”；(2)已知是等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和記為，若是“數(shù)列”，且恒成立，求公差的取值范圍；(3)已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，，記，若是“數(shù)列”，不是“數(shù)列”，是“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．16．（2024北京石景山高二下期末）若數(shù)列對(duì)任意的，均滿足，則稱為“速增數(shù)列”.(1)已知數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)k的最大值.17．（2024北京石景山高二下期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和．條件①，條件②，條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（2024北京順義高二下期末）若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列．記.(1)若數(shù)列滿足，直接寫出所能取到的最大值和最小值；(2)若數(shù)列滿足，求證：存在，使得；(3)若數(shù)列滿足，求所能取到的最大值（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）.19．（2024北京西城高二下期末）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且對(duì)于任意都有成立．(1)寫出，的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值．20．（2024北京順義高二下期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足=8，，設(shè).(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值．21．（2024北京懷柔高二下期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列其前項(xiàng)和為，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前項(xiàng)和.條件①：；條件②：；條件③：且都有成立，.22．（2024北京懷柔高二下期末）已知數(shù)集（），若對(duì)任意的（），與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．(1)分別判斷數(shù)集B=與數(shù)集C=是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若數(shù)集A具有性質(zhì)P．①當(dāng)時(shí)，證明，且成等比數(shù)列；②證明：．23．（2024北京西城高二下期末）設(shè)和均為各項(xiàng)互不相等的N項(xiàng)數(shù)列，其中，．記數(shù)列C：，，…，，其中，．(1)寫出所有滿足條件的數(shù)列和，使得數(shù)列；(2)若，C是公差不為0的等差數(shù)列，求證：為定值；(3)若C為各項(xiàng)互不相等的數(shù)列，記C中最大的數(shù)為P，最小的數(shù)為Q，求的最小值．24．（2024北京昌平高二下期末）已知無窮數(shù)列，給出以下定義：對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；特別地，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”.(1)已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，，試判斷數(shù)列，數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)證明：數(shù)列為“數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，，，當(dāng)時(shí)，有”；(3)已知數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”，且對(duì)任意的，，，.求數(shù)列的最小項(xiàng)的最大值.25．（2024北京昌平高二下期末）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.26．（2024北京東城高二下期末）已知項(xiàng)數(shù)列，滿足對(duì)任意的有.變換滿足對(duì)任意，有，且對(duì)有，稱數(shù)列是數(shù)列的一個(gè)排列.對(duì)任意，記，，如果是滿足的最小正整數(shù)，則稱數(shù)列存在階逆序排列，稱是的階逆序變換.(1)已知數(shù)列，數(shù)列，求，；(2)證明：對(duì)于項(xiàng)數(shù)列，不存在階逆序變換；(3)若項(xiàng)數(shù)列存在階逆序變換，求的最小值.27．（2024北京育英學(xué)校高二下期末）設(shè)為正整數(shù)，集合．對(duì)于集合中的任意元素和，定義，，以及．(1)若，，，，求；(2)若，均為中的元素，且，，求的最大值；(3)若均為中的元素，其中，，且滿足，求的最小值．28．（2024北京第十二中學(xué)高二下期末）已知在等差數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．29．（2024北京房山高二下期末）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.30．（2024北京延慶高二下期末）有窮數(shù)列{}共m項(xiàng)()．其各項(xiàng)均為整數(shù)，任意兩項(xiàng)均不相等．，．(1)若{}：0，1，．求的取值范圍；(2)若，當(dāng)取最小值時(shí)，求的最大值；(3)若，，求m的所有可能取值．

參考答案1．【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列求出，進(jìn)而求出及其的最小值.【詳解】由，得，而，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；2．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義得到，然后利用已知項(xiàng)的值即可得到結(jié)果.【詳解】由是等比數(shù)列，知.所以.故答案為：.3．①③④【分析】根據(jù)遞推關(guān)系即可判斷①②③，用利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷④.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以或，若，則，與題意矛盾，所以，因?yàn)?，所以或，若，則，與題意矛盾，所以，所以①正確；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，，所以是以為周期的周期數(shù)列，所以，所以②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，因?yàn)?，，所以，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，但因?yàn)?，所以取不到等?hào)，所以，所以③正確；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，因?yàn)?，，所以，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，但因?yàn)?，所以取不到等?hào)，所以，又因?yàn)椋?，則，當(dāng)，由的函數(shù)性質(zhì)，由圖可知，當(dāng)，有，所以從第二項(xiàng)開始為遞減數(shù)列，當(dāng)且增大時(shí)，遞減，遞增，所以從第三項(xiàng)起為遞增數(shù)列，所以④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題給出與的混合關(guān)系式，用進(jìn)行轉(zhuǎn)化，本題第四問是難點(diǎn)，四層遞進(jìn)，最后利用函數(shù)思想，確定的單調(diào)性．4．【分析】將化為，然后利用等比數(shù)的求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)閿?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：5．（答案不唯一，即可）【分析】根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性，可得，解不等式可得的取值范圍.【詳解】由可得，又是單調(diào)遞減數(shù)列，可得，即，整理得恒成立，即恒成立，∴，又因?yàn)椋?，即取值范圍為，故答案為：（答案不唯一，即可?．8/0.015625【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而可得，令，運(yùn)算求解即可得的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得：，解得，可得，所以；令，解得，所以的最小值為.故答案為：8；.7．48【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，尋找規(guī)律，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】由題知，下個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)圖形的，邊數(shù)是上一個(gè)圖形4倍，因?yàn)榈?個(gè)圖形的邊數(shù)3，所以第2個(gè)圖形的邊數(shù)12，第3個(gè)圖形的邊數(shù)48.設(shè)第個(gè)圖形的周長(zhǎng)為，則周長(zhǎng)之間的關(guān)系為，所以數(shù)列是首先為3，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：48；.8．①④【分析】對(duì)于①，利用裂項(xiàng)相消求和法求解判斷，對(duì)于②，由求解的范圍，對(duì)于③，舉例判斷，對(duì)于④，由題意得，利用基本不等式求出的最小值即可.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以①正確，對(duì)于②，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以②錯(cuò)誤，對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的前n項(xiàng)積沒有最大值，所以③錯(cuò)誤，對(duì)于④，由，得，得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2，所以，所以④正確.故答案為：①④9．16【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用即可求得，從而求得，從二次函數(shù)的角度思考，可求出的最大值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，的最大值為,故答案為：，16.10．59【分析】被2除余1且被3除余2的數(shù)構(gòu)成公差為6的等差數(shù)列，由此即可得．【詳解】依題意，設(shè)a滿足被2除余1且被3除余2，則a加上2和3的最小公倍數(shù)6的整數(shù)倍后也能滿足被2除余1且被3除余2．設(shè)被2除余1且被3除余2的數(shù)由小到大排列而成的數(shù)列為，由于被2除余1且被3除余2的最小正整數(shù)為5，則是首項(xiàng)為5，公差為6的等差數(shù)列，所以故答案為：59．11．②③【分析】①直接取即可否定；②通過推得，利用累加法求得的范圍；③運(yùn)用反證法思想，假設(shè)，導(dǎo)出矛盾，說明原命題正確；④取，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性來確定其成立.【詳解】對(duì)于①，若，，則，當(dāng)時(shí)，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②當(dāng)時(shí)，，解得，又，則，由可得，即，因，則，故得，故當(dāng)時(shí)，故得，即②正確；對(duì)于③，若，，，假設(shè)，則，這與矛盾，故有，即③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，不妨取，則，此時(shí)，若成立，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，即在的前提下，必成立，即存在實(shí)數(shù)，使得，即④錯(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查與數(shù)列遞推公式有關(guān)的不等式判斷問題，屬于難題.解題的主要方法即通過賦值，舉例，還有反證法思路以及數(shù)學(xué)歸納法對(duì)結(jié)論進(jìn)行確定或排除.12．【分析】首先賦值求得，再利用數(shù)列的周期，討論，利用周期性求和，即可求解.【詳解】由，令，得，又，，所以；由，得，所以，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，，如果是3的倍數(shù)，設(shè)，，，得，所以最小的為203，此時(shí)，若，，，得，所以的最小值為，此時(shí)，若，，，得，所以的最小值為，此時(shí)，所以使成立的的最小值為.故答案為：；13．①②④【分析】由與的關(guān)系即可判斷①；由等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷②③；由數(shù)列的正負(fù)規(guī)律即可判斷④.【詳解】，，所以，故①正確；因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，公差，所以，因?yàn)?，所以，由，所以，即，故②正確；因?yàn)?，，所以成立的的最大值為，故③不正確；因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題的一般方法有以下兩類：（1）先求出數(shù)列的前項(xiàng)和，再通過的符號(hào)研究數(shù)列的單調(diào)性求最值，或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求解；（2）不求數(shù)列的前項(xiàng)和，通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的符號(hào)變化規(guī)律找到所有的正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，如：利用條件來找最大時(shí)可能的項(xiàng)數(shù)，利用條件來找最小時(shí)可能的項(xiàng)數(shù)，需要注意的是，由于首項(xiàng)的特殊性（無前一項(xiàng)），最值也可能在處就取到.14．(1)；(2)160；(3)．【分析】（1）由題意可求得，從而可求出；（2）由題意可得，然后可依次求出，從而可求出；（3）先證明：，方法一：考慮從這個(gè)數(shù)中任取2個(gè)求和，這些和都不小于，方法二：利用反證法，假設(shè)，則，然后推理證明；然后，證明存在符合要求的數(shù)列，構(gòu)造，分析判斷即可.【詳解】（1）由題意可知，所以可知，所以，所以．（2）因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以依次為，，，，，…所以．（3）．先證明：．方法1：考慮從這個(gè)數(shù)中任取2個(gè)求和，這些和都不小于，因?yàn)?，所以，從而，因?yàn)椋?，即．方?：假設(shè)，則．則，因?yàn)闈M足的必要條件是（因?yàn)槿?，則，不等式不成立），所以小于的和式至多有以下情況：；；……；共，不合題意．其次，證明存在符合要求的數(shù)列．構(gòu)造：令．顯然滿足，且．此時(shí)，，故．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.15．(1)數(shù)列是“數(shù)列”；數(shù)列不是“數(shù)列”；(2)(3)或【分析】（1）直接根據(jù)“數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）由是等差數(shù)列結(jié)合是“數(shù)列”可知公差，結(jié)合等差數(shù)列求和公式用含的式子表示，進(jìn)一步結(jié)合恒成立即可求解；（3）由“數(shù)列”的每一項(xiàng)（）均為正整數(shù)，可得且，進(jìn)一步可得單調(diào)遞增，故將任意性問題轉(zhuǎn)換為與1比較大小關(guān)系可得的范圍，結(jié)合，或，注意此時(shí)我們還要分情況驗(yàn)證是否是“數(shù)列”，從而即可得解.【詳解】（1）對(duì)于數(shù)列而言，若，則,所以數(shù)列是“數(shù)列”；對(duì)于數(shù)列而言，若，則，則數(shù)列不是“數(shù)列”；（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列是“數(shù)列”，所以其公差．因?yàn)?，所以，由題意，得對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立．當(dāng)時(shí)，恒成立，故；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，因?yàn)椋裕缘娜≈捣秶?（3）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，因?yàn)椤皵?shù)列”的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，由得，所以且，因?yàn)椋裕詥握{(diào)遞增，所以在數(shù)列中，“”為最小項(xiàng)，而，從而在數(shù)列中，“”為最小項(xiàng)．因?yàn)槭恰皵?shù)列”，則只需，所以，因?yàn)閿?shù)列不是“數(shù)列”，則，所以，因?yàn)閿?shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，即，所以或，（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，又，所以為遞增數(shù)列，又，所以對(duì)于任意的，都有，即，所以數(shù)列為“數(shù)列”，符合題意．（2）同理可知，當(dāng)時(shí)，，則，令，又，所以為遞增數(shù)列，又，所以對(duì)于任意的，都有，即，所以數(shù)列為“數(shù)列”，符合題意．綜上，或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問的關(guān)鍵是首先將恒成立任意性問題轉(zhuǎn)換為與1比較大小得出的值，回過頭去檢驗(yàn)是否滿足題意即可順利得解.16．(1)數(shù)列是“速增數(shù)列”，理由見解析(2)63【分析】（1）根據(jù)“速增數(shù)列”的定義判斷即可；（2）根據(jù)數(shù)列為“速增數(shù)列”，得可得的答案【詳解】（1）數(shù)列是“速增數(shù)列”，理由如下：由，則，，因?yàn)?，故，所以?shù)列是“速增數(shù)列”；（2）數(shù)列為“速增數(shù)列”，，，，任意項(xiàng)，時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)k的最大值為63.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)“速增數(shù)列”的定義，緊緊圍繞不等式進(jìn)行，當(dāng)時(shí)，利用累加法的思想確定是解題的關(guān)鍵．17．(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）選①②或②③時(shí)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；選①③時(shí)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2），利用裂項(xiàng)相消法即可證明.【詳解】（1）（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，當(dāng)選①②時(shí)：，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選①③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．選②③時(shí)，解得，所以的通項(xiàng)公式，．（2）由（1）知，，所以，所以，因?yàn)?，所?18．(1)最大值是3，最小值是-3(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義即可求解；（2）用反證法證明，假設(shè)任意，.設(shè)是中最后一個(gè)小于零的項(xiàng)（由可知這樣的項(xiàng)存在），并且由，從而推出，推出矛盾即可證明；（3）令，則.從而可得，進(jìn)而推出，由可得中1與的個(gè)數(shù)相等.不妨令，從而，進(jìn)而，進(jìn)而可得，從而利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】（1）所能取到的最大值是3，所能取到的最小值是-3；（2）用反證法，假設(shè)任意，.設(shè)是中最后一個(gè)小于零的項(xiàng)（由可知這樣的項(xiàng)存在），并且由，可知.

由，可知是整數(shù)列，從而，所以，與矛盾.所以假設(shè)不成立，從而存在，使得；（3）令，則.因?yàn)椋?,，所以，根據(jù)可知，注意到，并且中1與的個(gè)數(shù)相等.不妨令，，等號(hào)取到當(dāng)且僅當(dāng).故所能取到的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問中，關(guān)鍵是令，則.從而可得，進(jìn)而推出，由可得中1與的個(gè)數(shù)相等.19．(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用計(jì)算求解后可表示通項(xiàng)公式；（2）先求出通項(xiàng)公式再根據(jù)通項(xiàng)判斷正負(fù)，最后應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和求解確定最值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，所以.（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以的最小值?20．(1)證明見解析(2)6【分析】（1）由等比數(shù)列的基本量法，求出基本量，從而求得通項(xiàng)公式，再求得通項(xiàng)公式，從而得證.（2）從二次函數(shù)的角度理解，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,∵數(shù)列是等比數(shù)列，且，則，∴,∴,∴==2又∵=8,∴,∴∴∴∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差.（2）由(1)知，∵,∴對(duì)稱軸,又，所以取∴時(shí)，最大，最大值為6.21．(1)(2)，【分析】（1）設(shè)出首項(xiàng)和公差，建立方程求解基本量，求出通項(xiàng)公式即可.（2）條件①利用數(shù)列前項(xiàng)和和通項(xiàng)公式的關(guān)系求出，再利用分組求和法求和即可，條件②利用等比數(shù)列的定義求出，再利用分組求和法求和即可，條件③設(shè)出首項(xiàng)和公比，求出，再利用分組求和法求和即可.【詳解】（1）已知等差數(shù)列中，滿足.設(shè)首項(xiàng)為，公差為，得到，解得，（2）選條件①.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，.選條件②，是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，設(shè)的前項(xiàng)和為，.選條件③且都有成立，是等比數(shù)列，且設(shè)公比為，，，(負(fù)根舍去)，是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，設(shè)的前項(xiàng)和為，.22．(1)數(shù)集具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由見解析(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)P的定義帶入數(shù)值判斷即可；（2）①根據(jù)題意分析可得，即可得結(jié)果；②采用構(gòu)造對(duì)應(yīng)的方法構(gòu)造一個(gè)新的相等的集合，對(duì)其元素進(jìn)行排序后對(duì)應(yīng)相等可解.【詳解】（1）數(shù)集具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由如下：因?yàn)椋?，，，，都屬于?shù)集，所以具有性質(zhì)；因?yàn)?，都不屬于?shù)集，所以不具有性質(zhì)．（2）①當(dāng)時(shí)，，．因?yàn)?，所以，，所以與都不屬于A，因此，，所以．因?yàn)?，且，所以，且，所以，所以成等比?shù)列．②因?yàn)榫哂行再|(zhì)，所以，至少有一個(gè)屬于A，因?yàn)?，所以，，因此，．因?yàn)?，所以（），故?dāng)時(shí)，，，（），又因?yàn)?，則，，，，，可得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于新定義題目，必須先看清楚題目是如何定義的，然后依據(jù)定義小心驗(yàn)證自己的理解是否有偏差.題目了解之后再考慮提煉第二問的解決方法，本題采用了構(gòu)造一個(gè)新的集合與原集合相等，得到答案.23．(1)答案見解析(2)證明見解析(3)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最小值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最小值為.【分析】（1）根據(jù)定義分析出，再寫出所有情況即可；（2）記等差數(shù)列的公差為，分析出，則，以分析即可；（3）分為偶數(shù)和為奇數(shù)討論，當(dāng)為偶數(shù)利用反證法得，再討論等號(hào)成立的情況，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)舉例即可.【詳解】（1）顯然，因?yàn)?，根?jù)，，則，，，從而滿足條件的答案有4組，分別為：；；；.（2）記等差數(shù)列的公差為，由，得，則.由，得.因?yàn)椋液途鶠楦黜?xiàng)互不相等的2024項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，即.所以公差.不妨設(shè)公差，則，而只能由1和2024得到，去除兩端的數(shù)后只能由2和2023得到以此類推，于是總為定值2025.（3）由題意，數(shù)列中有個(gè)不同的整數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為個(gè)連續(xù)整數(shù)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若存在數(shù)列，使得，則.由為偶數(shù)，知為奇數(shù)，則不可能為0.這與矛盾，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，如果數(shù)列；數(shù)列；那么數(shù)列，此時(shí)滿足.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，如果數(shù)列；數(shù)列；那么數(shù)列，此時(shí).綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最小值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行分偶數(shù)和奇數(shù)討論，其中當(dāng)為偶數(shù)時(shí)需利用反證法，再討論出等號(hào)成立的情況.24．(1)是為“數(shù)列”，不是為“數(shù)列”；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)等差等比的求和公式可得，，即可利用定義以及作差法求解，（2）利用累加法，結(jié)合放縮法可得，，即可求證必要性，取即可求證充分性，（3）根據(jù)定義可得為單調(diào)遞增數(shù)列，且，進(jìn)而得，即可根據(jù)單調(diào)性得最小值為，結(jié)合放縮法和等差求和公式可得，即可求解.【詳解】（1）由于為等差數(shù)列，所以，為等比數(shù)列，，任意的，都有，故，所以數(shù)列是為“數(shù)列”，任意的，都有，故，所以數(shù)列不是為“數(shù)列”，（2）先證明必要性：因?yàn)闉椤皵?shù)列”，所以對(duì)任意的，都有，即，所以對(duì)任意的，，，當(dāng)時(shí)，有，所以，又，所以，又，故，即，故，再證明充分性：對(duì)于任意的，，，當(dāng)時(shí)，有，即，對(duì)于任意的,，則有，即可，所以為“數(shù)列”，（3）數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”，且對(duì)任意的，有，即，設(shè)，則為單調(diào)遞增數(shù)列，且，所以因?yàn)椋?所以，所以存在時(shí)，，所以，當(dāng)數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)因此存在最小值，且最小值為，由于，所以，且所以，即，，即所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)，因?yàn)?，所以?shù)列的最小項(xiàng)的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由得，利用累加法和放縮法得是證明第（2）問的關(guān)鍵.由，設(shè)，則為單調(diào)遞增數(shù)列，且，由，得存在時(shí)，，所以，當(dāng)數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)是第（3）問的求解關(guān)鍵.25．(1)(2)，【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式；（2）依題意可得，利用分組求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，根據(jù)題意可得，解得或，因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.26．(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）直接根據(jù)定義求解對(duì)應(yīng)的數(shù)列即可；（2）先證明若項(xiàng)數(shù)列存在階逆序變換，則和中必有一個(gè)是的倍數(shù)，再由不滿足該條件，即得結(jié)論；（3）由上面的結(jié)果可知，然后對(duì)構(gòu)造符合條件的階逆序變換即可.【詳解】（1）由于，，故，，，.所以，即.所以，即.所以，即.故，.（2）對(duì)，設(shè)有個(gè)不同的點(diǎn)，若，則在之間畫一個(gè)箭頭.則每個(gè)點(diǎn)恰好發(fā)出一個(gè)箭頭，也恰被一個(gè)箭頭指向，這些箭頭將形成若干互不相交的圈.若各項(xiàng)互不相同的數(shù)列存在階逆序變換，則對(duì)，經(jīng)過三次變換后得到.這意味著和必然位于一個(gè)長(zhǎng)度為的圈中.從而，如果是偶數(shù)，則必定有，故每個(gè)點(diǎn)都位于一個(gè)長(zhǎng)度為的圈中，所以是的倍數(shù)；如果是奇數(shù)，則除以外的點(diǎn)都位于一個(gè)長(zhǎng)度為的圈中，若單獨(dú)作為一個(gè)圈，則是的倍數(shù)，若位于包含其它點(diǎn)的圈中，則是的倍數(shù).但是奇數(shù)，故只可能是：?jiǎn)为?dú)作為一個(gè)圈，是的倍數(shù).綜上，若各項(xiàng)互不相同的數(shù)列存在階逆序變換，則和中必有一個(gè)是的倍數(shù).由于不滿足該條件，故對(duì)于項(xiàng)數(shù)列，不存在階逆序變換；（3）若項(xiàng)數(shù)列存在階逆序變換，根據(jù)（2）的結(jié)果，和中必有一個(gè)是的倍數(shù).而，故.而當(dāng)時(shí)，對(duì)各項(xiàng)互不相同的數(shù)列，構(gòu)造變換，滿足，，，，，.則，，.所以是數(shù)列的階逆序變換.綜上，的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于從階逆序變換的存在性推出和中必有一個(gè)是的倍數(shù)，進(jìn)而可以迅速由條件確定的大致范圍，最后得到結(jié)果.27．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，然后直接根據(jù)定義解得的值即可；（2）根據(jù)已知條件考慮中所有等于的分量的個(gè)數(shù)，得到，再對(duì)構(gòu)造符合條件的例子；（3）直接通過反證法說明不可能成立，然后對(duì)構(gòu)造符合條件的例子.【詳解】（1）設(shè)，則由，，知.所以，得.而，故，從而.所以.（2）由已知有，，這些條件