第1頁/共1頁2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編空間直線、平面的垂直（解答題）一、解答題1．（2024北京豐臺(tái)高一下期末）如圖，在三棱柱中，，，平面平面.(1)求證：；(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，當(dāng)直線與平面所成角為時(shí)，（?。┣笞C：平面平面；（ⅱ）求二面角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.2．（2024北京通州高一下期末）如圖，七面體中，菱形所在平面與矩形交于，平面與平面交于直線．(1)求證：；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，試求當(dāng)為何值時(shí)，平面平面？并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3．（2024北京第八中學(xué)高一下期末）如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，分別是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求證：平面.4．（2024北京通州高一下期末）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)．求證：(1)平面；(2)平面；(3)求三棱錐的體積．5．（2024北京懷柔高一下期末）如圖，已知正方體邊長為2.

(1)證明：平面；(2)證明：；(3)求三棱錐的體積.6．（2024北京順義高一下期末）如圖，在五面體中，底面為正方形，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)求五面體的體積．7．（2024北京順義高一下期末）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)寫出直線與平面所成角的正弦值（只需寫出結(jié)論）．8．（2024北京懷柔高一下期末）如圖1，在中，分別為的中點(diǎn).將沿折起到的位置（與不重合），連，如圖2.

(1)求證：平面平面；(2)若平面與平面交于過的直線，求證；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，指出點(diǎn)位置并證明；若不存在，說明理由.9．（2024北京延慶高一下期末）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，使得平面，并證明.條件①：；條件②：；條件③：三棱錐的體積為.注：如果選擇條件不能使平面得零分.10．（2024北京東城高一下期末）如圖，在四棱錐中，平面，，．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)，的平面與棱交于點(diǎn)，且平面，求的值．11．（2024北京延慶高一下期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為線段上的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求證：平面平面.12．（2024北京西城高一下期末）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)已知，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得三棱柱唯一確定，并求解下列問題：條件①：；條件②：；條件③：．（i）求證：；（ii）求三棱錐的體積．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．13．（2024北京昌平高一下期末）如圖，在幾何體中，側(cè)面是正方形，平面平面，，，.(1)求證：；(2)求證：平面；(3)判斷直線與是否相交，說明理由.14．（2024北京西城高一下期末）如圖（1），在Rt中，分別是上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．15．（2024北京房山高一下期末）如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，，，，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面PAB；(2)線段PC上是否存在點(diǎn)N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，請說明理由．16．（2024北京房山高一下期末）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面BDE．17．（2024北京朝陽高一下期末）如圖1，在中，，，，，分別為，的中點(diǎn)．將沿折起到的位置，得到四棱錐，如圖2．(1)求證：；(2)若M是線段上的點(diǎn)，平面與線段交于點(diǎn)N．再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．使點(diǎn)M唯一確定，并解答問題．（ⅰ）求證：為的中點(diǎn)；（ⅱ）求證：平面．條件①；條件②；條件③．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分，如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（2024北京朝陽高一下期末）如圖，在長方體中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求點(diǎn)到平面的距離．19．（2024北京大興高一下期末）如圖所示，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).求證：(1)平面BCE；(2)平面平面CDE.

參考答案1．(1)證明見解析；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)面面垂直可證線面及線線垂直，進(jìn)而可得線面垂直證明線線垂直；（2）（i）若選①，可證四邊形為矩形，進(jìn)而可得線線垂直，證得面面垂直；若選②，由勾股定理可證，進(jìn)而可證面面垂直；（ii）過作于點(diǎn)，再過作，可得二面角的平面角，再根據(jù)定義法可得二面角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槿庵?，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，所以是菱形，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；?）若選擇條件①：（?。┮?yàn)?，所以平行四邊形為矩形，所以，由?）知，，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；（ⅱ）因?yàn)槠矫?，平面，所以直線與平面所成的角為，所以，因?yàn)?，所以，，，，作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所?作于，連接，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以是二面角的平面?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以二面角的正弦值?若選擇條件②：，因?yàn)?，所以，所以，由?）知，，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；（ⅱ）因?yàn)槠矫?，平面，所以直線與平面所成的角為，所以，因?yàn)椋?，，，，作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所?作于，連接，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以是二面角的平面?因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以二面角的正弦值?2．(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）由于平面，由線面平行的性質(zhì)定理可證；（2）若選①，設(shè)，取的中點(diǎn)，連結(jié)如圖所示，由平面平面，可得平面，從而，進(jìn)一步由，得，假設(shè)平面平面，可得，，從而；若選②，可得平面，可得平面，從而，進(jìn)一步由，得，假設(shè)平面平面，可得，，從而.【詳解】（1）菱形中，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面.；（2）若選①當(dāng)時(shí)，平面平面，設(shè)，取的中點(diǎn)，連結(jié)如圖所示，平面平面，平面平面，矩形中，平面，平面，，同理可得：，，因?yàn)榱庑沃校匦沃?，，，是的中點(diǎn)，，假設(shè)平面平面成立，平面平面，且，平面，平面，，矩形中是的中點(diǎn)，菱形中是的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，是的中點(diǎn)，可知△為等腰直角三角形，，，故當(dāng)時(shí)，平面平面；若選②當(dāng)時(shí)，，矩形中，，平面，平面，矩形中，平面，平面，，同理可得：，，因?yàn)榱庑沃校匦沃?，，，是的中點(diǎn)，，假設(shè)平面平面成立，平面平面，且，平面，平面，，矩形中是的中點(diǎn)，菱形中是的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，是的中點(diǎn)，可知△為等腰直角三角形，，，故當(dāng)時(shí)，平面平面.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問求當(dāng)為何值時(shí)，平面平面，在解析時(shí)先假設(shè)平面平面成立，從而利用面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)一步推理.3．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由平面，得，再根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得證；（2）由證明平面，由證明平面，再由面面平行的判定定理證明平面平面，再由面面平行定義可得線面平行.【詳解】（1）平面平面，，又四邊形是正方形，，且平面，平面，又平面，.（2）分別是線段的中點(diǎn)，，又為正方形，，，又平面平面，平面.分別是線段的中點(diǎn)，，又平面平面，平面.又平面，平面平面，又平面，平面.4．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，得出，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得證；（3）利用到平面距離為三棱錐的高，結(jié)合等體積法求解即可．【詳解】（1）證明：，分別為，的中點(diǎn)，，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，BD不在平面，平面；（2）證明：四邊形為正方形，，，，平面，平面，，，，又，，平面，平面；（3）到平面距離為三棱錐的高，，故三棱錐的體積．5．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意，由線面平行的判定定理，即可證明；（2）根據(jù)題意，由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（3）根據(jù)題意，由等體積法代入計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）

在正方體中，連接交于，連接，交于，連接，則，且平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)闉檎襟w，則平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.（3）.6．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）利用線面平行的判定、性質(zhì)推理即得.（2）取的中點(diǎn)，利用線面垂直的判定、性質(zhì)證得平面，再利用面面垂直的判定推理即得.（3）利用錐體、柱體的體積公式分別求出四棱錐和三棱柱的體積即可.【詳解】（1）由正方形，得，又平面，平面，則平面，又平面平面，平面，所以.（2）取的中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，，得，而，則，又，則，又，平面，于是平面，而平面，則，又，為的中點(diǎn)，即四邊形是梯形，是平面內(nèi)兩條相交直線，因此平面，而平面，所以平面平面.（3）過作，交分別于，由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，又，由（2）知平面，則四棱錐的體積，又，則四邊形都是平行四邊形，于是，而平面，平面，則平面，同理平面，又平面，因此平面面，從而五面體為三棱柱，在三棱柱中，，由平面，平面，得，而，平面，則平面，三棱柱的體積，所以五面體的體積.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．7．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）利用線面平行的判定，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征推理即得.（2）利用線面垂直的判定推理即得.（3）取的中點(diǎn)，確定線面角，借助直角三角形求出線面角的正弦.【詳解】（1）在正方體中，，則四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，所以平面.（2）在正方體中，四邊形為正方形，則，而平面，平面，則，又平面，所以平面.（3）取的中點(diǎn)，連接，是正方形邊中點(diǎn)，則，而平面，于是平面，是直線與平面所成的角，令，則，，又，，所以直線與平面所成角的正弦值.8．(1)證明見解析.(2)證明見解析.(3)在線段上存在點(diǎn)，即為的中點(diǎn),使得平面.【分析】（1）先證明，根據(jù)線面垂直的判斷定理得平面，再由面面垂直的判斷定理即可證明；（2）先證明平面，再由平面，且平面平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得.（3）線段上存在點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，證明平面，再由四點(diǎn)在同一個(gè)平面得到平面.【詳解】（1）因?yàn)樵谥校謩e為中點(diǎn)，所以，將翻折到的位置后，即，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）因?yàn)樵谥?，分別為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，且平面平面，所?（3）在線段上存在點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，使得平面.證明如下：取中點(diǎn)，連接，由（1）可知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即為等腰三角形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，即，所以四點(diǎn)在同一個(gè)平面.所以平面.

9．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，則利用三角形的中位線定理結(jié)合棱柱的性質(zhì)可證得四邊形是平行四邊形，則，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由面面垂直的性質(zhì)可證得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；（3）若選①，則無法判斷，若選②，則由已知條件結(jié)合（1）可得，則得，再結(jié)合可證得結(jié)論；若選③，則由三棱錐的體積可求得，則，再結(jié)合可證得結(jié)論.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，為的中點(diǎn)，所以，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，所以，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，故平面.

（2）因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因?yàn)槠狡矫妫?（3）若選①，則，因?yàn)閭?cè)面為正方形，，所以，則，所以與不垂直，假設(shè)平面，又平面，則，矛盾，故①不能選；

選②，四邊形是平行四邊形，且，因?yàn)?，所以，在三棱柱中，?cè)面為正方形，，的中點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，所以，則，所以，故，所以因?yàn)槠矫?，因?yàn)椋?，平面，故平面選③，因?yàn)槠矫妫匀忮F的體積，因?yàn)椋?，平面，因?yàn)?，，平面，?0．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由線面垂直得到，結(jié)合即可得證；（2）由，，得到平面，即可得證；（3）由線面平行的性質(zhì)得到，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平?（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平?（3）因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.11．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）如圖，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則是的中位線，則，可得平面；（2）由平面，得，又可得平面；（3）由（2）知平面，得，由已知得，則得平面，又平面，可得平面平面.【詳解】（1）如圖，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以是中點(diǎn)，又為線段上的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又平面，平面，所以直線平面.（2）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又平面，平面，所以，，，平面，所以平?（3）由（2）知平面，平面，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，，底面為正方形，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.12．(1)證明見解析(2)(i)選條件②③或者①③，證明見解析；（ii）體積為【分析】（1）根據(jù)線線平行，即可根據(jù)線面平行的判定求證，（2）根據(jù)三棱柱唯一可選擇②③或者①③，即可證明三棱柱為直三棱柱，即可根據(jù)線線垂直證明線面垂直求證，根據(jù)三棱錐的體積公式即可求證.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，，則且，在三棱柱中，且，又為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）若選條件①②：由可得四邊形為矩形，底面三角形形狀不確定，此時(shí)三棱柱不唯一；若選條件②③：由，，平面，故平面，又，故，所以，故三棱柱唯一，符合要求，由于平面，平面，則，又，平面，故平面，平面，故,若選條件①③：由可得四邊形為矩形，又，故，所以，故三棱柱唯一，符合要求，由于平面，平面，則，又，平面，故平面，平面，故，13．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)不相交，理由見解析【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到面，再利用線面垂直的性質(zhì)，即可證明結(jié)果；（2）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件，利用平行四邊形的性質(zhì)，得到，再利用線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；（3）利用（2）中的結(jié)果，得出與異面，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又，面，所以面，又面，所?（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以且，所以為平行四邊形，得到且，所以為平行四邊形，得到，又面，面，所以平?（3）直線與不相交，理由如下，由（2）知平面，所以平面，又面，所以，又，，所以與不平行，故與異面，從而與不相交.14．(1)答案見解析(2)(3)存在，【分析】（1）先證明平面，得到，聯(lián)合，可證；（2）運(yùn)用等體積法可解；（3）取中點(diǎn)，連接.在上取點(diǎn)，使得，連接.證明即可證明平面，即找出了滿足題意的點(diǎn).【詳解】（1）如圖所示，根據(jù)題意，，且平面，則平面，平面，則.又已知.，平面，則平面.（2）如圖所示，連接.設(shè)點(diǎn)到平面的距離．由翻折前狀態(tài)，可知.由（1）知道，，則，則．由（1）知道，，.由平面.等體積法知道.即.代入化簡得到，則，則點(diǎn)到平面的距離.（3）存在，.如圖所示，取中點(diǎn)，連接.在上取點(diǎn)，使得，連接.由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，.又．則，，則四邊形為平行四邊形．則，平面，平面，則平面.此時(shí)．15．(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可得證；（2）過點(diǎn)M作垂足為F，根據(jù)線面垂直的判定可證平面BMN，然后根據(jù)平面幾何知識(shí)求出，進(jìn)而求出即可得.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面，，平面平面ABC，所以平面ABC，平面ABC，所以，又，，所以,又，所以，所以，又，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面PAB（2）存在，當(dāng)時(shí)，平面BMN，過點(diǎn)M作垂足為F，由（1）知平面ABC，平面ABC，所以，又點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，，所以，，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，，是平面BMN內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BMN，由已知得，又，即，又，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，平面BMN，16．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得解；（2）由中位線定理得出，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證.【詳解】（1）如圖所示，連接，交于點(diǎn)，在正方體中，平面，而平面，所以，又因?yàn)樵谡叫沃?，，且注意到，平面，所以平面，而平面，所以；?）如圖所示，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，而平面，平面，從而平面.17．(1)證明見解析；(2)選擇條件，答案見解析.【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）選擇條件①③，利用線面平行的判定、性質(zhì)推理得（?。焕镁€面垂直的判定推理得（ⅱ）.【詳解】（1）