云南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合/={_2,-1,0,1,3}，5={-3,-1,0,4）-則/U8的元素個(gè)數(shù)是（）

A.9B.7C.5D.2

2.下列命題正確的是（）

A.正四棱柱是正方體B.圓錐的截面是圓

C.一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面D.正三棱錐的所有面都是全等的等邊三角形

3.在""Be中，角/,8,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若"=匕”3,5抽/=2,則

3

B=（）

*7L兀/-17T-p.57r7L_p.2兀

A.—B.—C.一或一D.一或一

636633

4.已知ae（0,3,則“sina=*"是“sin2a=孚”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知5—2i是關(guān)于％的方程%2+加工+〃=0（加，〃wR）的一個(gè)根，貝1」加=（）

A.10B.C.5D.?

—iinu—J

6.下列命題正確的是（）

A.兩條相交直線不能確定一個(gè)平面

B.若A,B,C三點(diǎn)既在平面c內(nèi)，又在平面月內(nèi)，則平面a與6重合

試卷第11頁(yè)，共33頁(yè)

C.若直線機(jī)，”，/兩兩平行，則直線機(jī)，〃，/共面

D.若平面C與平面￡交于直線/,直線機(jī)在平面a內(nèi)，且與平面尸交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A

在直線/上

7,若。是V,8c的邊8C上的一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），^AD^mAB+2nAC則工+_1的最

mn

小值是（）

A.4B.6C.8D.12

8.已知函數(shù)/（x）=5cos[s+W（°>°）在（°"）上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

（）

33471RP3347C（型網(wǎng)D.「型型一

【7，7」17，7」

二、多選題

9.己知向量萬=（_1,2），b=（2,m）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若萬/區(qū)，則加=4B.若則加=1

C.若"25=(3,4),則加=1D.若|可=而，則機(jī)=3

10.對(duì)于任意的x,yeR，函數(shù)/(x)滿足/(x+l)-/(x-l)=〃2)+4x-6，/(-2)=6>

則下列結(jié)論正確的是()

A./(O)=2B.〃2)=-6

C/(2025)-/(2023)=8096D-/⑹=38

試卷第21頁(yè)，共33頁(yè)

11.已知直三棱柱43cl的外接球的半徑為5，V/BC是以Z3為斜邊的直角三角形,

且43=6，則（）

A,直三棱柱/8C-4耳G的體積的最大值是24

B.直三棱柱48C一44G的體積的最大值是72

C.直三棱柱的側(cè)面積的最大值是48&+48

D.直三棱柱/BC-4gq的表面積的最大值是48亞+66

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)2=三九，貝曠=_.

2+i

13.某班數(shù)學(xué)老師組織本班學(xué)生開展課外實(shí)地測(cè)量活動(dòng)，如圖，這是要測(cè)量的一建筑物的

高度OP，選擇與該建筑物底部。在同一水平面上的A，3兩點(diǎn)，測(cè)得/2=40米，

ZPAO=30°-ZPBO=45°＞乙480=60。，則該建筑物的高度OP=___米.

14.某企業(yè)為研發(fā)新產(chǎn)品，投入研發(fā)的經(jīng)費(fèi)逐月遞增.已知該企業(yè)2025年1月投入該新產(chǎn)

品的研發(fā)經(jīng)費(fèi)為20萬元，之后每個(gè)月的研發(fā)經(jīng)費(fèi)在上一個(gè)月的研發(fā)經(jīng)費(fèi)的基礎(chǔ)上增加

20%,記2025年1月為第1個(gè)月，第〃（〃eN+）個(gè)月該企業(yè)投入該新產(chǎn)品的研發(fā)經(jīng)費(fèi)不

試卷第31頁(yè)，共33頁(yè)

低于40萬元，則〃的最小值是____《參考數(shù)據(jù)：1g2=0.301,1g3=0.477)

四、解答題

15.已知復(fù)數(shù)z=q-4+(a-2)i，eR)?

⑴若z是純虛數(shù)，求匕.4|；

(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求a的取值范圍.

16.如圖，這是一個(gè)六角螺帽，它可視作從一個(gè)正六棱柱中挖掉一個(gè)圓柱，且該圓柱底面

圓的圓心與正六棱柱底面中心重合.正六棱柱底面六邊形的邊長(zhǎng)為8毫米，圓柱底面圓的

半徑為5毫米，六角螺帽的高為10毫米.

(1)求這個(gè)六角螺帽的體積；

(2)求這個(gè)六角螺帽的表面積.

17.如圖，在四邊形48c。中，ADHBC，AD=2BC,￡是N3的中點(diǎn)，衣=面.

D

(1)用向量方,N萬表示向量方豆,DC'

⑵若網(wǎng)=1西=6,4360。,求皮赤的值

試卷第41頁(yè)，共33頁(yè)

18.己知函數(shù)/(x)=4sin(ox+9)(°>0，。宸W<)的部分圖象如圖所示.

⑵求〃x)在「空」上的值域；

_63_

⑶若對(duì)任意的xJ-片不等式"(X)丁+時(shí)⑺-12W0恒成立，求”的取值范圍.

63_

19.如圖，在四邊形/Be。中，/￡)=2，CZ)=3，V4BC是等邊三角形?

(1)若N4OC=60。，求V48C的面積;

⑵若8c=2，求△BCD的面積；

⑶求△8CO的面積的最大值.

試卷第51頁(yè)，共33頁(yè)

《云南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BCAABDCABCACD

題號(hào)11

答案BCD

1.B

【分析】根據(jù)并集的定義即可求解.

【詳解】由題意可得8={-3,-2,-1,0,1,3,4}，則/UB有7個(gè)元素.

故選：B.

2.C

【分析】根據(jù)幾何體的相關(guān)知識(shí)即可求解.

【詳解】正四棱柱是底面為正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，不一定是正方體，也可能

是長(zhǎng)方體，故A錯(cuò)誤；

圓錐的軸截面是三角形，故B錯(cuò)誤；

一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面，故C正確；

正三棱錐的所有側(cè)面都是全等的等腰三角形，底面是等邊三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.A

【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

3x-B=-B=—

【詳解】由題意可得疝3.』sin/3」，則6或一6.

a42

因?yàn)榘?，所以所以B

O

故選：A

4.A

【分析】利用二倍角和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合充分性和必要性進(jìn)行判斷即可得出

結(jié)論.

答案第11頁(yè)，共22頁(yè)

且。＜?？?，得…J-m2a邛

【詳解"4

貝bin2a=2sinacosa=2x旦亞=迪；故

333

由sin2a=?插9得sinacosa=^~

33

3+20

所以（sina+cosa『=l+2sinacosa=

3

..八7i.sincz>0,cosor>0,

?0<a<一,??

2

V3+V6

??sina+cosa=

3

.V3+V6.V3,V6

sma+cosa=-----------sma=——sma=——

由＜3解得3或＜3

.V2A/6A/3

smacosa=——cosa=——cosa=——

333

故"sina=3”是“sin2a=￡l”的充分不必要條件?

33

故選：A.

5.B

【分析】根據(jù)虛根成對(duì)原理可知5+且是方程的另一個(gè)根，再由韋達(dá)定理計(jì)算可得?

【詳解】因?yàn)?-2i是關(guān)于x的方程+妙+〃=0（加，〃eR）的一個(gè)根，

所以關(guān)于x的方程/+必+〃=0（*1,〃eR）的另一個(gè)根為5+2i,

所以（5-2i）+（5+2i）=-:w，解得s=-10.

故選：B

答案第21頁(yè)，共22頁(yè)

6.D

【分析】由兩條相交直線確定平面判斷A；當(dāng)A，8，0三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，得不出

結(jié)論判斷B；舉反例判斷C；利用基本事實(shí)3可得點(diǎn)A在平面a與平面尸的交線/上，可判

斷D.

【詳解】?jī)蓷l相交直線確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，平面。與￡可以不重合，故B錯(cuò)誤.

三棱柱的三條側(cè)棱兩兩平行，但這三條側(cè)棱不共面，故C錯(cuò)誤.

由直線加在平面1內(nèi)，且與平面僅交于點(diǎn)A可知點(diǎn)A既在平面。內(nèi)，又在平面萬內(nèi)，則點(diǎn)

A在平面。與平面尸的交線/上，故D正確.

故選：D.

7.C

【分析】先利用三點(diǎn)共線的推論得出機(jī)+2〃=i，再利用基本不等式即可求最值.

【詳解】由題意可得心。，"＞。，加+2〃=1，

貝|12+工=（加+2〃）（工+工］=也+生+428,

mnn）mn

當(dāng)且僅當(dāng)例=',即加=2〃=工時(shí)，等號(hào)成立.

mn2

則當(dāng)加=2"=’時(shí)，冬+工取最小值K

2mn

故選：C

8.A

【分析】由已知可得8+要（一M+—］，結(jié)合零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得甄為兀+—4—,求解

7（77）272

答案第31頁(yè)，共22頁(yè)

即可.

【詳解】因?yàn)閤e（°，兀），CO>0,所以s+界1,q+）,

又因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=5cos"+北在（°尸）上恰有3個(gè)零點(diǎn)，

匚ui、［5m77r左力，口3347

所以一<6971+—<—,解得一<CD<——,

2721414

所以”的取值范圍是（史，義.

11414_

故選：A.

9.BC

【分析】根據(jù)向量平行坐標(biāo)表示計(jì)算求參判斷A,根據(jù)垂直坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算求參判斷B,根

據(jù)向量的線性運(yùn)算判斷C,應(yīng)用模長(zhǎng)公式計(jì)算求值判斷D.

【詳解】由）/區(qū)，得-加-2x2=0，解得加=-4,故A錯(cuò)誤；

由3_1_3，得一2+2加=0,解得加=1,故B正確；

由G+28=（3,4”得2機(jī)+2=4，解得加=1，故C正確；

由歸卜屈，得=而,解得八±3,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.ACD

【分析】令丫_1可判斷A選項(xiàng)；令1可判斷B選項(xiàng)；

由〃x+l）-/（xT）=4x，令x=2024可判斷C選項(xiàng)，再利用/⑹=/（4）+20，

/（4）=/（2）+12=18即可判斷D選項(xiàng).

答案第41頁(yè)，共22頁(yè)

【詳解】令x=l，得/⑵=/⑵+4-6，解得"0)=2，故A正確；

令x=T,得/(0)-〃-2)=/(2)-4一6,即〃2)+/(-2)鼻〃0)+10,

因?yàn)?⑼=2，〃-2)=6，所以"2)=6，故B錯(cuò)誤;

因/(2)=6，則/(x+l)_/(x_l)=4x，

令x=2024,貝1/(2025)-/(2023)=4x2024=8096,故C正確；

又/⑹=/(4)+4X5=〃4)+20,44)=/⑵+4X3=18，

則/⑹=18+20=38,故D正確.

故選：ACD

11.BCD

【分析】先求得直三棱柱的高為8,設(shè)NC=a，BC=b,根據(jù)題意得到/+〃=36,分別

求出直三棱柱ZBC-NSG的體積、側(cè)面積、底面積的表達(dá)式，利用基本不等式即可判斷

各選項(xiàng).

【詳解】由題意可得直三棱柱/BC-4及￡的高為2乒手=8.

設(shè)NC=a，BC=b,則a2+/=36.

直三棱柱"C-44G的體積%=Lbx8=4ab.

2

0^)36=a2+b2>2ab'所以abW18，

當(dāng)且僅當(dāng)°=6時(shí)，等號(hào)成立，貝峰=4.472,故A錯(cuò)誤，B正確.

直三棱柱48C-44cl的側(cè)面積H=(a+b+6)x8=8伍+6)+48-

答案第51頁(yè)，共22頁(yè)

因?yàn)?6=/+62=(a+b)2-2"'

所以（a+媒-36=2MW2x[等：=*+『解得上，

則E=8（a+6）+48448拒+48，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，等號(hào)成立，故C正確?

直三棱柱/8C-48c的上、下底面的面積之和$2=成418，

當(dāng)且僅當(dāng)〃CI-U，時(shí)，等號(hào)成立，

則直三棱柱ABC-^BG的表面積S=St+S2<48A/2+66，

當(dāng)且僅當(dāng)°=6時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.

故選：BCD.

12-2-i

【分析】利用共軟復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?=小生=（3+旬（2-1）=6-篁+&-有2=10先=2+[,所以z=2-i.

2+i（2+i）（2-i）4-i25

故答案為：2-丁

13.20

【分析】設(shè)=〃米，在△/go中，由余弦定理求解.

【詳解】設(shè)米，則05=人米，°二標(biāo)米.

在AAB。中，由余弦定理可得/。2=/82+8O2_2AB-8OCOSN/8。'

則3/=4。2+萬一40〃，W2h2+40/z-402=（2/z-40）（/z+40）=0>解得〃=20?

故答案為：20

14.5

答案第61頁(yè)，共22頁(yè)

【分析】表示出第〃個(gè)月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)為20x（1+20%）"-萬元，根據(jù)題意列不等式，并

根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出〃的取值范圍，即可得解.

【詳解】由題意可得20x（1+20%）"—"0，則1.2"-22，所以（”221g2，

lg2lg20.301n>4.810

所以"TN3.810,所以

lgl.2-Ig3+21g2-l-0.477+2x0.301-1

因?yàn)椤╡N+，所以”的最小值為5.

故答案為：5.

15.（1）|Z_4|=2>/5；

（2）（2,4）.

【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求出°,再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式計(jì)算即可;

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義列不等式組，求解即可.

【詳解】⑴因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以["4=0,解得”4,

[Q-2w0

則“方，所以Z-4=-4+2I,故匕一4|=1（-4）2+22=2氐

（2）由題意可得!”4<0,解得2<。<4,

[Q-2>0

所以。的取值范圍為（2,4）?

16.（1）9608-250兀（立方毫米）?

（2）480+1926+50?!（平方毫米）?

【分析】（1）利用棱柱和圓柱的體積公式計(jì)算即可;

答案第71頁(yè)，共22頁(yè)

（2）利用棱柱和圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可

【詳解】（1）由題意可得，正六棱柱底面六邊形的面積E=3x82x6=96舊（平方毫

米），

圓柱底面圓的面積52=25兀（平方毫米），

正六棱柱和圓柱的高的=10（毫米），

則這個(gè)六角螺帽的體積憶=S/_S?/；=9606-2507t（立方毫米）?

（2）由（1）可知這個(gè)六角螺帽的上、下底面的面積之和

53=2（5,-52）=19273-5071（平方毫米），

正六棱柱的側(cè)面積=8x6x10=480（平方毫米），

圓柱的側(cè)面積§5=2兀5<WMOK（平方毫米），

則這個(gè)六角螺帽的表面積SuSj+J+Ss=480+1926+50無（平方毫米）。

17.（1）DE=^AB-AD,DC=AB-^AD；

22

⑵18.

【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果；

（2）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，用向量次，力分別表示向量友,而，再利用向量數(shù)量

積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以

2

貝！J/=次-25」次-25.

2

答案第81頁(yè)，共22頁(yè)

mjAD〃BCAD=2BC1—

因?yàn)?，，所以BC=—40,

2

貝|］配=方+2§+就=_而+2§+工通=冠_工耘.

22

⑵因?yàn)榫?3而，所以醇萍中皮一喝三「沖,

_?____、_________1_____1_____1____Mn,

貝?。莸Z=瓦+麗=》+—萬心——DE=-DC+-DE.

3333

由（1）可知礪=,方一而，DC=7B--~AD,貝|麗=2萬一*而,

2236

故皮.而］布-;而｝］在-:詼次27—?—?5—-2

——ABAD+——AD

612

ZBAD6022

因?yàn)閨刀卜|詬|=6,=°；^\^AB=AD=36,2B-ZD=6X6XCOS600=18,

-------2--27--—?5--2275

則。。?。產(chǎn)=———ABAD+——AD=—x36——xl8+—x36=18.

36123612

18.⑴/（x）=4sin12x+j

⑵［-2,4］

⑶卜4,-1］?

【分析】（1）利用周期可求得°=2,進(jìn)而利用/（x）的圖象過點(diǎn),方刀］,可求得0=《,

進(jìn)而可求得函數(shù)的解析式；

⑵由已知可得2x+奔進(jìn)而可求得〃x）在［-上一］上的值域;

65T63

答案第91頁(yè)，共22頁(yè)

(3)設(shè)"/(x),可得法［-2,4］,從而可得|(_2丫+機(jī)X(-2)-12W0,求解即可.

42+4m-12<0

【詳解】⑴由題意可得小)的最小正周期等力

因?yàn)?(x)的圖象過點(diǎn)］o］,所以小朋=4sin2x：f+0=0,

所以4sin-/+0=0.

因?yàn)?加0<,所以0=.

故/(x)=4sin

(2)因?yàn)楣ぁ?/p>

當(dāng)2X+,5,即x=時(shí)，小)取得最大值，最大值為止］=4；

當(dāng)2x+%,即x=」時(shí)，“X)取得最小值，最小值為/-殳1=-2.

666I6)

故/(x)在「」兀_］上的值域?yàn)椴?,引.

_63_

(3)設(shè)/=〃x)，由⑵可知問一2,41

因?yàn)閷?duì)任意的x］,不等式［/(x)T+稼(x)T240恒成立，

答案第101頁(yè)，共22頁(yè)

2

所以對(duì)任意的te[-2,4]-不等式z+wf-12<0成立，

所以|（一2）2+m*（-2）-1240,

[42+4?77-12<0

解得-4W加W-1，即加的取值范圍是卜4,-1卜

19.（1）7C

4

（2）3*\/y+9V3

8

（3）3+見

4

【分析】（1）通過余弦定理建立方程，求出等邊AABC的邊長(zhǎng),從而得到面積“

（2）在AACD中用余弦定理得到NACD得余弦及正弦值，從而得到/BCD的余弦值，進(jìn)而

求出ABCD的面積.

（3）由（2）知，可設(shè)出/ACD=°，通過正余弦定理在AACD表示出ACcosO，表示出

S=|J8C-Cr）sin（Z0+6O0）,最終通過輔助角公式求最值得出第（3）問.

【詳解】（1）在A/CZ）中，由余弦定理可得：

AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC=7>貝U/C=V7?

因?yàn)閂C是等邊三角形，所以的面積s=@/c2=逋.