高2024級(jí)高一下4月考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前.考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

3.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷

上無(wú)效.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.已知復(fù)數(shù)z=3—i,則z的虛部為（）

A.-1B.1C.-iD.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)虛部的概念即可得到答案.

【詳解】因?yàn)閦=3—i,則其虛部為—1.

故選：A.

2.平面向量￡與B的夾角為60°,|利=2|,B|=1,貝萬(wàn)+26|=

A.73B.12C.4D.273

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可得10+25|=J（萬(wàn)+25產(chǎn)，由數(shù)量積的定義，代入已知數(shù)據(jù)可得答案.

【詳解】由題意可得|。+251=J（萬(wàn)+25戶(hù)

=+4戶(hù)+4萬(wàn)?5=1片+4戶(hù)+4丘||萬(wàn)|cos60。

=^22+4xl2+4x2xlx1=273

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的模的計(jì)算，涉及向量的夾角，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于?？碱}型.

3.設(shè)點(diǎn)B為兩個(gè)非零向量，則“￡=2023斤'是“￡=々”的（）

|o|

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合共線(xiàn)向量的定義分析判斷

【詳解】因?yàn)?=2023。所以Z1同向共線(xiàn)，所以義=￡,

\a\\b\

因?yàn)闉?￡,所以點(diǎn)B同向共線(xiàn)，此時(shí)％=20233不一定成立，

\a\\b\

所以“￡=2023斤'是“？=2”的充分不必要條件.

\a\\b\

故選：A

4.如圖，飛機(jī)飛行的航線(xiàn)和地面目標(biāo)C在同一鉛直平面內(nèi)，在A處測(cè)得目標(biāo)C的俯角為30。，飛行

10千米到達(dá)8處，測(cè)得目標(biāo)C的俯角為75。，這時(shí)B處與地面目標(biāo)C的距離為（）.

【答案】B

【解析】

【分析】將題意轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，利用正弦定理計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)題意可知=10，C=75°-30°=45°.

在VA3C中，由正弦定理得'叫=———,BPBC=—^-=572.

sinCsinABAC12

不

故選:B

5.己知萬(wàn)=（1,一1）,5=（1,3）,則巨在5上的投影向量為（）

,13、13、

A.B.Z

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求得答案.

【詳解】由日=(1,—1)力=(1,3),得。?/?=1x1—1x3=—2，|b|=V12+32-A/10>

a-b--2-113

所以商在5上的投影向量為=(1,3)=(—之).

\b\~10555

故選：A

6.VA5C中，三邊之比a/:c=2:3:4,則史上網(wǎng)且等于()

sin2C

1

A-—2B.——C.2D.-2

2

【答案】C

【解析】

【分析】首先由a:b:c=2:3:4結(jié)合余弦定理得出cosC=-2，然后根據(jù)二倍角公式和正弦定理即可得

4

出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍:Z?:c=2:3:4,不妨設(shè)。=24,Z?=3匕c=4左（左>0）,

a2+b2-c24k2+9k?—\6k?

則cosC

lab12k24

sinA-2sinB_sinA-2sinBa—2b_4b—2a12左一4左

所以sin2C2sinCcosC

故選：C.

(______、

____A。

7.。為AABC所在平面上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿(mǎn)足。P=OA+2=+,Xe[0,+s)，則射線(xiàn)AP過(guò)AABC

[網(wǎng)|AC|J

的

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】

AD~4C

【分析】將赤=麗+4變形為福=2因?yàn)椤负偷哪ｉL(zhǎng)都是

、雨|AB||AC|

1,根據(jù)平行四邊形法則可得，過(guò)三角形的內(nèi)心.

【詳解】-：OP=OA+A

:.OP-OA=AP=A

TRAC

因?yàn)镋和分別是右和衣的單位向量

I叫\(zhòng)AC\

所以也+H是以北和父

為鄰邊的平行四邊形的角平分線(xiàn)對(duì)應(yīng)的向量

\AB\\AC\\AB\IACI

所以aA的方向與NBAC的角平分線(xiàn)重合

即射線(xiàn)AP過(guò)A4BC的內(nèi)心

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的平行四邊形法則、單位向量的性質(zhì)以及三角形四心的性質(zhì)，屬于中檔題.

8.如圖所示，在矩形A3CD中，=0,3。=2,點(diǎn)E在邊CD上運(yùn)動(dòng)（包含端點(diǎn)），則可后?麗的

C.2A/2,1

B.[20,4]D.P4

【解析】

/受I:

7

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)E（a,2）,得荏.麗=CL—根據(jù)。的范圍即可

22

7

求出荏?屜的范圍.

【詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系,

因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB=y/2,BC=2,

則網(wǎng)0,0),C(62),0(0,2),

又點(diǎn)E在邊CD上運(yùn)動(dòng)(包含端點(diǎn)),

設(shè)￡(〃,2),則OVQV0，

AE=(a,2),BE-(a-V2,2),

r歷Y7

則屈屈=a(a—0)+2x2=/—缶+4=a-^-

(/TV7「7"

因?yàn)镺K。〈行，所以a——+——,4，

k272L2」

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.若復(fù)數(shù)2=二^,貝I().

l-i

A.|z|=V17B.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

C.z=4+iD.復(fù)數(shù)。滿(mǎn)足|。|=1,則|?！獄|的最大值為

A/17+1

【答案】ACD

【解析】

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)求z,即可判斷A、B、C；再由復(fù)數(shù)模的幾何意義確定復(fù)數(shù)①對(duì)應(yīng)點(diǎn)軌跡,

結(jié)合圓的性質(zhì)求I0-2|最值判斷D.

(3-5i)(l+i)8-2i”.「_

【詳解】由z='；.、=二廠(chǎng)=4-1,則|z|=JT7,z=4+i，A、C對(duì);

(1-1X1+1)2

又Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(4,-1)在第四象限，B錯(cuò);

由|。|=1,即復(fù)數(shù)。對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圓心為原點(diǎn)，半徑為1圓上,

所以|0—z|的最大值為JI7+1,D對(duì).

故選：ACD

10.在VA3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,下列說(shuō)法正確的是()

A.若A>B,則sinA>sin5

B.若A=3O0力=5,a=2,則VABC有兩解

C.若/+62<02,則VA3C鈍角三角形

D.若a—c?cos5=a-cosC,則VABC為等腰三角形或直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】由正弦定理可得A正確、B錯(cuò)誤；由余弦定理可得C正確；由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可

得D正確.

【詳解】對(duì)于A,A>B,則。>6,由正弦定理可得2RsinA>2RsinB,.?.sinA>sinB,故A正確；

nh,S=1一

對(duì)于B,由正弦定理----=-----,.bsinA25一此時(shí)VA5C無(wú)解，故B錯(cuò)誤；

sinAsinB...sin3D=--------=-^=->1

a24

對(duì)于c,由余弦定理可得cosC=巴士——<0,所以CI最兀，兀，所以VA5C為鈍角三角形，故C

2ab穎

正確；

對(duì)于D：a—c-cosB=a-cosC,a=ccosB+6zcosC,

由正弦定理可得sinA=sin(+C)=sinCcosB+sinAcosC,

即sinBcosC+cos5sinC=sinCcosB+sinAcosC,即(sin5—sinA)cosC=0,

一71

\S-a)cosC=0,a=。或cosC=0,若cosC=0,Ce(0,兀)，則。=—,

2

所以VA3C為等腰三角形或直角三角形，故D正確.

故選：ACD.

11.已知VABC中，AB=l,AC=4,BC=y/13,。在BC上，為/8AC的角平分線(xiàn)，E為AC中點(diǎn),

下列結(jié)論正確的是()

A.BE=gB.NABC面積為2百

C.AD=—!—D.P在VABC的外接圓上，則？B+2PE的最大值

5

為2s

【答案】AD

【解析】

【分析】利用余弦定理計(jì)算N54C=60,，利用余弦定理計(jì)算BE,判斷A；根據(jù)面積公式計(jì)算VA3C的面

積，判斷B；利用正弦定理計(jì)算AD,判斷C；沒(méi)NPBE=a,用々表示出PB,PE,得出PB+2PE關(guān)

于a的三角函數(shù)，從而得到？8+2PE的最大值，判斷D.

【詳解】在VA3C中，由余弦定理cosZBAC=.§2+AC?—Be?=1+16—13

2ABAC2x1x42

故錯(cuò)誤；

,-.ZBAC=60°<i^S△AAB5Cc=2-xABxACxsin60=2-xlx4x—2=y/3,B

在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB-AE-cosZBAC=l+4-2xlx2x~=3,

2

BE=6，故A正確；

一二-13+16-17J3

由余弦定理可知：COSC=--r==r—,sinC=7=,

2x4x7132VI32713

?「AD平分/BAC,/.ZZMC=30°,

/.sinZADC=sin(C+30°)=~^=x+—x—=—1=,

2^1322V1322V13

ADAC

在△ACD中，由正弦定理可得:

sinCsinZADC

4x—i—i-

ACsinC=_誓=迪，故c不正確;

故AD=

sinZADC55

2A/13

AB=1,AE=2,ZBAE^60°,，BE=Jl+4-2xlx2x；=5

：.AB±BE，

.：AE為AA的的外接圓的直徑，故AABE的外接圓的半徑為1,

B

D

顯然當(dāng)PB+2M取得最大值時(shí)，月在優(yōu)弧區(qū)4e上?

故NBPE=NBAE=60，設(shè)NPBE=a,貝1J/尸EB=120°—口，，

PBPE

—--------------=------=2,

sin(120J-a)sina

/.PB=2sin(l20-a)=y/3cosa+sina,PE=2sinCC，

萬(wàn)5

PB+2PE=6cosi+5sina=2asin(i+0)其中sin0=—=,cos0——T=,

2幣2V7

.,.當(dāng)a+6=|?時(shí)，PB+2PE取得最大值2件，故D正確.

故選：AD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c==J8B=工，C=

3

【答案】-

6

【解析】

【分析】直接利用正弦定理即可得出答案，注意大邊對(duì)大角.

【詳解】解：因?yàn)椤?夜力==工,

3

又正弦定理得前^就

所以sinC=3

b

由c=^/2<b=A/6，得Cv_B,

71

所以C=：.

7T

故答案為：—.

6

13.已知M=(42),B=(—3,5),且商與日的夾角為銳角，則2的取值范圍是.

【答案】X<—且2。—9

35

【解析】

【詳解】試題分析：因?yàn)橄蛄恐蹬cB的夾角為銳角，所以&Z<o且方與B不共線(xiàn)，所以—3丸+10>。且

52^-6,解之得：2<—5.2^--

35

考點(diǎn)：向量夾角及坐標(biāo)運(yùn)算.

14.已知冢，最為單位向量，設(shè)向量方=3令+02出=弓+02，向量15的夾角為。，若，-ge24l,求

cos/的取值范圍.

…20

【答案】看』］

【解析】

【分析】根據(jù)已知及數(shù)量積運(yùn)算律求得3cos?<1,同=J10+6cos詞，W=J2+2COS4￡,

再應(yīng)用數(shù)量積的夾角公式求cos?。的范圍.

，

【詳解】由J—Ewi

5——?1

所以W—cosq,e2，故ZVcos,,%4I，

2.2-2

又a+6,,與+4=J10+6cos,,+2弓?q+6二

一2?2

八耳?

2za-bx2/3+4Ge2+4■)2

所以=

COS0—(-同--忖iTJ)(

2

(4+4COS^,^2)4+4cos^,e2

(10+6008^,^)(2+2008^,^)5+3cos^,e2

481/8-3220

三一7777；而，所以[//].

315+9cose19e2515+9008^,^6923

山林士二「20”

故答案為：［—,1］

23

1-----

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知得到工<cosq,6<1為關(guān)鍵.

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.已知向量2=(-2,4),b=(x,-2),

(1)若乙〃(7+5),求行的值；

(2)若—石，求向量益與5的夾角的余弦值.

【答案】(1)B=2)；(2)叵.

17

【解析】

【分析】(1)由向量平行的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得x,由此得到B；

(2)由向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得無(wú)，由向量夾角公式可計(jì)算求得結(jié)果.

【詳解】(1)?「方+B=(九一2,2),.?.由萬(wàn)〃(4+5)可得：-2x2=4(x—2),解得:x=l,

.-.5=(1,-2)；3

(2)'—(2—b=—1,4),.,.由aJ_—b］可得：2(x+l)+16=0,解得：x=-9,

_ra-b18-8V17

二.cos<a,b〉=---rzj——T=—,——-----

同似2V5xV8517-

16.在VABC中，角AB,C的對(duì)邊分別為a,A,c,且滿(mǎn)足2拉?sinA=在(4+c?-匕2).

(1)求B的大?。?/p>

(2)若〃=3,VABC的面積為生8,求VABC的周長(zhǎng).

4

JT

【答案】(1)-

3

(2)9

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由余弦定理得》sinA=Jiacos5，再由正弦定理得sin_B=J^cosB，即可求

解；

(2)由三角形的面積公式，求得ac=9,根據(jù)題意和余弦定理，化簡(jiǎn)求得a+c的值，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)?AcsinA=^（a2+c2—〃），可得加sm-=班*“。V,

2ac2ac

由余弦定理得Z?sinA=y/3acosB，

又由正弦定理得sin5sinA=gsinAcos3，

因?yàn)镺VA<TI,所以sinAwO,所以sinBugcosB，所以tanjB=g，

71

又因?yàn)?<5<兀，所以5=—.

3

【小問(wèn)2詳解】

解：由三角形的面積公式，可得S=,acsin6=2叵，可得〃。二9,

24

又由余弦定理得步-a2+c2-2accosB=（?+c）2-3ac，

因?yàn)椤?3,所以（a+c）2=O?+3ac=9+3x9=36,解得a+c=6,

所以VA3C的周長(zhǎng)為a+/?+c=9.

17.記VABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,加c,滿(mǎn)足2c+b—2acos5=0.

（1）求角A；

⑵若。=2石，BAAC=1,AZ）是VABC中線(xiàn)，求AD的長(zhǎng).

【答案】（1）A=-n

3

（2）AD=^~

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化，將題干條件均化成角，結(jié)合誘導(dǎo)公式，三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求值;

（2）利用而=:通+g正，平方后求|礪『，結(jié)合余弦定理來(lái)處理.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?c+〃一2acos5=0,由正弦定理可知：2sinC+sinjB—2sinACOSJB=0,

由C=71—A—JB,故51口。=0111（兀一人一5）=$111（74+5）,

2sin（A+B）+sinB-2sinAcosB=0

2cosAsin5+sin5=0(jB￡(0,7i),sinjBw0),

cosA——,又AG(0,71),

2

所以A=2兀.

3

【小問(wèn)2詳解】

根據(jù)數(shù)量積的定義，由瓦bAC=：,得仍cos§=]nbc=3,

又〃=2y/3，在VABC中由余弦定理得：4二"+，—2bccosAn/??+c2=9

VAD=1AB4AC,，|叫2=空上丁些2蛆=/2+C2)_?C=|,

所以4。=逅

2

18.在VA5C中，角ASC所對(duì)的邊分別為。乃,c,請(qǐng)從下列條件中選擇一個(gè)條件作答：(注：如果選擇多

個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分)

A

①Q(mào)COSB+bsin-=c

2

②"=2GsABC+abcosC

3△ADC

③2〃sinA=(2Z?—c)sinB+(2c—Z?)sinC

(1)求A的大小；

+b

(2)若VA5C為銳角三角形，求的取值范圍.

b

TV

【答案】(1)A=—；

3

⑵(2,5).

【解析】

【分析】(1)選①，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦及二倍角公式求解即可；選②，利用三角形面

積公式及正弦定理邊化角，再利用和角的正弦求解即得；選③，利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理求解

即得.

(2)利用正弦定理邊化角，再利用差角的正弦公式，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求出范圍.

【小問(wèn)1詳解】

A

選①：在VABC中，由acos3+Z?sin—=c及正弦定理得，

2

sinAcosB+sinBsin-=sinC=sin（A+3）=sinAcosB+cosAsiaB

則sinBsing=cosAsinB,又8￡（0,兀），sinBw0,于是5由^=（\?74=1-25也2^,

而sin4>0,解得sid」，又Ae（O,兀）,4e（0,3,則±=g

2222226

TT

所以A==；

3

選②：在VABC中，Z/=HEs+〃6cosC，且uLobsinC,

3△AbC八/2

貝!J/?2_xJ_absinC+abcosC，即Z?=^^asinC+acosC，

323

由正弦定理得siaB=Y^sinAsinC+sinAcosC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

3

于是cosAsinC=-^-sinAsinC，而sinCwO,則tanA=g，又人￡（0,兀），

TT

所以A=2；

3

選③：在VABC中，由2asinA=（28一c）sinB+（2c-〃）sinC及正弦定理得,

得2a2=（2b-c）i＞+（2c-t＞）c,即4=廿+c?—be，

*42_2i

由余弦定理得cosA=L^——又0<4<兀，

2bc2

7F

所以A='；

3

【小問(wèn)2詳解】

在VABC中，由正弦定理，得c_sinC_sin（；B）_fcosB+；sinB_逐.11],

bsinBsinBsinB2tanB2

由（1）知B+C=2,即C=0—B,由VA3C為銳角三角形，

33

。＜5若

得〈吟＜3若,于

八2兀八兀

0<-B<—

32

所以立x’+,ed,2）,即的取值范圍為（1,2）,

2tanB22b2

19.在VABC中，。是AB邊上靠近3的三等分點(diǎn).

(1)若CD=DB,證明：BC+2ACcosZACB=0；

(2)若NACD=3A￡>=石.

3

(i)求VA3C面積的最大值；

(ii)求5c的最小值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)(i)2^1；(ii)岳-2

【解析】

—>1—>2-?

【分析】由已知，可得CD=-CA+-CB,在7ABC利用余弦定理可得

?2+Z?2-labcosZACB=b2+4a2+^abcosZACB，化簡(jiǎn)即可；

(2)(i)由已知，在AACD中，由余弦定理可得3=AC2+c￡)2—ACCD，再利用基本不等式得

ACCD<3,則S4”=3AC-CD-sinP<3x3x，3,即可求得VA3C面積的最大值；(ii)

△A8C2^ACD4342

在AACD中，由正弦定理，可得CD=2sinA,AC=2sinNADC=2sin[g-A[=A^COSA+sinA,由

cosZADC+cosZBDC=0,利用余弦定理，可得BC?=g+1c02-g,可得?一向4n(2A+夕)

即可求得3c的最小值.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?。是A3邊上靠近8的三等分點(diǎn)，所以力=已5+|通=&5+|(國(guó)—回)=:&?+|國(guó),

所以也2=(；無(wú)+］聞］,

設(shè)VABC內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為a,b,c,貝”①卜|麗卜,

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所以=-Z>2+-a2+-abcos^ACB,即c?=b~+4a2+^abcosZACB，

在VABC中，由余弦定理得c?=