PAGE1第五章三角函數(shù)要點(diǎn)一：終邊相同的角1．終邊相同的角凡是與終邊相同的角，都可以表示成的形式.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)終邊相同的前提是：原點(diǎn)，始邊均相同；(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(3)終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍.特例：終邊在x軸上的角集合，終邊在y軸上的角集合，終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小.2．弧度和角度的換算(1)角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度(2)弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如等等，一般地,正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定.(2)角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，是半徑.要點(diǎn)二：任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律、特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式：1.三角函數(shù)定義：角終邊上任意一點(diǎn)為，設(shè)則：要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝呛瘮?shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,,．2.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(為正)；要點(diǎn)詮釋?zhuān)嚎谠E的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．3.特殊角的三角函數(shù)值02sin010-10cos10-101tan01不存在0不存在04.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立；(2)是的簡(jiǎn)寫(xiě)；(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選取．5.誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號(hào)看象限):sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tansin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tansin()=sin，cos()=cos，tan()=tan，sin()=cos，cos()=sinsin()=cos，cos()=-sin要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)要化的角的形式為(為常整數(shù))；(2)記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；(3)必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見(jiàn)角知值，見(jiàn)值知角”；(4)；.要點(diǎn)三：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：y=sinxy=cosx定義域(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間周期性最小正周期最小正周期最值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心y=cosx的圖象是由y=sinx的圖象左移得到的.2．三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：y=tanx定義域值域R奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間周期性最值無(wú)最大值和最小值對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心要點(diǎn)四：函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖用“五點(diǎn)法”作的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)，由z取來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象.要點(diǎn)詮釋?zhuān)河谩拔妩c(diǎn)法”作圖的關(guān)鍵是點(diǎn)的選取，其中橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，公差為.2．的性質(zhì)(1)三角函數(shù)的值域問(wèn)題三角函數(shù)的值域問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題，常用方法有：化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于的二次函數(shù)式，再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值域.(2)三角函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把看作一個(gè)整體，比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間；要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）注意復(fù)合函數(shù)的解題思想；（2）比較三角函數(shù)值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)同名函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較.3．確定的解析式的步驟①首先確定振幅和周期，從而得到；②確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，要注意從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置，同時(shí)要利用好最值點(diǎn).要點(diǎn)五：正弦型函數(shù)的圖象變換方法先平移后伸縮的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.先伸縮后平移的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.要點(diǎn)六：兩角和、差的正、余弦、正切公式；；．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?．公式的適用條件(定義域)：公式①、②對(duì)任意實(shí)數(shù)α，β都成立，這表明①、②是R上的恒等式；公式=3\*GB3③中2．正向用公式①、②，能把和差角的弦函數(shù)表示成單角α，β的弦函數(shù)；反向用，能把右邊結(jié)構(gòu)復(fù)雜的展開(kāi)式化簡(jiǎn)為和差角的弦函數(shù)．公式=3\*GB3③正向用是用單角的正切值表示和差角的正切值化簡(jiǎn)．要點(diǎn)七：二倍角公式1.在兩角和的三角函數(shù)公式時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式：；；．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?．在公式中，角α沒(méi)有限制，但公式α中，只有當(dāng)時(shí)才成立；2.余弦的二倍角公式有三種：＝＝；解題對(duì)應(yīng)根據(jù)不同函數(shù)名的需要，函數(shù)不同的形式，公式的雙向應(yīng)用分別起縮角升冪和擴(kuò)角降冪的作用．3.二倍角公式不僅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉這多種形式的兩個(gè)角相對(duì)二倍關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用二倍角公式，這是靈活運(yùn)用這些公式的關(guān)鍵．要點(diǎn)八：二倍角公式的推論升冪公式：，降冪公式：；；.要點(diǎn)九：三角恒等變換的基本題型三角式的化簡(jiǎn)、求值、證明是三角恒等變換的基本題型：1．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)（1）常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等．（2）化簡(jiǎn)要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)．2．三角函數(shù)的求值類(lèi)型有三類(lèi)（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角．3．三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明．類(lèi)型一：三角函數(shù)的概念例1.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的三個(gè)三角函數(shù)值.【思路點(diǎn)撥】分兩種情況求的三個(gè)三角函數(shù)值．【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，.當(dāng)；，.當(dāng)，；.【總結(jié)升華】(1)當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際及解題的需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論；(2)若角已經(jīng)給定，不論點(diǎn)選在的終邊上的什么位置，角的三角函數(shù)值都是確定的；另一方面，如果角終邊上點(diǎn)坐標(biāo)已經(jīng)確定，那么根據(jù)三角函數(shù)定義，角的三角函數(shù)值也是確定的.類(lèi)型二：扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算例2．已知一半徑為r的扇形，它的周長(zhǎng)等于所在圓的周長(zhǎng)的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？【答案】【解析】設(shè)扇形的圓心角是，因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)是，所以扇形的周長(zhǎng)是依題意，得≈≈【總結(jié)升華】弧長(zhǎng)和扇形面積的核心公式是圓周長(zhǎng)公式和圓面積公式，當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)代替時(shí)，即得到一般的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式：類(lèi)型三：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例3．已知，求的值.【思路點(diǎn)撥】由題意知，所以A為鈍角，然后求出即可求得．【解析】方法一：由，得又由得方法二：由可得即整理得即或，由已知知不合題意，舍去.，兩邊平方得：，所以【總結(jié)升華】同角三角函數(shù)基本關(guān)系是反映了各種三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為三角函數(shù)式的恒等變形提供了工具與方法．類(lèi)型四：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式例4．已知sin(3π＋θ)＝，求的值．【思路點(diǎn)撥】利用誘導(dǎo)公式，求出sinθ＝－．然后化簡(jiǎn)要求的式子，即可求得結(jié)果．【答案】18【解析】∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝，∴sinθ＝－，∴原式＝＝＝＋＝＝＝＝18.【總結(jié)升華】誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“變”與“不變”是相對(duì)于對(duì)偶關(guān)系的函數(shù)而言的，sin與cos對(duì)偶，“奇”、“偶”是對(duì)誘導(dǎo)公式中的整數(shù)k來(lái)講的，象限指中，將看作銳角時(shí)，所在象限，如將寫(xiě)成，因?yàn)?是奇數(shù)，則“cos”變?yōu)閷?duì)偶函數(shù)符號(hào)“sin”，又看作第四象限角，為“+”，所以有.類(lèi)型五：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)例5.函數(shù)的圖象是()【答案】A【解析】是偶函數(shù)，可排除B、D，由的值域可以確定.因此本題應(yīng)選A.例6．把函數(shù)y=cos2x+1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖像是（）【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)函數(shù)圖象變換的公式，可得最終得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：y=cos（x+1），然后將曲線y=cos（x+1）的圖象和余弦曲線y=cosx進(jìn)行對(duì)照，可得正確答案．【答案】A【解析】將函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：y=cosx+1，再將y=cosx+1圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移

1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：y=cos（x+1），∵曲線y=cos（x+1）由余弦曲線y=cosx左移一個(gè)單位而得，∴曲線y=cos（x+1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且在區(qū)間上函數(shù)值小于0，由此可得，選項(xiàng)A正確，故選A．例7．已知函數(shù)其中，（I）若求的值；（Ⅱ）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于，求函數(shù)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）把所給的式子化簡(jiǎn)，然后結(jié)合平方關(guān)系式得出，由，，求出的值．（Ⅱ）由題意求得，，故，進(jìn)一步求出的解析式．【答案】（I）（Ⅱ）【解析】（I）由，得，得又．（Ⅱ）由（I）得，依題意，又故函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)即從而，最小正實(shí)數(shù)【總結(jié)升華】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及函數(shù)的性質(zhì)，屬中等難度題．類(lèi)型六：正用公式例8．已知:，求的值.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椴恢澜撬诘南笙?，所以要?duì)分別討論求的值．【解析】由已知可求得.當(dāng)在第一象限而在第二象限時(shí)，.當(dāng)在第一象限而在第三象限時(shí)，.當(dāng)在第二象限而在第二象限時(shí)，.當(dāng)在第二象限而在第三象限時(shí)，.【總結(jié)升華】分類(lèi)的原則是：（1）分類(lèi)中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類(lèi)按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類(lèi)討論要逐級(jí)進(jìn)行．掌握分類(lèi)的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是十分重要的．例9．已知，，，，求的值．【思路點(diǎn)撥】注意到，應(yīng)把看成整體，可以更好地使用已知條件．欲求，只需求出．【答案】【解析】∵，∴，∵，∴．∴【總結(jié)升華】（1）解題中應(yīng)用了式子的變換，體現(xiàn)了靈活解決問(wèn)題的能力，應(yīng)著重體會(huì)，常見(jiàn)的變換技巧還有,,等.（2）已知某一個(gè)（或兩個(gè)）角的三角函數(shù)值，求另一個(gè)相關(guān)角的三角函數(shù)值，基本的解題策略是從“角的關(guān)系式”入手切入或突破.角的關(guān)系主要有互余（或互補(bǔ)）關(guān)系，和差（為特殊角）關(guān)系，倍半關(guān)系等.對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題，則需要兩種關(guān)系的混合運(yùn)用.類(lèi)型七：逆用公式例10.求值：（1）；（2）.【思路點(diǎn)撥】題目中涉及到的角并非特殊角，而從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)應(yīng)逆用和角公式等先化簡(jiǎn)再計(jì)算．（1）利用將視為,將視為，則式子恰為兩角和的正切.【答案】（1）（2）【解析】（1）原式；（2）原式=.【總結(jié)升華】（1）把式中某函數(shù)作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換之后，再逆用兩角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所謂“逆用公式”．（2）輔助角公式：，其中角在公式變形過(guò)程中自然確定.例11.求值：（1）；（2）【思路點(diǎn)撥】問(wèn)題的特征是角存在倍角關(guān)系，且都是余弦的乘積．方法是分子分母（分母視為1）同乘以最小角的正弦．【答案】（1）1/4（2）1/8【解析】（1）原式=；（2）原式=【總結(jié)升華】此種類(lèi)型題比較特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一個(gè)角是前一個(gè)角的2倍；③最大角的2倍與最小角的和與差是．三個(gè)條件缺一不可．另外需要注意2的個(gè)數(shù)．應(yīng)看到掌握了這些方法后可解決一類(lèi)問(wèn)題，若通過(guò)恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成具有這種特征的結(jié)構(gòu)，則可考慮采用這個(gè)方法．類(lèi)型八：變用公式例12．在中，求值：【答案】1【解析】∵，∴，∴∴原式=例13.化簡(jiǎn)：（1）；(2）【思路點(diǎn)撥】（1）題中首先“化切為弦”，同時(shí)用好“”和“”的互余關(guān)系，注意逆用和角公式化簡(jiǎn)；（2）題初看有“化切為弦”，“降冪”等諸多想法，但首先應(yīng)注意到這個(gè)關(guān)系．【答案】（1）1（2）1【解析】（1）原式=（2）原式=【總結(jié)升華】（1）三角變換所涉及的公式實(shí)際上正是研究了各種組合的角（如和差角，倍半角等）的三角函數(shù)與每一單角的三角函數(shù)關(guān)系．因而具體運(yùn)用時(shí)，注意對(duì)問(wèn)題所涉及的角度及角度關(guān)系進(jìn)行觀察．（2）三角變換中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角變換中經(jīng)常用到降冪公式：，.例14．已知，，求的值．【思路點(diǎn)撥】先分析所求式,分子、分母均為已知