高中數(shù)學(xué)上教版（2020）選修第二冊(cè)7.3常用分布單元測(cè)試課后作業(yè)題一、選擇題1.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，其中λ>0，則P{X=0}的值是（）。A.e^(-λ)B.e^λ/λ!C.λ/λ!D.1/λ2.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則P{X≤0.5}的值是（）。A.0.6915B.0.3085C.0.5D.13.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布B(n,p)，則P{X=3}的值是（）。A.C(n,3)p^3(1-p)^(n-3)B.C(n,3)(1-p)^3p^(n-3)C.C(n,3)p^3(1-p)^(n-3)D.C(n,3)(1-p)^3p^(n-3)4.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為a和b的均勻分布U[a,b]，則P{a≤X≤b}的值是（）。A.b-aB.(b-a)/2C.(b+a)/2D.15.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布E(λ)，則P{X>1}的值是（）。A.1/eB.eC.1/e^λD.e^λ二、填空題1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E(X)的值是（）。2.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則P{X>0}的值是（）。3.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布B(n,p)，則P{X=0}的值是（）。4.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為a和b的均勻分布U[a,b]，則E(X)的值是（）。5.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布E(λ)，則E(X)的值是（）。三、解答題1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，求P{X=2}的值。2.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，求P{X≤-1}的值。3.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布B(n,p)，求P{X≤2}的值。4.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為a和b的均勻分布U[a,b]，求E(X)的值。5.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布E(λ)，求E(X)的值。四、計(jì)算題1.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，已知P{X=3}=0.1931，求參數(shù)λ的值。2.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，已知P{X<μ}=0.8413，求μ的值。3.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n=5和p=0.3的二項(xiàng)分布B(5,0.3)，求P{X≥2}的值。4.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為a=-2和b=2的均勻分布U[-2,2]，求P{X∈[-1,1]}的值。5.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ=0.5的指數(shù)分布E(0.5)，求P{X>3}的值。五、應(yīng)用題1.某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，已知該元件的壽命大于200小時(shí)的概率為0.2，求該元件的平均壽命。2.一批產(chǎn)品的合格率為90%，如果抽取10個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有8個(gè)產(chǎn)品合格的概率。3.某工廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)服從正態(tài)分布N(50,9)，如果隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品，求該產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)小于45的概率。4.一項(xiàng)考試的及格分?jǐn)?shù)線(xiàn)為60分，假設(shè)考生得分服從正態(tài)分布N(65,16)，求該考生不及格的概率。5.某項(xiàng)比賽的得分情況服從泊松分布，已知該比賽得分為5分的概率為0.12，求該比賽的得分期望。六、證明題1.證明：如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E(X^2)=λ^2。2.證明：如果隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則P{|X|>k}=2Φ(-k)-1，其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。3.證明：如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布B(n,p)，則Var(X)=np(1-p)。4.證明：如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為a和b的均勻分布U[a,b]，則E(X)=(a+b)/2。5.證明：如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布E(λ)，則E(X)=1/λ。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為P{X=k}=(λ^k*e^(-λ))/k!，當(dāng)k=0時(shí)，P{X=0}=(λ^0*e^(-λ))/0!=e^(-λ)。2.A解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)為Φ(x)，P{X≤0.5}=Φ(0.5)≈0.6915。3.A解析：二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)為P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，當(dāng)k=3時(shí)，P{X=3}=C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3)。4.A解析：均勻分布的概率密度函數(shù)為f(x)=1/(b-a)，對(duì)于區(qū)間[a,b]，概率為P{a≤X≤b}=(b-a)。5.A解析：指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為f(x)=λ*e^(-λx)，對(duì)于x>0，P{X>1}=∫[1,∞]λ*e^(-λx)dx=1/e。二、填空題1.λ解析：泊松分布的期望值E(X)=λ。2.0.5解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)為Φ(x)，P{X>0}=1-Φ(0)=0.5。3.C(n,0)*p^0*(1-p)^(n-0)=1-P{X=1}-P{X=2}-...-P{X=n}解析：二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)為P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，當(dāng)k=0時(shí)，P{X=0}=1-Σ[P{X=k}]。4.(a+b)/2解析：均勻分布的期望值E(X)=(a+b)/2。5.1/λ解析：指數(shù)分布的期望值E(X)=1/λ。三、解答題1.P{X=2}=(λ^2*e^(-λ))/2!=λ^2*e^(-λ)/2解析：直接使用泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)計(jì)算。2.P{X≤-1}=Φ(-1)≈0.1587解析：使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)計(jì)算。3.P{X≤2}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=C(n,0)*p^0*(1-p)^(n-0)+C(n,1)*p^1*(1-p)^(n-1)+C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2)解析：使用二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)計(jì)算。4.E(X)=∫[a,b]x*f(x)dx=(a+b)/2解析：使用均勻分布的期望值公式計(jì)算。5.E(X)=∫[0,∞]x*λ*e^(-λx)dx=1/λ解析：使用指數(shù)分布的期望值公式計(jì)算。四、計(jì)算題1.λ=3解析：由P{X=3}=(λ^3*e^(-λ))/3!=0.1931，通過(guò)解方程求得λ的值。2.μ=0解析：由P{X<μ}=Φ(μ)=0.8413，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得μ的值。3.P{X≥2}=1-P{X<2}=1-(P{X=0}+P{X=1})=1-(C(5,0)*0.3^0*0.7^5+C(5,1)*0.3^1*0.7^4)解析：使用二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)計(jì)算。4.P{X∈[-1,1]}=∫[-1,1]f(x)dx=(1-(-1))/(2-(-2))=1/2解析：使用均勻分布的概率密度函數(shù)計(jì)算。5.P{X>3}=1-P{X≤3}=1-(P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3})=1-(0.12+0.12^2+0.12^3+0.12^4)解析：使用泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)計(jì)算。五、應(yīng)用題1.平均壽命=1/λ=1/(1-0.2)=1.25小時(shí)解析：由指數(shù)分布的性質(zhì)，平均壽命等于1/λ。2.P{至少有8個(gè)合格}=P{X≥8}=1-P{X<8}=1-(P{X=0}+P{X=1}+...+P{X=7})解析：使用二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)計(jì)算。3.P{X<45}=Φ((45-50)/3)≈Φ(-5/3)≈0.0013解析：使用正態(tài)分布的累積分布函數(shù)計(jì)算。4.P{不及格}=P{X<60}=Φ((60-65)/4)≈Φ(-1.25)≈0.1056解析：使用正態(tài)分布的累積分布函數(shù)計(jì)算。5.E(X)=Σ[k=0,∞]k*P{X=k}=Σ[k=0,∞]k*(λ^k*e^(-λ))/k!=λ解析：使用泊松分布的期望值公式計(jì)算。六、證明題1.證明：E(X^2)=Σ[k=0,∞]k^2*P{X=k}=Σ[k=0,∞]k*k*(λ^k*e^(-λ))/k!=λ^2*Σ[k=0,∞](λ^k*e^(-λ))/(k-1)!=λ^2*e^(-λ)=λ^2解析：使用泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)和期望值公式計(jì)算。2.證明：P{|X|>k}=1-P{|X|≤k}=1-(P{X≤k}+P{X≥-k})=1-(Φ(k)+Φ(-k))=2Φ(-k)-1解析：使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)和性質(zhì)計(jì)算。3.證明：Var