《高等流體力學(xué)》復(fù)習(xí)題

一、基本概念

1.什么是志向流體？正壓流體，不行壓縮流體？

［答］:教材P57

當(dāng)流體物質(zhì)的粘度較小，同時其內(nèi)部運動的相對速度也不大，所產(chǎn)生的粘性應(yīng)力比起其它類型的力來

說可以忽視不計時，可把流體近似地看為是無粘性的，這樣無粘性的流體稱為志向流體。

內(nèi)部任一點的壓力只是密度的函數(shù)的流體，稱為正壓流體。

流體的體積或密度的相對變更量很小時，一般可以看成是不行壓縮的，這種流體就被稱為不行壓縮流

體，

2.什么是定常場；勻稱場；并用數(shù)學(xué)形式表達。

［答］:假如一個場不隨時間的變更而變更，則這個場就被稱為定常場。其數(shù)學(xué)表達式為：（p=（pG）

假如一個場不隨空間的變更而變更，即場中不顯含空間坐標(biāo)變量】則這個場就被稱為勻稱場。其

數(shù)學(xué)表達式為：（p=（p（n

3.志向流體運動時有無切應(yīng)力？粘性流體靜止時有無切應(yīng)力？靜止時無切應(yīng)力是否無粘性？為什么？

［答］:志向流體運動時無切應(yīng)力。

粘性流體靜止時無切應(yīng)力。但是，靜止時無切應(yīng)力，而有粘性。因為，粘性是流體的固有特性。

4.流體有勢運動指的是什么？什么是速度勢函數(shù)？無旋運動與有勢運動有何關(guān)系？

［答］:教材PU9T23

假如流體運動是無旋的，則稱此流體運動為有勢運動。

對于無旋流淌來說，其速度場F總可以由某個速度標(biāo)量函數(shù)（場）的速度梯度來表示，即

n=v。，則這個標(biāo)量函數(shù)（場）稱為速度場M的速度勢函數(shù)。

無旋運動與有勢運動的關(guān)系：

勢流運動與無旋運動是等價的，即有勢運動是無旋的，無旋運動的速度場等同于某個勢函數(shù)的梯度場。

什么是流函數(shù)？存在流函數(shù)的流體具有什么特性？（什么樣的流體具有流函數(shù)？）

［答］:

6.平面流淌中用復(fù)變位勢描述的流體具有哪些條件（性質(zhì)）？

［答］:教材P126-127

志向不行壓縮流體的平面無旋運動，可用復(fù)變位勢描述.

7.什么是第一粘性系數(shù)和其次粘性系數(shù)？在什么條件下可以不考慮其次粘性系數(shù)？Stokes假設(shè)的基本

領(lǐng)實依據(jù)是什么？

［答］:教材P89

第一粘性系數(shù)R反映了剪切變形而應(yīng)力張量的貢獻，因此稱為剪切變形粘性系數(shù)；

其次粘性系數(shù)了：反映了體變形對應(yīng)力張量的貢獻，因而稱為體變形粘性系數(shù)。

對于不行壓縮流體，可不考慮其次粘性系數(shù)。

Stokes假設(shè)的基本領(lǐng)實依據(jù)：平均法向正應(yīng)力"就是壓力函數(shù)的負值，即體變形粘性系數(shù)

2

//*=—//+2=Oo

8.從運動學(xué)觀點看流體與固體比較有什么不同？

［答］：教材P55

若物質(zhì)分子的平均動能遠小于其結(jié)合能，即‘〃”2<<A￡,這時物質(zhì)分子間所形成的芯偶結(jié)構(gòu)非常

2

穩(wěn)定，分子間的運動被嚴(yán)格地限定在很小的范圍內(nèi)，物質(zhì)的分子只能在自己的平衡位置四周振動。這時物

質(zhì)表現(xiàn)為固態(tài)。

若物質(zhì)分子的平均動能與其結(jié)合能大致相等，即,〃?一六八七，其分子間的對偶結(jié)構(gòu)不斷地遭到破壞,

2

又不斷地形成新的對偶結(jié)構(gòu)。這時，物質(zhì)分子間不能形成固定的穩(wěn)定對偶結(jié)構(gòu)，而表現(xiàn)出沒有固定明確形

態(tài)的液態(tài)。

若物質(zhì)分子的平均動能遠大于其結(jié)合能，即工〃”2>>AE,物質(zhì)幾乎不能形成任何對偶結(jié)構(gòu)。這時,

2

物質(zhì)表現(xiàn)為氣態(tài)。

9.試述流體運動的Helmholts速度分解定律。

［答］:教材P65

可變形流體微團的速度分解：流體微團一點的速度可分解為平動速度重量與轉(zhuǎn)動運動重量和變形運動

重量之和，這稱為流體微團的Helmholts速度分解定理

V=V0+

10.流體微團有哪些運動形式？它們的數(shù)學(xué)表達式是什么？

［答］:7=%+嬴茄+〉?茄

1）平動運動：v=VQ

.—?>I.

2）轉(zhuǎn)動運動：（OXBYco=—rotV

2

3）變形運動：S,br

11.描述流體運動的基本方法有哪兩種？分別寫出其描述流體運動的速度、加速度的表達式。

［答］：教材P58.60

描述流體運動的基本方法：

1）拉格朗口方法：對流體介質(zhì)的每一質(zhì)點進行跟蹤，著眼于流體介質(zhì)中的每個質(zhì)點，須要對流體介質(zhì)中

的每個質(zhì)點進行區(qū)分。

各質(zhì)點速度表達式：“/er）/"—#

dt

一

各質(zhì)點加速度表達式：=⑺

2）歐拉方法：定點視察描述流場的運動，著眼于空間的定點，而不是流體質(zhì)點。

—?——?..?

速度表達式：V=V（r"）=/（戈1，工2，元3,1）=〃1（/］，工2，X3/應(yīng)+〃2（%1，“2，X3/）?2+〃3（工1，毛，工3，/）?3

4rdvdvdvdrdV-dVdu,du.dV--a5-

力口速度表達式：=1—z=—+V?—=-=1=FV-W=（——+V-V）V

dtdt6r仇視dradx,dtdt

12.什么是隨體導(dǎo)數(shù)（加速度）、局部導(dǎo)數(shù)（加速度）及位變導(dǎo)數(shù)（加速度）？分別說明三-=0,?=0

dtdt

及（/.00=0的物理意義？

［答］:教材P60

隨體導(dǎo)數(shù)：流體質(zhì)點在其運動過程中的加速度所對應(yīng)的微商，叫做隨體導(dǎo)數(shù)：

局部導(dǎo)數(shù)：流體位置不變時的加速度所對應(yīng)的微商，叫做局部導(dǎo)數(shù)；

位變導(dǎo)數(shù)：質(zhì)點位移所造成的加速度所對應(yīng)的微商，叫做位變導(dǎo)數(shù)。

亦

物理意義:一=0：隨體導(dǎo)數(shù)為0,流體質(zhì)點在其運動過程中的加速度為0;

力

加

￥=0：局部導(dǎo)數(shù)為0,流體位置不變時的加速度為0,流體是定常流淌:

（v-V）v=0：位變導(dǎo)數(shù)為0,流體質(zhì)點位移所造成的加速度為0,流體速度分布勻稱。

13.什么是流體的速度梯度張量？試述其對稱和反對稱張量的物理意義。

【答1：教材P65-67

一—，———GV

對流體微團其中〃，處的速度為匕，那么，?處的速度可以表示為V=V0+—或者

cxi

QJJ—?■-?―

%=Mh+—即v=%+b廣（VV）。這里，一=為二階張量，是速度的梯度，因此稱之

dx.dx.

為速度梯度張量。

速度梯度張量分解為對稱和反對稱部分：▽R=/=A+S

d%

反對稱張量的物理意義：

反對稱張量表征了流體微團旋轉(zhuǎn)運動，所對應(yīng)的矢量行為流體微團的角速度矢量。

r1◎1比

oTg--zaw

2o2\(

子az

11

A--avdwC-/av

-J2XIaz

2JaapC-9%

1S1￥■O

-0J

-2a-w2一

'

ax-&

反對稱部分

對稱張量的物理意義:

對稱張量表征了流體微團的變形運動。其中，對角線上的元素(與，三，?)表示了流體單元微團在3

個坐標(biāo)軸卜的體變形重量,而三角元素表示了流體單元微團在3個坐標(biāo)平而卜的角變形

重量的一半。

/

du1網(wǎng)du1a、(1

(,1(—+i.為-0.

dx5ox32一

A1(?十dvi

=-

(—+%￡2-0.

2辦221

1i伊+dw2

020\3

(2在27

2>

y

@

。

，

，

，

14.流體應(yīng)力張量的物理意義是什么？它有什么性質(zhì)？

［答］:教材P71

流體應(yīng)力張量的物理意義：

應(yīng)力張量表示了坐標(biāo)面的三個面力密度矢鼠瓦，Dy，P2的九個重量｛%)組成的一二階張量，即為面

力密度張量。

應(yīng)力張量的性質(zhì)：應(yīng)力張量是對稱張量，具有對稱性

應(yīng)力張量具有二階對稱張量的性質(zhì)

(1)應(yīng)力張量的幾何表示為應(yīng)力橢球面，即二次型

2

r(Pr)=pxxjr+pyyy+p=z?+2pvyxy+2pyzyz+2pzxzx=1

(2)應(yīng)力張量有三個相互垂直的主軸方向，即是應(yīng)力橢球的三個對稱的直徑的方向。在主軸坐標(biāo)系下，應(yīng)

力張量具有標(biāo)準(zhǔn)形式：

0。、

尸=。Pn()

、0°Pii)

(3)應(yīng)力張量的三個不變量為：

=，ll+〃22+〃33

"［2=P22P33+P33Pli+P\\P12~。23—〃31-P\2

，3=〃11〃22〃33+Pl2P23P31+Pl3P21P32-P22P31~P33Pl2+PlI“23

15.某平面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量有什么關(guān)系？化的物理含義是什么？

［答］:教材P71

應(yīng)力百與應(yīng)力張量P的關(guān)系：五P,即：空間某點處隨意平面上的應(yīng)力等于這點處的應(yīng)

力張量與該平面法向單位矢量的左向內(nèi)積。

?Pinn=Pnm的物理意義：習(xí)方

Pm4Pn

PM

=5?P）?玩二萬“?玩=%p..m.=%pjimj=mip“^^\/

=（行?P）?月=P,?-n=pmn

應(yīng)力張量的對稱性，使得在以后為法線的平面上的應(yīng)力力〃在m方向上

的投影等于（=）在以成為法線的平面上的應(yīng)力0m在方方向上的投影。

16.流體微團上受力形式有哪兩種？它們各自用什么形式的物理量來表達？

［答］:教材P68-71

（I）質(zhì)量力，也稱體力，這種力作用在物質(zhì)中每個質(zhì)點上，其大小與每個質(zhì)點的質(zhì)量成正比。作用于某

物質(zhì)體上質(zhì)量力的合力將通過該物質(zhì)體的質(zhì)心。

3f=pF^T,7=近月；）為質(zhì)量力密度，與位置有關(guān)。

（2）面力，作用于流體微團表面S上的力。

§P=］）的，〃=［.Pp”為面力分布密度，p=n-p=n-P

J、ntj

17.什么是廣義的牛頓流體和非牛頓流體？

［答］:教材P8647

牛頓內(nèi)摩擦定律：流體微團的運動變形的的大小與其上所受的應(yīng)力存在線性關(guān)系。

遵從或近似遵從牛頓內(nèi)摩擦定律的一類流體稱為牛頓流體。不遵從牛頓內(nèi)摩擦定律的流體稱為非牛頓

流體.

廣義牛頓內(nèi)摩擦定律：偏應(yīng)力張量的各重量與速度梯度張量的各重量間存在線性關(guān)系。

遵從或近似遵從廣義牛頓內(nèi)摩擦定律的一類流體稱為廣義牛頓流體.

18.試述廣義牛頓內(nèi)摩擦定律的物理意義及相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式？

［答］:教材P87

廣義牛頓內(nèi)摩擦定律的物理意義：偏應(yīng)力張量的各重量與速度梯度張量的各重量間存在線性關(guān)系。

數(shù)學(xué)表達式：r,7=cijkl答~=ciJtlslk+cijklalk,其中，二階張量slk和?；锸兴俣忍荻葟埩康膶ΨQ和反對稱

部分.而四階張量%H稱為動力粘件系數(shù)張量.

19.什么是層流運動、紊流（湍流）運動和臨界雷諾數(shù)？圓管中層流和紊流運動的速度分布規(guī)律是什么？

［答］:

層流流淌是平穩(wěn)有規(guī)律的流淌狀態(tài)，流體介質(zhì)各部分之間分層流淌，互不摻混，流體內(nèi)部的微團具有

連續(xù)而平滑的跡線，流場中各種有關(guān)物理量（參數(shù)）的變更較為緩慢，表現(xiàn)出明顯的連續(xù)性和平穩(wěn)性。

湍流流淌是極不規(guī)則的流淌形態(tài)，流體介質(zhì)各部分之間，各層之間有著猛烈的摻混，其流體內(nèi)部微團

的運動跡線很不規(guī)則，雜亂無章，表征流體運動狀態(tài)的各種物理量也表現(xiàn)出不同程度的躍變和隨機性。

雷諾數(shù)：流體運動中，慣性力與粘性力的無量綱比值Re=—=

下臨界雷諾數(shù)：從湍流狀態(tài)到層流狀態(tài)的轉(zhuǎn)折點；

上臨界雷諾數(shù)：從層流狀態(tài)到湍流狀態(tài)的轉(zhuǎn)折點。

圓管中層流和紊流運動的速度分布規(guī)律：

層流：,=〃。一〃/（R23）（1）定常流淌的速度沿徑向的分布規(guī)律，由式（1）可以看出，

4〃

流淌截面上的速度分布是一拋物回轉(zhuǎn)面。

湍流：光滑圓管中的速度分布：:二5.7561g（些）+5.394

U.v

粗糙圓管中的速度分布與光滑圓管中的速度分布相同，只是變更方程的常數(shù)。

20.流體的阻力可分為哪幾種？管路中的阻力通常分為哪幾種？

［答］:粘性時產(chǎn)生阻力的根本緣由，依據(jù)阻力產(chǎn)生的不同機理，可分為：摩擦阻力和壓差阻力。

管路中的阻力通常分為：沿程阻力（即摩擦阻力）和局部阻力。

21.試說明粘性流體流淌的三個基本性質(zhì)。

［答］：教材P170-174

（I）粘性運動的有旋性

粘性流體運動時，有旋是肯定的，粘性流體的無旋運動是不存在的。

（2）運動過程中有能量的損耗性

在粘性流淌中恒久伴隨著機械能的損耗。這部分能量轉(zhuǎn)換成熱能形式傳遞給流體介質(zhì)及相鄰的固

壁，使其溫度上升而耗散。

（3）粘性渦旋運動的擴散性

在粘性流體中，渦旋強的地方要向渦旋弱的地方傳送渦量，直至渦量相等為止。

22.使流體渦量產(chǎn)生變更的因素有哪些？其中哪些是流體運動的內(nèi)在因素，哪些是外在因素？

［答］:流體渦曷產(chǎn)牛變更的因索有：（I）質(zhì)量力無勢：（2）流體不正壓：（3）粘性剪切應(yīng)力：（4）流體微

團的體積變更；（5）流體渦線微元的變形（渦線的拉伸、壓縮、扭曲）。

其中，流體運動的外在因素為：（1）質(zhì)量力無勢；（2）流體不正壓；（3）粘性剪切應(yīng)力。

內(nèi)在因素為：（4）流體微團的體積變更：（5）流體渦線微元的變形（渦線的拉伸、壓縮、扭曲）。

23.試說明層流邊界層和湍流邊界層的速度分布特征。

［答］:層流邊界層：層流邊界層內(nèi)的速度分布呈線性分布規(guī)律；

湍流邊界層：分為層流底層和湍流核心區(qū)。層流底層內(nèi)的速度分布呈線性分布，湍流核心區(qū)速度分布呈對

數(shù)分布規(guī)律。

24.試述雷諾應(yīng)力-夕的物理意義及其與分子粘性應(yīng)力的異同。

［答］:教材P230

雷諾應(yīng)力一夕函的物理意義：在湍流運動中，由脈動速度引起的應(yīng)力，稱之為雷諾應(yīng)力。

雷諾應(yīng)力與分子粘性應(yīng)力的異同：

相同：都是由于分子動量傳遞產(chǎn)生的應(yīng)力，都是剪切應(yīng)力。

不司：（1）引起動量傳遞的緣由不同（雷諾應(yīng)力：分子脈動：分子粘性應(yīng)力：分子熱運動）：

（2）分子粘性應(yīng)力與粘性這一物質(zhì)固有屬性有關(guān)，而雷諾應(yīng)力取決于流體的流淌特性，與流場性質(zhì)

有關(guān)，與所處位置和時均速度有關(guān)。

25.試述平板湍流邊界層的結(jié)構(gòu)及其速度分布特征。

［答］:教材P24L242

結(jié)構(gòu)：沿壁面法向，在板面旁邊有層流子層流區(qū)，其速度呈線性分布(士=<().()1),而后為很小的過渡

O

區(qū)，接著為湍流核心區(qū)。

結(jié)構(gòu)：層流子層流區(qū)-----A過渡區(qū)------>湍流核心區(qū)：

內(nèi)層：粘性底層-----?過渡區(qū)------?湍流核心區(qū)；

外層：粘性頂層及邊界層其余部分。

速度分布特征：

層流子層流區(qū)(0<些工8)：土二且，速度呈線性分布;

vU.v

過渡區(qū)：8<<30

v

湍流核心區(qū)(30〈怨)：土=5.61g(些)+4.9,速度呈對數(shù)分布。

vv

二、推導(dǎo)及證明

1.依據(jù)質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)連續(xù)性方程。

［證明］:教材P78.79

依據(jù)物理學(xué)中的質(zhì)量守恒定律，由某封閉的物質(zhì)面S所圍成的體積廠中的物質(zhì)在運動過程中不殲滅也

不創(chuàng)生，即使說，在運動過程中由物質(zhì)面S所圍成的體積r中的流體介質(zhì)的質(zhì)量保持不變，是守恒的。

在體元素應(yīng)■中，若流體介質(zhì)的密度為0,那么其質(zhì)量就為5〃=*r,于是有限體積z中的質(zhì)量加為

m=jpdr(1)

依據(jù)質(zhì)量守恒定律的物理含義：體積r中的質(zhì)量加在其運動過程中保持不變，這意味著，質(zhì)量〃?的

隨體導(dǎo)數(shù)為零，即也=旦(%加)=()(2)

dtdtL

由物質(zhì)體元素的隨體導(dǎo)數(shù)表達式=5N"知削質(zhì))=］(等”▽?加(3)

于是由式(2)有￡(^+pVV)Jr=0(3)

即+V-(pV)](^r=0(4)

考慮到奧-高公式介）有

/9V”胡=0(5)

式（3）到式（5）都可稱之為積分形式的連續(xù)方程。

由式（3）和式（4）的被積函數(shù)為零可干脆得到微分形式的連續(xù)方程:

+pV-V=0(6)

+V-(pV)=0(7)

2.依據(jù)動量定律推導(dǎo)出微分形式的運動方程。

[證明]:教材P80-81

封閉曲面S所圍成的體枳7中流體物質(zhì)體的動量為體積分：\pV8r,

其變更率就是體積分的隨體導(dǎo)數(shù)：削好力,

而該物質(zhì)體「上所受外力為其上的質(zhì)量力：J,月”和面力：（瓦方二虹》方

由動量定理得：—\pVdv=]＞片汗+'瓦方=J/7片加+,方尸況，

因為

—（[pVSr）=f—（pV）6r+[pV%=f（p—+V迦）%+fpV（V.R）加

dtizdtJrdtJrdtdtJr

=（p.E+]y（等+pV-V）5r

由連續(xù)性方程知，jy（穿+加刀）加=（）,

所以j夕更出加?+,瓦南=j夕月無+,萬.2方，

rdtrsvs

又!夕當(dāng)!夕（得+J夕日bT+g匕2R南

得到J夕晉加+,pvnV6S=\pF3r+河

由奧■高公式￡斤?產(chǎn)力=卜?pa

所以，［=j0戶涼+『.P涼

于是得到微分形式的動量方程夕四=pF+VP

dt

3.依據(jù)能量守恒定律推導(dǎo)出微分形式的能量方程。

［證明］:教材P83?85

4.試推導(dǎo)出運動方程的Bernoulli積分和lagrange積分。

［證明］教材P108-109

5.在不行壓縮流體中，若流線是＜和人=G兩曲面的交線。試證明:

V=網(wǎng)力X）,其中F是/；和八所確定的函數(shù)。

［證明］:設(shè)工,力，力構(gòu)成曲線坐標(biāo)系，于是人人，人滿意:

。"，力，力）工0

8（內(nèi)，工2，工3）

由題設(shè)：流線是，=G力=。2兩曲面的交線，那么速度場V的方向?qū)⑼瑫r垂直于/,/；的梯

度方向。因此：？〃Y/；XY/*2于是速度場可以表示為：*=~/,力,力）（號乂“2）

即要證明?不顯含力：—=0

一彷

▽“=▽?產(chǎn)"/M）（W；xV5）］=o

而V.（V/jxV/i）=V/2.（VxV/；）-V/i.（VxV^）=0

▽W(xué)=▽/（九人/）?（號xWi）

所V

￥

V/;第VA）-（V/XV/2）=—VA-（V/,XV/2）=0

l^-.

息=8（工//）二0

la雪x

又Nf37fH=

~T~6（凡,工2，七）

la空r

小

然

也就是說產(chǎn)中不顯含/3。于是，有：V=F（/1,/2XV/'1XV/-2）O此題得證。

6.證明不行壓縮志向流體作二維定常流淌時，忽視質(zhì)量力，其流函數(shù)〃和渦旋。滿意

摯@=0,若。為常數(shù)，則壓力方程為旦+二+?！?常數(shù)。

電,），）p2

dv丫2---1

［證明］:由：—+V（——）+QxV=F+-VP

dt2p

V/2__i

志向、定常、忽視質(zhì)量力V（—）+QxV=一一▽〃

2P

V2p--

V(—+±)+OxV=0

2P

兩邊取旋度▽x[V(—+-^)+QxV)]=0

2P

Vx(QxV)=Q(VV)-V(VQ)+(VV)Q-(QV)V=O

不行壓Q(VV)=O蝸旋場無源V(VQ)=O二維流淌(QV)V=O(VV)Q=OVVQ=O

〃?空+口.曰=。

dxdy

dwoQ3材SC_

—----------------------=0

dydxdxdy

四也=0

y)

由：V(—+-^)+QxV=()(I)

2P

QxV=Q^x(uex+vej=Q.(uev-vex)=Q(^-ev+—ex)

dydx

由于，C為常數(shù)：QxV=1=▽9〃)

辦‘dx

V2p

代入(1),得：V(—+上+C材)=0

2P

兩端積分，得：—+^+Qy/=C

2P

7.進行圓管中流體摩擦試驗時，發(fā)覺圓管中沿軸向的壓降”是流速口、密度°、粘性系數(shù)〃、管長/、

管內(nèi)徑d及管壁粗糙度Z=絲的函數(shù)，而且△〃與/成正比。試用因次分析方法證明

ad2

其中4=2(Z,Rc)為無因次系數(shù)。

［證明］:由題意可假設(shè)存在關(guān)系A(chǔ)p=/l(^Re)fdappu(1)

相應(yīng)各量的量綱(因次)為：hp]=一^1

d]=W

[L][T]2八圖"⑺用

式⑴對應(yīng)量綱的協(xié)調(diào)條件為：[知]1[〃"[7「2=3廣。廣“-3見731

于是，對于M量綱，有：ft=\

T量綱，有：一/二一2y=2

L量綱，有：1+a—3/+/=-1a=-i

將：a=-\0=1y=2帶入(1)式，得：Ap=lLpiJ

d2

此題得證。

dV1

8.試從運動方程：p——pF7F和本構(gòu)關(guān)系尸=-p/十2〃(S-—V?V7)

dt3

dV-1-

推導(dǎo)出：粘性不行壓縮流體的運動方程為：牛=尸--Vp+vAV

dtp

—z/Q一一一

假如體力有勢即/二-VG則有：——(Q")V=心。

dt

(JV1

[證明]：(1)將本構(gòu)關(guān)系帶入運匆方程：p——=pF-Vp+2//V-(5一一VV/)

dt3

一dV-

考慮到不行壓縮流體▽"=()上式為：三-二/--1Vp+2vVS

dtp.

d1du}1d叫ddu,.1,濟〃。陰1-

VS=------(--+—L)=-(----------+---------)=-{—r+---------L)=-AV

dXj2dxtdxj2雙陰.dxt弭2dx；四郎2

=F——Vp+vAV

dtp

(2)考慮到體力有勢：半=—VG—，V〃+必V

dtp

dVdV-dVVV一

—=—4-(V-V)V=—+V(------)-Vx(VxV)

dtdtdt2

—+V(—+G+-^)-VxQ=yAV

dt2p

兩邊取旋度：

加---

Vx-------Vx(VxQ)=i/VxAV

dt

Vx(VxQ)-V(V.Q)+(QV)V-Q(VV)-(V.V)Q

旋度無源：V(VQ)=O,不行壓C(V?*)=()

所以，Vx(VxQ)=(QV)V-(VV)Q

-^-(Q-V)V+(VV)Q=EAQ

.-y-/Gx-7\r\d。

由于一+(V?V)Q=——

dtdt

z/O———

所以，可得：-——(QV)V=PAQ

dt

證畢。

9.證明對粘性不行壓縮流體定常運動，若外力有勢0則有：+g+

vdsp2

其中s為沿流線的弧元素，，為渦量，u為運動粘性系數(shù)，V為流體速度，〃為壓力函數(shù)，p為密度。

dvV2-1-P-

[證明]:——+▽(——)+QxV=F一一▽〃-HxQ=-V(J+人)一兇X。

dt2pp

-V2p-

QxV+V(——+4+&)=-1/VxC(I)

2P

在U)兩邊同以流線切線方向的單位向量及作左向內(nèi)積：

--V?pdpV2v--

^.[QxV+V(-4-^4-^)]=—++―)=--V-(VxQ)

2posp2V

VdpV2--

--(-^-4-^4--)=-V(VxQ)(2)

vdsp2

(1)兩邊同求散度:

--V2

V.[QxV+V(——+彳+p匕)]=0

2P

V.(QxV)+V2(—+^+-^)=0

2P

1/2

-Q(VxV)+V(VxQ)+V2(—+4+馬=0

P

22

V(—+^+-^)=+Q-V-(VXQ)(3)

2P

(3)—(2),得:

(V2-lv—)(-^+J+§)=cP

vdsp2

外力有勢時流函數(shù)W滿意：'++*—+)=兇4%

10.證明：不行壓縮流體的二維運動,

dtd(x,y)

生科

。甲、2中)二菽

其中,dy

d

3(x,y)—(V2KP)—(V7^)

dx

［證明］：粘性不行壓縮流體渦旋運動方程：(見教材624式)

??▽W(xué)=vAQ二維運%—=vM'l

dt

co.scan

——+〃——+v——二vAQ

dtdxdy

考慮流函數(shù)4=—匕V=一——

dydx

旋度計算式。二2一蘭二一

dxdy

dQ.6QSC6c0“d/id,口。、A,m、

——+u——+v——=X/~y/+-(一▽-夕)(一=vA(-V~^)

dtdxdydtdydxdxdy

兩邊取負號

Z▽”+處包=內(nèi)平

dta(x,y)

三、計算題

1.在柱坐標(biāo)系下，匕=電警，％=當(dāng)，V.=0,求流線族。

產(chǎn)產(chǎn)

［解］:柱坐標(biāo)系下的流線方程為：—=—=—

。匕叭

dr_rdO

所以,

cos。sin0

~rF~~rF~

dr_rdOe“+drCQSOCIO

即,因此，有：—=------

cos。sin0rsin。

dr_Jsin6

即:

rsin9

所以，有：Inr=ln|sin^|+C

即，Inr-ln|sin^|=C|sin^|,

<|sin^|。

所以，流線族為:

z~c?

2.在直角坐標(biāo)系下，u=x+tfv=-y+tf卬=0,求流線族和跡線族。

［解］:直角坐標(biāo)系下，流線為：—=-^-=—

uI，w

所以，生二上匚

x+/-y+t

即，ln(x+0=ln(-y+0+C

亦即，ln(x+r)+ln(y-r)=Cln(x+r)(y-r)=C(%+Z)()，T)=G

(x+r)(y-r)=C.

所以，流線族為：\二’1

z=C2

公

-

力u=x+t

X(f)=C]/H—t—1

由

l

所以，跡線族為：\y(t)=C2e~+t-\

求跡線族：＜力v=-y+t

龍

z(f)=C3

一0

力

3.在球坐標(biāo)系下,%=—匕1+￡sin。，%=0,試證明：r=a是流面。

［解］:

4.設(shè)有肯定常流淌為：u=y+2zv=x+2zw=x-^-y

求：速度梯度張量，變形速度張量，應(yīng)力張量，偏應(yīng)力張量以及作用在球面/+V+z2=1上的合力。

（設(shè)流體介質(zhì)的動力粘性系數(shù)為〃，壓力函數(shù)為〃）

紳

包a

-v

01^>

嘉11

aA包aav0

［解］:速度梯度張量▽V二g±二v=11^

力-

^2

血￥1曳2

<a7

-絲v

-"

azaz

-P2〃3〃

應(yīng)力張量P=-/必+0=-p%+2Msij+-Sk6j)=2p-p3〃

、3月3〃-p)

'02〃3/

1

偏立力張量r--=2〃(為+—%%)=2〃03〃

3

、3〃3〃0.

1等3

faiv-z

\x(o1-

&22

11.3

-a￥v-(zc1o-

變形速度張量S=2av2\2

ax

1如33

aiv--o

-(z

\至22

2axaz

球面上的合力

F=[e-P6s

Jsr

er=sin”ose,+sin”in",+cos夕乏=%

'-P2〃3〃、

P=PH=2〃-p3〃

。[i3〃-p)

尸=/=￡sin兩0%

=ev￡sin(/^>￡(-〃singxx)s〃+2psin”in，+3pcos0)M

7

+^v￡sin^>￡(2psingos8-psinin6^+3//cos^?)^

十，J)sin^%?￡(3//sin^cos^+3/7sin^sin^-pcos^)<^

尸=。/sin^J)(-psin^cos^+2/vsin^sin^+3//cos^)<^

+ev￡sin^>](2psin?os0-psin0inO+3mos

十三，sin^c>￡(3//singosO+3[/sinQinO-〃cosQ)^7

7

F=ex￡3//cosW『sin^9+ey￡3//cos^^sin^>+e.j^-pcos夕夕『sin^t%?

=(3〃eA+3〃ey-p?、,)24，cos°sin^9=0

5.如圖，水平放置的兩塊平行無窮平板間有厚度為4、b,

粘性系數(shù)分別為4、4的不相混的不行壓縮流體作平行

于平板的定常的層流運動。試求：速度沿厚度方向的分布

以及兩層流體在界面上的切應(yīng)力的設(shè)沿流淌方向上的

壓力梯度為常數(shù)，即蟲=440）。

ax

［解］:定常、層流、水平流淌限制方程：

也=0強=0皿=0

dxdxdx

1

0r=---d-p+vA.?AA//=——1前—Aw=-

pdxrr〃dxK

d'u71dll71

——t=——-=—y+A

dy-〃dy

a層流淌w=—y2+Ay^^.

t/2〃J

b層流淌uh=J-y~+A,y+B、

24

邊界條件:

磯=o=。

磯…=°A

?=>s

尸b-0-"aly=b+O為

d4B

42

dy-y=b+0

6.試分析復(fù)位勢W（z）=In的基本流淌;

［解］:W（z）=wln|z--j=mln----=wln［+__12=mln（z+l）+/??ln（z-l）-/7/lnz

（zj\z）Iz；

當(dāng)m為正實數(shù)時，好位勢描述的流淌由兩個強度均為〃？，位置分別在（-1,0）和（1,0）的點源

及一個強度為m,位置在（0,0）的點匯組成。

7.已知流體通過漏斗時旋轉(zhuǎn)的速度分布可用柱坐標(biāo)表示為：（a為漏斗半徑）

S0</*<?:vr=0v0=—a)rv.=0

2

當(dāng)rNa:vr=0v0=—(o-v.=0

2r

求：渦量C=說明在什么區(qū)域是有旋的.什么區(qū)域是無旋的？（3是常數(shù)）

心%e.

-1ddd

rotV=—

Jr&

匕2v.

［解］:計算渦量柱坐標(biāo)

3啕

1dd

(fi<r<a)

7瓦而

*①產(chǎn)

d~T

dz

Mz.嗔

d

(r>a)

而

coa1

0

8.帶有自由面的粘性不行壓縮流體在傾斜平板上由于重力的作用

而發(fā)生運動。設(shè)：平板無限，與水平面的傾角為。，流體的

深度為fb作定常直線運動。求：速度分布、流量、平均流速、

最大流速及作用在平板上的摩擦力。

［解］:不行壓縮，定常

也=0

2

dux_sinag

d