《高等數(shù)學(二)》期末復習題

一、選擇題

1若向量方與向量"二(2,—1,2)平行,且滿足4=78，則()

(A)(-4.2,-4)(B)(2,-4,-4)

(C)(4,-2.4)(D)(Y,-4,2).

2、在空間直角坐標系中，方程組卜W-z二。代表的圖形為z=

()

(A)直線⑻拋物線⑹圓(D)圓柱

面

3設/=JjM+VWx4,其中區(qū)域。由/+)2=/所圍成，則/=

()

(A)［「dej/rdr二加(B)二2力口，

(C),協(xié)彳如'(D)二;帚

4x設L為：x=1,0"4的弧段，則/”二()

(A)9(B)6(C)3

5、級數(shù)的斂散性為（）

±1n

（A）發(fā)散（B）條件收斂（C）絕對收斂（D）

斂散性不確定

6、二重積分定義式口f（x,y；da=lim2?/（。，力）△巧中的4代表的是

（）D'f=J

（A）小區(qū)間的長度（B）小區(qū)域的面積（C）小區(qū)域的半徑（D）

以上結果都不對

7、設/（X,田為連續(xù)函數(shù)，則二次積分f&q："y）dy等于（）

（A）（B）fdyT/（x.y）dx

（C）fdy￡/（x,y）dx（D）J'dyJ"f（xty）dx

8、方程2z二，+y2表示的二次曲面是（）

（A）拋物面（B）柱面（C）圓錐面（D）

橢球面

9、二元函數(shù)z二/（x.y）在點aO,孔）可微是其在該點偏導數(shù)存在的

（）.

（A）必要條件（B）充分條件（C）充要條件（D）

無關條件

10、設平面曲線￡為下半圓周),=-717,則曲線積分￡(x2w)ds=()

(A)0(B)2〃(0冗

(D)4〃

11、若級數(shù)￡%收斂，則下列結論錯誤的是()

“■1

(A)￡2%收斂⑻￡(%+2)收斂(C)￡%收斂(D)n.In.In.100

￡3冊收斂--1

12、二重積分J]f(a“cLrd.y的值與)

D

(A)函數(shù)/及變量有關;(B)區(qū)域D及變量“V無

關;

⑹函數(shù)，及區(qū)域D有關;⑻函數(shù)，無關，區(qū)域D有

關。

13、已知力滑且a二(1,2,7),?二(X,4,-2),M/-()

(A)-2(B)2(0-3(D)

3

14、在空間直角坐標系中，方程組｛2=，+V代表的圖形為()

),=1

⑹過原點且，2軸(D)過原點且〃X

軸

20、平面2x+〉,+z-6=0與直線平二7二彳的交點坐標為()

(A)(1,1,2)(B)(2,3,4)(0(1,2,2)(D)

(2.1,1)

21、考慮二元函數(shù)的下面4條性質：

①〃2)在點(%,%)處連續(xù)；②千(x,y)在點(%,%)處的兩個偏導

數(shù)連續(xù)；

③7a,),)在點(%，汽)處可微；④/*,),)在點%九)處的兩個偏導

數(shù)存在.

若用“尸二?！北硎究捎尚再|P推出性質。，則有()

(A)②“③二①⑻③二②二①⑹③二@二①

(D)③?①二④

22、下列級數(shù)中絕對收斂的級數(shù)是()

(A)(B)^tan-L(C)

n-1V*+1n.In.12*+3

(D)yin(l>I)

七H

23\設z=xsiny則包-(

/IT

?-T(8)f(6)V2(D)-72

24、設石為常數(shù)貝4級凌攵￡(—I)"(I—cos色)

(A)發(fā)散⑻條件收斂⑹絕對收斂(D)收斂

性與a的取值有關

25、設常數(shù)女>0,則級數(shù)￡(-1)“二2()

“I〃~

(A)發(fā)散(B)條件收斂⑹絕對收斂(D)斂散性

與攵的取值有關

26\J1Jxjeydy—()

(A)竽(B)e-l(6)?(D).+I

二、填空題

kIim二二

2、二元函數(shù)n=sin(2x+3以則生=dx

3、積分/二JJJe4/b的值為x2+y2<4

4、若a6為互相垂直的單位向量，則a6二

5、交換積分次序jjiZrJ。/(x,yMy"

6、級數(shù)￡(:+/)的和是

“1LJ

7、三一即二

D盯，T)

8、二元函數(shù)z=sin(2x+3以則」二

9、設/(x,y)連續(xù)，交換積分次序J:八[J(x,y)dy=

10>設曲線Z?:x+yT,則J(2sinx+3ycosx)Js=

L

11>若級數(shù)為觥+1)收斂，貝”迎與二

〃■]“T8

12、若/(x+y,x-y)=x2_y2則/(*,))=

⑶Hm三叵五二

XToxyy-M)

14、已知aJ_〃且”=(133)g二(0,工，一1),則X二

15、設z=1D(A?+/),貝4t/z|(l1；

16、設/(x.y)連續(xù),交換積分次序j

17級數(shù)月〃“二S,則級數(shù)￡(露+〃鵬)的和是.〃■】

18、設L為圓周：/少才，則曲線積分/二電*目”卡的值為

I-cos(x2+F)

19、Iim

20、3輕由下二i+/,B="，貝U1X6二

21、Iim網(wǎng)回二3X

22八已知向量3、/?滿足d+〃=0,|n|=2,貝|］。石二

23、設L為連接(1,0)與(0,1)兩點的直線段，則j(x+y)4s二

24、Iim/x"=_____________________________________

(21oo)次+/+1_1

25、2=3,b=4,［與B的夾角是工，《')axb=2

26、已知三角形的頂點A(U,T),8(2J,0),C(0,0,2),則AABC的面積等于

27、點(2,3』)至1|點加2(274)的距離附|“［二

28、若1二一2總7二；+2：一匯則二7二

29、］血23

I：盯

30、函數(shù)〃占了)=/0-3)+*-1)*,求人(1,3)二

三、解答題

1、（本題滿分12分）求曲面z-/+2xy=3在點（1,2,0）處的切平面方程。

2、（本題滿分12分）計算二重積分JJeQx6,其中。由y軸及開口/；

向右的拋物線

y2二x和直線y二I圍成的平面區(qū)域。

3、（本題滿分12分）求函數(shù)“二/〃（2x+3y+4/）的全微分〃

4、（本題滿分12分）證明：函數(shù)〃x,y）=R71"4）=（°10）在點（0,

,0,（x,J）=（0,0）

0）的兩個偏導數(shù)存在，但函數(shù)/（x,y）在點（0,0）處不連續(xù)。

5、（本題滿分10分）用比較法判別級數(shù)冬（崇”的斂散性。

6、（本題滿分12分）求球面/+/+22=14在點（1,2,3）處的法線方程。

7、（本題滿分12分）計算/二JJ（x2j2）dxdj,其中

+D

D={（x,y）rx44}o

8、（本題滿分12分）力戶={*,_『/}的作用下，質點、從（0,0,0）點沿

x=,

L=y=2t移至

Z=t2

（1,2,1）點，求力/所做的功W。

9、（本題滿分12分）計算函數(shù)〃=xsin（yz）的全微分。

10、（本題滿分10分）求級數(shù)J—L—的和。

11、（本題滿分12分）求球面爐+”+22”分在點（1,2,3）處的切平面方

程。

12、（本題滿分12分）設z=In（/+沖+）,），求乂?色+丁-dxdy

13、（本題滿分12分）求口（?/一?。┬膁1其中。是由》二二y二0,

D

2,2t

x+y=1

在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域。

x=0

14、（本題滿分12分）一質點沿曲線〉，二/從點（0,0,0）移動到點

z=r

（0,1,1）,求在此過程中，力戶=JI+x*7-￡+9所作的功兒

15、（本題滿分10分）判別級數(shù)〃s/〃■的斂散性。

16、（本題滿分20分）

求一條過點A（-1,0,4）與一平面乃:3x-4y+z+10=0平行，且與直線

八四二三二三相交的直線方程.112

17、（本題滿分20分）

求橢球面/+2）3+3/二21上的點M,使直線L:二八二匚八=:1?在過M21-2

點的切平面上.

18、（本題滿分12分）計算二重積分/二JJ\xy\ch-dyo陽甲

19、（本題滿分12分）已知yz+勿+個=1,確定的zz(X,y),求dzo

20、（本題滿分12分）設z=/（X.y）是由方程/+/=2e所確定的隱函

數(shù)，求J、zve

21、（本題滿分10分）計算二次積分二公￡cosA?dx+j-dyJ；cosx2

dx.

*2,

22、（本題滿分10分）計算函數(shù)z二2"町的全微分.

23、（本題滿分10分）計算二重積分打工修其中以0WxW1.0

O1+X

24、（本題滿分10分）已知向量）二（1,1,1）,〃=i+2J+4A,求近萬和axb

25、（本題滿分10分）求曲面工+通，+,1”二9在點（123）處的切平面方程.

《高等數(shù)學（二）》期末復習題答案

一、選擇題

1、A解：利用平行向量對應的坐標成比例，設坂=（2/,T,2f）,又因

a-b=-18=(2,—1,2).(2/,—f,2/)=4/+f+4f=9fnf=-2=>b=(-

4.2,-4)

2、C解：將Z=1代入,+/-z=。得到/+/=1,此時圖形為圓。

3、D解：用板坐標計算方便，

/=□,+/%的二j：呵;二2".￡?=-naA

D°42

4、A解：利用曲線積分的性質，則J/6JS=6"s=6.(5-0)=9

5、B解：由萊布尼茲判別法可得到級數(shù)收效，但

//

發(fā)散，所以是條件收斂。

6、D解：二重積分定義式口/(2必7二督￡八4,7)八5中的/是分

DJ

割細度，代表的是。個小閉區(qū)域直徑中的最大值。

7、B解：畫出積分區(qū)域，確定每個變量的上下限，交換積分次序以后，得

,(x,y)dy=1：4Jo"f(&JM*

8、A解：2z=,+y2在三維空間里表示的是拋物面。

9、B解：z=/(x,y)在點“。，均)可微一定能推出偏導數(shù)存在，所以是充分

條件。

10、C解：利用曲線積分的性質，則沿著下半圓周y=Vi二了的曲線積分J.

(/+『20s=J,]4s=￡.2/r=n

11、B解：若級數(shù)￡%收斂，由收斂的性質4G。三個選項依然是“-1

收斂的，而￡(%+2)未必收斂，或者排除法選擇B。/1.1

品務疆的舞迪碌盟颯，的值與函數(shù)有關，與積分區(qū)域有關，而與

13、B解：利用平行向量對應的坐標成比例，Z=(84,-2),則

后2

14、B解：將y二I代入z2=，+y2得到？2=A1代表的圖形為雙曲線。

15、B解：對y求偏導時，x看作常數(shù)，z=arctan(X+y),貝4冬二-!

②I+(x+yy

16、A解：畫出積分區(qū)域，確定每個變量的上下限，交換積分次序以后，得

J：力J；,x,yMx=x,y)dy

17、C解：利用級數(shù)收斂的定義可得5.

18、D解：利用曲線積分的性質，被積函數(shù)關于x是奇函數(shù)，由對稱性，可

得則曲線積分/二屯2盯〃$二0

19、A解：直線方程為則原點坐標(0。0)滿足方程，該直線必過原點，直線

的方向向量為(0.2),X軸的方向向量為(1,0,0),又因為(0,1,2)(1,0,0)=

0,所以直線過原點且一Lx軸。

20、C解：將直線方程寫成參數(shù)式，代入平面方程求交點坐標，或者

代入法驗證也可?！?T『二一一二fd級"代入2x+y+z-6

得1二交點坐標為(1,2,2)21、A解：熟悉二元函數(shù)的概念之間的聯(lián)系,

偏導數(shù)連續(xù)二〉可微二連續(xù)；或者

偏導數(shù)連續(xù)二可微二偏導數(shù)存在

22、B解：tarT~5=￡tan一絕對收斂。

n

23、B解：對V求偏導時，x看作常數(shù)，z-xs:ny=>--xcosj，代

入點的坐標出rcjV2

.(用

2心c解：(「COS：)~親二級數(shù)￡(7)”(1-C0S()絕對收斂。

25、B解：(-1)^二?(-1)與+(—1以本5數(shù)￡(―1)“小二條件收

攻"nn晉"

26、C解：交換積分次序后計算簡單

Jo5/：/通二J：時：/認二J：J.ydy=4//=V：=*_1)

二、填空題

K支解:第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三

步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。

nxy_xy(JI+xy+l)xyCl+xy+Dr----------

Iim4-=-----=Iim——-------￥-------------=Iim------------=IimJI+xy+1-

2

3y]/+xy-13(yjI+xy-1)C1+xy+y)o1+xy~1-o、

2、2cos(2x+3y)解：對X求偏導時,V看作常數(shù)，

Z=sin(2x+3j)=>—L=2cos(2x+3j)dx

3、乃(/T)解：用極坐標求解簡單

4、0解：兩個向量垂直，則點積為OnH=0

5、解：畫出積分域，再確定積分限

Jo'xJ：八89'=?[;甸；"X。"

7、.解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第

三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。

Hm：-(4乜

產(chǎn)二產(chǎn)黑鏟工盯(2+歷后)

1

二~Ilin------,=--

二；2+j4+xy4

8、3cos(2x+3j)解：對V求偏導時,X看作常數(shù),

Z二si〃(2x+3y)=—二3cos(2x+3j)為

9、JjyJ,尸解：畫出積分域，再確定積分限

Jo"=」：可二/2?！?/p>

10、0解：利用曲線積分的性質，奇函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分為0

J(2sInx+3ycosx)ds-0

L

11、工解:￡(〃“+1)收斂二>巾11(〃“+1)二0二應？〃"二一1

12>xy解：設x+p=uyx-y=vX"-y-uv

=/("#)=MV=>f(x,y)=xy

13、7解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第2

三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。

1-7T7I7?(1-6+盯乂1+」+盯)n1-(1+盯)

Iim----*—=Iim------：~~>-^―=Iimv.

:::盯；比盯4+歷斤)二盯(G師斤)

—；o+比方)2

14、3解：兩個向量垂直，則點積為二0=x-3=On*=3

15、7AM解：考查全微分的概念，先求兩個偏導，求全微分，乙乙

再代入定點

3x232

33

Z=In(x+j)=>zx=-r-X_*-一八一又因為4z=z/Zx+z力

X+T3X+y,

="Z(ia)

16、解：畫出積分域，再確定積分限

J:句:J(x,y)dx二J：句"/(8外加

17、2S-%解：￡%=S二**二S-/=N(%+%+J=2S-%N1n.In-1

18、。解:利用曲線積分的性質，奇函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分為0.

貝i]/=(j)xsinyds=019、2解：本題用到了連續(xù)函數(shù)的性質，等價無窮小

的替代，

nl-cos(x2+J?)Hl-cos(x7+J7)?I-cos(x?+J?)

Iim----------r-=Iim-----------5-5—=Iim------------5---

(X.F)TO.O)(12+,2)/*尸(xjiuMh(x,+y,(*J)-MO-O>(x+y)

如+/)2

二Iim---..——=0

(n{Q?a)(x+y)20、-r+；解：本題用到向量積的求解方法

/Jk

a=i+j,b=-k,貝1]IxB=110=-1+J

21、o解：11m山口則用-v〃x->0xx-X)XV

22、—4解：//+b=0=>b=-a,又回=2,=>a-b=?b-cosn----------

23、直解：L為連接(LO)與(0,1)兩點的直線段，此線段的方程是x+y=/此線

段的長度是V9,=>￡(x+y)(Is=￡Ids=|/224、J解：第一步分母有理

化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子，第四步利用連

續(xù)性求解極限。

X2+V2H.(X?+/八+1+°

11my--------------------------------------------

Q1/nJx2+J2+]—1

(xj)f(o.o)(Ji+V+i—1)(&+/+1+1)

Iim心空吁互辦

(x.y)TO.O)x[+)/+]_]IimJP+/+T+1=2

a.y1(0.0)”

25、12解：利用向量積的模的求解方法

sin-=3x4x1

122

26、2解:利用向量積的模的幾何意義，三角形的面積

J2

S二||ABXAC|

VABxAC=101

-1-13

...5=/x恁6a+2+(7)2二手二乎.

27、,5解：利用兩點間的距離公式

IMM|二7(2-2)2+(7-3)2+(4-1)2=%+3?=5

28、3解：利用點積公式二％=(3.-1,—2).(1,2,-1)=3-2+2=3

29、1解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三2

步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。

H1盯+1—1)(>/盯+1+1):盯+i-i)

lim-------------=Iim----------------------------------I=HmJ

葭：盯葭：盯(Jxy+1+I)力；盯。/盯+1+1)

XV_1_1

二球示盯+2

30、色解：對x求偏導時，y看作常數(shù)，求完偏導以后代人已知

點的坐標

Jy

f(xfy)=^(y-3)+(x-D^=>fx(x,y)=2x(y-3)+e+(x~l)y十代入點的坐

標人(1,3)=2?1.(3-3)+/+(i—i).3./=e3

三、解答題

1、(本題滿分12分)

解：［殳尸(*,y,z)=Z-e1+2盯一3

貝IJ匕=2y，F(xiàn)=2x,￡=/—/

—>

對應的切平面法向量〃二(戶，，2.。)

代入(1,2,0)可得法向量：(4,2,0)

則切平面方程：4(x7)+2(j-2)+0(z-0)=0

或2x+y-4=0

2、(本題滿分12分)

X2%

解：JJeydxdy=1)小爪eydx

?y1

=fo

Jo

=L(yeY-y^y

2

3、(本題滿分12分)

解：因為名二——?——‘du-3du_8z

dx2x+3y+4z勿2x+3j+4z2'dz,2x+3y+4z

,du.du.du.

(in--dx+—dy+—(!zdxdydz

所以du--------dx十--------------------------dy+----------------~dz

2x+3y+4z2x+3y+4z2x+3y+4z

4、（本題滿分12分）

角翠：￡（0,0）=lim/（。+“。）一/（。。）二八9二°

A'AiO

同理人（O0）二。

所以函數(shù)在（0,0）點兩個偏導數(shù)存在。

Y2?kk

???Iim,/（x,y?-Iim----------=--------r

l）x+Kx1+K

A-MJ

/.Iim/（x,v）不存在XTO'y~?0

因此函數(shù)在（0,0）點不連續(xù)

5、（本題滿分10分）

解：?一（｝■）"<（?）"=（!）",2n+1In2

而三（胃星實斂的等比級數(shù)

原級數(shù)收斂

6、（本題滿分12分）

解：設尸（x,y,z）=,+y2+z2-14

貝UF=2x,Fy=2y,F.=2z

對應的法向量H=（Fx,Fy,FJ）k,3）

代人（1,2,3）可得法向量：（2,4,6）

則法線方程：

7、（本題滿分12分）

解：1二￡%*儲3夕

?1M

-2n--p]

15二n

8、（本題滿分12分）

w=

=￡xdx-ydy+xdz="tdt-4t(It+21:dt=,(2產(chǎn)—3。

5

zz?■一

6

ii'-sinyz,wv=xzcosyz-xycosyz*y[

二dii=Uxdx+u\dy+u[dz

=sin(yz)dx+xzcos(jz)Jy+xycos("Wz

10、（本題滿分10分）

解一…二_)_

n(n+I)〃/i+I

++???+

1x22x3n(n+1)

.?.11mS=Iim(l—)=

〃T8"T8"+1

所以級數(shù)，——的和為1

白〃(〃+1)

11、（本題滿分12分）

解：設尸（MMziW+zJJ

貝U%=2x,F=2y,F=2z

對應的切平面法向量代人（1,2,3）可得法向量：（2,4,6）

則切平面方程：2(X-1)+4(J-2)+6(Z-3)=0

或x+2y+3z-14=0

12、（本題滿分12分）

解：因為導2x+y&_x+2y

+xy+y"cyx-+xy+),一

dzoz2r+封+呼+213

所以

x-+y-...--------二2

dxdyx"+xy+13、(本題滿分12分)

x-pcoscp解：令

則0=((p,8)0CC0<p<l,

y-ps\n(p

所以jj（1_.2以皿=JJ呵:四/加劭n

D16

14、（本題滿分12分）

=￡JI+x"t/x-ydy+dz=j\-t+2t)dt

=J：W

2

15、(本題滿分10分)

解：設〃〃=/isin一

n

于是limwc=Iim—3=1^0SI<PfobnTOOJ

n

故￡明發(fā)散。n-l

16、(本題滿分20分)

x=t—)

解：直線L的參數(shù)方程為y=r+3

z=2t

所求直線的方向向量為W=(fJ+3,2/-4)與平面)的法向量1=(3,-4,1)垂

直,即

3,—4?+3)+(2/-4)二0得」二16

5=(16,19,28)

所求直線為四得1928

17、(本題滿分20分)

解：設點M(X。，y0,Zo)為所求的點，則橢球面在加點處的法向量

〃=(2與,4加64),

切平面的方程為XoX+2yoy+3z°z=21

直線L的方向向量1二(2,1,-2),由已知條件得1_Lt,即

〃?s二⑵0,4%,)?(2,1,-2)=4々+4%-12%=0

而直線L上的點(6,3J)必在切平面上，因此6%+6%+3品=21,