第3章線性系統(tǒng)的時域分析法

。重點與難點

一、基本概念

i.穩(wěn)定性

(1)定義：系統(tǒng)受擾動偏離了平衡狀態(tài)，當擾動消除后系統(tǒng)能夠恢復到原來的平衡

狀態(tài)，則稱系統(tǒng)穩(wěn)定，反之稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(2)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征根全部具有負的實部。

(3)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)：◎必要條件：特征多項式各項系數(shù)均大于零。②古爾維茨判據(jù):

由系統(tǒng)特征方程各項系數(shù)所構成的各階古爾維茨行列式全部為正。③勞斯判據(jù)：由系統(tǒng)

特征方程各項系統(tǒng)列出勞斯表，如果勞斯表中第一處各值嚴格為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果

表中第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；第一列各系數(shù)符號的改變次數(shù)，代表特

征方程的正實部根的數(shù)目。

(4)系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與系統(tǒng)自身結構參數(shù)有關，而與初始條件、外作用大小無關；

系統(tǒng)穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)特征根(極點)，而與系統(tǒng)零點無關。

(5)結構不穩(wěn)定概念：并非由于系統(tǒng)參數(shù)設置不當，而是由于系統(tǒng)結構原因導致的

不穩(wěn)定。

2.誤差及穩(wěn)態(tài)誤差

(1)誤差的兩種定義及其相互關系：從系統(tǒng)輸入端定義的誤差鳳S)如圖3.1(a)

所示，從系統(tǒng)輸出端定義的誤差Er(s)是系統(tǒng)輸出量的希望值R'(s)與實際值C(s)之差。

前者在實際系統(tǒng)中是可量測的，具有一定的物理意義；而后者一般只有數(shù)學意義。將圖

3.1(a)等效變換為圖3.1(b),可以看出E(s)與E'(s)之間有對應關系：

E，(s)=E(s)/H(s)°對于單位反饋系統(tǒng)來說，這兩種定義是等價的。

(2)穩(wěn)態(tài)誤差％是系統(tǒng)的誤差響應達到穩(wěn)態(tài)時的值，是對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)控制精度的度

量，是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標。

(3)計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法：

1)一般方法：

i.判定系統(tǒng)穩(wěn)定性(對于穩(wěn)定系統(tǒng)求償才有意義)；

ii.按誤差定義求出系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)①/s)或；

iii.利用終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差：=lims,[(2，(s)H(s)+a%,(s)N(s)]。

.S->0

⑸(b)

圖3.1控制系統(tǒng)的兩種誤差定義

2）穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法：

i.判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；

ii.確定系統(tǒng)型別u,求靜態(tài)誤差系數(shù)；

iii.利用在控制輸入作用下，與系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)間的關系表格確定J

值。

（4）穩(wěn)態(tài)誤差不僅與系統(tǒng)自身的結構參數(shù)有關，而且與外作用的大小、形式、作用

點有關。

（5）系統(tǒng)的位置誤差、速度誤差和加速度誤差分別是在位置信號（階躍）、速度信

號（斜坡）和加速度信號作用下系統(tǒng)響應達到穩(wěn)態(tài)時輸出與輸入之間的誤差，是位置意

義上的誤差。

（6）要反映穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化的規(guī)律，可用動態(tài)誤差系數(shù)法。

（7）在主反饋口到干擾作用之間的前向通路上增大放大倍數(shù)、設置積分環(huán)節(jié)可以同

時減小，-Q）,〃Q）作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

1.系統(tǒng)動態(tài)性能計算

主要包括：

（1）一階系統(tǒng)特征參數(shù)（時間常數(shù)T）與動態(tài)指標之間的關系。

（2）復極點位置的表示方法及其關系。

（3）典型欠阻尼二階系統(tǒng)特征參數(shù)（4與動態(tài)指標間的關系計算公

式）.

（4）系統(tǒng)動態(tài)性能隨極點位置變化的規(guī)律。

（5）附加開環(huán)零極點與附加閉環(huán)零極點的區(qū)別及對系統(tǒng)性能的影響。

（6）附加閉環(huán)零點、用環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響。

（7）主導極點、非主導零極點和偶極子的概念及高階系統(tǒng)動態(tài)指標估算方法。

二、基本要求

1.穩(wěn)定性判斷

正確理解系統(tǒng)穩(wěn)定性概念及穩(wěn)定的充要條件：能熟練運用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)的

穩(wěn)定性，并進行有關的分析計算。

2.穩(wěn)態(tài)誤差計算

正確理解有關穩(wěn)態(tài)誤差的概念；了解終值定理應用的限制條件；牢固掌握計算穩(wěn)態(tài)

誤差的一般方法；牢固掌握靜態(tài)誤差系數(shù)法及其應用的限制條件。

3.動態(tài)性能計算

牢固掌握一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型和典型響應特點；能熟練確定一階系統(tǒng)、

二階系統(tǒng)特征參數(shù)，牢固掌握一階系統(tǒng)、二階欠阻尼系統(tǒng)動態(tài)性能計算方法及應用限制

條件；掌握典型欠阻尼二階系統(tǒng)特征參數(shù)、極點位置與動態(tài)性能間的相互關系；了解附

加閉環(huán)零極點對動態(tài)性能的影響；正確理解主導極點的概念，會估算高階系統(tǒng)動態(tài)性能。

三、重點與難點

1.重點

(1)時間響應的基本概念；

(2)一階系統(tǒng)的時間響應、性能指標和參數(shù)的求?。?/p>

(3)一階系統(tǒng)的時間響應、欠阻尼狀態(tài)下性能指標的計算；

(4)極點、零點位置變化的規(guī)律對系統(tǒng)動態(tài)性能影響；

(5)代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)；

(6)輸入信號和擾動作用下穩(wěn)態(tài)誤差。

2.難點

(7)二階系統(tǒng)的時間響應；

(8)改善系統(tǒng)動態(tài)性能的指標方法；

(3)輸入信號和擾動信號同時作用時，穩(wěn)態(tài)誤差的計算。

。例題解析

例37設一階系統(tǒng)的微分方程為

7竿+刈”竿+中)

dtdt

其中7>T,且尸T<1,試證明系統(tǒng)動態(tài)性能指標為：

延遲時間t(l=[0.693+In(勺三)]7

上升時間乙=2.27

調(diào)整時間4=[3+(In上￡)]7

證明：設單位階躍輸入為R(s)=當初始條件為零時,有

y($)_TS+\

而—△+1

所以

TS+175+1T-T

丫⑸二H(s)=(

仆+1Ts+\仆+1

y(t)=LTl[Y(s)]=\--尹一丁

T_」d

根據(jù)定義，(1)當t=td時，y(t)=0.5=1———eT

〃=[0.693+ln(F/

所以

⑵求儀即)，⑺從0.1到0.9所需的時間)

r-rt

當j(r)=0.9=1—^)亍時，有心=7[ln(三馬一歷0.1]

T-T

T-9-itT-T

當y(0=0.1=1一一六/時，有。=7Tln(—I-歷0.9]

()Q

則r=ro-r.=Tin—=2.27

r'I().1

(3)求調(diào)整時間fs

假設誤差帶寬△=5,則有：

)&)=0.95=1一^^?T

解得ts=[3+(ln^)]T

例3-2已知一階環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=，3,若采用負反饋的方法(圖3-1)

珞調(diào)整時間G減小為原來的0.1倍,并且保證總的放大系數(shù)不變,試選擇加和履的值.

R(s)K(s)

圖3-1負反饋結構圖

解：由一階環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)知，其時間常數(shù)=0.2,放大系數(shù)上10。引入負反饋后，系

統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

y(s)k°G(s)

~R(s)~\+kHG(s)

代入G(s)并整理得：

10仁

y(s)i+io-

麗二627

1I10凰

因為調(diào)整時間Z,v=3T(或47),即僅與7成正比，根據(jù)題目要求可列出：

1°即=10(保持原放大系統(tǒng))

1+10左〃

I=0.02(時間常數(shù)縮小十倍)

U+lOk”

解得加工0.9,2尸10

2

例33設閉環(huán)系統(tǒng)為①(s)=-——%-------,試在s平面上繪制下列要求特征根

+2血$+/

可能的區(qū)域：

(1)1>C20.707,3會2;

(2)0.5">0,4》3“云2;

(3)0.7072C20.5,GJ〃W2.

解：在S平面上系統(tǒng)的極點特征根是:$1.2=-C3〃土j3nli-72,3〃和阻尼角COSB

二C的關系如圖3-2(a)所示。

⑴當1N20.707,?！?2時，有：l〉cosB20.707.即0°<BW45°(以負實軸為起點，

順時針B為正,逆時針B為負)，對稱部分為特征根區(qū)域如圖3-2(b)陰影部分所示.

(2)當0.52C>0,423〃22時，有：0.52cosB〉。，即60°WB<90°,對稱部分為

-90°<P<-60°,特征根區(qū)域由3-2(c)陰影部分所示.

(3)當0.707,C20.5,時，有:0.707^cosBNO.5即45°WBW600,對稱部

分為-600《B<45",特征根區(qū)域如圖3-2(d)陰影部分所示.

(a)(b)

例3-4有一位置隨動系統(tǒng)，結構如圖3-3所示.4尸40,T=0.1。⑴求系統(tǒng)的開環(huán)和閉

環(huán)極點；(2)當輸入量廠⑺為單位階躍函數(shù)時,求系統(tǒng)的自然振蕩角頻率阻尼比G和系

統(tǒng)的動態(tài)性能指標tr,ts,。%.

R(s)k

ik5'(空+1)

圖3-3位置隨動系統(tǒng)結構圖

解：系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為

O400

G(s)=—--和①⑸二,——

s(0.1s+l)$2+105+40)

(1)開環(huán)極點為P1=O,尸2=-10

令

?+105+400=0

解得閉環(huán)極點為

PIt2=-5±jl9.365

(2)將閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成標準形式

①G)=

s2+2弧戶+"

有3『二400,23〃30

解得n=20,4=0.25

系統(tǒng)的動態(tài)指標為

九一37t-arccos，3.14-arccos0.25八八八)

tr=-----=-----工=--------/?x0.094

①d①NY20x71-0.252

33

—=---=0.6(當A=5)

3n0.25x20

ts=

44

-----=-------------=0.8(當4=2)

"0.25x20

營

o%=e、=x100%=45%

例3-5圖3-4(a)為系統(tǒng)結構圖，圖3-4(b)為某典型單位階躍響應.試確定匕,瓜ci

的值.

R(s)

(a)系統(tǒng)結構圖

圖3-4

解：因為

丫。)二w

2

R(s)s+as4-k2

y(s)=尸R(’)=,k,k,

s~+as+k2s+as+k2s

所以

y(oo)=limy(r)=lims,---=k,=2

2

J”ST。5+as+k2s

2沅

又因為G(s)=

S(S+。)S(S+紇兄)

%~22

所以

2血二a

根據(jù)題意知

r

21Q_7I

b%=-——xl(X)%=9%=eg

2

解得C=0.608

tP=0.8=-----:

3w=4.946(rad/s)

故fo=32=24.463

a=2^3〃=2X().608X4.946弋6.()14

例3-6已知系統(tǒng)的結構圖如圖3-5所示例r(Z)=2X1⑺時，試求:⑴時，系統(tǒng)的超調(diào)

量。％和調(diào)節(jié)時間6(2)當分不等于零時，若要使。％=20%,試求存應為多大?并求出此時的

調(diào)整時間73的值,(3)比較上述兩種情況，說明內(nèi)反饋力的作用是什么.

r(s)

圖3-5系統(tǒng)結構圖

解：(1)當步0時，由結構圖知閉環(huán)傳遞函數(shù)為

①⑸=怒S24-52054-50

則有3『二50,2C3/2

所以3〃=7.07(rad/s),=0.14

這是一個欠阻尼狀態(tài)的響應,故

。外二?？蓌100%=64%

=3($)(當A=5)

=4(s)(當A=2)

(2)當方WO時，可得閉環(huán)傳函為

()屋

_y__550?，

RG)S2+(2+0.5卻)5+501+2初“$+而

可見3/7.07(rad/s)

2+0.5k,

C二——

2V50

翁

由題中條件o%=e它x100臟20%

得C=0.46

則爐9

33

——=--------------=0.922(s)(當△=5)

37.07x0.46

調(diào)整時間為Z=5"

44

——=--------------=1.230(s)(當A=2)

血7.07x0.46

(3)比較上述兩種情況可看出，內(nèi)反饋行的作用為增加阻尼比，減小超調(diào)量，減小調(diào)整

時間.

例3-7系統(tǒng)的結構如圖3-6所示,試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性.若系統(tǒng)不穩(wěn)定,求在s右半

平面的極點數(shù).

圖3-6系統(tǒng)結構圖

解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的特征方程為

s5+2--5-2=0

可看出特征方程的系數(shù)不全為正，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定。為了求出s右半平面的極點數(shù),

列勞斯陣列如下：

10-1

5420-2

00

(8)(0)

$20(-2)

(幻

第三行元素全為零,對輔助方程

2sL2=0

求導得8/=0

用8,0替換0,0;第四行第一列元素為零,用小正數(shù)e替代0,繼續(xù)排列勞斯陣列.

勞斯陣列第一列元素變號一次,說明特征方程有一個正根。勞斯陣列有一行元素全為

零，說明可能有大小相等、符號相反的實根或一對共粗虛根,或對稱于虛根的兩對共枕復

根.解輔助方程得

2d-2=2(s+l)(5-l)(s+j)(5-j)=0

這樣特征方程可以寫為

(6+2)(s+DG-l)(s+j)(s-j)=O

可見,系統(tǒng)在S右半平面有一個根5=1,在虛軸上有兩個根5=j,5=-j,在S左半平面有兩個

根，產(chǎn)-l,s=-2.

例3-8閉環(huán)控制系統(tǒng)的結構如圖3-7。試求滿足下面條件的三階開環(huán)傳遞函數(shù)G(s),

應滿足的條件:

k

(l)G(s)=——，攵為開環(huán)放大系數(shù);

(2)由單位階躍函數(shù)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤

差為零;圖3-7

⑶閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

$3+4,*+65+10=0.

解:由單位階躍引起的誤差為：

RG)

&s)=

l+G(s)\+G(s)

由題意知穩(wěn)態(tài)誤差為

1

=lims——----=0

a。1+G(s)

所以limG(s)=oo

則G(s)分母的常數(shù)項應為零。

k

設G")=

s(as2+加+c)

則閉環(huán)傳遞函數(shù)為

①⑸==______七______

1+G(s)as3+bs2+cs+攵

特征方程為(753+Z?52+cs+k=53+452+6s+10=0

比較系數(shù)得a=l,b=4,c=6,k=10

即G(s)=—二-----

s(s~+45+6)

例3-9設控制系統(tǒng)結構如圖3-8所示.其中M2k2=1,7>0.25(s),詼=1.求：⑴當輸

入％)=1+'+%2時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；⑵系統(tǒng)的單位階躍響應表達式。

圖3-8控制系統(tǒng)結構圖

h

解法一：設G2=kh

G3二而1

則

E($)=R(s)—Y(s)

(G困s)+G2E(s))G3=Ks)

解上兩式得

1-GGR⑺-0.25『

E⑸=R(s)

1+G2G30.2552+5+0.5

又

/?(5)=-+-^-+—

SSS'

所以穩(wěn)態(tài)誤差

2

「、r0.255A11、八<

=hmsE(s)=hms--------；-------------(―+—+—)=0.5

7STO0.255^+5+0.5s52§3

解法二：系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為

4(5+0.5)

(D(s)=

s2+4s+2

等效單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)

①(s)2(25+1)

G(s)=2

1一(D(s)

可見,該系統(tǒng)為II型系統(tǒng),且開環(huán)增益k=2,當r(Z)=1+/+$2時，查表知穩(wěn)

態(tài)誤差6=0+0+,=0.5。

k

(2)當Rs)=’時，y(s)=(1)-?"。5)-----0Z_,則單位階躍

響應表達式為(對上式取拉氏變換)

y(r)=1+0.208e4s86,一]207?-3.414‘

例370控制系統(tǒng)如圖3-9所示，誤差定義在輸入端，擾動信號〃⑺=2X1(f)。⑴試

求右40時，系統(tǒng)在繞動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)輸出。(2)若k=20,其結果如何？(3)在擾

動作用點之前的前向通道中引入一個積分環(huán)節(jié)工，對結果有何影響？在擾動作用之后的前

S

向通道中引入一個積分環(huán)節(jié)1,結果又如何？

S

圖3-9控制系統(tǒng)結構圖

解：令

k

,H=2.5

0.05s+1s+1

計算由擾動作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)輸出時,可令輸入信號R(s)=0

(1)繞動作用下的輸出表達式為

工")=———N(s)

〃T+G、G2H

誤差表達式為

紇(s)=R(s)-HY(s)=0-Hy(s)=N(s)

nn1+55〃

當繞動輸入為〃⑺二2X1⑺

2

即N(s)=-時，有穩(wěn)態(tài)誤差

r~f/\/G2H、/2、5

G=船困")=-吧s(1TR)(7一

穩(wěn)態(tài)輸出

%(co)=吧2⑸=吧$(77^)($=

當N40時,有人產(chǎn)-o.048,%(8)=0.019o

(2)當仁20時，孤「-0.09,>“(8)=0.036

可見,減小開環(huán)增益將導致繞動作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的絕對值增大,穩(wěn)態(tài)輸出也增加.

（3）若積分環(huán)節(jié)！加在擾動作用點之前，則

G\=-----------,G?=————,H=2.5

5(0.055+1)5+5

同（2）可算出〃尸0N1（8）=o

若積分環(huán)節(jié)加在擾動作用點之后，則

G二一-一，Gz=—5—,H=2.5

0.05s+1s(s+5)

5_'0.05(當k=40)

石[-0.1(當k=20)

同（2）求出

_2_j0.02(Sk=40)

-2^k-[0.04(當k=20)

可見,在擾動作用點之前加入積分環(huán)節(jié)，可以消除由階躍擾動作用產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差和

穩(wěn)態(tài)輸出。而在擾動作用點之后加入積分環(huán)節(jié)，則對階躍擾動產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)輸出

影響不大。

例371馬達控制系統(tǒng)如圖370所示。系統(tǒng)參數(shù)為7二0.1,片0.01,女尸10。（1）設干

擾力矩7>0,輸入*⑺T,試問k和k之值對穩(wěn)態(tài)誤差有何影響。（2）設輸入。（）二0,試

問當干擾力矩心為單位階躍困數(shù)時，k和M之值對穩(wěn)態(tài)誤差有何影響？

夕r（S）夕c（S）

圖370馬達控制系統(tǒng)結構圖

解：（1）心（$）=0,且%（s）=l，所以由輸入引起的誤差傳遞函數(shù)為

E(s)_Js2(l+Ts)+k’kfS

2

Or(s)Js(l+Ts)+k{kts+kkj

穩(wěn)態(tài)誤差為

ik

=limsE(s)=lims①(s)(―r)=—

s->0s->0Sk

可見穩(wěn)態(tài)誤差Cssr與k成正比,與k成反比.比較例3-6的結論,可以看出：當左增大時,

穩(wěn)態(tài)誤差增大，而動態(tài)指標超調(diào)量和調(diào)整時間減小，也就是說為了改善動態(tài)性能指標，而

調(diào)整系統(tǒng)參數(shù),有時會犧牲穩(wěn)態(tài)指標.在工程應用中,應協(xié)調(diào)選擇.

(2)TM=且%(s)=O。所以由干擾引起的傳遞函數(shù)為

S

1

=(D〃(s)

而一1+(-^)(±)必+以-^-)(」)

\+TsJs2\+TsJs2

誤差七($)=盟=一中“。)

“管嚴心)=-吧5飆4)=-+

可見,穩(wěn)態(tài)誤差人〃與k成反比,與k無關.但k的取值應滿足穩(wěn)定條件,列勞斯陣列如下:

弋0.00110(

/0.0110%

/10勺T0

5°k

故k>0,心>0.I4。

例372求圖3-11所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值。

圖3-11系統(tǒng)結構圖

所以穩(wěn)態(tài)誤差"叫的)=0

擾動傳遞函數(shù)(令R(s)=0)為

…需中⑸

由擾動引起的誤差為

J⑸=-①〃(s)N(s)義5=一①“(s)

所以穩(wěn)態(tài)誤差為

%〃=吧-1

故由輸入和擾動共同引起的誤差為

I=/「+?〃=0-1=-1

例3-13某單位反饋隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳函為G(s)=——型配一試計算閉環(huán)系

5(54-5)(5+500)

統(tǒng)的動態(tài)性能指標和人直。

解：這是一個高階系統(tǒng)，我們注意到極點-500離虛軸的距離較極點5=0,5=-5離虛軸

遠的多，這個極點對閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響很小，因此可以忽略該極點，而使系統(tǒng)近似

為二階系統(tǒng).近似原則如下:a)保持系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值不變;b)瞬態(tài)性能變化不大。根據(jù)這個原

則，原開環(huán)傳遞函數(shù)近似為：

G(s)=——出——=-----竺------x近似后的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

s(s+5)(5+500),+5)(+1)s(s+5)

,500

0(，)=^—=^-^—￡

s+5s+40s+2^y〃s+6y“

所以

=401%a6.325

12犯=5口卜Q385

則o%=e^X100V26%

-=1.2(A=5)

,例，

”4

-=1.6(A=2)

例3-14設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s);一

5(1+-5)(1+-5)

36

(1)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時2值的范圍；

(2)若要閉環(huán)特征方程的根的實部均小于-1,問攵的取值范圍.

解：閉環(huán)特征方程為

￡)(5)=5(1+-5)(1+L)+左=0

36

即。($)=1+9$2+i8s+i8”=o

(1)列勞斯陣列如下

/118

52918k

N18-2k0

5°18左

欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，只需

18-2攵>0

18A:>0

解得0<女<9

(2)若要求特征根實部均小于T,可令5=5-1,將s平面映射為s1平面,只要特征

根全部處于揖平面左半平面就可以了.

O(?)=(si—1)3+9(4_1產(chǎn)+18"]—1)+18左=0

整理得)=s：+6s；+35|+18K)=0

列勞斯陣列

s；618）1-10

s：…o

13

s：18%-10

欲使。6）的根全部處于Si的左半平面則要求

「14%-9攵八

-------->0

<3

18Z:-10>0

145

解得->k>-

99

即k值處于這個范圍，可使。⑷的根實部全小于-1。此時可以認為系統(tǒng)具有1

的穩(wěn)定裕度。

例3-15設系統(tǒng)結構如圖3-12所示,試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

R(s)

圖3-12系統(tǒng)結構圖

解：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

1

①⑸=G（s）=口=s+1

1+G⑸”⑸1+（1）（—）（S+1）（5+2）

5-15+1

可見，閉環(huán)系統(tǒng)有一個極點在S右半平面,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

例376某反饋控制系統(tǒng)的方框圖如圖3T3所示，試求：

（1）信號流圖；

（2）閉環(huán)傳遞函數(shù)；

（3）判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，并求不在左半s平面的特征根數(shù)。

圖3-13

解：(1)畫出系統(tǒng)信號流圖，如圖3T4所示。

(2)用梅遜公式求閉環(huán)傳遞函數(shù)①(S):

(3)系統(tǒng)特征多項式為。(S)=/+2S4—S—2,列勞斯表:

-1

20-2

(0)(0)

對輔助方程2s2_2=0

80求異得81=0

'改第一列元素”0”為

“3”繼續(xù)計算

勞斯表第一列元素變號一次,說明系統(tǒng)有一正根.解輔助方程得

/-1=(S+1)(5-1)(5+j)(s-j)

O(s)=S5+254-S-2=G+2)(5+l)(s-1)(5+j)(s-j)

可見，系統(tǒng)在右半s平面有1個根，在虛軸上有2個根，左半S平面有2個根。

例377控制系統(tǒng)結構圖如圖3T5所示。

(1)希望系統(tǒng)所有特征根位于s平面上

R(s)------------------C(s)

s~2的左側區(qū)域，且J不小于0.5.試畫出特征—?K―

根在5平面上的分布范圍(用陰影線表示).一八s(Es+1)

(2)當特征根處在陰影線范圍內(nèi)時，試求

K,T的取值范圍.

圖3-15

(3)試求出系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入時的穩(wěn)

態(tài)誤差.

(4)為使上述穩(wěn)態(tài)誤差為零，讓單位斜坡輸入量先通過一個比例一微分裝置，如圖

3T6所示.試求出適當?shù)闹怠?/p>

圖3T6

解：(1)要求的特征根分布范圍如圖3T7所示。

圖377特征根的分布范圍圖378參數(shù)范圍

⑵(4T>/(e、l—_C__")—_____K____—_____K_/_T_____

-R(s)~Ts2+s+K-s+s/T+K/T

可得

令。之0.5得KT<\K-Yr1)

特征方程：。。)=△2+s+K

由勞斯判據(jù)可得，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是

7>0K>02)

特征根

一1±J1-47K-1..J47K-10、

s.?=--------------------=——±/-------------3)

i.22T2T2T

令Res=T/2T<-2,得7K1/4

由式1)、2)、3),可以畫出所要求的參數(shù)范圍，如圖3-18所示

(3)用靜態(tài)誤差系數(shù)法可得e,?=l/K

(4)根據(jù)題意，誤差定義為a/)=r(/)-c(/)o由圖3-6可得

(K*+l)--一

M、_5s+D_K&S+1)

l?Ks(Ts+\)+K

s(Ts+1)

由誤差定義

E(s)?s(Ts+l-KcK)

①，(S)=

而s(7+1)+K

=5皿⑸R(s)=hms型土處41一K(K

ss

1。e2。S(7X+1)+K52~K~

令4廣0得人=%

例378復合控制系統(tǒng)結構圖如圖3-19所示，圖中K,K2,r,7L是大于零的常數(shù)。

圖3-19

(1)確定當閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，參數(shù)K,力,7應滿足的條件。

(2)當輸入/(/)=V0r時，選擇校正裝置Gc(s),使得系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差(誤差定義為

R-C)

解：(1)系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)

K,

1-----=—G(5)

cs(7]s+1)(7^5+1)—K[Gc(s)(7]s+1)

0R(s)1+K?sgs+DWs+D+KK

s((s+1)(心5+1)

Z)(s)=7]7053+(7]+5)s~+s+K[K]

列勞斯表：JTIT21

?Ti+T/KxK>

IT^T-TJKK

s-------2--------2----1---2--

(十%

5°K*2

因K,電■，刀均大于零，所以只要

，+￡>TiTzKR

即可滿足穩(wěn)定條件

+1)-(5)(7]5+1)

s(Txs+V)(T2SK2GCVo

evv=lims。(s)R(s)=lims

“ST。eST。式篤S+1)(AS+1)+K]K252

⑵

小彘…笠/

故

Gc⑸=石

例3-19如圖3-20所示系統(tǒng).試求:

圖3-20

⑴當r(/)=0,n0)=1(/)時，系統(tǒng)的靜態(tài)誤差—

(2)/(r)=l(r),/d/)=l(r)時，系統(tǒng)的靜態(tài)誤差

⑶若要減少心則應如何調(diào)整K,K??

(4)如分別在擾動點之前或之后加入積分環(huán)節(jié),對心有何影響？

解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

K\K?

G(s)=

(4+1)(小+1)

開環(huán)增益K二KR

一七

(1)①⑸==-------------------=------*2(小+1)-----

"N(s)K]K2{T}S+\)(T2S+\)+K]K2

s(T1s+1)(T2S+1)

1-K?((s+1)

essn=lims①“”(s)N(s)=lims

s->0STO不(4+1)(勺+1)+印2

\+K}K2

(2)由靜態(tài)誤差系數(shù)法可知，r(/0?/)9引網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)誤差

11

一=1+K〃=1+..

由疊加原理得

1—K)

+G=

1+K&

(3)由上式可看出：增加K可同時減少由廣⑺，〃⑺階躍型輸入所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤

差;增加及只對減小由rS階躍輸入所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差有效。

(4)在擾動點之前的前向通道中加入積分環(huán)節(jié)，可使系統(tǒng)成為一階無差系統(tǒng)，利于提

高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(不論對控制輸入還是擾動)；在擾動后的前向通道加積分環(huán)節(jié)，對減

小擾動作用下穩(wěn)態(tài)誤差無效。

例3-20復合系統(tǒng)的方框圖如圖3-21所示，前饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

0

F,(s)=〃「+加。當輸入r(Z)為單位加速度信號時，為使系統(tǒng)的靜態(tài)誤差為零，試確

T2S+1

定前饋環(huán)節(jié)的參數(shù)。和b。

圖3-21

解：系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為：

]K2s(as+b)

七(s)s(1s+1)1+T)ss\T^T-)s^+(7J+—K)a)s+(1—K)/?)]

es=而=-1+K^=(/S+1)[S(7>+1)+K1K2]

s(Tis+1)

=lims①,,(s)R(s)=lims,用(八/+(4+八-K2Gs+(1-舄份]

?s>0s>0s,(4+1心(小+1)+&勺]

=—!—lim[7]7；5+但+劣—Kw)+

K]K?ST。S

可見,只有令

71+72-K2a~0

<\-K2h=O

時才能滿足要求.由此得出

T\+T,1

a=-----zb=——

K2K2

例3-21控制系