≤56．∴37.5≤n≤42．∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為正整數(shù)，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（26，26），（28，28）．【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)的平移特點(diǎn)描出每次平移后P點(diǎn)的位置即可；（2）先根據(jù)P點(diǎn)平移一次后的點(diǎn)的坐標(biāo)求出過此點(diǎn)的函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)解答即可；（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，得出n的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為正整數(shù)即可進(jìn)行解答．3.在一條直線上依次有A、B、C三個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達(dá)到C港．設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y1、y2（km），y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．若兩船的距離為10km時(shí)，甲行駛了小時(shí)．【答案】解：由函數(shù)圖象可知，乙船的速度為：=30km/小時(shí)，①甲在乙后10km，設(shè)行駛時(shí)間為x，甲從A行駛了60xkm，乙從B行駛了30xkm，甲在B港后（30﹣60x）Km，乙在B港前30xKm，甲乙相距10Km．由（30﹣60x）+30x=10，得x=；②甲超過乙后，甲在乙前10Km，設(shè)行駛時(shí)間為x，甲從A行駛了60xKm（已超過了B港），乙從B行駛了30xkm，乙在B港前30xkm，甲在乙前10km處．由60x﹣30﹣30x=10，解得x=（小時(shí)）．③甲船已經(jīng)到了而乙船正在行駛，∵90﹣30x=10，解得x=（小時(shí)），故答案為：或或．【解析】先根據(jù)一次函數(shù)的圖象求出A、C兩港之間的距離及乙的速度，再根據(jù)甲在乙船前和乙船后，及甲船已經(jīng)到了而乙船正在行駛，三種情況進(jìn)行解答即可．課堂小結(jié)課堂小結(jié)【教學(xué)建議】此處內(nèi)容主要用于教師對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，一方面是對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容的回顧，更重要的是針對(duì)這節(jié)課學(xué)生出現(xiàn)的問題再次進(jìn)行復(fù)習(xí)提問等，以達(dá)到讓學(xué)生課上掌握的目的，同時(shí)可以對(duì)下節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行簡單的鋪墊，以體現(xiàn)出本節(jié)課內(nèi)容與下節(jié)課內(nèi)容之間的關(guān)系。一次函數(shù)的定義一次函數(shù)的圖像①畫圖②待定系數(shù)法求解析式3.一次函數(shù)的性質(zhì)4．一次函數(shù)的應(yīng)用通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該掌握以上的4個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。課后需要通過大量的練習(xí)來鞏固課上所學(xué)的知識(shí)，真正做到學(xué)以致用。拓展延伸拓展延伸【教學(xué)建議】教師根據(jù)學(xué)生掌握情況有針對(duì)性的進(jìn)行課后作業(yè)的布置，掌握好的同學(xué)可以適當(dāng)?shù)牟贾秒y度大一些的作業(yè)，成績一般的同學(xué)可以以基礎(chǔ)題和鞏固題目為主，但是一定要控制作業(yè)的數(shù)量，給學(xué)生布置的作業(yè)一般不要超過5題，這樣學(xué)生才能保證做題的質(zhì)量?；A(chǔ)基礎(chǔ)1.如圖，有一種動(dòng)畫程序，屏幕上正方形ABCD是黑色區(qū)域（含正方形邊界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信號(hào)槍沿直線y=﹣2x+b發(fā)射信號(hào)，當(dāng)信號(hào)遇到黑色區(qū)域時(shí)，區(qū)域便由黑變白，則能夠使黑色區(qū)域變白的b的取值范圍為（）A．3＜b＜6B．2＜b＜6C．3≤b≤6D．2＜b＜5【答案】C【解析】根據(jù)題意確定直線y=﹣2x+b經(jīng)過哪一點(diǎn)b最大，哪一點(diǎn)b最小，然后代入求出b的取值范圍．解：由題意可知當(dāng)直線y=﹣2x+b經(jīng)過A（1，1）時(shí)b的值最小，即﹣2×1+b=1，b=3；當(dāng)直線y=﹣2x+b過C（2，2）時(shí)，b最大即2=﹣2×2+b，b=6，∴能夠使黑色區(qū)域變白的b的取值范圍為3≤b≤6．故選C．2.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=2x+1關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)一次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=2x+1關(guān)于y軸對(duì)稱，∴k=﹣2，b=1，∴一次函數(shù)的解析式為：y=﹣2x+1，∵當(dāng)y=0時(shí)，x=，∴這個(gè)一次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）．故答案為：（，0）．【解析】先根據(jù)兩直線關(guān)于y軸對(duì)稱的特點(diǎn)求出一次函數(shù)y=kx+b的解析式，再根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出一次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)即可．鞏固鞏固1.把直線y=﹣x+3向上平移m個(gè)單位后，與直線y=2x+4的交點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍是（）A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1 D．m＜4【答案】C【解析】直線y=﹣x+3向上平移m個(gè)單位后可得：y=﹣x+3+m，求出直線y=﹣x+3+m與直線y=2x+4的交點(diǎn)，再由此點(diǎn)在第一象限可得出m的取值范圍．解：直線y=﹣x+3向上平移m個(gè)單位后可得：y=﹣x+3+m，聯(lián)立兩直線解析式得：，解得：，即交點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵交點(diǎn)在第一象限，∴，解得：m＞1．故選C．2.將直線y=2x﹣1向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位后得到的直線為（）A．y=2x+3B．y=2x+1C．y=2x﹣1D．y=2x﹣3【答案】解：將直線y=2x﹣1向上平移2個(gè)單位得到的解析式為：y=2x﹣1+2，即y=2x+1；再向右平移1個(gè)單位得到的解析式為：y=2（x﹣1）+1，即y=2x﹣1．故選C．【解析】根據(jù)左加右減，上加下減的平移規(guī)律即可作答．3.如圖，把直線y=﹣2x向上平移后得到直線AB，直線AB經(jīng)過點(diǎn)（m，n），且2m+n=6，則直線AB的解析式是（）A．y=﹣2x﹣3B．y=﹣2x﹣6C．y=﹣2x+3D．y=﹣2x+6【答案】D解：原直線的k=﹣2，向上平移后得到了新直線，那么新直線的k=﹣2．∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)（m，n），且2m+n=6．∴直線AB經(jīng)過點(diǎn)（m，6﹣2m）．可設(shè)新直線的解析式為y=﹣2x+b1，把點(diǎn)（m，6﹣2m）代到y(tǒng)=﹣2x+b1中，可得b1=6，∴直線AB的解析式是y=﹣2x+6．故選D．【解析】平移時(shí)k的值不變，只有b發(fā)生變化．再把相應(yīng)的點(diǎn)代入即可．4.某二元方程的解是（m為實(shí)數(shù)），若把x看作平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，y看作平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，下面說法正確的是（）A．點(diǎn)（x，y）一定不在第一象限B．點(diǎn)（x，y）一定不在第二象限C．y隨x的增大而增大D．點(diǎn)（x，y）一定不在第三象限【答案】A【解析】平移時(shí)k的值不變，只有b發(fā)生變化．再把相應(yīng)的點(diǎn)代入即可．解：由x=m﹣1得：m=x+1代入y=﹣2m+1得：y=﹣2x﹣1是一次函數(shù)，且經(jīng)過第二，三，四象限．不經(jīng)過第一象限．故選A．5.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b的圖象過點(diǎn)B（﹣1，），與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，與直線y=kx交于點(diǎn)P，且PO=PA，（1）求a+b的值．（2）求k的值．（3）D為PC上一點(diǎn)，DF⊥x軸于點(diǎn)F，交OP于點(diǎn)E，若DE=2EF，求D點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）a+b=（2）k的值是（3）D（1，）【解析】解：（1）根據(jù)題意得：，解方程組得：，∴a+b=﹣+2=，即a+b=；（2）設(shè)P（x，y），則點(diǎn)P即在一次函數(shù)y=ax+b上，又在直線y=kx上，由（1）得：一次函數(shù)y=ax+b的解析式是y=﹣+2，又∵PO=PA，∴，解方程組得：，∴k的值是；（3）設(shè)點(diǎn)D（x，﹣+2），則E（x，），F(xiàn)（x，0），∵DE=2EF，∴=2×，解得：x=1，則﹣+2=×1+2=，∴D（1，）．拔高拔高1.如圖，一次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)A、B，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a（0＜a＜4且a≠2），過點(diǎn)A、B分別作x的垂線，垂足為C、D，△AOC、△BOD的面積分別為S1、S2，則S1、S2的大小關(guān)系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．無法確定【答案】解：由一次函數(shù)圖象可得出A（2，1），則S1==1，S2==又0＜a＜4且a≠2，∴S2＜1=S1，故此題選A【解析】△AOC的面積S1已知，△BOD的面積S2可由關(guān)于a的函數(shù)表示，求出S2的取值范圍，跟S1比較即可．教學(xué)反思教學(xué)反思【教學(xué)建議】1、對(duì)教學(xué)技能的反思：對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的講解是否透徹；對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)是否把握準(zhǔn)確；對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)知識(shí)掌握知識(shí)的狀態(tài)是否了解等。2、對(duì)教學(xué)目標(biāo)的反思：講授的知識(shí)是否正確；語言是否規(guī)范簡練；書寫是否工整（班組課板書設(shè)計(jì)是否合理）；教具的使用是否得當(dāng)，實(shí)驗(yàn)操作是否熟練、規(guī)范等。3、對(duì)教學(xué)方法和手段的反思：是否注重了學(xué)生的參與意識(shí)；班組課是否因“班”施教，課后因“人”施教；教學(xué)方式、手段是否多樣化等。

一元二次方程第第6講講一元二次方程與解法（一）一元二次方程與解法（一）概述概述適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域人教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長（分鐘）120知識(shí)點(diǎn)1.一元二次方程及根的概念2.一元二次方程一般式及有關(guān)概念3.直接開平方法解一元二次方程4.配方法解一元二次方程教學(xué)目標(biāo)1.了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）及根的概念2.掌握用直接開平方法解形如x2=a(a≥0)的一元二次方程3.掌握配方法即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程4.在學(xué)習(xí)與探究中使學(xué)生體會(huì)“化歸”、“換元”與“分類討論”的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)用類比進(jìn)行學(xué)習(xí)的方法5.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情教學(xué)重點(diǎn)1.一元二次方程的概念及其一般形式，并運(yùn)用于簡單實(shí)際問題2.使學(xué)生能夠熟練而準(zhǔn)確的運(yùn)用直接開平方法求一元二次方程的解教學(xué)難點(diǎn)1.通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型2.探究(x－m)2=a的解的情況,培養(yǎng)分類討論的意識(shí)3.“直接開方法”化為“配方法”的轉(zhuǎn)化方法與技巧【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過程教學(xué)過程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入學(xué)生活動(dòng)：列方程問題（1）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？如果假設(shè)門的高為x尺，那么這個(gè)門的寬為_______尺，根據(jù)題意，得________．整理、化簡，得：__________．問題（2）如圖，如果，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．如果假設(shè)AB=1，AC=x，那么BC=________，根據(jù)題意，得：________．整理得：_________．問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長是多少？如果假設(shè)剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是________，寬是_____，根據(jù)題意，得：_______．整理，得：________．老師點(diǎn)評(píng)并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理．學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)口答下面問題．（1）上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？（2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？（3）有等號(hào)嗎？或與以前多項(xiàng)式一樣只有式子？老師點(diǎn)評(píng)：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號(hào)，是方程．二、知識(shí)講解二、知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的概念方程的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式.一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．一元二次方程的四個(gè)特點(diǎn)：(1)含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程。要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理。如果能整理為（a≠0）的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程；（4）將方程化為一般形式：時(shí)，應(yīng)滿足（a≠0）.知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的根知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的根為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個(gè)解的區(qū)別，我們稱：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3直接開平方法解一元二次方程適用于形式的一元二次方程的求解。這里的既可以是字母，單項(xiàng)式，也可以是含有未知數(shù)的多項(xiàng)式。換言之：經(jīng)過變形可以轉(zhuǎn)化為形式的一元二次方程都可以用直接開平方法求解。知識(shí)點(diǎn)4配方法解一元二次方程知識(shí)點(diǎn)4配方法解一元二次方程配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的看做未知數(shù)，并用代替，則有。配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；化二次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)移到右邊；(2)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；(3)變形為的形式，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1在一元二次方程化成一般形式后，要注意二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)?？键c(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元二次方程一般形式中.考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3用直接開平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)4用配方法解一元二次方程時(shí)，一定要使二次項(xiàng)系數(shù)為1后，再配方（方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）。三、例題三、例題精析【教學(xué)建議】此處內(nèi)容主要用于教師課堂的精講，每個(gè)題目結(jié)合試題本身、答案和解析部分，教師有的放矢的進(jìn)行講授或與學(xué)生互動(dòng)練習(xí)。例題1例題1【題干】在下列方程中，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，請(qǐng)指出其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（1）（2）（3）（4）【答案】（1）、（2）、（3）都是一元二次方程。（1）的其二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)是-1.（2）的其二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是-5，常數(shù)項(xiàng)是0.（3）的其二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是0，常數(shù)項(xiàng)是-12.【解析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)都是2的整式方程）去判斷，在確定一元二次方程每一項(xiàng)時(shí)，一定要先把方程化為一般形式，再去判斷。例題2例題2【題干】已知關(guān)于的方程,當(dāng)m為何值時(shí)方程為一元二次方程?！敬鸢浮?2【解析】因?yàn)榉匠虨橐辉畏匠蹋裕獾?。而?dāng)時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)為0，所以m應(yīng)取-2.例題例題3【題干】用直接開方法解方程【答案】；【解析】解：原方程可化為解：，或∴，或∴∴例題4例題4【題干】用配方法解方程【答案】【解析】解：∴∴，或∴變式1變式1【題干】配方法解方程【答案】【解析】解：移項(xiàng)，得方程兩邊都加上得即，兩邊開平方，得，或所以，，變式2變式2【題干】用配方法解一元二次方程：【答案】解：配方，得即【解析】二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，用配方法解一元二次方程，先用提公因式的方法把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再用直接開平方法求解。例題例題5【題干】把方程化為的形式【答案】【解析】例題6例題6【題干】求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．【答案】證明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．【解析】要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可．變式變式【題干】方程(m－1)xm2＋1＋2mx－3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值.【答案】由題意可得，m2＋1＝2，且m－1≠0，∴m＝±1且m≠1，∴m的值是－1．【解析】一元二次方程滿足的條件是：①只含有一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；③整式方程．方程經(jīng)整理可轉(zhuǎn)化為一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．例題7例題7【題干】你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎？（1）x2-64=0（2）3x2-6=0【答案】（1）移項(xiàng)得x2=64根據(jù)平方根的意義，得：x=±8即x1=8，x2=-8（2）移項(xiàng)、整理，得x2=2根據(jù)平方根的意義，得x=±即x1=，x2=-【解析】要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義．例題8例題8【題干】市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面積增長率．【答案】解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x,有題意得：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接開平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去．所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%．【解析】把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．由x2=p（p≥0），那么x=±,轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無解.例題9例題9【題干】某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？【答案】解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根為x1=10%，x2=-3.1因?yàn)樵鲩L率為正數(shù)，所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%．【解析】設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是（1+x）2．例題10例題10【題干】如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個(gè)相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為500m2，道路的寬為多少？【答案】解：設(shè)道路的寬為x，則可列方程：（20-x）（32-2x）=504整理，得：x2-36x+68=0,即(x-18)2=256，解得x-18=16或x-18=-16,所以x1=34,x2=2，根據(jù)題意，x1=34不合題意舍去，所以道路的寬為2m【解析】通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法．通過配方使左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程.例題11例題11【題干】（1）x2+2x-35=0（2）2x2-4x-1=0【答案】（1）x2-2x=35x2-2x+12=35+1（x-1）2=36x-1=±6x-1=6，x-1=-6x1=7，x2=-5（2）x2-2x-=0x2-2x=x2-2x+12=+1（x-1）2=x-1=±即x-1=，x-1=-x1=1+，x2=1-可以驗(yàn)證：x1=1+，x2=1-都是方程的根．【解析】化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±或mx+n=±（p≥0）．四、課堂運(yùn)用四、課堂運(yùn)用【教學(xué)建議】在對(duì)課堂知識(shí)講解完，把握了重點(diǎn)突破了難點(diǎn)以及練習(xí)精講了之后，再用練習(xí)進(jìn)行課堂檢測(cè)，根據(jù)學(xué)生情況建議分3個(gè)難度層次：易，中，難?；A(chǔ)基礎(chǔ)1.判斷下列方程，是一元二次方程的有____________.（1）（2）（3）（4）（5）；（6）【答案】（2）、（3）、（4）【解析】判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，首先要對(duì)其整理成一般形式，然后根據(jù)定義判斷.（1）中最高次數(shù)是三不是二；（5）中整理后是一次方程；（6）中只有在滿足的條件下才是一元二次方程．2.下列方程中不含一次項(xiàng)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先要對(duì)方程整理成一般形式，D選項(xiàng)為x2-25=0，不含一次項(xiàng).3.方程的二次項(xiàng)系數(shù)___________；一次項(xiàng)系數(shù)__________；常數(shù)項(xiàng)_________.【答案】3；-11；-7【解析】利用去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟，把一元二次方程化成一般形式，同時(shí)注意系數(shù)符號(hào)問題.4.下列各數(shù)是方程解的是（）A、6B、2C、4D、0【答案】B【解析】將各數(shù)值分別代入方程，只有選項(xiàng)B能使等式成立．5.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.（1）4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長.（2）一個(gè)矩形的長比寬多2，面積是100，求矩形的長.（3）一個(gè)直角三角形的斜邊長為10，兩條直角邊相差2，求較長的直角邊長.【答案】解：（1）依題意得，，化為一元二次方程的一般形式得，.（2）依題意得，，化為一元二次方程的一般形式得，.（3）依題意得，，化為一元二次方程的一般形式得，.【解析】考察對(duì)一元二次方程一般形式的掌握程度.6.將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).【答案】去括號(hào)，得：40-16x-10x+4x2=18移項(xiàng)，得：4x2-26x+22=0其中二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為-26，常數(shù)項(xiàng)為22．【解析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等．7.將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)．【答案】去括號(hào)，得：x2+2x+1+x2-4=1移項(xiàng)，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次項(xiàng)2x2，二次項(xiàng)系數(shù)2；一次項(xiàng)2x，一次項(xiàng)系數(shù)2；常數(shù)項(xiàng)-4．【解析】通過完全平方公式和平方差公式化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．鞏固鞏固1.若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，求的值是多少？【答案】【解析】解:由題意得，時(shí)，即時(shí)，的常數(shù)項(xiàng)為0.2.是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值應(yīng)為（）A.＝2B.C.D.無法確定【答案】C【解析】由題意得，，解得.3.若是關(guān)于的方程的根，則的值為（）A．1B．2C．-1D．-2【答案】D【解析】本題有兩個(gè)待定字母和，根據(jù)已知條件不能分別求出它們的值，故考慮運(yùn)用整體思想，直接求出它們的和.將x=2代入方程，得到4+2m+2n=0,所以m+n=-24.若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2-1=0的一根是0，則a=.【答案】a=1解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2-1=0

∴a2-1=0，即a=±1；

∵a+1≠0，∴a≠-1；

∴a=1．【解析】本題主要考查了方程的根的定義，把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為解方程的問題，是待定系數(shù)法的應(yīng)用，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視二次項(xiàng)系數(shù)不等于0這一條件．5.配方法解方程應(yīng)把它先變形為（）．A．B．C．D．（【答案】D【解析】用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.拔高拔高1.已知關(guān)于的方程．（1）為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).【答案】解：（1）由題意得，時(shí)，即時(shí)，方程是一元一次方程.（2）由題意得，時(shí)，即時(shí)，方程是一元二次方程.此方程的二次項(xiàng)系數(shù)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是.【解析】本題是含有字母系數(shù)的方程問題．根據(jù)一元一次方程和一元二次方程的定義，分別進(jìn)行討論求解.2.方程的解為()A、B、C、D、【答案】D【解析】考察了方程的解，因式分解法解一元二次方程。3.用配方法證明的值恒小于0.【答案】因?yàn)?，所以，即【解析】本題難點(diǎn)在于該式不是等式，因而不能按照通常的方法一樣進(jìn)行配方；先將前兩項(xiàng)結(jié)合起來，將二次項(xiàng)系數(shù)-5提出來，使二次項(xiàng)系數(shù)為1后，再加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方，配成完全平方式再進(jìn)行判斷。課堂小結(jié)課堂小結(jié)【教學(xué)建議】此處內(nèi)容主要用于教師對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，一方面是對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容的回顧，更重要的是針對(duì)這節(jié)課學(xué)生出現(xiàn)的問題再次進(jìn)行復(fù)習(xí)提問等，以達(dá)到讓學(xué)生課上掌握的目的，同時(shí)可以對(duì)下節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行簡單的鋪墊，以體現(xiàn)出本節(jié)課內(nèi)容與下節(jié)課內(nèi)容之間的關(guān)系。一元二次方程的概念.判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元二次方程一般形式中.2.直接開方法：適用于x2=a(a≥0)形式的一元二次方程的求解。這里的x既可以是字母，單項(xiàng)式，也可以是含有未知數(shù)的多項(xiàng)式。3.配方法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程化為一般形式；（2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；（5）變形為的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±；如果q＜0,方程無實(shí)根．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該掌握以上的5個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。課后需要通過大量的練習(xí)來鞏固課上所學(xué)的知識(shí)，真正做到學(xué)以致用。拓展延伸拓展延伸【教學(xué)建議】教師根據(jù)學(xué)生掌握情況有針對(duì)性的進(jìn)行課后作業(yè)的布置，掌握好的同學(xué)可以適當(dāng)?shù)牟贾秒y度大一些的作業(yè)，成績一般的同學(xué)可以以基礎(chǔ)題和鞏固題目為主，但是一定要控制作業(yè)的數(shù)量，給學(xué)生布置的作業(yè)一般不要超過5題，這樣學(xué)生才能保證做題的質(zhì)量?；A(chǔ)基礎(chǔ)1.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）ABCD【答案】A【解析】此題考查了一元二次方程的定義。A選項(xiàng)化為一般式為：，是一元二次方程；B選項(xiàng)分母中含有，不屬于整式方程；C選項(xiàng)中的沒有給出a≠0的條件；D選項(xiàng)化為一般式后，兩邊的抵消掉，轉(zhuǎn)化為一元一次方程。2.解方程【答案】解：

【解析】觀察可知，此方程可以采用直接開平方法進(jìn)行求解。需要注意的是方程的解有兩個(gè)，并且它們互為相反數(shù)。3.用配方法解一元二次方程：．【答案】解：，，，∴，.【解析】用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是，在二次項(xiàng)系數(shù)為1的條件下，給方程兩邊同時(shí)加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.4.配方法解方程(1)x2=196；(2)4x2-3=0；(3)(x-2)2=5．【答案】解：(l)x=±14，∴x1=14，x2=-14．(2)移項(xiàng)并整理，得(3)因?yàn)閤-2是5的平方根，【解析】考查選用合適的方法進(jìn)行一元二次方程求解5.直接開方法解方程⑴2y2=8⑵2(x-8)2=50⑶(2x-1)2+4=0⑷4x2-4x+1=0【答案】解：⑴2y2=8⑵2(x-8)2=50y2=4(x-8)2=25y=±2x-8=±5∴y1=2，y2=-2x-8=5或x-8=-5∴x1=13，x2=3⑶(2x-1)2+4=0⑷4x2-4x+1=0(2x-1)2=-4<0(2x-1)2=0∴原方程無解2x-1=0∴x1=x2=【解析】考查選用合適的方法進(jìn)行一元二次方程求解6.方程的解是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】考查一元二次方程的解法，可用配方法.鞏固鞏固1.當(dāng)m取何值時(shí)，方程是關(guān)于x的一元二次方程？【答案】題意，得，.當(dāng)，此時(shí)方程為一元一次方程.當(dāng)，此時(shí)方程為一元二次方程.【解析】題目中隱含了a≠0的條件，根據(jù)一元二次方程的定義，先令次數(shù)等于2，求出m值后，再根據(jù)a≠0舍取m的值。2.解方程（3x-4）2=（3-4x）2【答案】解：開方得：①3x-4=3-4x，②3x-4=-（3-4x），解方程①得：3x+4x=3+4，7x=7，x=1，解方程②得：3x-4x=-3+4，-x=1，x=-1，即原方程得解：=1，=-1．【解析】開方得出兩個(gè)一元一次方程，求出每個(gè)方程的解即可．拔高拔高1.根據(jù)已知下面三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根a，則a+b+c的值為（）A.0B.1C.2D.不確定【答案】A【解析】解：把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：

a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，

相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，

（a+b+c）（a2+a+1）=0，

∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，

∴a≠0，

∴a2+a+1≠0，

∴a+b+c=0，2.m是方程x2+x-1=0的根，則式子m3+2m2+2009的值為.【答案】2010【解析】∵m是方程x2+x-1=0的根，

∴m2+m-1=0，

∴m2+m=1，

∴m3+2m2+2009=m（m2+m）+m2+2009，

=m+m2+2009，

=1+2009=2010，教學(xué)反思教學(xué)反思【教學(xué)建議】1、對(duì)教學(xué)技能的反思：對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的講解是否透徹；對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)是否把握準(zhǔn)確；對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)知識(shí)掌握知識(shí)的狀態(tài)是否了解等。2、對(duì)教學(xué)目標(biāo)的反思：講授的知識(shí)是否正確；語言是否規(guī)范簡練；書寫是否工整（班組課板書設(shè)計(jì)是否合理）；教具的使用是否得當(dāng)，實(shí)驗(yàn)操作是否熟練、規(guī)范等。3、對(duì)教學(xué)方法和手段的反思：是否注重了學(xué)生的參與意識(shí)；班組課是否因“班”施教，課后因“人”施教；教學(xué)方式、手段是否多樣化等。

【核心素養(yǎng)專欄】勇于探究——李冶的故事李冶（1192年－1279年），原名李治，字仁卿，號(hào)敬齋，謚號(hào)文正，真定欒城（今河北欒城縣）人，中國金代、元代文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他的主要著作為《測(cè)圓海鏡》，其中改進(jìn)了前人的解方程方法，首次系統(tǒng)地闡述了“天元術(shù)”（設(shè)未知數(shù)并列方程的方法），用以研究直角三角形內(nèi)切圓和旁切圓的性質(zhì)。李冶將一生的心血化為兩本珍貴專著《測(cè)圓海鏡》12卷（1248年）和《益古演段》3卷（1259年）。他在病危時(shí)對(duì)其子克修說：“測(cè)圓海鏡一書，雖九九小數(shù)，五常精思致力焉，后世必有知者”。他鄭重地叮囑兒子，千萬要保存好，不要把它們燒毀了?？墒窃诋?dāng)時(shí)社會(huì)環(huán)境下，李冶的工作還不能被當(dāng)時(shí)學(xué)者的理解，《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》兩書，是在李冶逝世后三十年才得以付印的。這兩本也成為我國和世界至今保留下來的有關(guān)天元術(shù)研究的最早、最完整而詳細(xì)的著作。

在李冶之前，天元術(shù)還比較幼稚，記號(hào)混亂，演算比較煩瑣麻煩。李冶在對(duì)早期天元術(shù)問題進(jìn)行了分析之后，對(duì)“天元術(shù)”進(jìn)行了比較大的改進(jìn)。他認(rèn)識(shí)到，只有擺脫幾何思維束縛，建立一套不依賴于具體問題的固定程序，才能實(shí)現(xiàn)上述目的。

李冶的《測(cè)圓海鏡》便是天元術(shù)的代表作，他在公元1248年完成了他的代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》。他的天元術(shù)與現(xiàn)代列方程的方法極為類似。

李冶創(chuàng)造出了一種比較清晰和簡便的、適于各類問題的列方程的方法。最后利用增乘開方法求這個(gè)方程的根。

李治在書中把記多項(xiàng)式的文字省略為一個(gè)字，在一次項(xiàng)旁邊記個(gè)“元”字，或在常數(shù)項(xiàng)旁邊記個(gè)“太”字，使天元術(shù)成為比較簡單的固定形式。這在世界數(shù)學(xué)史上也是處于領(lǐng)先地位的。

第第7講講一元二次方程與解法（二）一元二次方程與解法（二）

概述概述適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域人教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長（分鐘）120知識(shí)點(diǎn)1.公式法解一元二次方程2.因式分解法解一元二次方程3.一元二次方程根的判別式4.一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.掌握公式法、因式分解法一元二次方程的方法2.熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系3.體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法教學(xué)重點(diǎn)1.求根公式的推導(dǎo)，公式的正確使用2.使學(xué)生能夠熟練而準(zhǔn)確的運(yùn)用公式法，因式分解法求一元二次方程的解3.積極探索方程不同解法，通過交流發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解法，獲得成功體驗(yàn)教學(xué)難點(diǎn)1.公式法的準(zhǔn)確運(yùn)用2.將整理成一般形式的方程左邊因式分解3.一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系【知識(shí)導(dǎo)圖】

教學(xué)過程教學(xué)過程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】復(fù)習(xí)以往知識(shí)：從已學(xué)、已知的入手，與今天的教學(xué)進(jìn)行對(duì)比。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及解法，接下來請(qǐng)同學(xué)們回憶一下：1.一元二次方程：只含有_____個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是____，且二次項(xiàng)系數(shù)____，這樣的方程叫一元二次方程；它的一般形式是_______________。例如，（1）（2）（3）2.一元二次方程的解法有_________法、_________法，解方程．解：，，∴，.本節(jié)課還要學(xué)習(xí)的公式法，因式分解法。二、知識(shí)講解二、知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1公式法解一元二次方程公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法.（推導(dǎo)過程教師板書）的求根公式為知識(shí)點(diǎn)2因式分解法解一元二次方程知識(shí)點(diǎn)2因式分解法解一元二次方程①將方程的右邊化為0；②將方程的左邊化成兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式等于0，得到一元一次方程，解一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程根的判別式根的判別式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即。當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。反之，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則；若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則；若無實(shí)數(shù)根，則。知識(shí)點(diǎn)4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）知識(shí)點(diǎn)4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。知識(shí)點(diǎn)5知識(shí)點(diǎn)5根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系（1）（2）（3）；（4）││==考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1使用判別式之前一定要先把一元二次方程化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值?？键c(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2根的判別式的使用條件是在一元二次方程中，而非別的方程中。因此，解題過程中要注意隱含條件?？键c(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3對(duì)于一元二次方程而言，當(dāng)滿足①、②時(shí)，才能用韋達(dá)定理?？键c(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)4根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn)，如何靈活選用最合適的解方程的方法：首先考慮是否滿足直接開平方法的條件，其次觀察項(xiàng)數(shù)，考慮能否用因式分解法，用哪一種因式分解法，最后考慮公式法和配方法。三、例題三、例題精析【教學(xué)建議】此處內(nèi)容主要用于教師課堂的精講，每個(gè)題目結(jié)合試題本身、答案和解析部分，教師有的放矢的進(jìn)行講授或與學(xué)生互動(dòng)練習(xí)。例題1例題1【題干】利用公式法解方程【答案】【解析】解：∵∴∴∴，變式變式【題干】用公式法解方程【答案】解：∵，∴代入求根公式，得例題2例題2【題干】因式分解法解方程【答案】【解析】解：原方程可化為∴，或∴變式變式【題干】解方程【答案】【解析】解：原方程可化為∴，或∴例題例題3【題干】解一元二次方程：【答案】解：設(shè)

原方程化為：，解得：

即所以【解析】換元法解一元二次方程的能力。觀察方程由方程特點(diǎn)設(shè)，然后整理原方程求解。換元法解方程可將方程化繁為簡，化難為易，是解方程的常用方法之一。換元法的應(yīng)用要根據(jù)方程特點(diǎn)來決定，因此要注意總結(jié)能夠應(yīng)用換元法解的方程的特點(diǎn).例題4例題4【題干】下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（）A．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．方程（其中a為常數(shù)，且）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】D【解析】此題屬于不解一元二次方程，判斷（證明）根的情況類型的題目。把所給方程整理為一元二次方程的一般形式，根據(jù)根的判別式判斷解的個(gè)數(shù)即可：A、整理得：，△＝0，原方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、整理得：，△＜0，原方程沒有實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、整理得：，△＝0，原方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、整理得：，當(dāng)時(shí)，，原方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)正確.例題例題5【題干】如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【答案】D【解析】解決此題需要從三方面綜合考慮，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意義知2k＋1≥0，三是由原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根知()2－4k＞0，三者缺一不可．同時(shí)，本題也是一道易錯(cuò)題，部分學(xué)生會(huì)忽視這一符號(hào)條件下的不等關(guān)系而錯(cuò)選為B．由題意，得解得－≤k＜且k≠0．例題6例題6【題干】已知m、n是方程的兩根，則代數(shù)式的值為A．9B．C．3D．5【答案】C【解析】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式、的化簡.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，.==例題7例題7【題干】如果是方程的兩個(gè)根，那么的值為：A．－1B．2C．D.【答案】B【解析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系即韋達(dá)定理，兩根之和是，兩根之積是，易求出兩根之和是2.四、課堂運(yùn)用四、課堂運(yùn)用【教學(xué)建議】在對(duì)課堂知識(shí)講解完，把握了重點(diǎn)突破了難點(diǎn)以及練習(xí)精講了之后，再用練習(xí)進(jìn)行課堂檢測(cè)，根據(jù)學(xué)生情況建議分3個(gè)難度層次：易，中，難?；A(chǔ)基礎(chǔ)方程的解是（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】用因式分解法解一元二次方程的步驟是，把右邊的式子移到左邊，然后另每一個(gè)因式為0.解方程【答案】解：∵∴∴∴【解析】此題答案用的公式法，也可以用因式分解法，比較簡單解方程【答案】解：∴，或∴【解析】選擇因式分解法較簡單解方程【答案】解：∴，或∴【解析】選擇直接開平方法較簡單若一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由一元二次方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)解，∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1。∴m的取值范圍是m≤1。已知一元二次方程：的兩個(gè)根分別是、則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。ax2+bx+c=0(a≠0)，x1+x2=,x1x2=,鞏固鞏固一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D．無實(shí)數(shù)根【答案】D【解析】中，a=1，b=2，c=2，△。無實(shí)數(shù)根。用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）；解：∴，或∴（2）；解：原方程可化簡為∴，或∴（3）解：∴，或∴（4）解：∵∴∴∴拔高拔高若，，則的值為。【答案】【解析】將兩個(gè)式子相加得，設(shè)，則有解一元二次方程，即：如果，那么代數(shù)式的值?！敬鸢浮?6【解析】由可得，已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若x1、x2是原方程的兩根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此時(shí)方程的兩根?！敬鸢浮拷猓海?）證明：由關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵無論m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）∵x1，x2是原方程的兩根，∴x1+x2=－（m+3），x1?x2=m+1?！遼x1－x2|＝2，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8?！郲－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。解得：m1=－3，m2=1。當(dāng)m=－3時(shí)，原方程化為：x2－2=0，解得：x1=，x2=－。當(dāng)m=1時(shí)，原方程化為：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+，x2=－2－?！窘馕觥看祟}考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判別式△=b2－4ac的符號(hào)來判定該方程的根的情況。（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1＋x2和x1?x2，由已知條件|x1－x2|＝2平方后可以得到關(guān)于x1＋x2和x1?x2的等式，從而列出關(guān)于m的方程，通過解該方程即可求得m的值，最后將m值代入原方程并解方程。課堂小結(jié)課堂小結(jié)【教學(xué)建議】此處內(nèi)容主要用于教師對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，一方面是對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容的回顧，更重要的是針對(duì)這節(jié)課學(xué)生出現(xiàn)的問題再次進(jìn)行復(fù)習(xí)提問等，以達(dá)到讓學(xué)生課上掌握的目的，同時(shí)可以對(duì)下節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行簡單的鋪墊，以體現(xiàn)出本節(jié)課內(nèi)容與下節(jié)課內(nèi)容之間的關(guān)系。公式法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程一元二次方程根的判別式一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該掌握以上的5個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。課后需要通過大量的練習(xí)來鞏固課上所學(xué)的知識(shí)，真正做到學(xué)以致用。拓展延伸拓展延伸【教學(xué)建議】教師根據(jù)學(xué)生掌握情況有針對(duì)性的進(jìn)行課后作業(yè)的布置，掌握好的同學(xué)可以適當(dāng)?shù)牟贾秒y度大一些的作業(yè)，成績一般的同學(xué)可以以基礎(chǔ)題和鞏固題目為主，但是一定要控制作業(yè)的數(shù)量，給學(xué)生布置的作業(yè)一般不要超過5題，這樣學(xué)生才能保證做題的質(zhì)量?；A(chǔ)基礎(chǔ)如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常數(shù)）沒有實(shí)根，那么c的取值范圍是?！敬鸢浮縞＞9?！窘馕觥俊哧P(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常數(shù)）沒有實(shí)根，∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，＞9。方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）．A．k≥1 B．k≤1C．k>1 D．k<1【答案】D【解析】主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（根的判別式），當(dāng)b2-4ac≥時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，同時(shí)不要忽略二次項(xiàng)系數(shù)不等于零及二次根式有意義的條件（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）。方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以k-1≠0且，1-k≥0,，k≠1且k≤1,所以k<1.已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的兩根，且x1+x2=3,x1x2=1,則a、b的值分別是A.a=–3,b=1 B.a=3,b=1C.a=–,b=–1 D.a=–,b=1【答案】D【解析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系。x1+x2=–2a=3,a=–;x1x2=b=1已知的兩根，則.【答案】【解析】本題綜合考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代入化簡后的待求式.因?yàn)閙和n是方程2x2-5x-3=0得，m+n=，mn=-，所以==.鞏固鞏固1.在同一坐標(biāo)系中，直線y＝x＋1與雙曲線y＝EQ\F(1,x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．不能確定【答案】A【解析】本題考查直線與雙曲線的交點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式。根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，聯(lián)立y＝x＋1和y＝EQ\F(1,x)得，x＋1＝EQ\F(1,x)，整理，得x2＋x－1＝0?！摺鳎?＋4=5＞0，∴x2＋x－1＝0有兩不相等的實(shí)數(shù)根?！嘀本€y＝x＋1與雙曲線y＝EQ\F(1,x)有兩個(gè)交點(diǎn)。故選A。關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為.求m的取值范圍；若，求m的值.【答案】解：（1）∵原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解之，得：.由韋達(dá)定理，得：，∴，解之，得：.【解析】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．需要注意的是當(dāng)題中沒有明確兩根是否相等時(shí)，應(yīng)兩種可能都要考慮，即△≥0。因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以△≥0，從而解出m的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可以用含有m的代數(shù)式所表示出及，代入即可求出m的值。設(shè)，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，的值．【答案】2012【解析】本題主要考查了一元二次方程的韋達(dá)定理、根的定義以及初數(shù)中整體思想，解決此類題型的關(guān)鍵是熟悉相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)及初數(shù)中常見思想方法．解：因?yàn)?，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故由韋達(dá)定理得+=-1①，由根的定義得，即②．再由①+②得．拔高拔高如果方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知關(guān)于x的方程x2＋mx＋n＝0(n≠0)，求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩根別是已知方程兩根的倒數(shù)； （2）已知a、b滿足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值； （3）已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正數(shù)c的最小值．【答案】解：（1）設(shè)x2＋mx＋n＝0(n≠0)的兩根為x1，x2．∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n．∴＋＝＝－，·＝．∴所求一元二次方程為x2＋＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0．（2）當(dāng)a≠b時(shí)，由題意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的兩根，∴a＋b＝15，ab＝－5．∴＋＝＝＝＝－47．②當(dāng)a＝b時(shí)，＋＝1＋1＝2．∴＋＝－47或2．（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝．∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的兩根．∴△＝c2－≥0．∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值為4．【解析】此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，難度較大．?dāng)?shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并不作高的要求，此題在這種情況下以閱讀題的形式命制，為學(xué)生鋪設(shè)好解決問題所需要的知識(shí)和方法，可以有效考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，靈活應(yīng)用能力，具有一定的區(qū)分度。首先由材料知道如果一個(gè)一元二次方程的兩根是x1，x2，那么這個(gè)方程可以表達(dá)為x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，然后根據(jù)條件用含m，n的式子表示出x1＋x2，x1x2代入即可．觀察發(fā)現(xiàn)a，b可能相等，也可能不相等．當(dāng)它們相等時(shí)，，的值都等于1；當(dāng)它們不相等時(shí)，a，b可以理解為是關(guān)于x的方程x2－15x－5＝0的兩個(gè)根，然后對(duì)＋通分，利用完全平方公式變形，再整體代入求解．由a＋b＋c＝0，abc＝16，得a＋b＝－c，ab＝，構(gòu)造以a，b為根的一元二次方程，然后利用根的判別式△≥0構(gòu)造不等關(guān)系求解。設(shè)，且，則=________?！敬鸢浮浚?2【解析】本題考查了因式分解、根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式。解題關(guān)鍵是注意1-ab2≠0的運(yùn)用。因?yàn)?，∴，化簡?0。若，即，則，這與已知條件相矛盾，∴?！?0，即?！?。教學(xué)反思教學(xué)反思【教學(xué)建議】1、對(duì)教學(xué)技能的反思：對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的講解是否透徹；對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)是否把握準(zhǔn)確；對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)知識(shí)掌握知識(shí)的狀態(tài)是否了解等。2、對(duì)教學(xué)目標(biāo)的反思：講授的知識(shí)是否正確；語言是否規(guī)范簡練；書寫是否工整（班組課板書設(shè)計(jì)是否合理）；教具的使用是否得當(dāng)，實(shí)驗(yàn)操作是否熟練、規(guī)范等。3、對(duì)教學(xué)方法和手段的反思：是否注重了學(xué)生的參與意識(shí)；班組課是否因“班”施教，課后因“人”施教；教學(xué)方式、手段是否多樣化等。

第第8講講一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

概述概述適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域人教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長（分鐘）120知識(shí)點(diǎn)1.一元二次方程解應(yīng)用題的步驟2.增長率問題公式3.面積問題4.利潤問題5.“每每”問題6.儲(chǔ)蓄問題教學(xué)目標(biāo)1.掌握列方程解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵2.分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系,建立方程模型解決問題的過程,認(rèn)識(shí)方程模型的重要性,并總結(jié)運(yùn)用方程解實(shí)際問題的重要性3.通過探究性學(xué)習(xí),抓住問題的關(guān)鍵，揭示它的規(guī)律性，展示解題的簡潔性的數(shù)學(xué)美.教學(xué)重點(diǎn)1.列一元二次方程解決實(shí)際問題2.審題，從文字語言中挖掘有價(jià)值的信息.教學(xué)難點(diǎn)找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系【知識(shí)導(dǎo)圖】

教學(xué)過程教學(xué)過程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】復(fù)習(xí)以往知識(shí)：從已學(xué)、已知的入手，與今天的教學(xué)進(jìn)行對(duì)比。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義和四種解法，下面我們一塊來復(fù)習(xí)一下：1.用直接開平方法解方程，得方程的根為（）A.B.C.D.2.方程的根是（）A．0B．1C．0，－1D．0，13.設(shè)的兩根為，且＞，則＝。4.已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是－2，那么＝。5.＝列方程解應(yīng)用題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題,不能漏掉任何一個(gè)條件，所以我們今天就來具體學(xué)習(xí)一下列方程解應(yīng)用題。二、知識(shí)講解二、知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)1列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是：“審、設(shè)、列、解、答”．(1)“審”指讀懂題目、審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．這一步是解決問題的基礎(chǔ)；(2)“設(shè)”是指設(shè)元，設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元，所謂直接設(shè)元就是問什么設(shè)什么，間接設(shè)元雖然所設(shè)未知數(shù)不是我們所要求的，但由于對(duì)列方程有利，因此間接設(shè)元也十分重要．恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著列方程與解方程的難易；(3)“列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程．找出相等關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵；(4)“解”就是求出所列方程的解，注意一元二次方程的解需要檢驗(yàn)。(5)“答”就是書寫答案，應(yīng)注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長度不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于100%等等。，解出方程的根后，一定要一定要看是否符合實(shí)際情況。知識(shí)點(diǎn)2數(shù)與數(shù)字的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)2數(shù)與數(shù)字的關(guān)系兩位數(shù)=(十位數(shù)字)×10＋個(gè)位數(shù)字三位數(shù)=(百位數(shù)字)×100＋(十位數(shù)字)×10＋個(gè)位數(shù)字知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3翻一番翻一番即表示為原量的2倍，翻兩番即表示為原量的4倍．知識(shí)點(diǎn)4增長率問題知識(shí)點(diǎn)4增長率問題(1)增長率問題的有關(guān)公式：增長數(shù)=基數(shù)×增長率(2)連續(xù)兩次增長，且增長率相等的問題：若原來為m，現(xiàn)在為n，增長率為x，滿足公式如果是連續(xù)兩次下降則為：知識(shí)點(diǎn)5經(jīng)濟(jì)問題知識(shí)點(diǎn)5經(jīng)濟(jì)問題（1）利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；（2）售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；（3）知識(shí)點(diǎn)6列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)6列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵(1)審題是設(shè)未知數(shù)、列方程的基礎(chǔ)，所謂審題，就是要善于理解題意，弄清題中的已知量和未知數(shù)，分清它們之間的數(shù)量關(guān)系，尋求隱含的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)分直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)，這就需根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系正確選擇設(shè)未知數(shù)的方法和正確地設(shè)出未知數(shù)．考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1要充分利用題設(shè)中的已知條件，善于分析題中隱含的條件，挖掘其隱含關(guān)系.考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2由于一元二次方程通常有兩個(gè)根，為此要根據(jù)題意對(duì)兩根加以檢驗(yàn)．即判斷或確定方程的根與實(shí)際背景和題意是否相符，并將不符合題意和實(shí)際意義的舍去三、例題三、例題精析【教學(xué)建議】此處內(nèi)容主要用于教師課堂的精講，每個(gè)題目結(jié)合試題本身、答案和解析部分，教師有的放矢的進(jìn)行講授或與學(xué)生互動(dòng)練習(xí)。例題1例題1【題干】恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了193.6萬元，求這兩個(gè)月的平均增長率.【答案】解:設(shè)這兩個(gè)月的平均增長率是x，則根據(jù)題意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解這個(gè)方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答:這兩個(gè)月的平均增長率是10%.【解析】這是一道正增長率問題，對(duì)于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.對(duì)于降低率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.變式變式【題干】某農(nóng)場(chǎng)去年種植了10畝地的南瓜，畝產(chǎn)量為2000，根據(jù)市場(chǎng)需要，今年該農(nóng)場(chǎng)擴(kuò)大了種植面積，并且全部種植了高產(chǎn)的新品種南瓜，已知南瓜種植面積的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的2倍，今年南瓜的總產(chǎn)量為60000kg，求南瓜畝產(chǎn)量的增長率．【答案】解：設(shè)南瓜畝產(chǎn)量的增長率為，則種植面積的增長率為．根據(jù)題意，得解這個(gè)方程，得，（不合題意，舍去）．答：南瓜畝產(chǎn)量的增長率為．【解析】根據(jù)增長后的產(chǎn)量=增長前的產(chǎn)量（1+增長率），設(shè)南瓜畝產(chǎn)量的增長率為x，則種植面積的增長率為2x，列出方程求解．例題2例題2【題干】益群精品店以每件21元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)a元，則可賣出（350－10a）件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計(jì)劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少？【答案】解:根據(jù)題意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解這個(gè)方程，得a1＝25，a2＝31.因?yàn)?1×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合題意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答:需要進(jìn)貨100件，每件商品應(yīng)定價(jià)25元.【解析】商品的定價(jià)問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點(diǎn),根據(jù)：每件盈利×銷售件數(shù)=總盈利額；其中，每件盈利=每件售價(jià)-每件進(jìn)價(jià),建立等量關(guān)系.例題例題3【題干】王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.（假設(shè)不計(jì)利息稅）【答案】解:設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x,則根據(jù)題意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解這個(gè)方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將x2≈－1.63舍去.答:第一次存款的年利率約是2.04%.【解析】儲(chǔ)蓄問題關(guān)鍵是掌握公式：本息和=本金×（1+利率×期數(shù)）,這里是按教育儲(chǔ)蓄求解的，應(yīng)注意不計(jì)利息稅.例題4例題4【題干】某商場(chǎng)禮品柜臺(tái)春節(jié)期間購進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場(chǎng)平均每天可多售出100張，商場(chǎng)要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元?【答案】解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元?jiǎng)t（0.3-x）（500+）=120解得：x=0.1或（不合題意，舍去）答：每張賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元．【解析】本題是“每每問題”，得到每降價(jià)x元多賣出的賀年卡張數(shù)是解決本題的難點(diǎn)，根據(jù)利潤得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．變式變式【題干】商場(chǎng)某種新商品每件進(jìn)價(jià)是120元，在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件商品售價(jià)為130元時(shí)，每天可銷售70件，當(dāng)每件商品售價(jià)高于130元時(shí)，每漲價(jià)1元，日銷售量就減少1件．據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答：（1）當(dāng)每件商品售價(jià)定為170元時(shí)，每天可銷售多少件商品？商場(chǎng)獲得的日盈利是多少？（2）在上述條件不變、商品銷售正常的情況下，每件商品的銷售價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到1600元？（提示：盈利＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)）【答案】解：（1）當(dāng)每件商品售價(jià)為170元時(shí)，比每件商品售價(jià)130元高出40元，即（元），則每天可銷售商品30件，即（件）商場(chǎng)可獲日盈利為（元）（2）設(shè)商場(chǎng)日盈利達(dá)到1600元時(shí)，每件商品售價(jià)為元，則每件商品比130元高出元，每件可盈利元,每日銷售商品為（件）依題意得方程整理，得即解得答：每件商品售價(jià)為160元時(shí)，商場(chǎng)日盈利達(dá)到1600元．【解析】解此類“每每問題”理清售價(jià)和件數(shù)之間的關(guān)系，一般以營利總和為等量列方程。例題例題5【題干】如圖，有一塊長80cm，寬60cm的硬紙片，在四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣的小正方形，用剩余部分做成一個(gè)底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子.求剪去的小正方形的邊長.【答案】解：設(shè)截去的小正方形的邊長為cm，則整理，得解得因?yàn)?，所以不合題意，舍去所以答：截去的小正方形的邊長為15cm【解析】用到的知識(shí)點(diǎn)是長方形的面積公式、解一元二次方程，注意把不合題意的解舍去．例題6例題6【題干】一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是5，把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后，所得的新兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的乘積為736，求原來的兩位數(shù)?！敬鸢浮?3或32【解析】解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為，則個(gè)位數(shù)字為.根據(jù)題意，得整理后，得解方程，得當(dāng)時(shí)，，兩位數(shù)為23；當(dāng)時(shí)，，兩位數(shù)為32答：原來的兩位數(shù)為23或32四、課堂運(yùn)用四、課堂運(yùn)用【教學(xué)建議】在對(duì)課堂知識(shí)講解完，把握了重點(diǎn)突破了難點(diǎn)以及練習(xí)精講了之后，再用練習(xí)進(jìn)行課堂檢測(cè)，根據(jù)學(xué)生情況建議分3個(gè)難度層次：易，中，難?；A(chǔ)基礎(chǔ)為執(zhí)行“兩免一補(bǔ)”政策，某地區(qū)2006年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬元，預(yù)計(jì)2008年投入3600萬元．設(shè)這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長百分率為，則下列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長百分率為x，然后用x表示2008年的投入，再根據(jù)“2008年投入3600萬元”可得出方程．某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？【答案】解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根為x1=10%，x2=-3.1所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%．【解析】設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是（1+x）2．印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊(duì)，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊(duì)猴子在一起”．大意是說：一群猴子分成兩隊(duì)，一隊(duì)猴子數(shù)是猴子總數(shù)的的平方，另一隊(duì)猴子數(shù)是12，那么猴子總數(shù)是多少？你能列出方程這個(gè)問題嗎？【答案】解：設(shè)總共有x只猴子，根據(jù)題意，得：x=（x）2+12整理得：x2-64x+768=0【解析】以猴子總量為等量列方程鞏固鞏固一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也