大一高數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-12.函數(shù)$y=x^2$在點(diǎn)$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.43.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$x^2$，則$f(x)=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$x^3$D.$\frac{1}{3}x^3$4.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$5.函數(shù)$y=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,+\infty)$D.$[0,+\infty)$6.極限$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.∞7.曲線$y=x^3$的拐點(diǎn)是（）A.$(0,0)$B.$(1,1)$C.$(-1,-1)$D.不存在8.若$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$與$\int_{a}^f(t)dt$的關(guān)系是（）A.相等B.互為相反數(shù)C.不確定D.以上都不對(duì)9.函數(shù)$y=\cosx$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$\sinx$B.$-\sinx$C.$\cosx$D.$-\cosx$10.定積分$\int_{0}^{1}1dx=$（）A.0B.1C.2D.3二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是無窮小量（）A.$\lim_{x\to0}x$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\infty}x$2.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\sqrt{x}$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=|x|$3.不定積分的性質(zhì)有（）A.$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$C.$[\intf(x)dx]^\prime=f(x)$D.$\intf^\prime(x)dx=f(x)+C$4.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim_{x\to\infty}x^2$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$5.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)6.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)7.定積分的幾何意義是（）A.曲邊梯形面積B.曲邊梯形面積的代數(shù)和C.函數(shù)值的和D.函數(shù)值的積分8.函數(shù)$y=x^3-3x$的極值點(diǎn)有（）A.$x=-1$B.$x=0$C.$x=1$D.$x=2$9.下列等式成立的有（）A.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$B.$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$C.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$D.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）10.關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)極限存在B.函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間連續(xù)C.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)D.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)三、判斷題（每題2分，共20分）1.無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)。（）2.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù)。（）3.若$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)。（）4.函數(shù)$y=x^2$的單調(diào)遞增區(qū)間是$(-\infty,0)$。（）5.$\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0$。（）6.兩個(gè)無窮小量的和一定是無窮小量。（）7.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）8.若$f^\prime(x_0)=0$，則$x_0$一定是函數(shù)$y=f(x)$的極值點(diǎn)。（）9.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的選取無關(guān)。（）10.函數(shù)$y=\cos^2x$的導(dǎo)數(shù)是$-2\cosx\sinx$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)$y=x^3-2x^2+3x-1$的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式$(X^n)^\prime=nX^{n-1}$，$y^\prime=3x^2-4x+3$。2.計(jì)算$\intx^2dx$。答案：由不定積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），可得$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$。3.求極限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$。答案：對(duì)分子因式分解，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，則原式$=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$。4.函數(shù)$y=\ln(2x+1)$的定義域是什么？答案：對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，即$2x+1>0$，解得$x>-\frac{1}{2}$，定義域?yàn)?(-\frac{1}{2},+\infty)$。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)$y=x^2-4x+3$的單調(diào)性。答案：先求導(dǎo)得$y^\prime=2x-4$。令$y^\prime=0$，得$x=2$。當(dāng)$x<2$時(shí)，$y^\prime<0$，函數(shù)遞減；當(dāng)$x>2$時(shí)，$y^\prime>0$，函數(shù)遞增。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式建立二者聯(lián)系。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果含常數(shù)$C$；定積分是數(shù)值，由被積函數(shù)與積分區(qū)間確定。3.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)情況。答案：函數(shù)在$x=1$處無定義，所以$x=1$是間斷點(diǎn)。$\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty$，$\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty$，$x=1$是無窮間斷點(diǎn)。4.討論導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：在經(jīng)濟(jì)中可用于分析成本、利潤(rùn)變化；在物理中能求速度、加速度；在工程上可優(yōu)化設(shè)計(jì)，如求最值確定最優(yōu)方案等，幫助人們分析變化率和進(jìn)行決策。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.A4.A5.B