數(shù)值分析上機(jī)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)值計(jì)算中，有效數(shù)字越多則（）A.誤差越大B.誤差越小C.無影響D.不確定2.迭代法收斂的條件是迭代函數(shù)的（）A.導(dǎo)數(shù)大于1B.導(dǎo)數(shù)小于1C.導(dǎo)數(shù)等于1D.無要求3.高斯消去法解方程組，出現(xiàn)“小主元”會(huì)導(dǎo)致（）A.計(jì)算更簡(jiǎn)便B.結(jié)果更準(zhǔn)確C.計(jì)算不穩(wěn)定D.無影響4.牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是（）A.計(jì)算簡(jiǎn)單B.節(jié)點(diǎn)改變時(shí)，系數(shù)無需重算C.精度高D.收斂快5.用二分法求方程根，區(qū)間[a,b]滿足（）A.f(a)f(b)>0B.f(a)f(b)<0C.f(a)f(b)=0D.無要求6.數(shù)值積分中，梯形公式的代數(shù)精度是（）A.1B.2C.3D.47.求解線性方程組Ax=b的雅可比迭代法的迭代矩陣是（）A.D-L-UB.D-1(L+U)C.(D-L)-1UD.以上都不對(duì)8.龍格-庫(kù)塔法是求解（）的數(shù)值方法A.線性方程組B.非線性方程C.常微分方程D.積分方程9.已知函數(shù)值列表，構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則多項(xiàng)式次數(shù)為（）A.nB.n-1C.n+1D.不確定10.數(shù)值計(jì)算中，避免相近數(shù)相減是為了（）A.提高計(jì)算效率B.減少舍入誤差C.增加有效數(shù)字D.無目的答案：1.B2.B3.C4.B5.B6.A7.B8.C9.B10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于數(shù)值積分方法的有（）A.梯形公式B.辛普森公式C.高斯積分D.牛頓-柯特斯公式2.求解非線性方程的迭代法有（）A.二分法B.牛頓迭代法C.弦截法D.雅可比迭代法3.提高數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性的措施有（）A.避免大數(shù)吃小數(shù)B.簡(jiǎn)化計(jì)算步驟C.采用高精度算法D.合理安排運(yùn)算順序4.線性方程組的直接解法有（）A.高斯消去法B.高斯-約旦消去法C.雅可比迭代法D.高斯-賽德爾迭代法5.插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法有（）A.拉格朗日插值B.牛頓插值C.埃爾米特插值D.樣條插值6.以下關(guān)于誤差的說法正確的有（）A.誤差分為絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差B.截?cái)嗾`差是由于近似計(jì)算產(chǎn)生C.舍入誤差不可避免D.有效數(shù)字越多，相對(duì)誤差越小7.數(shù)值分析中常用的范數(shù)有（）A.1-范數(shù)B.2-范數(shù)C.∞-范數(shù)D.0-范數(shù)8.常微分方程數(shù)值解法有（）A.歐拉法B.改進(jìn)歐拉法C.四階龍格-庫(kù)塔法D.高斯消去法9.以下哪些是數(shù)值分析研究的內(nèi)容（）A.數(shù)值逼近B.數(shù)值微分與積分C.線性方程組求解D.非線性方程求解10.迭代法收斂的判定條件有（）A.迭代矩陣譜半徑小于1B.迭代函數(shù)導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值小于1C.系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)D.無判定條件答案：1.ABCD2.ABC3.ABCD4.AB5.ABCD6.ABCD7.ABC8.ABC9.ABCD10.ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.數(shù)值計(jì)算中，計(jì)算結(jié)果的誤差只與計(jì)算方法有關(guān)。（）2.高斯消去法一定能求解任意線性方程組。（）3.拉格朗日插值多項(xiàng)式節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，系數(shù)需要重新計(jì)算。（）4.迭代法的收斂速度只取決于迭代函數(shù)。（）5.數(shù)值積分中，節(jié)點(diǎn)越多，積分精度一定越高。（）6.雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法收斂性相同。（）7.二分法求根一定能收斂到方程的根。（）8.牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多項(xiàng)式在相同節(jié)點(diǎn)下結(jié)果相同。（）9.計(jì)算中只要使用高精度算法就不會(huì)產(chǎn)生誤差。（）10.常微分方程數(shù)值解是精確解。（）答案：1.×2.×3.√4.×5.×6.×7.√8.√9.×10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述數(shù)值分析中誤差的來源。答案：誤差來源主要有：模型誤差，由實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生；觀測(cè)誤差，測(cè)量數(shù)據(jù)帶來；截?cái)嗾`差，近似計(jì)算如用泰勒展開近似函數(shù)產(chǎn)生；舍入誤差，計(jì)算中四舍五入造成。2.說明高斯消去法的基本步驟。答案：首先將方程組的增廣矩陣通過行初等變換化為上三角矩陣，這一步消去主對(duì)角線下方元素；然后再通過回代過程，從最后一個(gè)方程開始依次求解出各個(gè)未知數(shù)的值。3.簡(jiǎn)述牛頓迭代法的基本思想。答案：對(duì)于非線性方程f(x)=0，在初始值x0處，用f(x)的線性近似代替f(x)，得到線性方程求解，迭代公式為xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)，通過不斷迭代逼近方程的根。4.簡(jiǎn)述數(shù)值積分的基本原理。答案：數(shù)值積分是用離散點(diǎn)函數(shù)值的線性組合近似代替定積分?；诜e分中值定理，將積分區(qū)間劃分，在子區(qū)間上用簡(jiǎn)單函數(shù)（如多項(xiàng)式）近似被積函數(shù)，通過計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)積分得到近似值。五、討論題（每題5分，共4題）1.在數(shù)值計(jì)算中，如何選擇合適的算法？答案：需考慮問題類型，如線性方程組選直接或迭代法。要關(guān)注計(jì)算精度要求，高精度選合適算法。計(jì)算量和效率也重要，大數(shù)據(jù)量避免復(fù)雜算法。還要考慮算法穩(wěn)定性，避免不穩(wěn)定算法導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。2.比較拉格朗日插值和牛頓插值的優(yōu)缺點(diǎn)。答案：拉格朗日插值結(jié)構(gòu)對(duì)稱，公式形式優(yōu)美，但節(jié)點(diǎn)改變時(shí)系數(shù)要重算。牛頓插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)部分計(jì)算可利用，系數(shù)計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是形式不如拉格朗日簡(jiǎn)潔，二者在相同節(jié)點(diǎn)插值結(jié)果相同。3.迭代法收斂速度對(duì)計(jì)算有何影響？如何提高收斂速度？答案：收斂速度快可減少計(jì)算量和時(shí)間，提高效率；慢則耗時(shí)久甚至難以得到結(jié)果?？蓛?yōu)化迭代函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值更小；選