PAGE1-第4節(jié)干脆證明與間接證明【選題明細(xì)表】學(xué)問點(diǎn)、方法題號(hào)綜合法1,6,10,11分析法3,4,8,12反證法2,5,7,9,13基礎(chǔ)鞏固(時(shí)間:30分鐘)1.設(shè)a=-,b=-,c=-,則a,b,c的大小依次是(A)(A)a>b>c (B)b>c>a(C)c>a>b (D)a>c>b解析:因?yàn)閍=-=,b=-=,c=-=,且+>+>+>0,所以a>b>c.故選A.2.用反證法證明命題:“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí),應(yīng)假設(shè)(B)(A)三個(gè)內(nèi)角都不大于60°(B)三個(gè)內(nèi)角都大于60°(C)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°(D)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°3.已知a>b>0,證明-<可選擇的方法,以下最合理的是(B)(A)綜合法 (B)分析法 (C)類比法 (D)歸納法解析:首先,解除C,D.然后,比較綜合法、分析法.我們選擇分析法,欲證-<,只需證<+,即證a<b+(a-b)+2,只需證0<2.選B.4.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證<a”索的因應(yīng)是(C)(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0解析:由題意知<a?b2-ac<3a2?(a+c)2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.5.①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時(shí),可假設(shè)p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的肯定值都小于1,用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的肯定值大于或等于1,即假設(shè)|x1|≥1.以下正確的是(D)(A)①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤(B)①與②的假設(shè)都正確(C)①的假設(shè)正確;②的假設(shè)錯(cuò)誤(D)①的假設(shè)錯(cuò)誤;②的假設(shè)正確解析:反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論,對于①,其結(jié)論的反面是p+q>2,所以①不正確;對于②,其假設(shè)正確.6.(2024·山東青島模擬)設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),則三個(gè)數(shù)a+,b+,c+(D)(A)都大于2 (B)都小于2(C)至少有一個(gè)不大于2 (D)至少有一個(gè)不小于2解析:因?yàn)閍>0,b>0,c>0,所以(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí),“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一個(gè)不小于2.選D.7.用反證法證明命題“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除”,那么假設(shè)的內(nèi)容是.

答案:a,b都不能被5整除8.+與2+的大小關(guān)系為.

解析:要比較+與2+的大小,只需比較(+)2與(2+)2的大小,只需比較6+7+2與8+5+4的大小,只需比較與2的大小,只需比較42與40的大小,因?yàn)?2>40,所以+>2+.答案:+>2+實(shí)力提升(時(shí)間:15分鐘)9.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是(C)(A)②③ (B)①②③(C)③ (D)③④⑤解析:若a=,b=,則a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;對于③,即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1,反證法:假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2沖突,因此假設(shè)不成立,a,b中至少有一個(gè)大于1.選C.10.已知函數(shù)f(x)=()x,a,b是正實(shí)數(shù),A=f(),B=f(),C=f(),則A,B,C的大小關(guān)系為(A)(A)A≤B≤C (B)A≤C≤B(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A解析:因?yàn)椤荨?又f(x)=()x在R上是減函數(shù),所以f()≤f()≤f().所以A≤B≤C.11.假如a+b>a+b,則a,b應(yīng)滿意的條件是.

解析:因?yàn)閍+b-(a+b)=(a-b)+(b-a)=(-)(a-b)=(-)2(+).所以當(dāng)a≥0,b≥0且a≠b時(shí),(-)2(+)>0.所以a+b>a+b成立的條件是a≥0,b≥0且a≠b.答案:a≥0,b≥0且a≠b12.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對邊分別為a,b,c.求證:+=.證明:要證+=,即證+=3也就是+=1,只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需證c2+a2=ac+b2,又△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.13.設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.(1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列;(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么?(1)證明:假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,則=S1S3,即(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),因?yàn)閍1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,這與公比q≠0沖突,所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.(2)解:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1,故