專(zhuān)科高等數(shù)學(xué)期末考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\gt0\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x\)D.\(2\)4.\(\intxdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{2}x+C\)D.\(x+C\)5.曲線(xiàn)\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線(xiàn)斜率為（）A.1B.2C.3D.46.函數(shù)\(y=\cosx\)的一個(gè)原函數(shù)是（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\cosx\)D.\(-\cosx\)7.\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=\)（）A.\(\frac{3}{2}\)B.0C.\(\infty\)D.18.函數(shù)\(y=\lnx\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(\lnx\)9.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.010.函數(shù)\(y=2x^2-4x+1\)的極小值點(diǎn)是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=-1\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.極限存在的情況有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\)3.下列求導(dǎo)正確的有（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)4.不定積分\(\intf(x)dx\)的性質(zhì)有（）A.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)B.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)C.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)5.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的必要條件有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.左右導(dǎo)數(shù)存在C.左右導(dǎo)數(shù)相等D.函數(shù)在\(x_0\)處有定義6.下列屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)7.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)與哪些因素有關(guān)（）A.被積函數(shù)\(f(x)\)B.積分下限\(a\)C.積分上限\(b\)D.積分變量\(x\)8.函數(shù)\(y=f(x)\)的駐點(diǎn)可能是（）A.極值點(diǎn)B.最值點(diǎn)C.不可導(dǎo)點(diǎn)D.拐點(diǎn)9.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}\)B.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)C.\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1\)D.\(\int_{0}^{2}x^2dx=\frac{8}{3}\)10.函數(shù)\(y=3x^2-6x+5\)的性質(zhì)有（）A.開(kāi)口向上B.對(duì)稱(chēng)軸為\(x=1\)C.有最小值D.最小值為2三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處無(wú)定義，所以極限不存在。（）2.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是函數(shù)\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）3.不定積分\(\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C\)。（）4.函數(shù)\(y=x^2\)與\(y=-x^2\)的圖像關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱(chēng)。（）5.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1\)。（）6.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值可能為負(fù)。（）7.函數(shù)\(y=\ln(x^2)\)的定義域是\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。（）8.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值。（）9.曲線(xiàn)\(y=x^3\)的二階導(dǎo)數(shù)\(y^{\prime\prime}=6x\)。（）10.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，對(duì)\(y=x^3-3x^2+5\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x\)。2.計(jì)算不定積分\(\int(2x+1)dx\)。答案：根據(jù)積分性質(zhì)\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)及\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），\(\int(2x+1)dx=\int2xdx+\int1dx=x^2+x+C\)。3.求函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的極值。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=2x-4\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=2\)。再求二階導(dǎo)數(shù)\(y^{\prime\prime}=2\gt0\)，所以\(x=2\)時(shí)函數(shù)有極小值，\(y(2)=4-8+3=-1\)。4.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{2}(x^2+1)dx\)。答案：根據(jù)定積分基本公式\(\int_{a}^F^\prime(x)dx=F(b)-F(a)\)，\(\int_{0}^{2}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{2}=(\frac{8}{3}+2)-0=\frac{14}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的單調(diào)性。答案：對(duì)\(y=\frac{1}{x}\)求導(dǎo)得\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}\lt0\)（\(x\neq0\)）。所以在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上函數(shù)單調(diào)遞減。2.分析定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式建立了二者聯(lián)系。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是一個(gè)數(shù)值，由被積函數(shù)、積分區(qū)間確定，與積分變量無(wú)關(guān)。3.探討如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答案：若函數(shù)\(y=f(x)\)二階可導(dǎo)，當(dāng)\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)時(shí)，函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間是凹的；當(dāng)\(f^{\prime\prime}(x)\lt0\)時(shí)，函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間是凸的。通過(guò)求二階導(dǎo)數(shù)判斷其正負(fù)來(lái)確定凹凸性。4.說(shuō)明極限在高等數(shù)學(xué)中的重要性。答案：極限是高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念。導(dǎo)數(shù)、定積分等概念都基于極限定義。它為研究函數(shù)性質(zhì)、曲線(xiàn)性質(zhì)等提供工具，是理解函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性等的關(guān)鍵，貫穿高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2