山東專升本高數二模擬答案及試題

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\geq1\)C.\(x\lt1\)D.\(x\leq1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數\(y=x^3\)的導數\(y'\)是（）A.\(3x\)B.\(3x^2\)C.\(x^2\)D.\(3\)4.若\(f(x)\)的一個原函數是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(x\)5.\(\intxdx\)=（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{2}x+C\)D.\(x+C\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)7.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=x\)C.\(y=3x-2\)D.\(y=2x+1\)8.函數\(f(x)=x^2-2x+3\)的單調遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,2)\)D.\((2,+\infty)\)9.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.310.二元函數\(z=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點答案：1.B2.B3.B4.A5.A6.B7.A8.A9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}e^x\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}e^x\)3.函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導的充分必要條件有（）A.函數在點\(x_0\)處連續(xù)B.左導數等于右導數C.極限\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.函數在點\(x_0\)處有定義4.下列積分計算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.向量\(\vec{a}=(1,-1,2)\)，\(\vec=(2,1,-1)\)，則（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=-1\)B.\(\vec{a}\times\vec=(-1,5,3)\)C.\(|\vec{a}|=\sqrt{6}\)D.\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角的余弦值為\(-\frac{1}{\sqrt{42}}\)6.函數\(y=x^3-3x^2+2\)的駐點有（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)7.下列級數中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)8.對于二元函數\(z=f(x,y)\)，下列說法正確的有（）A.偏導數\(z_x\)是將\(y\)看作常數對\(x\)求導B.全微分\(dz=z_xdx+z_ydy\)C.駐點一定是極值點D.極值點一定是駐點9.曲線\(y=\frac{1}{x}\)具有的性質有（）A.關于原點對稱B.在\((0,+\infty)\)上單調遞減C.有水平漸近線D.有垂直漸近線10.下列微分方程中，屬于一階線性微分方程的有（）A.\(y'+y=x\)B.\(y''+y=0\)C.\(y'=xy\)D.\(y'+\sinx\cdoty=e^x\)答案：1.AB2.BC3.BC4.ABCD5.ABCD6.AC7.AC8.AB9.ABCD10.AD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\frac{1}{\sqrt{x-2}}\)的定義域是\(x\geq2\)。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）3.若\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導，則\(f(x)\)在點\(x_0\)處一定連續(xù)。（）4.函數\(y=x^4\)的導數是\(y'=4x^3\)。（）5.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）6.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與\(\vec=(0,1,0)\)垂直。（）7.函數\(y=x^2+1\)在\(R\)上沒有最大值。（）8.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\)收斂。（）9.二元函數\(z=x^2+y^2\)的駐點是\((0,0)\)。（）10.微分方程\(y'=2y\)的通解是\(y=Ce^{2x}\)（\(C\)為任意常數）。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^3-3x+1\)的極值。答案：先求導\(y'=3x^2-3\)，令\(y'=0\)，得\(x=\pm1\)。當\(x\lt-1\)，\(y'\gt0\)；\(-1\ltx\lt1\)，\(y'\lt0\)；\(x\gt1\)，\(y'\gt0\)。所以極大值\(y(-1)=3\)，極小值\(y(1)=-1\)。2.計算\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。3.求向量\(\vec{a}=(1,2,-1)\)與\(\vec=(3,-1,2)\)的夾角余弦值。答案：\(\vec{a}\cdot\vec=1×3+2×(-1)+(-1)×2=-1\)，\(|\vec{a}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}\)，\(|\vec|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}\)，夾角余弦值\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=-\frac{1}{\sqrt{84}}\)。4.求函數\(z=x^2y+y^2\)的偏導數\(z_x\)和\(z_y\)。答案：求\(z_x\)時把\(y\)看作常數，\(z_x=2xy\)；求\(z_y\)時把\(x\)看作常數，\(z_y=x^2+2y\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調性、漸近線。答案：求導\(y'=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0\)，在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)單調遞減。\(x=1\)是垂直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線。2.討論級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的斂散性。答案：當\(p\gt1\)時，級數收斂；當\(p\leq1\)時，級數發(fā)散。這是\(p-\)級數的斂散性結論，可由積分判別法等證明。3.舉例說明二元函數連續(xù)、可偏導、可微之間的關系。答案：可微能推出連續(xù)且可偏導，但連續(xù)不一定可偏導，可偏導也不一定可微。例如\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在\((0,0