6.4.3余弦定理、正弦定理1課時(shí)-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)新教材同步課堂精講練導(dǎo)學(xué)案（人教A版2019必修第二冊）6.4.3余弦定理、正弦定理（1課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)1余弦定理及其變形a2＝，cos＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；b2＝，cos＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；c2＝.cos＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).知識(shí)點(diǎn)2余弦定理及其推論的應(yīng)用一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形．余弦定理及其推論可解決兩類基本的解三角形的問題：一類是已知解三角形；另一類是已知解三角形．

【合作探究】探究一已知三角形三邊解三角形【例1-1】邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是()A．90° B．120°C．135° D．150°歸納總結(jié)：【練習(xí)1】△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為()A．19B．14C．－18D．－19探究二已知三角形兩邊及一角解三角形【例2】一個(gè)三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－eq\f(3,5)，則三角形的另一邊長為()A．52B．2eq\r(13)C．16D．4歸納總結(jié)：【練習(xí)2】在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，則b等于()A．4eq\r(3)B.eq\r(7)C．7D．5

探究三判斷三角形的形狀【例3】在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判斷三角形的形狀．歸納總結(jié)：【練習(xí)3】在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀．探究四余弦定理的綜合應(yīng)用【例4】已知三角形三邊長為a，b，eq\r(a2＋ab＋b2)(a>0，b>0)，則最大角為________．歸納總結(jié)：【練習(xí)4】在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，則AC邊上的中線長為________．

課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1.在中，，，則（）A．0 B． C． D．2.在△ABC中，cosC=23，AC＝4，BC＝3，則cosA．19 B．13 C．123.在△ABC中,已知a=2,b=3,cosC=13,則邊c長為()A.2 B.3 C.11 D.174.在△ABC中,若C=60°,c2=ab,則三角形的形狀為()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.鈍角三角形5.已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2-3ab,則△ABC的最大內(nèi)角為()A.60° B.90° C.120° D.150°二、填空題6.中，角所對的邊分別為．若，則邊。7.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊且，則=____8.在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cosC＝－eq\f(1,4)，則AC的值為()9.如圖,在,已知點(diǎn)在邊上,,,,,則的長為。10.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq\r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)，則CD的長為。11.在中，設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀是三角形三、解答題12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長．13．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，最大角為120°，求三邊長．

B組能力提升一、選擇題1.在△ABC中，cosC=23，AC＝4，BC＝3，則tanA．5 B．25 C．45 D．852.在△ABC中，cosC2=55，BC＝1，A．42 B．30 C．29 D．253.在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2eq\r(3)absinC，則△ABC的形狀是()A．不等腰的直角三角形B．等腰直角三角形C．鈍角三角形D．正三角形二、填空題4.在中，角，，的對邊分別為，，，若，則________.5.若，且，那么是三角形6.已知四點(diǎn)共面，，，，則的最大值為______．7.如圖，四邊形中，，，，，，則的長為______6.4.3余弦定理、正弦定理（1課時(shí)）導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波初審：孫銳終審：孫銳廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)1余弦定理及其變形a2＝b2＋c2－2bccos_A，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；b2＝c2＋a2－2cacos_B，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；c2＝a2＋b2－2abcos_C.cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).知識(shí)點(diǎn)2余弦定理及其推論的應(yīng)用一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形．余弦定理及其推論可解決兩類基本的解三角形的問題：一類是已知兩邊及夾角解三角形；另一類是已知三邊解三角形．

【合作探究】探究一已知三角形三邊解三角形【例1-1】邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是()A．90° B．120°C．135° D．150°答案B解析設(shè)中間角為θ，則θ為銳角，cosθ＝eq\f(52＋82－72,2×5×8)＝eq\f(1,2)，θ＝60°，180°－60°＝120°為所求．歸納總結(jié)：已知三角形的三邊求三角時(shí)，一般利用余弦定理的推論先求出兩角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．利用余弦定理的推論求角時(shí)，應(yīng)注意余弦函數(shù)在(0，π)上是單調(diào)的．當(dāng)余弦值為正時(shí)，角為銳角；當(dāng)余弦值為負(fù)時(shí)，角為鈍角．【練習(xí)1】△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為()A．19B．14C．－18D．－19答案D解析設(shè)三角形的三邊分別為a，b，c，依題意得，a＝5，b＝6，c＝7.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝－ac·cosB.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB，∴－ac·cosB＝eq\f(1,2)(b2－a2－c2)＝eq\f(1,2)(62－52－72)＝－19，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－19.探究二已知三角形兩邊及一角解三角形【例2】一個(gè)三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－eq\f(3,5)，則三角形的另一邊長為()A．52B．2eq\r(13)C．16D．4答案B解析設(shè)另一邊長為x，則x2＝52＋32－2×5×3×(－eq\f(3,5))＝52，∴x＝2eq\r(13).歸納總結(jié)：已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法,已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊.【練習(xí)2】在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，則b等于()A．4eq\r(3)B.eq\r(7)C．7D．5答案C解析b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49，∴b＝7.探究三判斷三角形的形狀【例3】在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判斷三角形的形狀．解因?yàn)閍∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c最大，cosC＝eq\f(2k2＋4k2－5k2,2×2k×4k)<0，所以C為鈍角，從而三角形為鈍角三角形．歸納總結(jié)：利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題.一般有兩條思考路線：1先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.2先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.【練習(xí)3】在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀．解由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知條件，得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．探究四余弦定理的綜合應(yīng)用【例4】已知三角形三邊長為a，b，eq\r(a2＋ab＋b2)(a>0，b>0)，則最大角為________．答案120°解析易知eq\r(a2＋ab＋b2)>a，eq\r(a2＋ab＋b2)>b，設(shè)最大角為θ，則cosθ＝eq\f(a2＋b2－\r(a2＋ab＋b2)2,2ab)＝－eq\f(1,2)，又∵θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.歸納總結(jié)：【練習(xí)4】在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，則AC邊上的中線長為________．答案7解析由條件知cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2×AB×AC)＝eq\f(92＋82－72,2×9×8)＝eq\f(2,3)，設(shè)中線長為x，由余弦定理，知x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋AB2－2×eq\f(AC,2)×ABcosA＝42＋92－2×4×9×eq\f(2,3)＝49，所以x＝7.所以AC邊上的中線長為7.

課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1.在中，，，則（）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】由余弦定理得：，又，，，，，．故選：B．2.在△ABC中，cosC=23，AC＝4，BC＝3，則cosA．19 B．13 C．12【答案】A【解析】在△ABC中，cosC=23，AC＝4，BC由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cosC＝42+32﹣2×4×3×2故AB＝3；∴cosB=A故選：A．3.在△ABC中,已知a=2,b=3,cosC=13,則邊c長為()A.2 B.3 C.11 D.17解析:因?yàn)閏2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×13=9,所以c=3答案:B4.在△ABC中,若C=60°,c2=ab,則三角形的形狀為()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.鈍角三角形解析:因?yàn)樵凇鰽BC中,C=60°,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形狀為等邊三角形,故選C.答案:C5.已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2-3ab,則△ABC的最大內(nèi)角為()A.60° B.90° C.120° D.150°解析:由已知得,c2=a2+b2+3ab,所以c>a,c>b,故C為最大內(nèi)角.由cosC=a2+b2-c22答案:D二、填空題6.中，角所對的邊分別為．若，則邊?！敬鸢浮?【解析】，即，解得或（舍去）．7.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊且，則=____【答案】（或）【解析】因?yàn)?，所以，所?bccosA=,所以,.故答案為.8.在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cosC＝－eq\f(1,4)，則AC的值為()【答案】3【解析】△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cosC＝－eq\f(1,4)，∴c2＝a2＋b2－2abcosC，即16＝4＋b2－4b×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，化簡得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合題意，舍去)，∴b＝AC＝3.9.如圖,在,已知點(diǎn)在邊上,,,,,則的長為?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意，∴，．10.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq\r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)，則CD的長為。【答案】4【解析】利用余弦定理求解．因?yàn)閟in∠ABC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠DBC＋\f(π,2)))＝cos∠DBC＝eq\f(2\r(3),5)，在△DBC中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝25＋27－2×5×3eq\r(3)×eq\f(2\r(3),5)＝16，所以CD＝4。11.在中，設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀是三角形【答案】等腰三角形三、解答題12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長．解(1)cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2).又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))∴AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝eq\r(10).13．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，最大角為120°，求三邊長．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝4，,a＋c＝2b，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＋4，,c＝b－4.))∴a>b>c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.當(dāng)b＝10時(shí)，a＝14，c＝6.

B組能力提升一、選擇題1.在△ABC中，cosC=23，AC＝4，BC＝3，則tanA．5 B．25 C．45 D．85【答案】C【解析】∵cosC=23，AC＝4，∴tanC=1∴AB=AC2+BC∴B＝π﹣2C，則tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C=?2tanC1?tan故選：C．2.在△ABC中，cosC2=55