江蘇省連云港市2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．計(jì)算：（

）A．8 B．10 C．12 D．162．中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購(gòu)1種，則不同的選購(gòu)方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（

）A． B．8 C． D．44．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．從中任取個(gè)不同的數(shù)，事件“取到的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則（

）A． B． C． D．6．用0，1，2，3，4可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．36 B．48 C．60 D．727．已知，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．如圖，平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．2名女生、4名男生排成一排，則2名女生不相鄰的排法有種.A． B． C． D．10．設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng) D．11．如圖，點(diǎn)在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．三棱錐的體積不變 B．平面C． D．平面平面三、填空題（本大題共3小題）12．若，則的值為．13．被9除所得的余數(shù)是.14．某小區(qū)為了做好防疫工作組織了6個(gè)志愿服務(wù)小組，分配到4個(gè)大門進(jìn)行行李搬運(yùn)志愿服務(wù)，若每個(gè)大門至少分配1個(gè)志愿服務(wù)小組，每個(gè)志愿服務(wù)小組只能在1個(gè)大門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知.(1)求；(2)求與夾角的余弦值；(3)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.16．某班級(jí)甲組有5名男生，3名女生；乙組有6名男生，2名女生．（1）若從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任組長(zhǎng)，則有多少種不同的選法？（2）若從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任正副班長(zhǎng)，則有多少種不同的選法？（3）若從甲、乙兩組中各選2人參加核酸檢測(cè)，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有多少種？17．如圖，在正方體中，是正方形的中心，是的中點(diǎn).(1)求證：是平面的法向量；(2)求與平面所成角的余弦值；(3)求二面角的正弦值．18．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，______.給出下列條件：①若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256.試在上面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問(wèn)題：（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng).19．高二（16）班參加青華中學(xué)紅五月節(jié)目：猜歌名，班級(jí)只有一個(gè)名額，結(jié)合平時(shí)觀察積累，閆某峻，賈某軒兩名學(xué)生進(jìn)入最后選拔，申老師為此設(shè)計(jì)了如下選拔方案：挑選8首歌進(jìn)行測(cè)試，在這8首歌曲中，閆某峻能正確說(shuō)出其中的6首歌名，賈某軒能正確說(shuō)出每首歌名的概率均為，假設(shè)閆某峻、賈某軒兩名學(xué)生說(shuō)出每首歌名都相互獨(dú)立、互不影響，現(xiàn)閆某峻、賈某軒從這8首歌中分別隨機(jī)抽取4首進(jìn)行競(jìng)猜（1）求閆某峻、賈某軒共答對(duì)3首歌名的概率；（2）從數(shù)學(xué)期望和方差的角度分析，應(yīng)選拔哪個(gè)學(xué)生代表高二（16）班參加紅五月活動(dòng)？

參考答案1．【答案】D【詳解】.故選D.2．【答案】A【詳解】由題可知，每名同學(xué)都有3種選法，故不同的選購(gòu)方式有種，經(jīng)檢驗(yàn)只有A選項(xiàng)符合.故選A3．【答案】A【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，取，則，系數(shù)為.故選A4．【答案】C【詳解】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)與所成的角的大小為，則.故選C5．【答案】B【分析】先求得和的值，然后利用條件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】依題意,,故.故選B.6．【答案】C【詳解】當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，有個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)為2或4時(shí)，有個(gè)，所以無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個(gè)，故選C.7．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以在上投影的長(zhǎng)度為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選C8．【答案】B【詳解】解：，，，，所以，故選B9．【答案】BC【詳解】由題意，先排男生，再插入女生，可得選項(xiàng)B正確，或用減法，先進(jìn)行全排列再減去女生相鄰的情況，可得選項(xiàng)C正確．【詳解】由題意，可先排男生，再插入女生，可得兩名女生不相鄰的排法共有，故B正確；也可先進(jìn)行全排列，則2名女生相鄰情況為，則2名女生不相鄰的排法有，故C正確；故選BC.10．【答案】BD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，在中，令，可得，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)，令，則，即.由選項(xiàng)可知，所以，選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)闉榕紨?shù)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)（即第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，即，選項(xiàng)正確.故選BD.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，的面積是定值，，平面，平面，∴平面，故到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積是定值，即三棱錐的體積不變，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，平面，同理平面，而，平面，∴平面平面，平面，平面，故B正確；對(duì)于C，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，P在上，故可設(shè)，則，，，則不一定為0，和不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，.∴平面和平面垂直，故D正確.故選ABD.12．【答案】6或8【詳解】因?yàn)椋曰?，其中，解得或，?jīng)檢驗(yàn)符合題意.13．【答案】2【詳解】因?yàn)橛帜鼙?整除，所以被9除所得的余數(shù)為2，14．【答案】1560【詳解】因每個(gè)大門至少分配1個(gè)志愿服務(wù)小組，每個(gè)志愿服務(wù)小組只能在1個(gè)大門進(jìn)行服務(wù)，故有兩種分配方案：第一種“”方案：先從6個(gè)志愿服務(wù)小組選取3個(gè)小組為一大組與另外的三個(gè)小組分成4組，到4個(gè)大門進(jìn)行服務(wù)，共有方法種數(shù)為；第二種“”方案，依次從6個(gè)志愿服務(wù)小組選取2個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)到4個(gè)大門進(jìn)行服務(wù)，共有方法種數(shù)為，由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的分配方法種數(shù)為.15．【答案】(1)-10(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算律,即可求解.（2）根據(jù)空間向量的夾角公式,代入求解.（3）由,轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0即可.【詳解】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，，得，，或.16．【答案】（1）64；（2）128；（3）51.【詳解】（1）利用分步原理可得從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任組長(zhǎng)，共有種不同的選法；（2）先選后排，可得從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任正副班長(zhǎng)有種不同的選法；（3）先分類再分步：第一類：甲組1男生：，第二類：乙組1男生：，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有51種.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；【詳解】（1）設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.，又，，，，，即，，又，面，面，是平面的法向量.（2），，，又由（1）知平面的法向量，設(shè)與所成的角為，，，則，即與平面所成角的余弦值是.（3）在正方體中，面，是面的法向量，又，，由圖可知二面角為銳二面角，設(shè)為，，則二面角平面角的正弦值為.18．【答案】（1），（2）（3）【詳解】（1）選擇①：，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②：，即，解得.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，，.（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為；（3）由展開(kāi)式的通項(xiàng)為，假設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則，解得，且，所以，即系數(shù)最大項(xiàng)為.19．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)閆某峻、賈某軒答對(duì)的題數(shù)分別為,則可能為2，3，4，則,由題意知，賈某軒答對(duì)的題