XX秋九年級數(shù)學(xué)上冊全冊教案（人教版）

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

1.通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一

般式ax2+bx+c=0（a^0）,分清二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)

及其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)等概念.

2.了解一元二次方程的解的概念，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是一

元二次方程的解.

重點(diǎn)

通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式

ax2+bx+c=0（aW0）和一元二次方程的解等概念，并能用

這些概念解決簡單問題.

難點(diǎn)

一元二次方程及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識

別.

活動(dòng)1復(fù)習(xí)舊知

L什么是方程？你能舉一個(gè)方程的例子嗎？

2.下列哪些方程是一元一次方程？并給出一元一次方程的

概念和一般形式.

(l)2x-l(2)mx+n=0(3)lx+l=0(4)x2=l

3.卜列哪個(gè)實(shí)數(shù)是方程2x—1=3的解？并給出方程的解的

概念.

A.0B.1c.2D.3

活動(dòng)2探究新知

根據(jù)題意列方程.

1.教材第2頁問題L

提出問題：

(1)正方形的大小由什么量決定？本題應(yīng)該設(shè)哪個(gè)量為未知

數(shù)？

⑵本題中有什么數(shù)量關(guān)系？能利用這個(gè)數(shù)量關(guān)系列方程

嗎？怎么列方程？

(3)這個(gè)方程能整理為比較簡單的形式嗎？請說出整理之后

的方程.

2.教材第2頁問題2.

提出問題：

(1)本題中有哪些量？由這些量可以得到什么？

(2)比賽隊(duì)伍的數(shù)量與比賽的場次有什么關(guān)系？如果有5個(gè)

隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)比賽幾場？一共有20場比賽嗎？如果不是

20場比賽，那么究竟比賽多少場？

(3)如果有x個(gè)隊(duì)參賽，一共比賽多少場呢？

3.一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3,且兩個(gè)數(shù)之積為0,求這兩個(gè)數(shù).

提出問題：

本題需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)嗎？如果口J以設(shè)一個(gè)未知數(shù)，那么方

程應(yīng)該怎么列？

4.一個(gè)正方形的面積的2倍等于25,這個(gè)正方形的邊長是

多少？

活動(dòng)3歸納概念

提出問題：

(1)上述方程與一元一次方程有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

(2)類比一元一次方程，我們可以給這一類方程取一個(gè)什么

名字？

(3)歸納一元二次方程的概念.

1.一元二次方程：只含有個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)

的最高次數(shù)是，這樣的方程，叫做一元二

次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(aW0),其

中ax2是二次項(xiàng)：a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次

項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

提出問題：

(1)一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)？等號的左、右分

別是什么？

(2)為什么要限制aWO,b,c可以為0嗎？

(3)2x2—x+l=0的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎？為什么？

3.一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等

的未知數(shù)的值叫做一兀二次方程的解(根).

活動(dòng)4例題與練習(xí)

例1在下列方程中，屬于一元二次方程的是.

(1)4x2=81；(2)2x2—l=3y；(3)lx2+lx=2；

(4)2x2-2x(x+7)=0.

總結(jié)：判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式

方程；(2)只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次

數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項(xiàng)，但是化簡后二次項(xiàng)

系數(shù)為0,這樣的方程不是一元二次方程.

例2教材第3頁例題.

例3以一2為根的一元二次方程是()

A.x2+2x—1=0B.x2—x—2=0

c.x2+x+2—0D.x2+x—2=0

總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解，可以將這個(gè)數(shù)代入方程,

判斷方程左、右兩邊的值是否相等.

練習(xí)：

1.若(a—l)x2+3ax—1=0是關(guān)于x的一元二次方程，那

么a的取值范圍是.

2.將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的

二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

(1)4x2=81；(2)(3x—2)(x+l)=8x—3.

3.教材第4頁練習(xí)第2題.

4.若一4是關(guān)于x的一元二次方程2x2+7x—k=0的一個(gè)

根，則k的值為.

答案：W1；2.略；3.略;=4.

活動(dòng)5課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些知設(shè)？一元二次方程的一

般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次

方程嗎？

作業(yè)布置

教材第4頁習(xí)題第1?7題.解一元二次方程

21.配方法(3課時(shí))

第1課時(shí)直接開平方法

理解一元二次方程“降次”一一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用

它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0,根據(jù)

平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識遷移到解a(ex+f)2

+c=0型的一元二次方程.

重點(diǎn)

運(yùn)用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程，領(lǐng)會(huì)降次

——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

難點(diǎn)

通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，將知識遷移到

根據(jù)平方根的意義解形如(x+m)2=n(n20)的方程.

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：請同學(xué)們完成下列各題.

問題1：填空

(l)x2-8x+=(x-)2；(2)9x2+12x+

=(3x4-)2；(3)x2+px+=(x+

________)2.

解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(p2)2

p2.

問題2：目前我們都學(xué)過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？

一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化

成一次？怎樣降次？以前學(xué)過哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我們已經(jīng)講了x2=9,根據(jù)平方根的意義，直接開平方

得*=±3,如果x換元為2t+l,即(2t+l)2=9,能否也

用直接開平方的方法求解呢？

(學(xué)生分組討論)

老師點(diǎn)評：回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴膞,那么2t

+1=土3

即2t+l=3,2t+l=—3

方程的兩根為tl=l,t2=~2

例1解方程：(l)x2+4x+4=l(2)x2+6x+9=2

分析：(l)x2+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就

轉(zhuǎn)化為(x+2)2=L

(2)由已知，得：(x+3)2=2

直接開平方，得：x+3=±2

即x+3=2,x+3=—2

所以，方程的兩根xl=-3+2,x2=-3~2

解：略.

例2市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10n)2提

高到，求每年人均住房面積增長率.

分析?：設(shè)每年人均住房面積增長率為x,一年后人均住房面

積就應(yīng)該是10+10x=10(l+x)；二年后人均住房面積就應(yīng)

該是10(l+x)+10(l+x)x=10(l+x)2

解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x,

則：10(l+x)2=

(l+x)2=

直接開平方，得l+x=±

即l+x=,l+x=一

所以，方程的兩根是xl==20%,x2=一

因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=一應(yīng)

舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%

(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特

點(diǎn)是什么？

共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元

一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”.

三、鞏固練習(xí)

教材第6頁練習(xí).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p(p20)的

方程，那么x=±p轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如(mx+n)2

=P(P20)的方程，那么mx+n=±p,達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目

的.若p<0則方程無解.

五、作業(yè)布置

教材第16頁復(fù)習(xí)鞏固1.第2課時(shí)配方法的基本形式

理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)

用它解決一些具體問題.

通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p20)或(mx+n)2=p(p20)的

一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一

元二次方程的解題步驟.

重占

講清直接降次有困難，如x2+6x—16=0的一元二次方程的

解題步驟.

難點(diǎn)

將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”

的轉(zhuǎn)化方法與技巧.

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們解下列方程：

(1)3x2—1=5(2)4(x—1)2—9=0(3)4x2+16x+16=9

(4)4x2+16x=—7

老師點(diǎn)評：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p20)

的形式，那么可得

x=±p或mx+n=±p(p'0).

如：4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=—7化成

(2x+4)2=9嗎？

二、探索新知

列出下面問題的方程并回答：

(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什

么不同呢？

(2)能否直接用上面前三個(gè)方程的解法呢？

問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6田，并且面積為16田2,

求場地的長和寬各是多少？

(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同

之處是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有

此特征.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化

為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)億：

x2+6x-16=0移項(xiàng)-x2+6x=16

兩邊加(6/2)2使左邊配成x2+2bx+b2的形式-x2+6x+

32=16+9

左邊寫成平方形式f(x+3)2=25降次一x+3=±5即x+3

=5或x+3=—5

解一次方程fxl=2,x2=—8

可以驗(yàn)證：xl=2,x2=—8都是方程的根，但場地的寬不

能是負(fù)值，所以場地的寬為2m,長為8nl.

像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方

程的方法，叫配方法.

可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為

兩個(gè)一元一次方程來解.

例1用配方法解下列關(guān)于X的方程：

(l)x2-8x+l=0(2)x2-2x-12=0

分析：(1)顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要

按前面的方法化為完全平方式；(2)同上.

解：略.

三、鞏固練習(xí)

教材第9頁練習(xí)1,2.(1)(2).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是

含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方

程的方程.

五、作業(yè)布置

教材第17頁復(fù)習(xí)鞏固2,3.(1)(2).第3課時(shí)配方法

的靈活運(yùn)用

了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步

驟.

通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運(yùn)

用配方法解決一些具體題目.

重點(diǎn)

講清配方法的解題步驟.

難點(diǎn)

對于用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，通常把常

數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的

平方；對于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程，要先化二次

項(xiàng)系數(shù)為1,再用配方法求解.

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))解下列方程：

(l)x2-4x+7=0(2)2x2—8x+l=0

老師點(diǎn)評：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x

的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接開方降次

解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行

解題.

解：略.&)與⑴有何關(guān)聯(lián)？

二、探索新知

討論：配方法解一元二次方程的一般步驟：

(1)先將已知方程化為一般形式；

(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成

一個(gè)完全平方式；

(5)變形為(x+p)2=qW形式，如果q20,方程的根是x=

—p土q；如果qVO,方程無實(shí)根.

例1解下列方程：

(l)2x2+l=3x(2)3x2—6x+4=0(3)(l+x)2+2(l+x)

—4=0

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可

以用配方法來完成，即配一個(gè)含有x的完全平方式.

解：略.

三、鞏固練習(xí)

教材第9頁練習(xí)2.(3)(4)(5)(6).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.

2.配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅

表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也可通過配方，利用非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負(fù)性.在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中

學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到.

五、作業(yè)布置

教材第17頁復(fù)習(xí)鞏固3.⑶⑷.

補(bǔ)充：(1)已知x2+y2+z2—2x+4y—6z+14=0,求x+y

+z的值.

(2)求證：無論x,y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2—2x—4y

+16的值總是正數(shù).公式法

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概

念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一兀二次方程.

復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2

+bx+c=O(aNO)的求根公式的推導(dǎo)，并應(yīng)用公式法解一元

二次方程.

重點(diǎn)

求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

難點(diǎn)

一元二次方程求根公式的推導(dǎo).

一、復(fù)習(xí)引入

1.前面我們學(xué)習(xí)過解一元二次方程的“直接開平方法”，

比如，方程

(l)x2=4(2)(X—2)2=7

提問1這種解法的(理論)依據(jù)是什么？

提問2這種解法的局限性是什么？(只對那種“平方式等

于非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程有效，不能實(shí)施于一般形式的二

次方程.)

2.面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的

二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式.)

(學(xué)生活動(dòng))用配方法解方程2x2+3=7x

(老師點(diǎn)評)略

總結(jié)用配方法解一兀二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)

評).

(1)先將已知方程化為一般形式；

(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成

一個(gè)完全平方式；

(5)變形為4+份2=4的形式，如果q20,方程的根是x=

—p土q；如果q<0,方程無實(shí)根.

二、探索新知

用配方法解方程：

(l)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(aW0),

你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學(xué)獨(dú)立完

成下面這個(gè)問題.

問題：已知ax2+bx+c=0(aW0),試推導(dǎo)它的兩個(gè)根xl

=-b+b2—4ac2a,x2=-b—b2—4ac2a(這個(gè)方程一■定有

解嗎？什么情況下有解？)

分析?：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ),

b,c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直

推下去.

解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=—c

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2+bax=—ca

配方,得：x2+bax+(b2a)2=—ca+(b2a)2

即(x+b2a)2=b2—4ac4a2

V4a2>0,當(dāng)b2—4ac20時(shí)，b2—4ac4a220

A(x+b2a)2=(b2-4ac2a)2

直接開平方，得：x+b2a=±b2-4ac2a

即x=-b±b2—4ac2a

xl=—b+b2—4ac2a,x2=—b—b2—4ac2a

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a70)的根由方程

的系數(shù)a,b,c而定，因此：

(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+

bx+c=0,當(dāng)b2—4ac20時(shí)，將a,b,c代入式子x=—b±b2

-4ac2a就得到方程的根.

(2)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

例1用公式法解下列方程：

(l)2x2-x-l=0(2)x2+=-3x

(3)x2—2x+12=0(4)4x2—3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式,

然后代入公式即可.

補(bǔ)：(5)(x—2)(3x—5)=0

三、鞏固練習(xí)

教材第12頁練習(xí)1.⑴⑶⑸或⑵(4)(6).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；

(2)公式法的概念；

(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變

成一般形式，注意移項(xiàng)要變號，盡量讓a>0；2)找出系數(shù)

a,b,c,注意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號；3)計(jì)算b2—4ac,若結(jié)

果為負(fù)數(shù)，方程無解；4)若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，

算出結(jié)果.

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習(xí)題4,因式分解法

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通過復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會(huì)和探尋用

更簡單的方法一一因式分解法解一元二次方程，并應(yīng)用因式

分解法解決一些具體問題.

重點(diǎn)

用因式分解法解一元二次方程.

難點(diǎn)

讓學(xué)生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分

解法使解題更簡便.

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）解下列方程：

（l）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）

老師點(diǎn)評：（1）配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系

數(shù)應(yīng)為12,12的一半應(yīng)為14,因此，應(yīng)加上（14）2,同時(shí)減

去（14）2.（2）直接用公式求解.

二、探索新知

（學(xué)生活動(dòng)）請同學(xué)們口答下面各題.

（老師提問）（1）上面兩個(gè)方程中有沒有常數(shù)項(xiàng)？

（2）等式左邊的各項(xiàng)有沒有共同因式？

（學(xué)生先答，老師解答）上面兩個(gè)方程中都沒有常數(shù)項(xiàng)；左邊

都可以因式分解.

因此，上面兩個(gè)方程都可以寫成：

(l)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0,至少其中一個(gè)因式要等于0,

也就是(l)x=0或2x+l=0,所以xl=0,x2=-12.

(2)3x=0或x+2=0,所以xl=0,x2=-2.(以上解法是

如何實(shí)現(xiàn)降次的？)

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開

平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等

于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次,

這種解法叫做因式分解法.

例1解方程：

(l)10x-=0(2)x(x-2)+x—2=0(3)5x2-2x-14=

x2-2x+34(4)(x—l)2=(3-2x)2

思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？

解：略(方程一邊為0,另一邊可分解為兩個(gè)一次因式乘

積.)

練習(xí)：下面一元二次方程解法中，正確的是()

A.(x—3)(x—5)=10X2,/.x—3=10,x—5=2,x1=

13,x2=7

B.(2-5x)+(5x-2)2=0,A(5x~2)(5x-3)=0,Axl

=25,x2=35

c.(x+2)2+4x=0,Axl=2fx2=~2

D.x2=x,兩邊同除以x,得x=l

三、鞏固練習(xí)

教材第14頁練習(xí)1,2.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一

元二次方程及其應(yīng)用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊

為3再分別使各一次因式等于0.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習(xí)題6,8,10,一元二次方程的根與系數(shù)

的關(guān)系

1.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會(huì)初步應(yīng)用.

2.培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力.

3.滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律.

4.培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神.

重點(diǎn)

根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)

難點(diǎn)

正確理解根與系數(shù)的關(guān)系.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是

指一元二次方程兩根的和、兩根的積與系數(shù)的關(guān)系.

一、復(fù)習(xí)引入

1.已知方程x2—ax—3a=0的一個(gè)根是6,則求a及另一

個(gè)根的值.

2.由上題可知一元二次方程的系數(shù)與根有著密切的關(guān)系.其

實(shí)我們已學(xué)過的求根公式也反映了根與系數(shù)的關(guān)系，這種關(guān)

系比較復(fù)雜，是否有更簡潔的關(guān)系？

3.由求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)

的兩根為xl=-b+b2—4ac2a,x2=—b—b2—4ac2a.觀察

兩式右邊，分母相同，分子是一b+b2—4ac與一b—b2—4ac.

兩根之間通過什么計(jì)算才能得到更簡潔的關(guān)系？

二、探索新知

解下列方程，并填寫表格：

方程xlx2xl+x2xl•x2

x2—2x=0

x2+3x—4=0

x2—5x+6=0

觀察上面的表格，你能得到什么結(jié)論？

(1)關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q為常數(shù)，p2—4q20)

的兩根xl,x2與系數(shù)p,q之間有什么關(guān)系？

⑵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(aW0)的兩根xl,x2與系

數(shù)a,b,c之間又有何關(guān)系呢？你能證明你的猜想嗎？

解下列方程，并填寫表格:

方程xlx2xl+x2xl•x2

2x2—7x—4=0

3x2+2x—5=0

5x2—17x+6=0

小結(jié)：根與系數(shù)關(guān)系：

(1)關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q為常數(shù)，p2—4q^0)

的兩根xl,x2與系數(shù)p,q的關(guān)系是：xl+x2=—p,

xl•x2=q(注意：根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是根的判

別式必須大于或等于零.)

(2)形如ax2+bx+c=0(aW0)的方程,可以先將二次項(xiàng)系

數(shù)化為1,再利用上面的結(jié)論.

即：對于方程ax2+bx+c=0(aW0)

Va^O,/.x2+bax+ca=0

.?.xl+x2=—ba,xl•x2=ca

(可以利用求根公式給出證明)

例1不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：

(l)x2-3x-l=0(2)2x2+3x-5=0

(3)13x2—2x=0(4)2x2+6x=3

(5)x2-l=0(6)x2-2x+l=0

例2不解方程，檢驗(yàn)下列方程的解是否正確？

(1)x2—22x+l=0(xl=2+l,x2=2—1)

(2)2x2-3x-8=0(xl=7+734,x2=5-734)

例3已知一元二次方程的兩個(gè)根是一1和2,請你寫出一

個(gè)符合條件的方程.(你有幾種方法？)

例4已知方程2x2+kx—9=0的一個(gè)根是一3,求另一根

及k的值.

變式一：已知方程x2—2kx—9=0的兩根互為相反數(shù)，求k；

變式二：已知方程2x2—5x+k=0的兩根互為倒數(shù)，求k.

三、課堂小結(jié)

1.根與系數(shù)的關(guān)系.

2.根與系數(shù)關(guān)系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)

判別式大于等于零.

四、作業(yè)布置

1.不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積.

(1)x2—5x—3=0(2)9x+2=x2(3)6x2—3x+2=0

(4)3x2+x+l=0

2.已知方程x2—3x+m=0的一個(gè)根為1,求另一根及m的

值.

3.已知方程x2+bx+6=0的一個(gè)根為一2,求另一根及b

的值.實(shí)際問題與一元二次方程(2課時(shí))

第1課時(shí)解決代數(shù)問題

1.經(jīng)歷用一元二次方程解決實(shí)際問題的過程，總結(jié)列一元

二次方程解決實(shí)際問題的一般步驟.

2.通過學(xué)生自主探究，會(huì)根據(jù)傳播問題、百分率問題中的

數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解，熟悉解題的具體步驟.

3.通過實(shí)際問題的解答，讓學(xué)生認(rèn)識到對方程的解必須要

進(jìn)行檢驗(yàn)，方程的解是否舍去要以是否符合問題的實(shí)際意義

為標(biāo)準(zhǔn).

重點(diǎn)

利用一元二次方程解決傳播問題、百分率問題.

難點(diǎn)

如果理解傳播問題的傳播過程和百分率問題中的增長(降低)

過程，找到傳播問題和百分率問題中的數(shù)量關(guān)系.

一、引入新課

1.列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？應(yīng)注意什么？

2.科學(xué)家在細(xì)胞研究過程中發(fā)現(xiàn)：

(1)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，經(jīng)過3次分裂后共有多少

個(gè)細(xì)胞？

(2)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成x個(gè)，經(jīng)過3次分裂后共有多少

個(gè)細(xì)胞？

(3)如是一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，分裂后原有細(xì)胞仍然

存在并能再次分裂，試問經(jīng)過3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？

二、教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1：自學(xué)教材第19頁探究1,思考教師所提問題.

有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，有121人患了流感，每

輪傳染中平均一個(gè)人傳染了兒個(gè)人？

(1)如何埋解“兩輪傳染”？如果設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人

傳染了x個(gè)人，第一輪傳染后共有人患流感.第二

輪傳染后共有人患流感.

(2)本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？

(3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？

解答：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則依題意第

一輪傳染后有(x+1)人患了流感，第二輪有x(l+x)人被傳

染上了流感.于是可列方程：

l+x+x(l+x)—121

解方程得xl=10,x2=—12(不合題意舍去)

因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人.

變式練習(xí)：如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患

了流感？

活動(dòng)2：自學(xué)教材第19頁?第20頁探究2,思考老師所提

問題.

兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種

藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1

噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

（1）如何理解年平均下降額與年平均下降率？它們相等嗎?

（2）若設(shè)甲種藥品年平均下降率為x,則一年后，甲種藥品

的成本下降了元，此時(shí)成本為元；兩年后,

甲種約品卜降了兀，此時(shí)成本為兀.

（3）增長率（下降率）公式的歸納：設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a,增長率為x,

則一月（或一年）后產(chǎn)量為a（l±x）；

二月（或二年）后產(chǎn)量為a（l±x）2；

n月（或n年）后產(chǎn)量為a（l±x）n；

如果已知n月（n年）后總產(chǎn)量為m,則有下面等式：m=

a（l±x）n.

⑷對甲種藥品而言根據(jù)等量關(guān)系列方程為：

三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、歹U、解、

答.最后要檢驗(yàn)根是否符合實(shí)際.

2.傳播問題解決的關(guān)鍵是傳播源的確定和等量關(guān)系的建立.

3.若平均增長（降低）率為x,增長（或降低）前的基準(zhǔn)數(shù)是a,

增長（或降低）n次后的量是b,則有：a（l±x）n=b（常見n

=2）.

4.成本下降額較大的藥品，它的下降率不一定也較大，成

本下降額較小的藥品，它的下降率不一定也較小.

作業(yè)布置

教材第21—22頁習(xí)題第2—7題.第2課時(shí)解決幾何問

題

1.通過探究，學(xué)會(huì)分析幾何問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，列出

一元二次方程解決幾何問題.

2.通過探究，使學(xué)生認(rèn)識在幾何問題中可以將圖形進(jìn)行適

當(dāng)變換，使列方程更容易.

3.通過實(shí)際問題的解答，再次讓學(xué)生認(rèn)識到對方程的解必

須要進(jìn)行檢驗(yàn)，方程的解是否舍去要以是否符合問題的實(shí)際

意義為標(biāo)準(zhǔn).

重點(diǎn)

通過實(shí)際圖形問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程分析和解決

幾何問題的能力.

難點(diǎn)

在探究幾何問題的過程中，找出數(shù)量關(guān)系，正確地建立一元

二次方程.

活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境

1.長方形的周長，面積，長方體的體積

公式.

2.如圖所示：

(1)一塊長方形鐵皮的長是10cm,寬是8cm,四角各截去一

個(gè)邊長為2cm的小正方形，制成一個(gè)長方體容器，這個(gè)長方

體容器的底面積是,高是,體積是

(2)一塊長方形鐵皮的長是10cm,寬是8cm,四角各截去一

個(gè)邊長為xcm的小正方形，制成一個(gè)長方體容器，這個(gè)長方

體容器的底面積是，高是，體積是

活動(dòng)2自學(xué)教材第20頁?第21頁探究3,思考老師所提

問題

要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm,寬21cm,正中央是一

個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊

襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊

襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(精確到).

(1)要設(shè)計(jì)書本封面的長與寬的比是，則正中央矩

形的長與寬的比是.

(2)為什么說上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7?試與同

伴交流一下.

(3)若設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm,左、右邊襯的寬均為

7xcm,則中央矩形的長為cm,寬為cm,面

積為cm2.

(4)根據(jù)等量關(guān)系：,可列方程為：.

(5)你能寫出解題過程嗎？(注意對結(jié)果是否合理進(jìn)行檢驗(yàn).)

(6)思考如果設(shè)正中央矩形的長與寬分別為9xcm和7xcm,

你又怎樣去求上下、左右邊襯的寬？

活動(dòng)3變式練習(xí)

如圖所示，在一個(gè)長為50米，寬為30米的矩形空地上，建

造一個(gè)花園，要求花園的面積占整塊面積的75%,等寬且互

相垂直的兩條路的面積占25%,求路的寬度.

答案：路的寬度為5米.

活動(dòng)4課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

1.利用已學(xué)的特殊圖形的面積(或體積)公式建立一元二次

方程的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用它解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是弄清題目

中的數(shù)量關(guān)系.

2.根據(jù)面積與面積(或體積)之間的等量關(guān)系建立一元二次

方程，并能正確解方程，最后對所得結(jié)果是否合理要進(jìn)行檢

驗(yàn).

作業(yè)布置

教材第22頁習(xí)題第8,10題.

第二十二章二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

22.二次函數(shù)

1.從實(shí)際情景中讓學(xué)生經(jīng)歷探索分析和建立兩個(gè)變量之間

的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)的方法去描

述變量之間的數(shù)量關(guān)系.

2.理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式.

3.會(huì)建立簡單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實(shí)際問題確定

自變量的取值范圍.

重點(diǎn)

二次函數(shù)的概念和解析式.

難點(diǎn)

本節(jié)“合作學(xué)習(xí)”涉及的實(shí)際問題有的較為復(fù)雜，要求學(xué)生

有較強(qiáng)的概括能力.

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題1現(xiàn)有一根12nl長的繩子，用它圍成一個(gè)矩形，如何

圍法，才使矩形的面積最大？小明同學(xué)認(rèn)為當(dāng)圍成的矩形是

正方形時(shí)，它的面積最大，他說的有道理嗎？

問題2很多同學(xué)都喜歡打籃球，你知道嗎：投籃時(shí)，籃球

運(yùn)動(dòng)的路線是什么曲線？怎樣計(jì)算籃球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)的高

度？

這些問題都可以通過學(xué)習(xí)二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決，今天

我們學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”(板書課題).

二、合作學(xué)習(xí)，探索新知

請用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列情景中的兩個(gè)變量y與x之

間的關(guān)系：

(1)圓的半徑x(cm)與面積y(cm2)；

(2)王先生存入銀行2萬元，先存一個(gè)一年定期，一年后銀

行將本息自動(dòng)轉(zhuǎn)存為又一個(gè)一年定期，設(shè)一年定期的年存款

利率為x,兩年后王先生共得本息y元；

(3)擬建中的一個(gè)溫室的平面圖如圖，如果溫室外圍是一個(gè)

矩形，周長為120m,室內(nèi)通道的尺寸如圖，設(shè)一條邊長為

x(m),種植面積為y(m2).

(一)教師組織合作學(xué)習(xí)活動(dòng)：

1.先個(gè)體探求，嘗試寫出y與x之間的函數(shù)解析式.

2.上述三個(gè)問題先易后難，在個(gè)體探求的基礎(chǔ)上，小組進(jìn)

行合作交流，共同探討.

(1)y=兀x2(2)y=20000(1+x)2=20000x2+40000x+

20000(3)y=(60—x—4)(x—2)=—x2+58x—112

(二)上述三個(gè)函數(shù)解析式具有哪些共同特征？

讓學(xué)生充分發(fā)表意見，提出各自看法.

教師歸納總結(jié):上述三個(gè)函數(shù)解析式經(jīng)化簡后都具有y=ax2

+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)的形式.

板書:我們把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù),aWO)

的函數(shù)叫做二次函數(shù)(quadraticfunction),稱a為二次項(xiàng)

系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).

請講出上述三個(gè)函數(shù)解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和

常數(shù)項(xiàng).

三、做一做

1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

⑴y=x2(2)y=-1x2(3)y=2x2—x—1

(4)y=x(l—x)(5)y=(x—1)2—(x+1)(x—1)

2.分別說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常

數(shù)項(xiàng)：

(l)y=x2+l(2)y=3x2+7x—12(3)y=2x(l—x)

3.若函數(shù)y=(m2—l)xm2—m為二次函數(shù)，則m的值為

四、課堂小結(jié)

反思提高，本節(jié)課你有什么收獲？

五、作業(yè)布置

教材第41頁第1,2題.二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)

通過畫圖，了解二次函數(shù)y=ax2(aW0)的圖象是一條拋物

線，理解其頂點(diǎn)為何是原點(diǎn)，對稱軸為何是y軸，開口方向

為何向上(或向下)，掌握其頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向、最值

和增減性與解析式的內(nèi)在關(guān)系，能運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)問

題.

重點(diǎn)

從“數(shù)”(解析式)和“形"(圖象)的角度理解二次函數(shù)y=

ax2的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2與函數(shù)圖象的內(nèi)在

關(guān)系.

難點(diǎn)

畫二次函數(shù)y=ax2的圖象.

一、引入新課

1.下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些是一次函數(shù)？

(l)y=3x—1(2)y=2x2+7(3)y=x—2

⑷y=3(x—l)2+l

2.一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象各是怎樣的呢？它

們各有什么特點(diǎn)，又有哪些性質(zhì)呢？

3.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念，掌握了它的一般形

式，這節(jié)課我們先來探究二次函數(shù)中最簡單的y=ax2的圖

象和性質(zhì).

二、教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1：畫函數(shù)y=—x2的圖象.

(1)多媒體展示畫法(列表，描點(diǎn)，連線).

(2)提出問題：它的形狀類似于什么？

(3)引出一般概念：拋物線，拋物線的對稱軸、頂點(diǎn).

活動(dòng)2：在坐標(biāo)紙上畫函數(shù)y=—,y=—2x2的圖象.

(1)教師巡視，展示學(xué)生的作品并進(jìn)行點(diǎn)撥；教師再用多媒

體課件展示正確的畫圖過程.

(2)引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)y=—,y=-2x2與函數(shù)y=一

x2的圖象，提出問題：它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

(3)歸納總結(jié):

共同點(diǎn)：①它們都是拋物線；②除頂點(diǎn)外都處于x軸的下方;

③開口向下；④對稱軸是y軸；⑤頂點(diǎn)都是原點(diǎn)(0,0).

不同點(diǎn)：開口大小不同.

(4)教師強(qiáng)調(diào)指出：這三個(gè)特殊的二次函數(shù)y=ax2是當(dāng)a<

0時(shí)的情況.系數(shù)a越大，拋物線開口越大.

活動(dòng)3：在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫函數(shù)y=x2,y=,y=2x2

的圖象.

類似活動(dòng)2：讓學(xué)生歸納總結(jié)出這些圖象的共同點(diǎn)和不同點(diǎn),

再進(jìn)一步提煉出二次函數(shù)y=ax2(aN0)的圖象和性質(zhì).

二次函數(shù)y=ax2(a#0)的圖象和性質(zhì)

圖象

(草圖)開口

方向頂

點(diǎn)對稱軸最高或

最低點(diǎn)最值

a>0當(dāng)x=時(shí)，

y有最—值，

是.

a<0當(dāng)x=時(shí)，

y有最值，

是.

活動(dòng)4：達(dá)標(biāo)檢測

⑴函數(shù)y=-8x2的圖象開口向,頂點(diǎn)是

，對稱軸是,當(dāng)x時(shí)，y隨x的

增大而減小.

(2)二次函數(shù)y=(2k-5)x2的圖象如圖所示，則k的取值范

圍為.

(3)如圖，①丫二瞅？；②y=bx2；③丫=。*2；④y=dx2.比較

a,b,c,d的大小，用連接.

答案：(1)下，(0,0),x=0,>0：(2)k>；(3)a>b>d

>c.

三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

1.二次函數(shù)的圖象都是拋物線.

2.二次函數(shù)丫=@*2的圖象性質(zhì)：

(1)拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn).

⑵當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn);

當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)；

㈤越大，拋物線的開口越小.

作業(yè)布置

教材第32頁練習(xí).

22.二次函數(shù)y=a(x—h)2+k的圖象和性質(zhì)

1.經(jīng)歷二次函數(shù)圖象平移的過程；理解函數(shù)圖象平移的意

義.

2.了解y=ax2,y=a(x—h)2,y=a(x—h)2+k三類二次

函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

3.會(huì)從圖象的平移變換的角度認(rèn)識y=a(x-h)2+k型二次

函數(shù)的圖象特征.

重點(diǎn)

從圖象的平移變換的角度認(rèn)識y=a(x—h)2+k型二次函數(shù)

的圖象特征.

難點(diǎn)

對于平移變換的理解和確定，學(xué)生較難理解.

一、復(fù)習(xí)引入

二次函數(shù)y=ax2的圖象和特征：

1.名稱;2.頂點(diǎn)坐標(biāo)；3.對稱軸；

4.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向,頂點(diǎn)是拋物線上

的最點(diǎn)，圖象在x軸的(除頂點(diǎn)外)；當(dāng)a

<0時(shí)，拋物線的開口向,頂點(diǎn)是拋物線上的最

點(diǎn)，圖象在x軸的(除頂點(diǎn)外).

二、合作學(xué)習(xí)

在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=12x2,y=12(x+2)2,y=12(x

-2)2的圖象.

(1)請比較這三個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征？

(2)頂點(diǎn)和對稱軸有什么關(guān)系？

(3)圖象之間的位置能否通過適當(dāng)?shù)淖儞Q得到？

(4)由此，你發(fā)現(xiàn)了什么？

三、探究二次函數(shù)y=ax2和y=a(x-h)2圖象之間的關(guān)系

L結(jié)合學(xué)生所畫圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察丫=126+2)2與丫=

12x2的圖象位置關(guān)系，直觀得出y=12x2的圖象---->向左

平移兩個(gè)單位y=12(x+2)2的圖象.

教師可以采取以下措施：①借助幾何畫板演示幾個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的

位置關(guān)系，如：

(0,0)-----＞向左平移兩個(gè)單位(一2,0)；

(2,2)-----＞向左平移兩個(gè)單位(0,2)；

(—2,2)-----＞向左平移兩個(gè)單位(一4,2).

②也可以把這些對應(yīng)點(diǎn)在圖象上用彩色粉筆標(biāo)出，并用帶箭

頭的線段表示平移過程.

2.用同樣的方法得出y=12x2的圖象----＞向右平移兩個(gè)

單位y=12(x—2)2的圖象.

3.請你總結(jié)二次函數(shù)y=a(x—h)2的圖象和性質(zhì).

y=ax2(aW0)的圖象----＞當(dāng)h＞0時(shí)，向右平移h個(gè)單位

當(dāng)hVO時(shí)，向左平移|h|個(gè)單位y=a(x—h)2的圖象.

函數(shù)y=a(x—h)2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,0),對稱軸是直

線x=h.

4.做一做

(1)

拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=2(x+3)2

y=-3(x—1)2

y=—4(x—3)2

(2)填空:

①拋物線y=2x2向平移個(gè)單位可得到y(tǒng)

=2(x+l)2；

②函數(shù)y=-5(x—4)2的圖象可以由拋物線向

平移個(gè)單位而得到.

四、探究二次函數(shù)y=a(x—h)2+k和y=ax2圖象之間的關(guān)

系

1.在上面的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=12(x+2)2

+3的圖象.

首先引導(dǎo)學(xué)生觀察比較y=12(x+學(xué)2與y=12(x+學(xué)2+3

的圖象關(guān)系，直觀得出：y=12(x+2)2的圖象----*向上平

移3個(gè)單位y=12(x+2)2+3的圖象.(結(jié)合多媒體演示)

再引導(dǎo)學(xué)生觀察剛才得到的y=12x2的圖象與y=12(x+

2)2的圖象之間的位置關(guān)系，由此得出：只要把拋物線y=

12x2先向左平移2個(gè)單位，在向上平移3個(gè)單位，就可得到

函數(shù)y=12(x+2)2+3的圖象.

2.做一做：請?zhí)顚懴卤恚?/p>

函數(shù)解析式圖象的對稱軸圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=12x2

y=12(x+2)2

y=12(x+2)2+3

3,總結(jié)y=a(x—h)2+k的圖象和y=ax2圖象的關(guān)系

y=ax2(aW0)的圖象----->當(dāng)h>0時(shí)，向右平移h個(gè)單位

當(dāng)hVO時(shí)，向左平移|h|個(gè)單位y=a(x—h)2的圖象>

當(dāng)k>0時(shí)，向上平移k個(gè)單位當(dāng)kVO時(shí)，向卜平移|k|個(gè)

單位y=a(x—h)2+k的圖象.

y=a(x—h)2+k的圖象的對稱軸是直線x=h,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(h,k).

口訣：(h,k)正負(fù)左右上下移(h左加右減，k上加下減)

從二次函數(shù)y=a(x—h)2+k的圖象可以看出：

如果a>0,當(dāng)x<h時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>h時(shí)，

y隨x的增大而增大；如果aVO,當(dāng)xVh時(shí)，y隨x的增大

而增大，當(dāng)x>h時(shí)，y隨x的增大而減小.

4.練習(xí)：課本第37頁練習(xí)

五、課堂小結(jié)

1.函數(shù)y=a(x—h)2+k的圖象和函數(shù)y=ax2圖象之間的

關(guān)系.

2.函數(shù)y=a(x—h)2+k的圖象在開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對

稱軸等方面的性質(zhì).

六、作業(yè)布置

教材第41頁第5題二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和

性質(zhì)(2課時(shí))

第1課時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

1.掌握用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象.

2.掌握用圖象或通過配方確定拋物線y=ax2+bx+c的開

口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

3.經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的開口方向、

對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)以及配方的過程，理解二次函數(shù)y=ax2

+bx+c的性質(zhì).

重點(diǎn)

通過圖象和配方描述二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì).

難點(diǎn)

理解二次函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c(aWO)的配方過程，

發(fā)現(xiàn)并總結(jié)y=ax2+bx+c與y=a(x—h)2+k的內(nèi)在關(guān)系.

一、導(dǎo)入新課

1.二次函數(shù)y=a(x—h)2+k的圖象，可以由函數(shù)y=ax2

的圖象先向平移個(gè)單位，再向平

移個(gè)單位得到.

2.二次函數(shù)y=a(x—h)2+k的圖象的開口方向,

對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

3.二次函數(shù)y=12x2—6x+21,你能很容易地說出它的圖

象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出圖象嗎？

二、教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1：通過配方，確定拋物線y=12x2—6x+21的開口方

向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再描點(diǎn)畫圖.

(1)多媒體展示畫法(列表，描點(diǎn)，連線)；

(2)提出問題：它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什

么？

(3)引導(dǎo)學(xué)生合作、討論觀察圖象：在對稱軸的左右兩側(cè)，

拋物線從左往右的變化趨勢.

活動(dòng)2：1.不畫出圖象，你能直接說出函數(shù)y=-x2+2x—3

的圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？

2,你能畫出函數(shù)y=-x2+2x—3的圖象，并說明這個(gè)函數(shù)

具有哪些性質(zhì)嗎？

(1)在學(xué)生畫函數(shù)圖象的同時(shí)，教師巡視、指導(dǎo)；

(2)抽一位或兩位同學(xué)板演，學(xué)生自糾，老師點(diǎn)評；

(3)讓學(xué)生思考函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖象的開口方

向有什么關(guān)系？這個(gè)值與函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)

系？

活動(dòng)3：對于任意一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0),如

何確定它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)？你能把結(jié)

果寫出來嗎？

(1)組織學(xué)生分組討論，教師巡視；

(2)各組選派代表發(fā)言，全班交流，達(dá)成共識，抽學(xué)生板演

配方過程；教師課件展示二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)和

y=ax2+bx+c(a<0)的圖象.

(3)引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象，

在對稱軸的左右兩側(cè)，y隨x的增大有什么變化規(guī)律？

(4)引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖

象和性質(zhì).

活動(dòng)4：已知拋物線y=x2—2ax+9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求

a的值.

活動(dòng)5：檢測反饋

1.填空：

(1)拋物線y=x2—2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；

⑵拋物線y=2x2—2x—1的開口，對稱軸是

⑶二次函數(shù)y=ax2+4x+a的最大值是3,則a=.

2.寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(l)y=3x2+2x；(2)y=-2x2+8x-8.

3.求二次函數(shù)y=mx2+2mx+3(m>0)的圖象的對稱軸，并

說出該圖象具有哪些性質(zhì).

4.拋物線y=ax2+2x+c的頂點(diǎn)是(一1,2),則a,c的值

分別是多少？

答案：1.⑴(1,1)；⑵向上，x=12；(3)-1；2.⑴開口

向上，x=-13,(-13,-13)；(2)開口向下，x=2,(2,

0)；3.對稱軸x=-1,當(dāng)m>0時(shí)，開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一

1,3-m)；=1,c—3.

三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象與性質(zhì).

作業(yè)布置

教材第41頁第6題.第2課時(shí)用待定系數(shù)法求二次函

數(shù)的解析式

1.掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，并會(huì)選用不同的形式,

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

2.能根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定拋物線的開口方向，頂點(diǎn)

坐標(biāo)，對稱軸，最值和增減性.

3.能根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，并能從圖象

上觀察出函數(shù)的一些性質(zhì).

重點(diǎn)

二次函數(shù)的解析式和利用函數(shù)的圖象觀察性質(zhì).

難點(diǎn)

利用圖象觀察性質(zhì).

一、復(fù)習(xí)引入

1.拋物線y=-2(x+4)2—5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱

軸是,在側(cè)，即x-4

時(shí)，y隨著x的增大而增大；在側(cè)，即

x—4時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)*=

時(shí)，函數(shù)y最值是.

2.拋物線y=2(x—3)2+6的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱軸

是，在側(cè)，即x3時(shí)，y

隨著x的增大而增大;在側(cè)，即x3

時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x=時(shí)，函數(shù)y最

值是.

二、例題講解

例1根據(jù)下列條件求二次函數(shù)的解析式：

(1)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A(—3,0),B(l,0),c(0,-2)；

(2)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),且經(jīng)過點(diǎn)(0,1)；

(3)函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=3,且圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)和

⑸0).

說明：本題給出求拋物線解析式的三種解法，關(guān)鍵是看題目

所給條件.一般來說：任意給定拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，

均可設(shè)一般式去求；若給定頂點(diǎn)坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸或最值)及另

一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式較為簡單；若給出拋物線與x軸

的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則用分解式較為快捷.

例2已知函數(shù)y=x2—2x—3,

(1)把它寫成y=a(x—h)2+k的形式；并說明它是由怎樣的

拋物線經(jīng)過怎樣平移得到的？

(2)寫出函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向、最值；

(3)求出圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(4)畫出函數(shù)圖象的草圖；

(5)設(shè)圖象交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，求AAPB的

面積；

⑹根據(jù)圖象草圖，說出x取哪些值時(shí)，①y=0；②

③y>0?

說明：(1)對于解決函數(shù)和幾何的綜合題時(shí)要充分利用圖形,

做到線段和坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化；

(2)利用函數(shù)圖象判定函數(shù)值何時(shí)為正，何時(shí)為負(fù)，同樣也

要充分利用圖象，要使其對應(yīng)的圖象應(yīng)在x軸的下

方，自變量x就有相應(yīng)的取值范圍.

例3二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象如圖所示，則:

a0；b0；c0；b2-4ac0.

說明：二次函數(shù)丫=縱2+6乂+。6/0)的圖象與系數(shù)a,b,

c的符號的關(guān)系：

系數(shù)的符號圖象特征

a的符號

a>O拋物線開口向

a<O拋物線開口向

一b2a的符號

—b2a>0

拋物線對稱軸在y軸的一側(cè)

b=0拋物線對稱軸是軸

—b2a<0

拋物線對稱軸在y軸的一側(cè)

c的符號

c>0拋物線與y軸交于

c=0拋物線與y軸交于____

c<0拋物線與y軸交于

三、課堂小結(jié)

本節(jié)課你學(xué)到了什么？

四、作業(yè)布置

教材第40頁練習(xí)1,二次函數(shù)與一元二次方程

1.總結(jié)出二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方

程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，表述何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)

根，兩個(gè)相等的實(shí)根和沒有實(shí)根.

2.會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.

3.會(huì)用計(jì)算方法估計(jì)一元二次方程的根.

重點(diǎn)

方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次

方程的近似解.

難點(diǎn)

二次函數(shù)的圖象與X軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的

個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

一、復(fù)習(xí)引入

1.二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(aW0)的圖象是一條拋物線，

它的開口由什么決定呢？

補(bǔ)充：當(dāng)a的絕對值相等時(shí)，其形狀完全相同，當(dāng)a的絕對

值越大，則開口越小，反之成立.

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象和性質(zhì)：

(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸；

(2)位置與開口方向；

(3)增減性與最值.

當(dāng)a>0時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減??；在

對稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)*=一62a時(shí)，函

數(shù)y有最小值4ac—b24a.

當(dāng)aVO時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在

對稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)*=—b2a時(shí);函

數(shù)y有最大值4ac—b24a.

二、新課教學(xué)

探索二次函數(shù)與一元二次方程：

二次函數(shù)y=x2+2x,y=x2—2x+l,y=x2—2x+2的圖象

如圖所示.

(1)每個(gè)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？

(2)一元二次方程x2+2x=0,x2—2x+l=0有幾個(gè)根？驗(yàn)

證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎？

⑶二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一

元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系？

歸納：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情

況：

①有兩個(gè)交點(diǎn)，

②有一個(gè)交點(diǎn)，

③沒有交點(diǎn).

當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+