賓縣一中2024級高一下學期第二次月考數(shù)學試卷2025.05.09一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在中，角所對邊分別為，且，（）A. B.或 C. D.或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求得，結合邊的大小關系即可得解.【詳解】由正弦定理有，即，解得，注意到，由大邊對大角有，所以.故選：A.2.已知邊長為2的正三角形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意畫出圖形，結合圖形利用斜二測畫法規(guī)則可得結果.【詳解】如圖，是邊長為2的正的直觀圖，則，，則高，故的面積.故選：C.3.設是空間中的一個平面，，，是三條不同的直線，則下列結論中正確的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面的位置關系判斷即可.【詳解】對于A中，由，只有當與相交時才能得到，所以A錯誤；對于B中，由，，可得，又由，所以，所以B錯誤；對于C中，若，，所以，又，所以，所以C正確；對于D中，由，，則或，當時，由，則或與異面；當時，由，則或與相交，所以D錯誤．故選：C4.使復數(shù)為純虛數(shù)的最小自然數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡、，結合復數(shù)的概念可得出結論.【詳解】因為，，因此使得復數(shù)為純虛數(shù)的最小自然數(shù)是.故選：C.5.已知圓臺的上下底半徑分別為，高為.光源點沿該圓臺上底面圓周運動一周，其射出的光線始終經(jīng)過圓臺軸截面對角線的交點，則光線在圓臺內(nèi)部掃過的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】圓臺的上下底面半徑和圓臺的高，結合題意得出圓錐的高及母線，最后利用圓錐側面積公式計算求解.【詳解】光線在圓臺內(nèi)部掃過的面積為圓錐的側面積，圓臺的上、下底面，令，，設，，則∴，∴，則，所以圓錐的側面積和為.故選：A6.已知向量，向量滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由題意可得：，，根據(jù)向量減法的運算性質即可得結果.【詳解】由題意可得：，因為，則，當且僅當反向時，等號成立，所以的最小值為1.故選：A.7.復數(shù)（，是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應點為，設，是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數(shù)的三角形式，利用復數(shù)的三角形式可以進行復數(shù)的指數(shù)運算，，，例如：，，復數(shù)滿足，則可能取值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的三角形式及運算，利用復數(shù)相等可得，即可得解.【詳解】設，則，所以，，即，所以故時，，故可取，故選：D8.如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，此時之間的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質結合函數(shù)圖象求解即可.【詳解】如圖，因為的最小正周期，所以，又，，所以折成直二面角時，因為軸，平面，所以平面，又平面，所以，所以，解得（負值已舍去），所以，又，因為，所以或，又因為函數(shù)在軸右側附近單調遞減，所以．故選：C.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，則（）A.是純虛數(shù) B.對應的點位于第二象限C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算規(guī)則和幾何意義逐項分析.【詳解】對于A，，實部為0，是純虛數(shù)，正確；對于B，，在復平面上對應點，在第四象限，錯誤；對C，，錯誤；對于D，，正確；故選：AD.10.已知，內(nèi)角分別對應邊則下列命題中正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.在銳角中，不等式恒成立C.若，則的面積為D.若，且有兩解，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理邊角互化判斷A，利用銳角三角形角的關系結合誘導公式判斷B，利用正弦定理求，結合內(nèi)角和公式求，根據(jù)三角形面積公式求則的面積判斷C，結合圖象，根據(jù)邊角的關系與解的數(shù)量判斷D.【詳解】選項A：中，若，即，所以由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，為鈍角三角形，A正確；選項B：因為是銳角三角形，所以，所以，又，所以，，又因為在單調遞增，所以，B正確；選項C：中，若，則由正弦定理得，解得，所以或，若，則，的面積，若，則，的面積，C錯誤；選項D：如圖所示，若有兩解，則，所以，故，D正確；故選：ABD11.某圓錐的側面展開圖是圓心角為，面積為的扇形，則（）A.該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為B.若該圓錐內(nèi)部有一個圓柱，且其一個底面落在圓錐的底面內(nèi)，則當圓柱的側面積最大時，圓柱的高為C.若該圓錐內(nèi)部有一個球，則當球半徑最大時，球的內(nèi)接正四面體的棱長為D.若該圓錐內(nèi)部有一個正方體，且底面在圓錐的底面內(nèi)，當正方體的棱長最大時，以為球心，半徑為的球與正方體表面交線的長度為【答案】CD【解析】【分析】先根據(jù)圓錐側面積公式和扇形弧長公式得出圓錐的母線長、底面半徑和高即可求出圓錐的母線與底面所成角正弦值，進而判斷A；根據(jù)三角形相似比得出圓柱高與其底面半徑比的關系，再代入圓柱體積公式得到，再利用導數(shù)工具求出最值即可突破求解進而判斷B；CD屬于簡單幾何體的接切和相交問題，要結合相應幾何體的結構特征和關系進行分析判斷，具體看詳解.【詳解】對于A，由圓錐側面積公式和扇形弧長公式得，，所以圓錐的高，設圓錐的母線與底面所成角，則，故A錯誤；對于B，設圓錐內(nèi)切圓柱底面半徑為，高為，則有，所以圓柱體積為，設，則，所以當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以時y取得最大值，即時圓柱體積取得最大，此時圓柱的高，故B錯誤.對于C，當球的半徑最大時，球為圓錐的內(nèi)切球，設球的半徑設為R，此時圓錐與球的軸截面如圖，因為,又，所以，正四面體可由正方體面的對角線切割得到，如圖，正四面體外接球與相對應正方體外接球為同一個球，當正四面體的棱長為時，其相對應的正方體棱長為，所以外接球直徑，所以外接球半徑為，所以該圓錐內(nèi)部有一個球，則當球的半徑最大時，球的內(nèi)接正四面體的棱長為，故C正確；對于D，設圓錐內(nèi)接最大正方體棱長為a，則沿著正方體體對角面作圓錐軸截面得到截面圖如下，則有，所以正方體面的對角線長為，所以以正方體頂點A為球心，半徑為的球與正方體表面交線情況如下圖所示，所以交線有兩組各有三條長度相等的曲線，第一組曲線如圖（1），第二組曲線如圖（2），由上，，所以，所以，，所以交線的總長度為.，故D正確.故選：CD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一個圓臺的上下底面半徑分別為和，且它的側面展開圖扇環(huán)的面積為，則這個圓臺的體積為______．【答案】【解析】【分析】計算出圓臺的母線長，求出圓臺的高，利用臺體的體積公式可求得該圓臺的體積.【詳解】設圓臺的母線長為，則該圓臺的側面積為，解得，取該圓臺的軸截面等腰梯形，如下圖所示：分別過點、作、，因為，，，所以，，所以，，因為，，，所以，四邊形為矩形，則，，所以，，所以，該圓臺的高為，故該圓臺的體積為.故答案為：.13.某校學生利用解三角形有關知識進行數(shù)學實踐活動.處有一棟大樓，某學生選兩處作為測量點，測得的距離為，，在處測得大樓樓頂?shù)难鼋菫?則大樓的高度為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出，然后利用正弦定理計算直接求出，然后利用兩角和的正切公式計算即可.【詳解】由已知得，在中，因為，即，所以，所以兩點間的距離為m.在中，因為，所以，又因為，，所以.故答案為：14.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點D為AC邊的中點，已知，則當角C取到最大值時等于___________.【答案】##【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，此時角C取到最大值，求解得出結果.【詳解】點D為AC邊的中點，，則，即，因為，所以，由知，角C為銳角，故，因為，所以由基本不等式得：，當且僅當，即時等號成立，此時角C取到最大值，所以，故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求A；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）整理可得，結合余弦定理運算求解即可；（2）利用正弦定理可得，即可得，進而可得面積.【小問1詳解】因為，則即為，整理可得，由余弦定理可得，且，所以.【小問2詳解】由正弦定理可得，則，可得，即，由（1）可得，則，即，可得，所以的面積.16.如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點，，將沿著翻折成，使平面.（1）求與平面所成的角；（2）在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）先證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，結合線面角的概念確定所求角，解三角形求結論；（2）提出猜測，再結合線面平行判定定理證明猜測，由此確定結論.小問1詳解】如圖，在梯形中，連接，因為是的中點，所以，又因為，且，故四邊形是菱形，從而，所以沿著翻折成后，平面，因為平面，則有，又平面，所以平面，所以與平面所成的角為，由已知條件，可知，所以是正三角形，所以平分，所以，所以與平面所成的角為.【小問2詳解】猜測當點為的中點時，平面，證明如下：取的中點，連接，在中，分別為的中點，所以且，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.所以當點為的中點時，平面，此時.17.如圖所示，某海域在A，B兩處分別設有?？看a頭，B在A北偏東30°相距海里處，現(xiàn)由甲，乙兩艘貨船分別從A，B兩處向C處航行．甲貨船從A處以海里/小時的速度沿著正東方向行駛，乙貨船從B處以3海里/小時的速度向沿東偏南45°的方向行駛，當航行至1小時，甲貨船到達E處，乙貨船到達F處，此時乙貨船因故障停止航行并發(fā)出求救信號，甲接到信號后立即掉轉方向并以海里/小時的速度行至F處施展搶修工作．（1）求碼頭B和甲船位置E處相距多少海里．（2）若搶修工作共經(jīng)歷1小時，搶修結束后乙船仍以原速度駛向C處，則自乙船從B處出發(fā)到乙船行至C處為止，共經(jīng)過了多長時間，【答案】（1）（2）小時【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理解三角形得.（2）在中，解三角形得，得到，在中，由余弦定理解三角形得，在中由正弦定理求得，結合已知即可求得結果.【小問1詳解】由題意知在中，由余弦定理得所以【小問2詳解】由題意，在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，∴甲接到信號后行至F，用時為小時，在中，,由正弦定理得，即,解得：，則搶修結束后乙船仍以原速度駛向C處，用時為小時，∴自乙船從B處出發(fā)到乙船行至C處為止，共用時為小時.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，在棱上且側面，，垂足為．（1）求證：平面；（2）若平面與直線交于點，證明：；（3）側面為等邊三角形時，求二面角的平面角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先證平面，得到，再根據(jù)，可證平面.（2）先證平面，再根據(jù)線面平行的性質定理證明線線平行.（3）先確定二面角的平面角，再解直角三角形，求出二面角的正切值.【小問1詳解】如圖：因為側面，平面，所以，又因為四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面.因為側面，所以，因為，且，平面，所以平面.【小問2詳解】因為底面為正方形，所以,又因為平面，平面,所以平面.又平面，平面平面,所以.【小問3詳解】如圖：由題為等邊三角形，，故為中點，在線段上取點，使得，因為是正方形，所以，又，所以，又因為底面，底面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，設，不妨設等邊的邊長為2，則，，所以在中，.19.在銳角中，記的內(nèi)角的對邊分別為，，點為的所在平面內(nèi)一點，且滿足．（1）若，求的值；（2）在（1）條件下，求的最小值；（3）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理、可得，再由求出，利用向量平行四邊形法則解得，得為的外心，再由正弦定理對稱答案；（2）由向量的數(shù)量積公式可得，求出的范圍可得的范圍，從而求出最小值；（3）取的中點，由向量的加法運算可得，，再由平面向量數(shù)量積的定義可得，代入、得、，聯(lián)立兩式求出，再由正弦定理、基本不等式可得答案.【小問1詳解】因為，