哈田中（哈73中）2024-2025學(xué)年度下學(xué)期高一學(xué)年期中考試數(shù)學(xué)考試時間：120分鐘卷面分值：150分注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時，必須將答案書寫在專設(shè)答題頁規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答．在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只交試卷答題頁．第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.給出下列四個說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的說法有（）個.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)零向量定義、向量模長、平行的定義等知識依次判斷各個選項即可.【詳解】對于①，模長為零的向量為零向量，①正確；對于②，的模長相同，但方向不確定，未必同向或反向，②錯誤；對于③，若，則同向或反向，但模長未必相同，③錯誤；對于④，當(dāng)時，，成立，但此時未必平行，④錯誤.故選：A.2.在空間中，下列命題不正確的是（）A.若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點．且一條直線上B.若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線C.梯形可確定一個平面D.任意三點能確定一個平面【答案】D【解析】【分析】利用平面的相關(guān)公理和推論逐項進行判斷即可求解.【詳解】對于選項A，若兩個平面有一個公共點，則它們有經(jīng)過該公共點的一條直線，即兩平面有無數(shù)個公共點，故選項A正確；對于選項B，若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線，否則，若存在三點共線，則問題轉(zhuǎn)化為一條直線與直線外一點，則四點共面，故選項B正確；對于選項C，因為兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可確定一個平面，故選項C正確；對于選項D，共線的三點不能確定一個平面，故選項D錯誤；故選：D.3.下列說法正確的是（）A.棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面B.有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.如果一個棱錐各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐D.如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體【答案】D【解析】【分析】由棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，判斷各選項是否正確.【詳解】選項A，例如六棱柱的相對側(cè)面也互相平行，故A錯誤；選項B，其余各面的邊延長后不一定交于一點，故B錯誤；選項C，當(dāng)棱錐的各個側(cè)面共頂點的角的角度之和是時，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；選項D，若每個側(cè)面都是長方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確．故選：D4.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，從而得到其共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C5.已知向量，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，由得：，，解得：.故選：C.6.如圖所示，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的面積是（）.A.12 B.12C.6 D.【答案】D【解析】【分析】求出直觀圖面積，根據(jù)直觀圖面積和原圖面積之間的關(guān)系即可得答案.【詳解】因為，由斜二測畫法可知，則，故為等腰直角三角形，故，故矩形的面積為，所以原圖形的面積是，故選：D7.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，D為邊BC上一點，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，在與中，由余弦定理求出，根據(jù)求出，進而求得的面積.【詳解】設(shè)，中，，在中，，所以，解得，因為，所以，所以的面積為.故選：C8.“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點是圓內(nèi)的定點，且，弦均過點，則下列說法錯誤的是（）A.為定值B.當(dāng)時，為定值C.的取值范圍是D.的最大值為12【答案】D【解析】【分析】過作直徑，利用向量加減幾何意義得判斷A；根據(jù)垂直關(guān)系及、數(shù)量積得運算律化簡判斷B；若為中點，連接，應(yīng)用向量線性運算的幾何意義及數(shù)量積的運算律、圓的性質(zhì)得，進而求范圍判斷C；由弦的最大值判斷D.【詳解】如圖，過作直徑，依題意，為定值，A正確；若，則，則，又，則，同理可得，故，B正確；若為中點，連接，則，由題意，則，C正確；因為，則有，D錯誤.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)定義及向量線性運算的幾何意義，結(jié)合數(shù)量積的運算律轉(zhuǎn)化各項數(shù)量積或乘積關(guān)系，再由圓的性質(zhì)、基本不等式判斷各項正誤.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法錯誤的是（）A.兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C.兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D.平行于同一直線的兩直線平行【答案】ABC【解析】【分析】由線線位置關(guān)系、棱臺、棱錐以及棱柱的定義即可逐一判斷.【詳解】對于A，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，它應(yīng)該保證各側(cè)棱延長后交于一點，故A錯誤；對于B，棱錐有一個面是多變形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，故B錯誤；對于C，如圖所示，若下面是一個正四棱柱，上面是一個以正四棱柱上底面為下底面的斜四棱柱，但它們的組合體不是棱柱，故C錯誤；對于D，由平行線的傳遞性可知D正確.故選：ABC.10.已知滿足，則（）A.B.復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限C.D.的實部與虛部之積為【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則進行運算，求出復(fù)數(shù)，逐一判斷各選項是否正確.【詳解】設(shè)，則由已知得，即，所以解得所以，則，故A項正確，B項錯誤；，的實部為，虛部為1，所以的實部與虛部之積為，故C，D項正確.故選：ACD11.平行四邊形ABCD中，，，.動點P滿足，，下列選項中正確的有（）A.時，動點形成的軌跡的長為B.時，的取值范圍是C.時，存在使得D.且最大時，在上的投影向量為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖形特征建立平面直角坐標(biāo)系，通過從而得到動點軌跡方程進而判斷A；時在線段上，從而判斷B；若，，則，通過解方程進而判斷C；通過圖形特征以及投影向量的相關(guān)概念判斷D.【詳解】在平行四邊形ABCD中，作，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，則，所以，則，對于A，，則，所以，由，得到，所以動點P形成的軌跡的長為，故A正確；對于B，若，則在線段上（含端點），所以的取值范圍是，故B錯誤；對于C，若，，則，所以，所以令，所以符合題意，所以時，存在使得，故C正確；對于D，過點作，若，則在上，又因為最大，所以與重合，作，則在上的投影向量為，由，則在上的投影向量為，故D正確.

故選：ACD【點睛】方法點睛：本題考查平面向量綜合問題，該類問題常見的處理方法為：（1）基底法：通過基底的建立與表示進行求解；（2）坐標(biāo)法：通過平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合坐標(biāo)公式進行求解；（3）轉(zhuǎn)化法：通過平方關(guān)系的轉(zhuǎn)化求解平面向量問題.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一個圓臺的上底面半徑為2，下底面的半徑為5，其側(cè)面積為，則該圓臺的體積為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)母線為，高為，由側(cè)面積公式求出，即可求出，再由圓臺的體積公式計算可得.【詳解】因為圓臺的上底面半徑，下底面的半徑，其側(cè)面積為，設(shè)母線為，高為，所以，即，解得，所以，所以該圓臺的體積.故答案為：13.如圖，在中，，于點，為的中點．若，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形邊長和角度，以為基底表示出，即可得.【詳解】在中，，∴，又因為，可得；可得，∵為的中點，所以，由，因此.故答案為：14.已知銳角中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足，，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理得到，利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系得到，，由正弦定理和正弦和角公式得到，根據(jù)為銳角三角形，得到，得到，得到答案.【詳解】因為，由余弦定理得，則，所以，又，所以，解得或，因為為銳角三角形，所以，，所以，其中，由正弦定理得，因為為銳角三角形，所以，即，所以，所以，所以，所以，，故.故答案為：【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)滿足，.（1）求；（2）若復(fù)數(shù)滿足，求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式即可求解.（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可列方程組求解.【小問1詳解】由題意得，所以或（舍去），故【小問2詳解】設(shè)，則，所以解得或所以或16.在內(nèi)，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的值；（2）若的面積為，，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角恒等變換得到，求出角；（2）由余弦定理和面積公式得到方程，求出，進而求出周長.【小問1詳解】由，得由正弦定理，得．．．又，．又，．又，．【小問2詳解】由（1）知，①又，故，，②又，由①②，得，故，∴，故，周長為.17.已知圓錐的頂點為P，母線所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為．（1）求該圓錐的側(cè)面積；（2）求圓錐的內(nèi)切球體積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由已知得出，，再由三角形面積公式得出，從而得出以及圓錐的側(cè)面積.（2）畫出截面圖形，先由相似三角形知識求出內(nèi)切球半徑，再由體積公式即可求解.【小問1詳解】如圖所示：令圓錐母線長、底面半徑分別為l、r，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為知，，又，又因為的面積為，∴，又，所以，∴側(cè)面積為．【小問2詳解】如圖所示：設(shè)內(nèi)切球半徑為，球心在上面，則，所以，由（1）可知，圓錐的高，則有，解得，所以圓錐的內(nèi)切球體積為.18.已知z為復(fù)數(shù)，和均為純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸下方，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，可知，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡根據(jù)題意，即可得出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案；（2）代入化簡可得復(fù)數(shù)為，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合已知可得，求解即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)，則.因為為純虛數(shù)，所以，且，所以，所以.因為為純虛數(shù)，所以，所以，所以，，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為.由題意可知，，解得或，且，所以，實數(shù)m的取值范圍為.19.中，，點邊上，平分．