南開中學(xué)高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷.第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷一、單選題（本大題共9小題，共45分）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知集合，根據(jù)交補(bǔ)運(yùn)算求即可.【詳解】由題意知：，而，∴，故選：B2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求出二次不等式的解即可根據(jù)集合的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】的解為，設(shè)，，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知某校一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)所有學(xué)生得分都在內(nèi)，根據(jù)學(xué)生得分情況繪制的頻率分布直方圖如圖所示，則圖中a的值是（）．A.0.015 B.0.020 C.0.030 D.0.040【答案】B【解析】【分析】由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為，即可求得的值.【詳解】解：由頻率分布直方圖可知：，解得：.故選：B.4.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】解：，，又，.故選：D.5.已知定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減.則下面結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出，再由在內(nèi)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】，又，內(nèi)單調(diào)遞減，故選：D6.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：（）①的最小正周期為②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱③在區(qū)間上單調(diào)遞增④的值域?yàn)槠渲兴姓_的編號(hào)是（）A.②④ B.①③④ C.③④ D.②③【答案】C【解析】【分析】舉反例判斷①②；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷③；討論，時(shí)，對(duì)應(yīng)的最值，即可得出的值域.【詳解】函數(shù)，，，故函數(shù)的最小正周期不是，故①錯(cuò)誤．由于，，∴，故的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故排除②．在區(qū)間上，，，單調(diào)遞增，故③正確．當(dāng)時(shí)，故它的最大值為，最小值為當(dāng)時(shí)，，綜合可得，函數(shù)的最大值為，最小值為，故④正確．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦型函數(shù)的單調(diào)性以及值域，屬于中檔題.7.已知拋物線(為常數(shù))過點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線的距離是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)可求出，即可求出焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線的距離.【詳解】拋物線過點(diǎn)，，拋物線的方程為，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線的距離為.故選：B.8.已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若，，，，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，，，得到，的外接圓的圓心分別為邊的中點(diǎn)，則外接球的球心為兩中點(diǎn)連線的中點(diǎn)求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)椋?，，所以的中點(diǎn)，分別為，的外接圓的圓心，所以直三棱柱的外接球的球心是的中點(diǎn)，所以，所以球O的表面積為，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問題，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】分函數(shù)在R上的單調(diào)遞減和單調(diào)遞增求解.【詳解】當(dāng)函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，因?yàn)榍?，所以?dāng)時(shí)，不可能是增函數(shù)，所以函數(shù)在R上不可能是增函數(shù)，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：B第II卷二、填空題（本大題共6小題，共30分）10.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知復(fù)數(shù)，，故答案為：11.的展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】80【解析】【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于4，求出的值，即可求得展開式中的系數(shù)．【詳解】解：的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12.已知圓的圓心在軸的正半軸上，且圓心到直線的距離為，若點(diǎn)在圓上，則圓的方程為______________________．【答案】【解析】【分析】先由題意，設(shè)圓的圓心為，由點(diǎn)到直線距離求出圓心坐標(biāo)，再由圓上的點(diǎn)求出半徑，進(jìn)而可求出圓的方程.【詳解】由題意，設(shè)圓的圓心為，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，解得，即圓心坐標(biāo)為；又點(diǎn)在圓上，所以半徑為，因此圓的方程為.故答案為：.13.已知實(shí)數(shù)，，，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】利用，又，得，代入利用基本不等式即可得出結(jié)果【詳解】由，得，又，得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號(hào).故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.14.甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為，，，現(xiàn)要求三人各投籃一次.假設(shè)每人投籃相互獨(dú)立，則至少有一人命中的概率為______；記三人命中總次數(shù)為，則______.【答案】①.；②.【解析】【分析】根據(jù)相互對(duì)立事件概率及相互獨(dú)立事件的概率公式可求至少有一人命中的概率；先求出隨機(jī)變量的取值情況及相應(yīng)的概率，然后結(jié)合期望公式可求．【詳解】解：由題意得，至少有一人命中的概率，由題意得的可能取值為0，1，2，3，，，，，．故答案為：，．15.如圖，在已知的四邊形中，，，，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】【解析】分析】根據(jù)條件，結(jié)合正弦定理、余弦定理，可求得DC、BD的長(zhǎng)，化簡(jiǎn)可得，，根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，所以，解得，在中，根?jù)正弦定理，可得，解得，所以，因?yàn)?，點(diǎn)為邊上，所以，設(shè)，，所以=，，所以時(shí)，有最小值，故答案為：【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦定理、余弦定理，并靈活應(yīng)用，在求時(shí)，可利用向量的加減法運(yùn)算，轉(zhuǎn)化到已知的邊長(zhǎng)上，再利用數(shù)量積公式求解，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.三、解答題（本大題共5小題，共75分）16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足已知.（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理，將題中條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為以及誘導(dǎo)公式，即可求得角的大??；(2)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式即可得到，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可求得結(jié)果；(3)利用三角函數(shù)面積公式即可得到的值，再利用余弦定理即可求得的值，進(jìn)而得到的周長(zhǎng).【詳解】解：（1），由正弦定理得：，即，又，，，，又，；（2）由題意知：，，又，；（3），，由余弦定理得：，即，解得：，的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊和角的互化.17.如圖，直二面角中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且平面ACE．（1）求證平面BCE；（2）求二面角的大?。唬?）求點(diǎn)D到平面ACE的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得、，再由線面垂直的判定即可得證；（2）作出二面角，再解三角形即可得解.（3）利用，可以求出點(diǎn)D到平面ACE的距離.【小問1詳解】∵BF⊥平面ACE，AE平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角DABE為直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，BC平面ABCD，平面ABCD平面ABE=AB，∴BC⊥平面ABE，又AE平面ABE，∴BC⊥AE，又BF?平面BCE，BFBC=B，BC?平面BCE，∴AE⊥平面BCE．【小問2詳解】連接AC、BD交于G，連接FG，∵ABCD為正方形，∴BG⊥AC，∵BF⊥平面ACE，AC?平面ACE，所以BF⊥AC，又BGBF=B，BD，BF?平面BFG，AC⊥平面BFG，∴FG⊥AC，∠FGB為二面角BACE的平面角，由（1）可知，AE⊥平面BCE，平面BCE，∴AE⊥EB，又，在直角三角形BCE中，，在正方形中，，在直角三角形BFG中，，∴二面角BACE為．【小問3詳解】方法一：由（2）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACE的距離等于B到平面ACE的距離，BF⊥平面ACE，線段BF的長(zhǎng)度就是點(diǎn)B到平面ACE的距離，即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為．方法二：過點(diǎn)E作EO⊥AB交AB于點(diǎn)O，OE=1．∵二面角DABE為直二面角，故平面平面，而平面平面，平面，∴EO⊥平面ABCD，設(shè)D到平面ACE的距離為h，∵VDACE=VEACD，．∵AE⊥平面BCE，平面BCE，∴AE⊥EC．，∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為．18.已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S3=a4，a3+a5=2+a4（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}前2k項(xiàng)和S2k；（3）在數(shù)列{an}中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)am，am+1，am+2，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，1【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由已知條件列方程組求得后可得通項(xiàng)公式；（2）按奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分組求和；（3）按分奇偶討論，利用，尋找的解．【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a5=1+2d．∵S3=a4，∴1+2+(1+d)=2q，即4+d=2q，又a3+a5=2+a4，∴1+d+1+2d=2+2q，即3d=2q，解得d=2，q=3．∴對(duì)于k∈N*，有a2k1=1+(k1)?2=2k1，故【小問2詳解】S2k=(a1+a3+…+a2k1)+(a2+a4+…+a2k)=[1+3+…+(2k－1)]+2(1+3+32+…+3k1)=．【小問3詳解】在數(shù)列{an}中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)a1，a2，a3，按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)m的值為1，下面說明理由若am=a2k，則由am+am+2=2am+1，得2×3k1+2×3k=2(2k+1)．化簡(jiǎn)得4?3k1=2k+1，此式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立．若，則由am+am+2=2am+1，得(2k－1)+(2k+1)=2×2×3k1化簡(jiǎn)得k=3k1，令，則．因此，1=T1＞T2＞T3＞…，故只有T1=1，此時(shí)k=1，m=2×1－1=1．綜上，在數(shù)列{an}中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)a1，a2，a3，按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)m的值為1．19.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是和，離心率為，點(diǎn)P在橢圓E上，且的面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過橢圓C右焦點(diǎn)，交該橢圓于A?B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為Q，射線OQ交橢圓于P，記的面積為，的面積為，若，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由P在短軸端點(diǎn)時(shí)，面積最大，即，再根據(jù)離心率為求解.（2）由，即，，易知當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，不合題意，當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由點(diǎn)差法得到然后聯(lián)立方程，分別求得求解.【詳解】（1）依題意，顯然當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大為，即，又由離心率為，，解得，，，所以橢圓C的方程為.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)AB斜率不存在時(shí)，，不合題意，當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)，，則，兩式作差得：，即，故直線OP的方程為：，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，因?yàn)?，所以，即，解得：，所以直線AB的方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單．20.已知函數(shù)在點(diǎn)(，)處的切線方程為．（1）求a、b；（2）設(shè)曲線y＝f(x)與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y＝h(x)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)≥h(x)；（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，且，證明：．【答案】（1）1，1；（2）證明見解析；（3）證明見解析﹒【解析】【分析】(1)根據(jù)切線求出f(－1)，再根據(jù)，進(jìn)而得出、．(2)令，求出P，求出在P處切線y＝h(x)．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性證明其最小值大于或等于零即可．(3)根據(jù)(2)得，令可得，根據(jù)h(x)單調(diào)性可得；同理可求出f(x)在(0，0)處切線，得出相同結(jié)論，求出的范圍，從而可求的范圍.【小問1詳解】將代入切線方程中，有，∴，即，又，∴．若，則，與矛盾，故．【小問2詳解】由(1)可知，，，令，