蘇科版七年級(jí)下練素養(yǎng)活用乘法公式的八種技巧第九章整式乘法與因式分解溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)習(xí)題鏈接123456789乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，

也可以逆用.在使用公式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：1.公式中的字母a，b可以是任意一個(gè)式子.2.公式可以連續(xù)使用.3.要掌握好公式中各項(xiàng)的關(guān)系及整個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).4.在運(yùn)用公式時(shí)要學(xué)會(huì)運(yùn)用一些變形技巧.技巧1

巧用乘法公式的變形求式子的值1.(母題：教材P90復(fù)習(xí)題T9)

已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，

求a2＋b2和ab的值.

技巧2

巧用乘法公式進(jìn)行簡便運(yùn)算3.計(jì)算：(1)2042＋204×192＋962；【解】原式＝2042＋2×204×96＋962＝(204＋96)2＝

3002＝90000.

(4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.

技巧3

巧用乘法公式解決整除問題4.對(duì)任意正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能不能

被10整除？為什么？【解】對(duì)任意正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)

能被10整除.理由：(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)

＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1).因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，10(n2－1)能被10整除，所以(3n＋

1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除.技巧4

巧用乘法公式進(jìn)行計(jì)算5.

［新考法?歸納法］(1)觀察下列各式的規(guī)律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；….可得到(a－b)(a2024＋a2023b＋…＋ab2023＋b2024)＝

?

?；a2025－

b2025

(2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝

(其中n

為正整數(shù)，且n≥2)；an－bn

(3)利用(2)中猜想的結(jié)論計(jì)算：29－28＋27－…＋23－22＋2.

技巧6

巧用乘法公式解決規(guī)律問題7.有一系列等式：1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2；2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2；3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2；4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2；….(1)根據(jù)你觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出8×9×10×11＋

1的結(jié)果為

?；(2)試猜想n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1是哪一個(gè)數(shù)的平方，并予

以說明.892

【解】猜想：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.說明

如下：等式左邊＝(n2＋n)(n2＋5n＋6)＋1＝n4＋5n3＋6n2＋n3＋

5n2＋6n＋1＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1.等式右邊＝[(n2＋1)＋3n]2＝(n2＋1)2＋2·3n·(n2＋1)＋9n2＝

n4＋2n2＋1＋6n3＋6n＋9n2＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1.因?yàn)樽筮叄接疫?，所以n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.技巧7

巧用乘法公式解決實(shí)際問題(分類討論思想)8.王老師在一次團(tuán)體操隊(duì)列隊(duì)形設(shè)計(jì)中，先讓全體隊(duì)員排成

一個(gè)方陣(行與列的人數(shù)一樣多的隊(duì)形，且總?cè)藬?shù)不少于25

人)，隊(duì)員正好排完，然后再進(jìn)行各種隊(duì)形變化，其中一個(gè)

隊(duì)形需分為5人一組，手執(zhí)彩帶變換隊(duì)形.在討論分組方案

時(shí)，有人說現(xiàn)在的隊(duì)員人數(shù)按5人一組分將多出3人，你說

這可能嗎？【解】不可能.理由如下：由題意得總?cè)藬?shù)可能為(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人，

(5n＋3)2人，(5n＋4)2人，n為正整數(shù).(5n)2＝5×5n2，(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1，(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4，(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4，(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.由此可見，無論哪一種情況，總?cè)藬?shù)按每組5人分，要么不

多出人數(shù)，要么多出的人數(shù)是1人或4人，不可能是3人.技巧8

巧用乘法公式解決最值問題9.

［新考法?閱讀類比法］先閱讀材料，再解決問題：x2±2xy＋y2＝(x±y)2及(x±y)2的值恒為非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)在數(shù)

學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項(xiàng)式2x2＋12x－4的最小

值時(shí)，我們可以這樣處理：解：原式＝2(x2＋6x－2)＝2(x2＋6x＋9－9－2)＝2[(x＋3)2

－11]＝2(x＋3)2－22.因?yàn)闊o論x取什么數(shù)，都有2(x＋3)2≥0，即2(x＋3)2的最小

值為0，此時(shí)x＝－3，所以當(dāng)x＝－3時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是－22.請根據(jù)上面的解題思路，探求多項(xiàng)式3x2－6x＋12的最小

值，并寫出相應(yīng)的x的值