專題07三角形的角的模型九種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 4類型一、雙垂直模型 4類型二、A字模型 5類型三、雙內(nèi)角平分線模型 6類型四、內(nèi)外角平分線模型 8類型五、雙外角平分線模型 10類型六、8字模型 12類型七、燕尾模型 14類型八、折角模型 16類型九、“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型） 18壓軸能力測(cè)評(píng) 19模型1雙垂直模型【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.模型2A字模型【結(jié)論】∠BDE+∠CED=180°+∠A模型3雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°+∠A.模型4內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結(jié)論】∠A=∠P.模型5雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°-∠A.模型68字模型【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.模型7燕尾模型【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.模型8折角模型模型9“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型）【結(jié)論】類型一、雙垂直模型【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.例．如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，分別以、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，的直角頂點(diǎn)A在直線a上，斜邊在直線b上，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】．如圖，，于點(diǎn)C，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．類型二、A字模型【結(jié)論】∠BDE+∠CED=180°+∠A例．如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（

）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，與的角平分線交于點(diǎn)D，且、，則與的數(shù)量關(guān)系可表示為（

）A． B．C． D．類型三、雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°+∠A.例．如圖，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶數(shù)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．(2)如果BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線．a(chǎn)、當(dāng)∠A=45°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．b、當(dāng)∠A=x°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度數(shù)．（2）當(dāng)∠A為多少度時(shí)，∠BPC＝3∠A？【變式訓(xùn)練2】，已知、的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且．

（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，，求、的度數(shù)．【變式訓(xùn)練3】．如圖，ΔABC的角平分線相交于點(diǎn)．（1）若，則________；（2）試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．類型四、內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結(jié)論】∠A=∠P.例．如圖，在△ABD中，∠ABD的平分線與∠ACD的外角平分線交于點(diǎn)E，∠A=80°，求∠E的度數(shù)【變式訓(xùn)練1】．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，和的平分線交于，則的度數(shù)是______（2）類比探究：如圖2，在中，的平分線和的外角的角平分線交于，則與的關(guān)系是______，并說(shuō)明理由．（3）類比延伸：如圖3，在中，外角的角平分線和的外角的角平分線交于，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的關(guān)系是______．

【變式訓(xùn)練2】．（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點(diǎn)．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？【變式訓(xùn)練3】．如圖所示，已知為的角平分線，為外角的平分線，且與交于點(diǎn)D；

(1)若，，則；(2)若，，則；(3)當(dāng)和在變化，而始終保持不變，則是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么結(jié)論？（用含的式子表示）類型五、雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°-∠A.例．（1）如圖所示，在中，分別是和的平分線，證明：．（2）如圖所示，的外角平分線和相交于點(diǎn)D，證明：．（3）如圖所示，的內(nèi)角平分線和外角平分線相交于點(diǎn)D，證明：．【變式訓(xùn)練1】．如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點(diǎn)D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度數(shù)；（2）若∠A=a，求∠E；（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB=．【變式訓(xùn)練2】．（1）如圖（a），平分，平分.①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù).②猜想與有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.（2）如圖（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請(qǐng)你直接寫(xiě)出正確的結(jié)論（不用寫(xiě)出證明過(guò)程）.

【變式訓(xùn)練3】．如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點(diǎn)

（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，當(dāng)∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連HQ并延長(zhǎng)至K，使∠QKA＝∠QAK，再過(guò)點(diǎn)Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)H在射線AB上移動(dòng)時(shí)，∠QMK的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍．類型六、8字模型【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.例．如圖1，線段相交于點(diǎn)，連接，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)，并且與、分別相交于、．試解答下列問(wèn)題：(1)在圖1中，證明：；(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：_____個(gè)；(3)圖2中，當(dāng)度，度時(shí)，求的度數(shù)．(4)圖2中和為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）．【變式訓(xùn)練1】．（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說(shuō)明：．（2）如圖②，分別平分，若，求的度數(shù)．（3）如圖③，直線平分的外角平分的外角，若，則________用的代數(shù)式表示）【變式訓(xùn)練2】．平面內(nèi)，四條線段AB，BC，CD，DA首尾順次連接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)M（如圖1），求∠AMC的大?。?）點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，∠DAE的平分線和∠BCD平分線交于點(diǎn)N（如圖2），求∠ANC．【變式訓(xùn)練3】．【問(wèn)題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問(wèn)題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示∠P）；②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論．

類型七、燕尾模型【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.例．如圖，在中，D是上一點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，、相交于點(diǎn)F，，，．求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】．如圖，中，(1)若、的三等分線交于點(diǎn)、，請(qǐng)用表示、；(2)若、的等分線交于點(diǎn)、（、依次從下到上），請(qǐng)用表示，．【變式訓(xùn)練2】．如圖所示，已知四邊形，求證．【變式訓(xùn)練3】．如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若，直接寫(xiě)出的結(jié)果；②如圖3，平分，平分，若，求的度數(shù)；③如圖4，的10等分線相交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．類型八、折角模型例．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，將沿直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．無(wú)法確定【變式訓(xùn)練2】．如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【變式訓(xùn)練3】．如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．類型九、“高分”模型（角平分線和高相結(jié)合模型）【條件】：AE⊥BC,AD平分∠BAC,【結(jié)論】例．如圖所示，為的高，，為的角平分線，若，．(1)求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】．（1）如圖①，在中，，分別是的高和角平分線，若，．求的度數(shù)；（2）如圖②，已知平分，交邊于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．若，①__________（含的代數(shù)式表示）；②求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練2】．在中，，，是的角平分線．

（1）如圖1，若是的高，則的度數(shù)為．（2）如圖2，若是的角平分線，G是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)H，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，是的平分線，是邊上的高．(1)若，求的度數(shù)．(2)求證．1．如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則．2．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．3．如圖，若，則．4．如圖，在中，已知，、的平分線、相交于點(diǎn)O，則的度數(shù)為．

5．如圖，把紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在圖中的處，若，，則的大小為．6．如圖，在中，為邊上的高，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)為邊上的中線時(shí)，若，的面積為24，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)為的平分線時(shí)，若，，求的度數(shù)．7．小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，平分，于點(diǎn)．猜想，，的數(shù)量關(guān)系．(1)小明閱讀題目后，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入，的值求的值，得到下面幾組對(duì)應(yīng)值：/度1030302020/度7070606080/度30152030上表中__________，于是得到，，的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；(2)小明繼續(xù)探究，如圖2，在線段上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)嘗試寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)小明突發(fā)奇想，交換，兩個(gè)字母位置，如圖3，過(guò)的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_________．8．如圖，，相交于點(diǎn)，連結(jié)，，，分別