二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

自變量變化過程的六種形式:一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

函數(shù)的極限

三、無窮小與無窮大一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義2

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義,若則稱常數(shù)時的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束A

為函數(shù)例1.

證明證:取因此注:就有故欲使即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當(dāng)時,有當(dāng)時,有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束結(jié)論:二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1.時函數(shù)極限的定義引例.

測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積直接觀測值間接觀測值任給精度

,要求確定直接觀測值精度

:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.

設(shè)函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時,有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時的極限,或即當(dāng)時,有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.證明證:故對任意的當(dāng)時,因此總有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

定義中對x0

點不做任何要求,所研究的范圍是x=x0

附近的所有點,當(dāng)x變化時所對應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化情況,而不是x0

本身.例2.證明證:欲使取則當(dāng)時,必有因此只要機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

證明證:故取當(dāng)時,必有因此機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時故取則當(dāng)時,保證.必有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.左極限與右極限左極限:當(dāng)時,有右極限:當(dāng)時,有結(jié)論:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

設(shè)函數(shù)討論時的極限是否存在.解:

利用定理3.因為顯然所以不存在.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系海涅定理:則對任一收斂于x0的數(shù)列且都有證明:設(shè)則對當(dāng)時，有又故對上述存在N,當(dāng)n>N時，有由假設(shè)故當(dāng)n>N時，從而設(shè)函數(shù)f(x)在x0

的某去心鄰域內(nèi)有定義,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束反證法設(shè)即使得但取為:則得數(shù)列{xk

},它滿足:且使得又這與題設(shè)矛盾.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如：證明當(dāng)x→0

時,函數(shù)的極限不存在.說明:

1.海涅定理表明既可以將函數(shù)極限的許多性質(zhì)和結(jié)果用于數(shù)列,又可以通過數(shù)列極限來研究函數(shù)極限.2.為判定函數(shù)極限不存在提供了一種簡單有效的判定方法.證:

取兩個趨于0的數(shù)列及有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.函數(shù)極限的性質(zhì)Prop1(唯一性)若存在，則極限唯一.Prop2(局部有界性)若則存在M>0和使得當(dāng)時，證明:由取則當(dāng)時，有Prop3(保號性)

若且

A>0,證:

已知即當(dāng)時,有當(dāng)

A>0時,取正數(shù)則在對應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束若取則在對應(yīng)的鄰域上若則存在使當(dāng)時,有推論1:分析:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束推論2.

若在的某去心鄰域內(nèi),且則證:

用反證法.則由Prop3,的某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真,(同樣可證的情形)思考:

若推論2中的條件改為是否必有不能!存在如假設(shè)A<0,條件矛盾,故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束Prop4(保序性)且A>

B,則存在δ>0,若當(dāng)0<|x-x0

|<δ

時,有推論:若則A≥B.且存在δ>0,f(x)

>g(x).使得當(dāng)0<|x-x0

|<δ

時,有f(x)

≥g(x),注：Prop3是Prop4的特殊情況.三、無窮小與無窮大當(dāng)定義1.

若時,函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;函數(shù)當(dāng)為時的無窮小

.時為無窮小.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1、無窮小說明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!因為當(dāng)時,顯然C

只能是0!CC機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中

為時的無窮小量.結(jié)論：(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時,有對自變量的其它變化過程類似可證.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2、無窮大定義2

.

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,

函數(shù)當(dāng)?shù)詴r,不是無窮大!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說明:機動目錄上