第18關(guān)解直角三角形基礎(chǔ)練考點1銳角三角函數(shù)1.[2024云南]如圖,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,則tanA=()A.45B.35C.432.[2024重慶江北區(qū)一模]如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,若tanB=43A.34B.35C.453.[2024天津紅橋區(qū)三模]ttan45A.1B.3C.2D.224.[2024河北張家口一模]一架梯子(長度不變)一端放在水平地面上，梯子跟地面所成的銳角為∠A，下列關(guān)于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間關(guān)系的敘述，正確的是()A.sinA的值越大,梯子越陡B.cosA的值越大,梯子越陡C.tanA的值越小,梯子越陡D.梯子的傾斜程度與∠A的三角函數(shù)值無關(guān)5.[2024廣東廣州二模]在正方形網(wǎng)格中,∠AOB如圖放置,則cos∠AOB的值為()A55.B.2556.[2024江蘇常州一模]在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=45考點2解直角三角形7.[2024甘肅臨夏州]如圖,在△ABC中,AB=AC=5,sinB=45則BC的長是A.3B.6C.8D.9()()8.[2024吉林長春]2024年5月29日16時12分,“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達(dá)測得點R到點A的距離為a千米，仰角為θ，則此時火箭距海平面的高度AL為()A.asinθ千米B.C.acosθ千米D.a9.[2024寧夏]如圖1是三星堆遺址出土的陶岙(hè)，圖2是其示意圖.已知管狀短流AB=2cm,四邊形BCDE是器身,BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°.器身底部CD距地面的高度為21.5cm，則該陶岙管狀短流口A距地面的高度約為cm(結(jié)果精確到0.1cm).(參考數(shù)據(jù):sin80°≈0.9848,10.[2024四川眉山]如圖,斜坡CD的坡度i=1:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當(dāng)太陽光與水平面的夾角為60°時，大樹在斜坡上的影子BE長為10米、則大樹AB的高為米.11.如圖,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC邊上的中線,AB=10,AD=6,ian∠ACB=1.(1)求BC的長;(2)求sin∠DAE的值.12.2024黑龍江大慶]如圖，CD是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路l上由北向南行駛，在A處測得橋頭C在南偏東30°方向上，繼續(xù)行駛1500米后到達(dá)B處，測得橋頭C在南偏東60°方向上，橋頭D在南偏東45°方向上，求大橋CD的長度.(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：313.[2024甘肅蘭州]單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置、某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實驗探究，并撰寫實驗報告如下.實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運動.(擺線的長度變化忽略不計)如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處,BD⊥OA.∠BOA=64°,BD=20.5cm;當(dāng)擺球運動至點C時,∠COA=37°,CE⊥OA(點O,A,B,C,D,E在同一平面內(nèi))實驗圖示解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長.(結(jié)果精確到0.1cm)參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05.提升練14.[2024江蘇常州模擬]將Rt△ABC的各邊長都擴(kuò)大至原來的2倍，則cosA的值()A.不變B.變大C.變小D.無法判斷15.[2024廣東梅州一模]△ABC中,∠A,∠B都是銳角，且sinA=22A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.銳角三角形或鈍角三角形16.[2024廣東深圳二模]如圖是某滑雪場一段雪道的示意圖，該雪道的平均坡角約為20°，在此雪道向下滑行100米，高度大約下降了()A.100sin20°C.100sin20°米D.100cos20°米17.[2024湖南]如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春(chōng)搗谷物的工具——“碓(duì)”的結(jié)構(gòu)簡圖，右圖為其平面示意圖.已知AB⊥CD于點B,AB與水平線l相交于點O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,則點C到水平線l的距離CF為分米(結(jié)果用含根號的式子表示).18.[2024山東泰安]在綜合實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量大汶河某河段的寬度.他們在河岸一側(cè)的瞭望臺上放飛一只無人機(jī).如圖，無人機(jī)在河上方距水面高60米的點P處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為50°，測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6°，已知瞭望臺BC高12米(圖中點A,B,C,P在同一平面內(nèi)).那么大汶河此河段的寬AB為米.(參考數(shù)據(jù)：sin4019.[2024河南南陽校級模擬]如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則tan∠APD的值為.20.[2024江西]將圖1所示的七巧板,拼成圖2所示的四邊形ABCD,連接AC,則tan∠CAB=21.[2024江蘇南京校級模擬]如圖，在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,點D是線段AC上的動點,設(shè)∠BDC=α,∠BAC=β,有以下結(jié)論：①0°<β<α<90°,且tanα>tanβ;②0°<β<α<90°,且cosα>cosβ;③當(dāng)D為AC中點時,sin④當(dāng)BD平分∠CBA時,tanβ=2tanα.其中，正確的是.(填序號)22.[2024內(nèi)蒙古通遼]在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度.如圖，從C點測得楊樹底端B點的仰角是30°，BC長6米，在距離C點4米處的D點測得楊樹頂端A點的仰角為45°，求楊樹AB的高度(精確到0.1米,AB,BC,CD在同一平面內(nèi),點C、D在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：323.[2024山東菏澤校級模擬]已知△ABC的三個內(nèi)角∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c.觀察:若∠A=35°,∠B=45°,則有sinasinsin模仿：已知∠(1)求sinC的值;(2)若a=7,求S△ABC.24.[2024重慶A卷]如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)C港.乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港.(參考數(shù)據(jù)：2(1)求A，C兩港之間的距離(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同(?？緽，D兩港的時間相同)，哪艘貨輪先到達(dá)C港?請通過計算說明.25.[2024安徽]科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實驗.如圖，光線自點B處發(fā)出，經(jīng)水面點E折射到池底點A處.已知BE與水平線的夾角α=36.9°,點B到水面的距離BC=1.20m,點A處水深為1.20m,到池壁的水平距離AD=2.50m.點B,C,D在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平面內(nèi).記入射角為β，折射角為γ，求sinβsinγ的值參考數(shù)據(jù):sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75.26.[2024貴州]綜合與實踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí).【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁AC的夾角為∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水.(直線NN'為法線，AO為入射光線，OD為折射光線)【測量數(shù)據(jù)】如圖,點A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面內(nèi),測得AC=20cm,∠A=45°,折射角∠DON=32°.【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)求BC的長;(2)求B,D之間的距離(結(jié)果精確到0.1cm).(參考數(shù)據(jù):sin32°≈0.52,cos32°≈0.84,tan32°≈0.62)27.[2024廣東]中國新能源汽車為全球應(yīng)對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，下圖是矩形充電站PQMN的平面示意圖、矩形ABCD是其中一個停車位、經(jīng)測量、∠ABQ=60°,AB=5.4m,CE=1.6m,GH⊥CD,GH是另一個車位的寬，所有車位的長、寬分別相同，按圖示并列劃定.根據(jù)以上信息回答下列問題：(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):3(1)求PQ的長;(2)該充電站有20個停車位，求PN的長.28.[2024江蘇連云港]圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關(guān)研究.數(shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2,正八邊形游樂城A?A?A?A?A?A?A?A?的邊長為52km，南門O設(shè)立在A?A，邊的正中央，游樂城南側(cè)有一條東西走向的道路BM，A?A?在BM上(門寬及門與道路間距離忽略不計)，東側(cè)有一條南北走向的道路BC，C處有一座雕塑.在A?處測得雕塑在北偏東45°方向上，在A?處測得雕塑在北偏東59°方向上1(2)求點A?到道路BC的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響.(結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,sin7第18關(guān)解直角三角形1.C解析:因為在△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,所以tan2.B解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴設(shè)AC=4x,BC=3x,由勾股定理得AB=43.C4.A5.A6.4解析：由sinA=45,∠C=90°,可設(shè)BC=4x,則7.B解析:過點A作BC的垂線,垂足為M,在Rt△ABM中.sin∴又∵AB=AC,∴BC=2BM=6.8.A解析:在Rt△ALR中,AR=a,∠ARL=θ∴AL=AR·sinθ=asinθ千米.9.34.1解析：如圖，過點C作CF⊥BE,垂足為F,過點A作AG⊥EB交EB的延長線于點G，∵∠ABE=120°,∴∠ABG=180°-∠ABE=60°,在Rt△ABG中,AB=2cm,∴在Rt△BCF中,∠EBC=80°,BC=11cm,∴CF=BC·sin80°≈11×0.9848=10.8328(cm),∵器身底部CD距地面的高度為21.5cm,∴該陶岙管狀短流口A距地面的高度=3+10.8328+21.5≈34.1(cm),∴該陶岙管狀短流口A距地面的高度約為34.1cm.10.(415-25解析：如圖，過點E作AB的垂線，交AB的延長線于點H，易知EH∥CF,則∠BEH=∠DCF,在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠BCF=BH設(shè)BH=x米,則EH=2x米,∴BE=EH∴x=25∴BH=25米,EH=4∵∠EAH=180°-60°-90°=30°,∴AH=3EH=415米，∴AB=∴大樹AB的高為(415-25)米.11.(1)142解析:(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,∴∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6,∴BC=BD+CD=8+6=14.(2)∵AE是BC邊上的中線,∴∴DE=CE-CD=7-6=1,∵AD⊥BC,∴

∴12.548米解析：分別過點C和點D作AB的垂線，垂足分別為M，N，在Rt△CBM中,tan∠CBM=CMBM所以CM=3BM,在Rt△ACM中,tanA=因為AM=AB+BM,AB=1500米,所以3BM1500+BM=所以CM=7503米，所以DN=CM=7503米.在Rt△DBN中,tan∠DBN=所以BN=DN=7503米，所以MN=BN-BM=7503-750米，則CD=MN=7503-750≈13.8.2cm解析:在Rt△OBD中,∠ODB=90°,∠BOA=64°,BD=20.5cm,tan∴∴OD=10cm,OB≈22.78cm,在Rt△COE中,OC=OB=22.78cm,∠COA=37°,∴cos∠COA∴OE=18.224(cm),∴ED=OE-OD≈8.2cm.14.A15.C解析:∴∴∠A=45°,∠B=60°,∴∠C=75°,∴△ABC的形狀是銳角三角形.16.C解析:由題意得AB⊥BC,在Rt△ABC中,∠ACB=20°,∴在此雪道向下滑行100米，高度大約下降了100sin20°米.17.(6-23解析：延長DC交l于點H，連接OC，在Rt△OBH中,∠BOH=90°-60°=30°,OB=12,∴BH=12×tan30°=43,OH=83∵∴12即12×12×43=18.74解析:如圖,過點P作PE⊥AB于點E.過點C作CF⊥PE于點F,則∠NPC=∠PCF=63.6°,∠MPA=∠BAP=50°,BC=EF=12米,PE=60米,∴PF=PE-EF=48米,在Rt△PFC中,tan∴CF=24米,∴BE=24米,在Rt△APE中,tan∴AE=50米,∴AB=AE+BE=74米.19.2解析：如圖，連接BE，∵四邊形BCED是正方形，∴DF=CF根據(jù)題意得AC∥BD,∴△ACP∽△BDP,∴DP:CP=BD:AC=1:3,∴DP:DF=1:2,∴在Rt△PBF中,tan∵∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=2.20.1解析：設(shè)AC與BD交于點O，由七巧板可知△ABD和△BCD是全等的等腰直角三角形，∴AB=BD=CD,∠ABD=∠BDC=90°,∴AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∴①解析:∵∠BDC是△BAD的外角,∴∠BDC=∠A+∠ABD.∴∠BDC>∠A、即α>β,又∵∠C=90°,∴0°<β<α<90°,且tanα>tanβ,cosα<cosβ、故①正確，②錯誤；∵∠C=90°,BC=3、AC=4,∴AB=AC2+BC2=42+32∴∵∴12AC?BC=12CD?在Rt△BDE中.sin∠DBA=當(dāng)BD平分∠CBA時,∵DE⊥AB,DC⊥BC,∴DC=DE,∵∴∴3×4=3DC+5DE,∴8DC=12,∴在Rt△BCD中,tan∠BDC在Rt△BCA中,tan∠BAC∴tanβ≠2tanα,故④錯誤.綜上，正確的是①.!2.6.2米解析:延長AB交DC于H,則∠AHD=90°,∵∠BCH=30°,BC=6米,∴BH=12BC=3米，∵∠ADC=45°,∴AH=DH=CD+CH=(4+33)米,∴AB=AH答：楊樹AB的高度約為6.2米.23.(1)解析：(1)由觀察可知，asinA2由觀察得sin∴∴又由觀察可得sin/B=sin(A+C)=sinAcosC+cosA24.(1)A,C兩港之間的距離約為77.2海里(2)甲貨輪先到達(dá)；理由見解析解析:(1)過點B作BE⊥AC,垂足為E.在Rt△AEB中,∠BAE=45°,AB=40,∴AE=BE=40sin45°=202在Rt△EBC中,∠EBC=60°,∴∴答：A，C兩港之間的距離約為77.2海里.(2)在Rt△EBC中,∠EBC=60°,EB=202∴∵甲貨輪的航線為A→B→C,∴∵乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，C港在D港的南偏東30°方向,∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,∠DAC=30°,AC=202+20∴CD=∵乙貨輪的航線為A→D→C,∴AD+∵兩艘貨輪的航行速度相等，且96.4<105.4,∴甲貨輪先到達(dá)C港.25.1.3解析:過點E作EH⊥AD,垂足為點H,由題意可知,∠CEB=α=36.9°,EH=1.20,AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90,故.AE=于是sin又sincos36.9°≈0.