《函數(shù)的單調(diào)性和最值》教學設計二教學設計教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖復習回顧復習函數(shù)的概念及初中學習的一次函數(shù)的圖象與性質(zhì).教師提出以下問題讓學生思考：1.函數(shù)是如何定義的？函數(shù)的概念包含幾個要素？2.函數(shù)常見的表示法有幾種？各有什么特點？3.函數(shù)的定義域怎樣確定？如何表示？4.函數(shù)研究的主要內(nèi)容是什么？5.你能畫出函數(shù)與的圖象嗎？根據(jù)函數(shù)圖象說明y值隨x值的增大是如何變化的.學生思考回答，動手畫圖分析.復習函數(shù)的概念及函數(shù)的表示法，引導學生從概念出發(fā)研究函數(shù)的性質(zhì).通過讓學生畫初中學習的一次函數(shù)的圖象，觀察圖象變化情況，便于學生溫故知新，在已有知識基礎(chǔ)上去探求新知識.探索新知觀察下面函數(shù)的圖象，分析當自變量x變化時，函數(shù)值是怎樣變化的.如圖，函數(shù)的圖象在y軸右側(cè)的部分是如何變化的？抽象概括：設函數(shù)的定義域為D：如果對于任意的，當時，都有，那么就稱函數(shù)是增函數(shù).特別地，當Ⅰ是定義域D上的一個區(qū)間時，也稱函數(shù)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)遞增.如果對于任意的，當時，都有，那么就稱函數(shù)是減函數(shù).特別地，當Ⅰ是定義域D上的一個區(qū)間時，也稱函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.如果函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就稱函數(shù)在區(qū)間Ⅰ上具有單調(diào)性.此時，區(qū)間I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若存在實數(shù)M，對所有的，都有，且存在，使得，則稱M為函數(shù)的最大值.同樣地，可以定義函數(shù)的最小值，函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.單調(diào)性定義的辨析：（1）設A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且，當時，都有，我們能說函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說明嗎？（2）函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域內(nèi)單調(diào)遞增的例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)的例子嗎？教師用多媒體展示圖象，引導學生從左向右觀察函數(shù)的圖象上點的位置變化，讓學生觀察分析.學生觀察分析：對于區(qū)間，圖象是上升的，每個區(qū)間上的函數(shù)值都隨x值的增大而增大；對于區(qū)間，圖象是下降的，每個區(qū)間上的函數(shù)值都隨x值的增大而減小.教師引導學生發(fā)現(xiàn)圖象的最高點與最低點.學生觀察分析：當時，函數(shù)的圖象位于最高點；當時，函數(shù)的圖象位于最低點.師：函數(shù)的圖象在y軸右側(cè)的部分是上升的，這是觀察得到的結(jié)論，如何用代數(shù)的方式說明這一結(jié)論是正確的呢？引導學生用代數(shù)的方式描述“隨著x值的增大，y值也在增大”.生：設，當時，.教師引導學生用數(shù)學語言表達函數(shù)值的增減變化.學生觀察、討論并交流.先讓學生思考完成，再組織全班交流.教師可以提醒學生用多種方法表示函數(shù)的單調(diào)性（特別是利用圖象直觀說明問題）.通過學生對具體函數(shù)圖象的觀察與分析，使學生感受研究函數(shù)性質(zhì)的必要性；結(jié)合初中已學的用定性法刻畫函數(shù)單調(diào)性的知識，明確學習任務.在觀察分析過程中，將點的位置變化轉(zhuǎn)化為隨自變量的變化對應的函數(shù)值的變化，由對函數(shù)圖象的觀察轉(zhuǎn)化為對函數(shù)性質(zhì)的研究.學生不一定能回答得比較完整，教師應抓住時機予以啟發(fā)，特別要抓住其中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)：如何表示隨著自變量x增大對應的y值也增大？“隨之”怎樣用數(shù)學的方式體現(xiàn)？讓學生體會歸納類比的思想方法，發(fā)展學生的數(shù)學抽象的素心素養(yǎng).問題（1）是引導學生辨析定義中的“任意”二字；問題（2）既是為了區(qū)分“單調(diào)遞增”與“增函數(shù)”“單調(diào)遞減”與“減函數(shù)”等概念，同時也是為了引導學生認識函數(shù)在不同區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）時，在它們的并集上不一定保持單調(diào)遞增（遞減）的性質(zhì).應用舉例例1、設，畫出的圖象，并通過圖象直觀判斷它的單調(diào)性.解：依題意知，其圖象可由的圖象向左平移3個單位長度得到（如圖）.該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.例2、根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷的單調(diào)性，并求出最小值.解：函數(shù)可以表示為畫出該函數(shù)的圖象（如圖）.由圖象可知該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，取得最小值，最小值為0.例3、判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明.解：畫出函數(shù)的圖象（如圖），由圖象可以看出，函數(shù)在定義域R上可能是減函數(shù).下面利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明這一結(jié)論.任取，且，則.所以，即.由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).這個證明是在定義域內(nèi)任取，通過計算與的差，得到，從而由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).例4、判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明.解：畫出函數(shù)的圖象（如圖），由圖象可以看出，函數(shù)在定義域上可能是增函數(shù).任取，且，則.所以.由，可知，即.由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，函數(shù)在定義域上是增函數(shù).例5、試用函數(shù)的單調(diào)性證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明：任取，且.因為，所以則，即.這表明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.同理可證，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.教師用PPT展示例1，引導學生分析函數(shù)的圖象與函數(shù)的關(guān)系，從而得出畫函數(shù)圖象的方法.學生先畫出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象變換畫出函數(shù)的圖象.教師用PPT展示例2，引導學生先根據(jù)絕對值的意義把帶絕對值符號的函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，然后畫出函數(shù)圖象，分析其單調(diào)性.學生在教師的引導下寫出分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，寫出單調(diào)區(qū)間及最小值.教師用PPT展示例3，讓學生利用圖象判斷單調(diào)性，用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.師生共同總結(jié)：利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：第一步，確定函數(shù)的定義域I；第二步，，且設，并將代入，得；第三步，將進行變形，轉(zhuǎn)化為可以直接用實數(shù)大小關(guān)系、不等式的基本性質(zhì)等判斷其符號或大小關(guān)系的式子；第四步，得出相應的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.教師用PPT展示例4，讓學生自主完成.學生完成例4的證明過程.教師巡視觀察，可以提示對根式的變形方式（有理化）.教師用PPT展示例5，先由學生獨立思考并寫出證明過程，可選幾名學生板演，再進行全班交流要引導學生進一步總結(jié)證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟，明確代數(shù)變形的方向.例1，例2通過讓學生畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象得出函數(shù)的單調(diào)性.判定函數(shù)的單調(diào)性時，函數(shù)的圖象能夠起到很大的作用.例3、例4、例5利用單調(diào)性的定義，通過嚴格的代數(shù)推理，獲得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，這是在沒有學習函數(shù)單調(diào)性的定義時做不到的，可以使學生進一步體會定義的作用.同時，也可以使學生體會代數(shù)證明的一般方法，培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)通過例3的證明過程總結(jié)出利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟.例4、例5鞏固這一步驟和方法.課堂總結(jié)1.什么叫函數(shù)的單調(diào)性？你能舉出一些具體例子嗎？2.你認為在理解函數(shù)的單調(diào)性時應把握哪些關(guān)鍵問題？3.結(jié)合本節(jié)課的學習過程，你對函數(shù)性質(zhì)的研究內(nèi)容和方法有什么體會？學生在獨立思考的基礎(chǔ)上回答，教師再進行歸納總結(jié).讓學生準確敘述單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、增函數(shù)、減函數(shù)等概念，通過舉例使學生進一步把握函數(shù)單調(diào)性的要點.引導學生進一步理解“函數(shù)有意義”是討論函數(shù)單調(diào)性的前提.要使學生體會“從定性到定量”的研究思路，即通過圖象直觀及自然語言刻畫過渡到用代數(shù)語言進行推理證明，從而使函數(shù)性質(zhì)得到嚴謹?shù)臄?shù)學表達.鞏固訓練教材第60頁練習第1，3題，第62頁練習第1，2，3題.學生獨立完成，教師重點講評.鞏固判斷和證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.布置作業(yè)教材第63頁習題2-3A組第4，5題.教師布置作業(yè)，學生課下完成.鞏固新知，提升能力.板書設計函數(shù)的單調(diào)性和最值一、復習回顧二、探索新知1.定義：增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間設函數(shù)的定義域為D：如果對于任意的，當時，都有，