高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴.故選：B.2．下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確；故選：D.3．已知函數(shù)，則的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，令，所以在和上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，.故選：C4．根據(jù)馬伯庸的小說(shuō)《長(zhǎng)安十二時(shí)辰》同名改編的電視劇中,靖安司通過(guò)長(zhǎng)安城內(nèi)的望樓傳遞信息.望樓傳遞信息的方式如下：如圖所示，在九宮格中，每個(gè)小方格可以在白色和紫色（此處以陰影代表紫色）之間變換,從而一共可以有512種不同的顏色組合，即代表512種不同的信息.現(xiàn)要求最多出現(xiàn)2個(gè)紫色格子，那么一共可以傳遞的不同的信息有（

）A．36種 B．45種 C．46種 D．84種【答案】C【解析】若一個(gè)紫色格子也沒(méi)出現(xiàn)，可以傳遞1種信息；若出現(xiàn)1個(gè)紫色格子，可以傳遞9種不同信息；若出現(xiàn)2個(gè)紫色格子，可以傳遞種不同信息.所以若最多出現(xiàn)2個(gè)紫色格子，可以傳遞種不同信息.故選：C.5．，則（

）A．31 B．1023 C．1024 D．32【答案】B【解析】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以，當(dāng)時(shí)，可得為正數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得為負(fù)數(shù)，令，可得，令，可得，所以.故選：B.6．“”是“直線與曲線相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則解得，即必要性成立；反之，若，可知直線與曲線相切，即充分性成立；故選：C．7．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，,因?yàn)椋?故選：D8．若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)公切線與曲線和的交點(diǎn)分別為，，其中，對(duì)于有，則上的切線方程為，即，對(duì)于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，即.故選：B.二、多選題9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．將4個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求不出現(xiàn)空盒，共有3種放法B．被7除后的余數(shù)為2C．若，則D．10個(gè)朋友聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)蓚€(gè)人握手一次，一共握手45次【答案】ACD【解析】對(duì)于A：選一個(gè)盒子放兩個(gè)球，另外兩個(gè)盒子放一個(gè)球，共有種放法，故A正確；對(duì)于B：，展開(kāi)式中只有最后一項(xiàng)不是7的倍數(shù)，所以被7除后的余數(shù)為5，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在中，令，得，令，得，兩式相加除以2，得，故C正確；對(duì)于D：10人兩兩握手，共次，故D正確.故選：ACD10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)可以是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】ABD【解析】在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的取值范圍是，對(duì)比選項(xiàng)可知，只有ABD符合題意.故選：ABD.11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，函?shù)和均為偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．【答案】ABD【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由兩邊求導(dǎo)得，所以，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確；令得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù),所以的周期為，所以選項(xiàng)B正確；又因?yàn)榈闹芷跒?，故，所以，因此，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以選項(xiàng)D正確.故選:ABD.三、填空題12．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是.【答案】9【解析】在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)是6個(gè)因式中任取5個(gè)用，余下一個(gè)因式用常數(shù)項(xiàng)相乘積的和，因此展開(kāi)式中含的項(xiàng)是，所以的系數(shù)是9.故答案為：913．已知函數(shù)，若成立，則的最小值為.【答案】【解析】函數(shù)，由，得，則，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故答案為：14．若存在正數(shù)，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，不等式可以化為，令，則，所以．當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，即．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，矛盾，故舍去．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題15．（1）解關(guān)于x的不等式．（2）求等式中的n值．解：（1）由，得，，于是，整理得，解得，所以.（2）原方程變形為，即，顯然，因此，化簡(jiǎn)整理，得，而，解得，所以.16．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的系數(shù)比為．(1)求n的值及展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是第幾項(xiàng)；(2)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？解：（1）二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為．因?yàn)榈?項(xiàng)和第4項(xiàng)的系數(shù)比為，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以．令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為第17項(xiàng)．（2）設(shè)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，則，解得．因?yàn)?，所以或，所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第7項(xiàng)和第8項(xiàng)．17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由，得，令，則，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，有，又滿足上式，所以，得，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以，所以，故，兩式相減，得，所以.18．已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由函數(shù)，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.（2）由不等式恒成立，即恒成立，即對(duì)于任意，不等式恒成立，設(shè)，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也時(shí)最小值，，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，的圖象恒在軸上方，求的范圍；(3)若存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，證明：.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞增；由得，所以在上單調(diào)遞減；故時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由的圖象恒在軸上方，可得因?yàn)榍遥坏仁絻蛇呁瑫r(shí)除